Table Of ContentSchriftenreihe Datenverarbeitung
Institut fur Datenverarbeitung Dresden
Mathematische Modelle und Verfahren
der Unternehmensforschung
fur die Losung
okonomischer Probleme
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
TiteI der Originalausgabe:
Mathematische Modelle und Verfahren der
Operationsforschung fUr die Lesung
ekonomischer Probleme
Autoren:
Dipl. -Ing. oec. Dieter Angermann
Dipl. -Math. Johannes Frotscher
Dipl. -Ing. oec. Horst Facklam
Ing. Hans-Hennry Herbig
Dipl. -Math. Dr. rer. oec. Helmut Jiittler
Dipl. -Math. Dr. rer. oec. Dieter Schreiter
Dipl. -Math. Dietrich Schubert
Dipl. -Math. Sigrid Schwetlick
Dipl. -Math. Rainer Weber
Dip1. -Math. Heinz Werner
Dipl. -Wi. -Math. Gottfried Wildenhain
Bearbeiter: Ing. Kurt Heidenreich
Herausgeber:
Institut fUr Datenverarbeitung Dresden
Redaktionssch1uf3 Dezember 1966
ISBN 978-3-663-00779-1 ISBN 978-3-663-02692-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-02692-1
Ver1agsnummer 024608
Copyright by Springer Fachmedien Wiesbaden
Urspriinglich erschienen bei Westdeutscher Verlag . K51n und Opladen. 1968
Softcover reprint ofthe hardcover lst edition 1968
Vom Verlag Die Wirtschaft genehmigte Lizenzausgabe
Alle Rechte vorbehalten. Ohne ausdruckliche
Genehmigung des Ver1ages ist es auch nicht
gestattet, das Buch oder Teile daraus auf
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zu vervielfliltigen.
Druckhaus, 57 Miihlhausen (Thiir. )
Graphische Konzeption des Reihentite1s:
Hanswerner K1ein, Op1aden
Inhaltsverzeichnis
Vorbemerkungen 7
Teill
Ein Modell zur Berucksichtigung mEhrerer Zielfunktionen bei Auf
gabenstellungen der mathematischen Optimierung
1. 1. Problemstellung ..................................•.• 13
1. 2. Aufbau des Modells und dessen Losung .•......•........ 16
1.3. Zur Interpretation des spieltheoretischen Modells •...... 25
1. 4. E,in Zahlenbeispiel ........................•.•.••..•.. 27
1.5. Schluf3bemerkungen .•...................•...........• 30
Teil 2
Verbesserung des Verfahrens von IDLDRETH und D' ESOPO sowie
:les Verfahrens von FRANK und WOLFE zur Losung von Aufgaben
der quadratischen Optimierung
2.1. Einleitende Bemerkungen ............................. 35
2.2. Problemstellung der quadratischen Optimierung . . . . . . . .. 36
2.2.1. Mathematische Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . .. 36
2.2.2. KUHN-TUCKER-Bedingungen .........•............... 38
2.3. Ein beschleunigtes iteratives Verfahren der quadra-
tischen Optimierung .................•........•....... 41
2.3.1. Verfahren von HILDRETH und D' ESOPO ............... 41
2.3.2. Verbesserung des Verfahrens von IDLDRETH und
D' ESOPO durch Konvergenzbeschleunigung ..........•.. 45
2.3.2.1. Konvergenzbeschleunigung durch Extrapolation. . . • . . . . .. 45
2.3.2.2. Fehlerabschatzung fur die Naherungslosungen .•.•....... 47
2.3.2.3. Einschatzung des Verfahrens mit Konvergenzbeschleu-
nigung und Programmhinweise. . . . • . • • . . . . • . . . . . . . . . . .. 49
2.4. Verfahren von FRANK und WOLFE ...............•.... 51
2.4.1. Kurze Erklarung des Verfahrens . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . .. 51
2.4.2. Bestimmung einer zulassigen Basislosung nach SHETTY .. 53
2.4.3. Ablauf des Verfahrens bei Vorhandensein einer zulassigen
Basislosung .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . .. 55
2.4.4. Einschatzung des Verfahrens und Programmhinweise .... 57
2.5. Anwendung der quadratischen Optimierung . •. • . . . . • . • . .• 58
2.5.1. Allgemeines . . . • • . • . . • . . . . . . . • • . . . • • • . . . . • • . . . . . • • . .. 58
2.5.2. tiber eine Anwendung des Programms "FRANK,
WOLFE 3" •.....•...•••..•.....•.•...••....•.•••••.. 59
