Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid

504 Pages·2019·4.256 MB·German

by  Claas Lattmann

Claas Lattmann
Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid
Science, Technology,
and Medicine
in Ancient Cultures
Edited by
Markus Asper
Philip van der Eijk
Mark Geller
Heinrich von Staden
Liba Taub
Volume 9
Claas Lattmann
Mathematische
Modellierung bei Platon
zwischen Thales und
Euklid
ISBN 978-3-11-061382-7
e-ISBN (PDF) 978-3-11-061649-1
e-ISBN (EPUB) 978-3-11-061500-5
ISSN 2194-976X
Library of Congress Control Number: 2019933535
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Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen
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http://dnb.dnb.de abrufbar.
© 2019 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Boston
Satz: Claas Lattmann
Druck und Bindung: CPI books GmbH, Leck
www.degruyter.com
Vorwort
Diese Monographie ist die leicht überarbeitete Fassung meiner Habilitationsschrift,
die der Philosophischen Fakultät der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel im Som-
mersemester 2017 unter dem Titel „Vom Dreieck zu Pyramiden. Mathematische Mo-
dellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid“ vorlag und im folgenden Winter-
semester angenommen wurde.
Das Buch hätte ohne die Unterstützung anderer nicht entstehen können. Mein
erster, von Herzen kommender Dank gilt Lutz Käppel, der das Projekt angeregt und
dann mit großem Sachverstand und beständigem Wohlwollen begleitet hat; sein klu-
ger Ratschlag und seine engagierte Förderung waren von unschätzbarem Wert. Auf-
richtiger Dank gilt auch Hans-Joachim Waschkies, der meinen Bemühungen trotz sei-
ner schon schweren Krankheit gerade in ihrer frühen Phase großes Interesse entge-
gengebracht hat. Leider ist er viel zu früh von uns gegangen.
Der letzte Abschnitt des Projekts verbindet sich mit einem wunderbaren dreijäh-
rigen Aufenthalt als Feodor Lynen-Stipendiat der Alexander von Humboldt-Stiftung
an der Emory University in Atlanta, Georgia, USA. Nicht nur bin ich meinem akade-
mischen Gastgeber Peter Bing für tatkräftige Unterstützung und Offenheit von Herzen
dankbar, sondern für vorbildliche Gastfreundschaft auch dem gesamten Department
of Classics und hier ganz besonders Niall Slater. Der Forschungsaufenthalt hat mir
nicht nur ermöglicht, konzentriert am Projekt zu arbeiten und Teilaspekte bei den
Kolleginnen und Kollegen vor Ort (gedankt sei dem gesamten Program in Ancient Me-
diterranean Studies, speziell Richard Patterson, sowie außerdem Richard Parry) und
auf zahlreichen Konferenzen zur Diskussion zu stellen; insbesondere hierbei haben
auch drei sehr großzügige William Calder III. Fellowships der American Friends of
the Alexander von Humboldt Foundation große Dienste geleistet. Ebenso wertvoll ist
freilich auch, dass ich mit meiner Familie Zeit an einem Ort verbringen konnte, der
uns zu einem zweiten Zuhause wurde. Für die Unterstützung bei der Bewerbung um
das Feodor Lynen-Stipendium weiß ich daher Peter Bing, Christine Blättler, Bardo
Gauly und Lutz Käppel aufrichtigen Dank.
Der Humboldt-Stiftung bin ich nicht nur für überaus großzügige Förderung und
professionelle Betreuung (speziell durch Kristina Fleck) während des gesamten For-
schungsaufenthalts verpflichtet, sondern auch für die zusätzliche Gewährung einer
Druckkostenbeihilfe, die bei der Publikation dieses Buches große Hilfe leistet.
Der neben Platon zweite zentrale Aspekt dieser Studie ist die Modellierung, ein
Gebiet der aktuellen Forschung, das ich insbesondere im Rahmen meines Engage-
ments im International Institute for Theoretical Cardiology (IIfTC), Kiel-Schilksee nä-
her kennenlernen konnte. Jochen und Brigitte Schaefer, Wolfgang Deppert, Claus
Köhnlein, Björn Kralemann, Siegfried Munz, Klaus-Jürgen Nordmann, Bernhard
Thalheim und Nicolaus Wilder sei für teils zwanzig Jahre Freundschaft und gemein-
same interdisziplinäre Bemühungen gedankt. Ich stehe in Michael Rahnfelds Schuld
https://doi.org/10.1515/9783110616491-202
VI
| Vorwort
dafür, dass er damals den Kontakt herstellte. Siegfried Munz und Klaus-Jürgen Nord-
mann konnten den Abschluss des Projekts leider nicht mehr erleben.
Für die Übernahme schriftlicher Gutachten zu meiner Habilitationsschrift und
hilfreiche Anmerkungen bin ich neben Lutz Käppel auch Christine Blättler, Thorsten
Burkard und vor allem Markus Asper verpflichtet; den übrigen Mitgliedern des Habi-
litationsausschusses bin ich ebenfalls dankbar.
Den Herausgebern und der Herausgeberin dieser Reihe danke ich herzlich dafür,
dass das Buch seinen Platz an diesem interdisziplinären Ort finden durfte.
Die Vorbereitung des Manuskripts für die Drucklegung fiel auch in die Zeit einer
Vertretungsprofessur an der Ludwig-Maximilians-Universität München; ich danke
den dortigen Kolleginnen und Kollegen für herzliche Aufnahme und angenehme Ar-
beitsatmosphäre.
Es verbleibt, den letzten, wichtigsten Dank auszusprechen – meinen Eltern Klaus
und Christa Lattmann dafür, dass sie meinen Weg stets mit großem Interesse begleitet
haben, meiner Frau Katrin für immer hilfreichen Rat und beständige Unterstützung
sowie unseren Kindern Lisa, Erik und Arvid dafür, dass es sie gibt.

