Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik

330 Pages·2018·8.69 MB·German

by  Klaus Hefft

Klaus Hefft
Mathematischer
Vorkurs
zum Studium
der Physik
Das Begleitbuch
zum Heidelberger Online-Kurs
2. Auflage
Mathematischer Vorkurs zum Studium
der Physik
Klaus Hefft
Mathematischer Vorkurs
zum Studium der Physik
Das Begleitbuch zum Heidelberger
Online-Kurs
2. Auflage
Klaus Hefft
Institut für Theoretische Physik
Universität Heidelberg
Heidelberg, Deutschland
ISBN 978-3-662-53830-2 ISBN 978-3-662-53831-9 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-53831-9
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detail-
lierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.
Springer Spektrum
© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2006, 2018
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht
ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags.
Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die
Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt
auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen-
und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden
dürften.
Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in
diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch
die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des
Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und
Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral.
Verantwortlich im Verlag: Lisa Edelhäuser
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
Springer Spektrum ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil
von Springer Nature
Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany
MATHEMATISCHER VORKURS
zum Studium der Physik
Das Begleitbuch zum
Heidelberger Online-Kurs:
www.thphys.uni-heidelberg.de/(cid:24)he(cid:11)t/vk1
(2. Au(cid:13)age)
Klaus He(cid:11)t
Institut fu(cid:127)r theoretische Physik
Ruprecht-Karls-Universit(cid:127)at Heidelberg
27. Mai 2018
Inhaltsverzeichnis
Vorwort zur ersten Au(cid:13)age . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Vorwort zur zweiten Au(cid:13)age . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Dank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 Messen: Messwert und Ma(cid:25)einheit 9
1.1 Empirische Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Physikalische Gr(cid:127)o(cid:25)en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Ma(cid:25)einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Gr(cid:127)o(cid:25)enordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Zeichen und Zahlen und ihre Verknu(cid:127)pfungen 15
2.1 Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Natu(cid:127)rliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 Ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.3 Rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.4 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Folgen und Reihen und ihre Grenzwerte 29
3.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Beschr(cid:127)ankheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
vii
viii Inhaltsverzeichnis
4 Funktionen 41
4.1 Funktion als Input-Output-Relation
oder Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Funktionen-Grundausstattung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.1 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.2 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.3 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.4 Funktionen mit Ecken und Spru(cid:127)ngen . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3 Verkettete Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4 Spiegelsymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5 Beschr(cid:127)anktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.6 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.7 Eineindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.8 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.8.1 Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.8.2 Zyklometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.8.3 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.9 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.10 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5 Di(cid:11)erentiation 79
5.1 Di(cid:11)erenzenquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 Di(cid:11)erentialquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3 Di(cid:11)erenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.4 H(cid:127)ohere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5 Das Handwerk des Di(cid:11)erenzierens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.5.1 Vier Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.5.2 Einfache Di(cid:11)erentiationsregeln:
Funktionen-Grundausstattung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Inhaltsverzeichnis ix
5.5.3 Ketten- und Umkehrfunktionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.6 Numerische Di(cid:11)erentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.7 Ausblick auf Di(cid:11)erentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6 Taylor-Entwicklung 105
6.1 Potenzreihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2 Vorbild geometrische Reihe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.3 Form und Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.4 Beispiele aus der Funktionen-Grundausstattung . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.4.1 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.4.2 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.4.3 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.4.4 Weitere Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.5 Konvergenzradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.6 Genaue Regeln fu(cid:127)r das ungenaue Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.7 Gu(cid:127)te der Konvergenz: Restglied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.8 Taylor-Entwicklung um beliebigen Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7 Integration 123
7.1 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.2 Fl(cid:127)ache unter einer Funktion u(cid:127)ber einem Intervall . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.3 Eigenschaften des Riemann-Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.3.1 Linearit(cid:127)at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.3.2 Intervalladdition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.3.3 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.3.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.4 Hauptsatz der Di(cid:11)erential- und Integralrechnung. . . . . . . . . . . . . . . 132
7.4.1 Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
x Inhaltsverzeichnis
7.4.2 Di(cid:11)erenzieren nach der oberen Grenze . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.4.3 Integrieren u(cid:127)ber einen Di(cid:11)erentialquotienten . . . . . . . . . . . . . 133
7.4.4 Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.5 Die Kunst des Integrierens:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.5.1 Di(cid:11)erentiationstabelle ru(cid:127)ckw(cid:127)arts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.5.2 Lineare Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.5.3 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.5.4 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.5.5 Weitere Integrationstricks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.5.6 Integralfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.5.7 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.6 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.6.1 Unendliches Integrationsintervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.6.2 Unbeschr(cid:127)ankter Integrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8 Komplexe Zahlen 155
8.1 Imagin(cid:127)are Einheit und Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.1.2 Imagin(cid:127)are Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.1.3 De(cid:12)nition der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.1.4 Gau(cid:25)sche Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.1.5 Euler-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.1.6 Komplexkonjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.2 Rechenregeln der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.2.1 Abelsche Gruppe der Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.2.2 Abelsche Gruppe der Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.3 Funktionen einer komplexen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.3.1 De(cid:12)nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Inhaltsverzeichnis xi
8.3.2 Grenzwerte und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.3.3 Graphische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.3.4 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.3.5 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.3.6 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.3.7 Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.3.8 Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.3.9 Allgemeine Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9 Vektoren 193
9.1 Dreidimensionaler euklidischer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.1.1 Dreidimensionaler reeller Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.1.2 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.1.3 Euklidischer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
9.1.4 Transformationen des Koordinatensystems . . . . . . . . . . . . . . 196
9.2 Vektoren als Verschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.2.1 Verschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.2.2 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.2.3 Transformationen des Koordinatensystems . . . . . . . . . . . . . . 204
9.3 Addition von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
9.3.1 Vektorsumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
9.3.2 Kommutatives Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
9.3.3 Assoziatives Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
9.3.4 Nullvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9.3.5 Negatives und Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9.4 Multiplikation mit reellen Zahlen, Basisvektoren . . . . . . . . . . . . . . . 223
9.4.1 Vielfaches eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9.4.2 Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224