2.6 Schlu13bemerkungen. . . . • • . • . • . . . . . . . . • . . • . . . . • . . . . . . .. 61
3
Teil 3
Anwendung der dynamischen Optimierung
3.1 Einleitende Bemerkungen ..............•.............• 65
3.2 Beschreibung mehrstufiger Entscheidungsprobleme •..... 66
3.3. Zur Theorie der dynamischen Optimierung .....•....... 68
3.3.1. Optimalitlitsprinzip von R. Bellmann .......' ...........• 68
3.3.2. Funktionalgleichung der dynamischen Optimierung ...... . 68
3.4. Rechengang und Rechenaufwand bei Anwendung der
dynamischen Optimierung .......•.....•............... 69
3.5. Mogliche Varianten der Programmierung .............. . 72
3.6. Einschrlinkung des Rechenaufwands und der notwendigen
Speicherkapazitlit ................................... . 76
3.7. Losung des Zuteilungsproblems fUr eine Ressource mit
der dynamischen Optimierung ........................ . 78
3.7.1. Allgemeine Bemerkungen .•........•.......•.......•.. 78
3.7.2. Problembeschreibung •...........•...............•... 78
3.7.3. Dynamisches Modell .................•..........•.••. 79
3.7.4. Drei ALGOL-Programme .........................•... 81
3.7.4.1. Programm "Dynamic Programming 3" ......•....••.... 81
3.7.4.2. Programm "Dynamic Programming 4" ................ . 8'1'
3.7.4.3. Programm "Dynamic Programming 5" ......•.......... 91
3.7.5. Ein Spezialfall .•..•.........•.......•....•........... 91
3.8. Schlu13bemerkungen .•..••...•....•.•.•...•........ '.' . 93
Teil 4
Einige Arbeitsergebnisse der Untersuchung spezieller Bedienungs
probleme mittels eines Simulationsmodells
4.1. EinleiteI1deBemerkungen ...•••............•..•...••.• 97
4.2. Problemstellung und Losungsweg •..•......••........•• 98
4.3. Bezeichnungen " .....•.......••..•......•....•.••..•. 100
4.4. Einschwingzustand und stationlirer Zustand ...•....••.•• 100
4. 5. Anzahl der Simulationen und rechentechnischen
Bemerkungen • • • . . • . • . . . . . . . . • . . • . . . • . . . . . . . • . . • . • . .• 104
Teil 5
Zwei spezielle Zufallszahlengeneratoren
5.1 Einleitende Bemerkungen ...............•...........•• 111
5.2. Verfahren "Deterministische Mischung" ••........•••.•• 112
5.3. Verfahren "Stochastische Mischung" .....•............• 115
5.4. Zusammenstellung einiger Verfahren zur Erzeugung von
Zufalls zahlen . . . . . . . . . . . • . . . • . . . . . . . • . . . • . • . . • . . . . . .• 118
4
Teil 6
Ein mathematisches Verfahren zur Auflasung von Stiicklisten -
Berechnung totaler Stilckzahlen und totaler Durchlaufzeiten aus den
Primiirunterlagen der Konstruktion und Technologie
6.1. Einleitende Bemerkungen ........................... " 123
6.2. Bezeichnungen .. " ..... " """ .......................... 127
6.3. Aufbau und Inhalt des Files "Direkte Stiicklisten" .•..... 128
6.4. Berechnung der tota1en mengenmiifligen Verflechtung . . .• 132
6.5. Berechnen der totalen Durchlaufzeiten. . . . . . .. . . . . . . . .• 143
6. 6. Aufbau und Inhalt des F"iles "Totale Stilcklisten" ........ 154
6.7. Zusammenfassung •.................................. 157
Teil 7
Ein heuristisches Simulationsverfahren filr die zeitliche Verteilung
mittelfristiger Produktionsprogramme
7.1. Okonomische Aufgabenstellung .. " ........•.........•. 161
7.2. Beschreibung des Lasungsverfahrens ..... " . . . . . . . . . . .. 165
7.3. Rechentechnische Realisierung der Lasung. • . . . . . . . . . •. 176
Teil 8
Messung der 6konomischen Effektivitiit von Lenkungsregeln mit Hilfe
der Monte-Carlo-Simulation
8.1. Einleitende Bemerkungen ." .... ".""." ......... "...... 18,
8.2. Das Wesen der Monte-Carlo-Simulation ............... 182
8.3. Beschreibung des Modells ..... "..................... 189
8.3.1. Fertigungsbedingungen •.............. " ............... 189
8.3.2. Lenkungsregeln .............•.....................•. 191