Kiel, im Februar 2019 C. L.
Inhalt

1 Einleitung | 1

1.1 Griechische Mathematik: Perspektiven auf ihre Entwicklung | 1

1.2 Ein möglicher Ausweg? Mathematik in der Zeit Platons | 16

1.3 Plan der Untersuchung | 33

1.4 Zusammenfassung | 41

2 Original und Abbild: Eine modelltheoretische Perspektive | 45

3 Mathematische Diagramme und die Praxis der Modellierung | 69

3.1 Einleitung | 69

3.2 Diagramme als diagrams | 76

3.3 Drei weitere Diagramme | 90

3.4 Generalität und Partikularität | 107

3.5 Fazit | 114

4 Verdoppeln und Verdoppeln: Das mathematische Quadrat im
Menon | 117

4.1 Einleitung | 117

4.2 Falsche Meinungen | 119

4.3 Aporie | 132

4.4 Wahre Meinungen | 141

4.5 Fazit | 145

4.6 Epilog: Inkommensurable Diagramme | 151

5 Verdoppeln ohne Verdoppeln: Platon und das Delische Problem | 177

5.1 Einleitung | 177

5.2 Zur Geschichte des Delischen Problems | 179

5.2.1 Die Perspektive des Mathematikers | 179

5.2.2 Die wissenschaftshistorische Perspektive | 187

5.2.3 Die archäologische und historische Perspektive | 199

5.2.4 Fazit | 206

5.3 Platons Würfelverdopplung und der mechanische Beweis | 212

5.3.1 Platons Lösung | 213

5.3.2 Mechanische Lösungen | 220

5.3.3 Platons Tadel | 231

5.4 Fazit | 242

5.5 Epilog: Inkommensurable Mathematik | 244
VIII | Inhalt

6 Die Welt als Linie: Mathematische Modellierung im Liniengleichnis der
Politeia | 271

6.1 Einführung | 271

6.2 Das Liniengleichnis und seine Problematik | 272

6.3 Die Linie zwischen Sonne und Höhle | 280

6.4 Die Mathematik der Linie | 295

6.5 Die Linie zur Linie | 315

6.6 Fazit | 345

6.7 Epilog: Die Befreiung aus dem barbarischen Schlamm | 348
7 Die Welt als Linien: Mathematische Modelle im Timaios | 367

