Mathematische Strukturen: Von der linearen Algebra über Ringen zur Geometrie mit Garben

303 Pages·2016·0.42 MB·German

by  Joachim Hilgert

Joachim Hilgert
Mathematische
Strukturen
Von der linearen Algebra über Ringen
zur Geometrie mit Garben
Mathematische Strukturen
Joachim Hilgert
Mathematische
Strukturen
Von der linearen Algebra über Ringen
zur Geometrie mit Garben
JoachimHilgert
InstitutfürMathematik
UniversitätPaderborn
Paderborn,Deutschland
ISBN978-3-662-48869-0 ISBN978-3-662-48870-6(eBook)
DOI10.1007/978-3-662-48870-6
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Vorwort
DieMathematik als Wissenschafterfülltsowohlgewisse Kriterien füreineNatur-
wissenschaftalsauchsolchefüreineGeisteswissenschaft.EinwesentlicherGrund
für diese Zwitterstellung ist, dass sich nicht entscheiden lässt, ob der Gegenstand
mathematischer Forschung naturgegeben oder menschengemacht ist. Ein oft ge-
nommener begrifflicher Ausweg ist es, die Mathematik als eine Strukturwissen-
schaftzubezeichnen.DabeigibtesinderMathematikgarkeineformaleDefinition
dafür,waseineStrukturist.LegtmandieArbeitsdefinition„EineStrukturisteine
Ansammlung von Objekten, zwischen denen Beziehungen bestehen, die gewis-
sen Regeln unterliegen“ zugrunde, ist die Bezeichnung Strukturwissenschaft für
die Mathematik aber auf jeden Fall sehr treffend gewählt. Beginnend mit einfa-
chenZahlensystemenarbeitetdiemoderneMathematikmiteinerunüberschaubaren
MengeunterschiedlichstersolcherStrukturen.Selbstfürsehreinfachzuformulie-
rende Fragen, wie zum Beispiel die nach der Lösbarkeit gewisser Gleichungen,
liefernerstdieseStrukturendenRahmen,innerhalbdessenmandieFragenbeant-
wortenkann.
DiemathematischenStrukturensindnichtallegleichberechtigt,esgibteinege-
wisseHierarchieinderBedeutungsolcherStrukturen.ManchekannmanmitFug
undRechtfundamentalnennen,währendanderealssehrspeziellbetrachtetwerden
müssen.Wiederandereführen,zumindestgegenwärtig,einNischendasein.
Im Mittelpunkt dieses Buches stehen diejenigen mathematischen Strukturen,
die ich für fundamental halte und von denen ich glaube, dass jeder professionel-
le Mathematiker sie kennen sollte. Die Strukturen werden im Kontext konkreter
undbedeutsamermathematischerResultatevorgestellt,damitdieLesersichleich-
terselbsteinBildvonderRelevanzdieserStrukturenmachenkönnen.DieAuswahl
sowohlder Strukturenals auchder Resultateist natürlich beeinflusstvon meinem
eigenen mathematischen Hintergrund. Ich bin aber überzeugt, dass sie eine gute
Plattform ist, von der aus man tiefer in jedes Gebiet der Mathematik einsteigen
kann, das gegenwärtig an deutschen Universitäten in Forschung und Lehre abge-
decktist.
V
VI Vorwort
Ich wende mich an Leser, die mit dem Schulstoff und dem Standardstoff des
Mathematikstudiums der ersten drei Studiensemester vertraut sind. Konkret setze
ichelementareKenntnisfolgenderKonzeptealsbekanntvoraus:
(1) PrimzahlfaktorisierungnatürlicherZahlen
(2) ReelleZahlen
(3) VektorräumeundlineareAbbildungen
(4) GruppenundihreHomomorphismen
(5) TopologischeRäumeundstetigeAbbildungen
(6) Differenzial-undIntegralrechnungineinerundmehrerenreellenVariablen
(7) (cid:2)-AlgebrenundelementareMaß-oderWahrscheinlichkeitstheorie
(8) Zorn’schesLemmaundAuswahlaxiom.
Leserfreundliche Einführungen, die mit vielen zusätzlichen Erläuterungen bis zu
diesem Punkt führen, sind die Bücher [HH12] für (1) und (2) sowie [Hi13] für
(3)–(8).