7.1 Einführung | 367

7.2 Die Elemente als Modelle | 368

7.3 Der Mensch in der Welt | 388

7.4 Fazit | 405

7.5 Epilog: Der Weg auf und ab | 408

8 Ergebnisse | 417

Literaturverzeichnis | 433

Indizes | 465
1 Einleitung
1.1 Griechische Mathematik: Perspektiven auf ihre Entwicklung
Wissenschaftliche Mathematik dominiert die moderne Zivilisation. Sie ist eine der be-
deutendsten Errungenschaften der antiken griechischen Kultur. Dort erlangte sie ihre
klassische Form, in der sie in der frühen Neuzeit wiederaufgenommen und mutatis
mutandis noch heute betrieben wird. Dies gilt insbesondere für die bahnbrechende,
für keine andere Kultur unabhängig bezeugte methodologische Innovation, mathe-
matisches Wissen in allgemeinen Sätzen auszudrücken und in dieser Form zu bewei-
sen sowie diese Sätze logisch miteinander zu verbinden und zu konsistenten Syste-
men zusammenhängenden Wissens, ‚Theorien‘, zu vereinigen.1 Diese Theorien ver-
binden sich in der griechischen Mathematik mit drei spezifischen Merkmalen:
erstens der Entdeckung genereller Sätze und idealer Objekte (wie Zahlen und Figuren), über die
man generelle Sätze aufstellen kann; zweitens der Entdeckung von Beweistechniken, d. h. von
empirie- und autoritätsunabhängigen Begründungsverfahren; drittens der Entdeckung eines
Zusammenhangs solcher Sätze, der ein (deduktives) Satzsystem ermöglicht.2
Zu den ersten fassbaren Manifestationen dieses radikal neuen Ansatzes in der Mathe-
matik gehören Aristoteles’ Wissenschaftstheorie in den Zweiten Analytiken und als
praktische Gegenstücke die zwei astronomischen Traktate des Autolykos von Pitane
sowie kurze Zeit später Euklids Elemente, Letztere bis weit in die Neuzeit hinein zu-
gleich der paradigmatische Ausdruck von Mathematik und Wissenschaft und gewiss
eines der meistgedruckten und -verbreiteten Bücher in der Menschheitsgeschichte
überhaupt, übertroffen nur durch die Bibel.3 Angesichts der zeitlichen Zusammen-
||
1 Zu dem in diesem Absatz ausgedrückten Gedanken siehe Mittelstraß 1965, 411 f. und Waschkies
2004, 3 (eindrücklich auch im inspirierenden persönlichen Gespräch); vgl. Asper 2007, 95 f. und 197.
Speziell zur Mathematik siehe Waschkies’ 1998 und Aspers 2014 Überblicke; vgl. Netz 1999a und As-
per 2007, speziell 94–212, zur Systematik Mueller 1981 und Asper 2016. Allgemein zur Geschichte der
antiken Mathematik (auch anhand von Analysen zu konkreten Problemen) siehe exempli gratia Heath
1921, van der Waerden 1956, von Fritz 1961, Becker 1966, Klein 1968, Knorr 1975, Szabó 1978, Knorr
1986, Waschkies 1998, Fowler 1999, Cuomo 2001, Asper 2009, Hein 2012, Asper 2014 und Netz 2016.
Für einen Überblick zur Forschung der letzten Jahrzehnte aus jüngerer Zeit siehe Berggren 2014, Saito
2014 und Sidoli 2014.
2 Asper 2007, 98.
3 Vgl. Heath 1921, 1, 357 f.: „This wonderful book, with all its imperfections, which indeed are slight
enough when account is taken of the date at which it appeared, is and will doubtless remain the
greatest mathematical text-book of all time. Scarcely any other book except the Bible can have circu-
lated more widely the world over, or been more edited and studied.“ Einen knappen Überblick über
die Rezeption bis in die Neuzeit gibt Heath 1921, 1, 354–370. Direkt fassbar schlägt sich dieser Sachver-
halt ja nicht zuletzt darin nieder, „daß die moderne Formtradition der mathematisch-naturwissen-
schaftlichen Schriften sich letztlich von Euklid herleitet“, speziell das Merkmal der Unpersönlichkeit:
https://doi.org/10.1515/9783110616491-001
2 | Einleitung
hänge ist die metatheoretische Struktur der griechischen Fachmathematik spätestens
seit etwa der Mitte des 4. Jhs v. Chr. etabliert;4 seitdem ist sie im Prinzip dieselbe ge-
blieben, und zwar bis weit in die Moderne hinein. Die Griechen können als die Erfin-
der von Mathematik und, insoweit Mathematik bzw. eine axiomatisch-deduktive Ver-
fasstheit die Grundlage ist, Wissenschaft im Allgemeinen gelten.5
Während dieser Sachverhalt grundsätzlich, wenn auch nicht in Hinsicht auf die
Details6 unstrittig ist, gilt dies von unserem Bild davon, wie diese spezifische Form
||
Asper 2007, 134 (insgesamt 125–135). Zur Rezeption der Person Euklid siehe De Brasi 2013. Zu Charak-
ter und Kontext von Aristoteles’ Zweiten Analytiken und ihrem Verhältnis zu Euklids Elementen siehe
Barnes 1969, aber auch Hoffmann 2004.
4 Aristoteles’ Todesjahr ist ein sicherer terminus ante quem. Euklid ist schwieriger zu datieren, da
kaum verlässliche Testimonien vorliegen: Gemeinhin werden die Elemente um das Jahr 300 v. Chr.
angesetzt, doch könnten neue Erkenntnisse der Archimedes-Forschung auch eine Spätdatierung um
200 v. Chr. nahelegen (zur Problematik siehe I. Bulmer-Thomas: Art. „Euclid“, in: Gillispie 4, 414–
437, hier 414 f.; vgl. Waschkies 1998, 367, doch siehe Asper 2007, 97 Anm. 28). Autolykos von Pitane
und seine astronomischen Traktate werden meist im letzten Drittel des 4. Jhs. v. Chr. verortet, mithin
vor Euklid, aber nach Aristoteles. Die einzige relevante Information gibt Diogenes Laertios 4, 29, der
Autolykos als Lehrer des Arkesilaos von Pitane kennt, des Gründers der Mittleren Akademie; dessen
Geburtsjahr war 316/5 v. Chr. (erschlossen aus Diogenes Laertios 4, 44); Aujac 2002, 10 (insgesamt 8–
10) setzt als Lebensdaten den Zeitraum von 360 bis 290 v. Chr. an (skeptisch Bowen & Goldstein 1991,
246 Anm. 29); zur gattungsgeschichtlichen Verortung von Autolykos’ Schriften siehe Berggren 1991.
Insofern ist die Geometrie euklidischen Typs im Sinn der communis opinio eigentlich die aristotelische
Geometrie; vgl. Netz 1999a, 275: „The solid starting-point for Euclidean-style geometry is neither Eu-
clid nor Autolycus, but Aristotle.“ Dies führt freilich noch eindeutiger auf die Mitte des 4. Jhs. v. Chr.
5 Vgl. Rihll 1999, 39: „Mathematics probably ranks as the Greeks’ greatest achievement, in the eyes
of many modern scientists“; und 54: „Geometry is arguably the Greeks’ greatest scientific achieve-
ment. Unlike, say, Aristotle’s physics or Galen’s medicine, Euclid’s theorems are still true and his
methods are still admired. For millennia his books have been studied and referenced […].“ Dies soll
selbstverständlich nicht implizieren, dass es seit der griechischen Antike keinen mathematischen
(oder gar wissenschaftlichen) Fortschritt gegeben hätte. Ganz im Gegenteil: Die eindrucksvollen Er-
folge in Mathematik und mathematischen Wissenschaften, insbesondere in der jüngsten Zeit, schei-
nen in gewissem Sinn ja überhaupt erst durch das sichere methodologische Fundament, das in der
Antike gelegt wurde, möglich geworden zu sein. Auf der anderen Seite soll jedoch, denkt man etwa
an Hilberts Grundlagen der Geometrie (Hilbert 1899) sowie Russells und Whiteheads Principia Mathe-
matica (Russell & Whitehead 1910–1913), ebenso wenig impliziert sein, dass nicht auch Änderungen
am axiomatischen Fundament selbst, auch und gerade in Hinsicht auf seine methodologische Stel-
lung und Funktion, zu verzeichnen waren, speziell solche, die als wissenschaftliche Revolution im
Sinn von Thomas Kuhns Theorie zu verstehen wären (siehe allgemein Kuhn 1996; vgl. speziell unten
Anm. 122): An der grundlegenden und im vorliegenden Zusammenhang entscheidenden Eigenschaft
von Mathematik und mathematischer Wissenschaft, seit der griechischen Antike eine Form von syste-
matisch organisiertem allgemeinen Wissen im oben skizzierten Sinn zu sein, ändert dies nichts.
6 So wird insbesondere die Position vertreten, auch die in anderen antiken Kulturen betriebene Ma-
thematik weise eine im Ergebnis mehr oder weniger äquivalente Form von Beweis auf: siehe Chemla
2012a mit Chemlas 2012b Einführung für eine Übersicht; speziell für die chinesische Tradition siehe
Chemla 2012c und Chemla 2005, für die babylonische Tradition Høyrup 2012; siehe programmatisch
Lloyd 2005; vgl. unten Anm. 29. Doch unabhängig davon, ob man dieser Ansicht zustimmt oder nicht,