BesonderesAugenmerkgiltderMotivationderStrukturenundderErläuterung
derBezügezwischenverschiedenenStrukturen.Eswirdbewusstaufeinegetrenn-
te Behandlung der Gebiete Algebra, Geometrie und Analysis verzichtet, obwohl
die Curricula der meisten Kurse im Kontext der Bachelorausbildung eine solche
Trennung vorgeben. Die Gliederung des Stoffes orientiert sich nicht an den ma-
thematischen Disziplinen, sondern an der Natur der beschriebenen Strukturen. So
könnendieVerbindungenundParallelenzwischendengenanntenGebietendeutlich
gemachtwerden. Demselben Zweck dienen die expliziteDiskussion von Beispie-
len,diemehrereGebietebetreffen,unddieAusblickeaufspätereAnwendungen.
DasZieldiesesBuchesistes,StudierendenderMathematikdieEinordnungder
InhaltedesBachelorstudiumszuermöglichen.DieausführlicheDiskussionderBe-
griffsbildungenunddieverschiedenartigenBeispielesollenAnspornsein,sichaktiv
auchmitdenstrukturellenDefinitionenundArgumentenauseinanderzusetzen,die
Studierenden oft Schwierigkeiten bereiten. Um die Querverbindungen zwischen
unterschiedlichenInhaltentypischerBachelorprogrammebesserherausarbeitenzu
können, stellen wir auch einige Konzepte vor, die oft erst im Masterstudium aus-
führlichdargestelltwerden.
AusdenAnfängervorlesungensindallenStudierendendreiTypenvonStruktu-
renbekannt.DerersteTypusistdiealgebraischeStrukturwieKörper,Gruppenund
Vektorräume,indereineMengemiteinerodermehrerenVerknüpfungenversehen
ist,diebestimmtenRegelngehorchenmüssen.DerzweiteTypusistdieVergleichs-
strukturwieOrdnungs-oderÄquivalenzrelationenaufeinervorgegebenenMenge,
mithilfe derer man Elemente dieser Menge in Bezug auf relevante Eigenschaften
miteinandervergleichenkann.DerdritteTypusistdieTeilmengenstruktur,wieTo-
pologien oder (cid:2)-Algebren, in der für eine Menge eine Familie von Teilmengen
ausgezeichnet wird, die auch wieder bestimmten Regeln gehorchen müssen. Die
meistendergrundlegendenmathematischenStrukturenwerdendurchKombination
solcherTypenvonStrukturengewonnen.
Vorwort VII
In diesem Buch befassen wir uns in Teil I mit exemplarischen algebraischen
Strukturen.StartpunktderDarstellungsindgrundlegendeKonzeptenundKonstruk-
tionenausder(multi)linearenAlgebraüberRingen.EswerdendabeidiverseAna-
logien zwischen Definitionen und Konstruktionen offenbar, die ich zum Anlass
nehme,BegriffsbildungenausderKategorientheoriezumsystematischenVergleich
vonStruktureneinzuführen.InTeilIIwerdendieEinsichtenausTeilImitTeilmen-
genstrukturen,insbesondere Topologien, kombiniert. Im Mittelpunkt stehen dabei
lokaleStrukturen,dasheißtsolche,diemanvollständigdurchihreEigenschaftenin
(kleinen)UmgebungenvonPunktenfestlegt.DermathematischeBegriff,derdiese
schwammige Beschreibung präzisiert, ist der einer Garbe. Dieser Begriff wird zu
AnfangvonTeilIIbesprochenundanetlichenBeispielenillustriert.Exemplarisch
für lokale Strukturen folgen anschließend Einführungen in differenzierbare Man-
nigfaltigkeitenundalgebraischeVarietäten.IndemkurzenTeilIIIgebenwireinen
Ausblick auf Strukturen,die neben lokalen zusätzlich auch globaleKomponenten
haben.
DieGarbenliefernnichtnureinepraktischeBegriffsweltzurBeschreibungloka-
lermathematischerStrukturen.SiesindaucheinmächtigesWerkzeugzursystema-
tischenUntersuchungglobalerEigenschaftenvonlokalenundgemischtenStruktu-
ren.IhrEinsatzerfordertallerdingszusätzlichetechnischeHilfsmittelausAlgebra
undTopologie,derenBereitstellungdenRahmendiesesBuchesgesprengthätte.
Ich möchteeiner Reihevon Personen für ihren Beiträgezur Entstehung dieses
Buchesdanken.OhnedieGeduldunddieErmutigungvonAndreasRüdingergäbe
es das Buch überhaupt nicht. Von Torsten Wedhorn habe ich über die Jahre viel
überAlgebraundalgebraischeGeometriegelernt.ErhatmichauchindiesemText
voreinigenpeinlichenFehlernbewahrt.PhilippSchüttehatgroßeTeiledesManu-
skriptsKorrekturgelesen.BodoKalthoffhatmichindieLageversetzt,aufmeinem
LaptopVektorgrafikenzuproduzieren.RegineZimmerschiedhatdasganzeManu-
skriptingewohnterAkribielektoriertundSabineBartelshatdafürgesorgt,dassdie
technischeProduktionreibungslosvonstattenging.
November2015 JoachimHilgert
Inhaltsverzeichnis
TeilI AlgebraischeStrukturen
1 Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 ElementareDefinitionenundBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 EtwasStrukturtheoriefürRinge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 SpezielleKlassenvonRingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Moduln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 StrukturtheorievonModuln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 AnwendungenauflineareAbbildungen. . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 MultilineareAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1 Tensorprodukte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2 Tensoralgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3 SymmetrischeundäußereAlgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4 Mustererkennung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1 UniverselleAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2 NaiveKategorienlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3 KategorielleKonstruktionen:Limiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4 AdjungierteFunktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
TeilII LokaleStrukturen
5 Garben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.1 PrägarbenundGarben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.2 Étale-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.3 GeringteRäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.4 Modulgarben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
IX
X Inhaltsverzeichnis
6 Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.1 KartenundParametrisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.2 TangentialräumeundAbleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.3 Tangential-undTensorbündel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.4 Differenzialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.5 IntegrationaufreellenMannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.6 AnwendungenaufkomplexeDifferenzierbarkeit . . . . . . . . . . . 227
7 AlgebraischeVarietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.1 AlgebraischeMengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
7.2 AlgebraischeVarietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.3 Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
TeilIII Ausblick
8 Zusatzstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
8.1 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
8.2 Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
8.3 Bündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8.4 Gruppenobjekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
Teil I
Algebraische Strukturen
WirbeginnendenTeilüberalgebraischeStrukturenmiteinemeinleitendenKapitel
über Ringe. In Kap. 2 stellen wir dann modellhaft eine reichhaltige algebraische
Struktur vor, den Modul über einem Ring. Wir beschreiben etliche Beispiele, be-
weisen eine Reihe grundlegender Tatsachen über diese Struktur und auch einen
prototypischenSatzübereinenSpezialfall,dieendlicherzeugtenModulnübereu-
klidischenRingen.WirzeigenaberaucheinigenichttrivialeAnwendungen,insbe-
sondereaufdieausderelementarenlinearenAlgebrabekanntenlinearenAbbildun-
gen.Später werdenwirauchAnwendungenaufdieIntegrationvonFunktionenin
mehrerenVariablensehen.
InKap.3werdenexemplarischetlicheKonstruktionenimKontextvonModuln
erklärt.AuchindiesemKapitelfolgtdieStoffauswahldenbeidenfolgendengrund-
legenden Kriterien: der Relevanz in der mathematischen Praxis und der Modell-
haftigkeit für allgemeine mathematische Vorgehensweisen. Meine Wahl ist dabei
auf die multilineare Algebra gefallen, die in den gängigen Lehrplänen trotz ihrer
OmnipräsenzinallenTeilenderMathematikrechtstiefmütterlichbehandeltwird.
UmdenLeserndieModellhaftigkeitdervorgestelltenStrukturenundKonstruk-
tionen zu verdeutlichen, führen wir in Kap. 4 Grundbegriffe der universellen Al-
gebraundderKategorientheorieein.AnhandvonvielenBeispielenskizzierenwir,
wie der Gebrauch insbesondere der kategoriellen Sprache algebraische Struktur-
überlegungenvereinheitlicht.
IndenletztenbeidenAbschnittenzeigenwirdannnoch,dassdieinKap.2und3
vorgestelltenKonstruktionenineinempräzisenSinnenatürlich,jasogaringewisser
Weisezwangsläufigsind.