8.3.3. Kennziffern zur Bewertung des erzielten Ergebnisses . .. 196
8.4. Ablauf der Simulation ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . .. 197
8.5. Ergebnisse der Simulationsrechnungen . . . . . • . . . . . . . . .. 19£
8.6. Schluflfolgerungen filr die praktische Anwendung und
Weiterentwicklung des Modells . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . • .. 202
Teil 9
Optimale Flieflstraflenabstimmung nach einem kombinatorischen
Verfahren auf einer Rechenanlage
9. 1. Problem der Flieflstraflenabstimmtmg . . . . . . . . . . . . . . . .. 207
9.2. Verfahren zur Flieflstraflenabstimmung ............. ". 215
9.3. Programm zur Flieflstraflenabstimmung filr Elektronen-
rechner NE S03 .•..•........•...••................. 226
5
Teil 10
Methoden der Marktforschung
10. 1. Marktforschung in der Industrie und im Handel. . . . . . . .. 237
10.2. Ubersicht fiber mathematisch-statistische Methoden
der Marktforschung ..................... ,'. . . . . . . . . .. 240
10.2.1. Trendrechnung •.................................... 240
10.2.2. Berechnung von ElastiziUitskoeffizienten. . . . . . . . . . . . . .. 241
10.2.3. Anwendung der Matrizenrechnung und der Verflech-
tungsbilanzierung ... . . • . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . •. 242
10.2.4. Bestimmung von Bedarfsfaktoren ..................... 242
10.2.5. Berechnung von Anteilkennziffern . . . • . . . . . . . . . . . . . . . .. 243
10.2.6. Berechnung der Saisonindizes .......................• 243
10.2.7. Exponential Smoothing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 245
10.2.8. Anwendung der Regressionsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . .. 245
10.3. Schlu3bemerkungen ................................. 246
Bildverzeichnis .............................................. 248
Literaturverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .• 251
6
VORBEMERKUNGEN
Methoden der Operationsforsohung sind heute notwendige Be
standteile von Projekten der modernen elektronisohen Daten
verarbeitung. Dies gilt vor allem tur Systeme der integrier
ten Datenverarbeitung. Besondere Bedeutung fUr die Praxis
haben bisher die Linearoptimierung, Netzplanverfahren, Si
mulationsmethoden und die mathematisohe Statistik erlangt.
Andere Verfahren, wie die nichtlineare, stoohastisohe und
dynamisohe Optimierung sowie die Wartesohlangentheorie
(Theorie der Massenbedienung) befinden sioh nooh im stadium
der ersten praktisohen versuohsweisen Anwendungen bezie
hungsweise der theoretisohen Entwioklung.
Das Institut fUr Datenverarbeitung Dresden hat im GefUge
der Einftihrung und Durohsetzung der elektronisohen Daten
verarbeitung in der Wirtsohaft der Deutsohen Demokratiaohen
Republik unter anderem die Aufgabe, auf dem Gebiet der Ope
rationsforschung Forachungs- und Entwioklungaarbeit zu lei
aten und den Nutzern elektronisoher Datenverarbeitungsanla
gen Bibliotheksprogramme, Optimierungabauateine und metho
dischea Material zu liefern. Vorliegender Sammelband umfaBt
einen Teil der Ergebnisae der Arbeiten des Instituts tur
Datenverarbeitung Dresden aus dem Jahre 1966; er stellt ei
nen Versuch und eine dar, die intereasier-
~dgli~hke1t
te ~ffentlichkeit zu informieren und die Vorbereitung des
Einaatzes elektronisoher Datenverarbeitungsanlagen zu un
terstUtzen.
Die hier vorgelegte Sammlung enthalt zunachst einige Bei
trage zu Problemen, die sich heute noch im Stadium der Por
sohung, insbesondere der Aawendungsforaohung, befinden. Ge
rade auf diesen Gebieten ist eine breite prakti
m~gliohst
sche Erprobung erforderlioh, um neue Methoden fUr Aawendun-
7
gen zu ersohlieBen. Die Mebrzahl der Arbeiten des Sammel
bandes bezieht sioh jedooh auf solche Probleme, die bereits
bei der Einsatzvorbereitung fUr den ROBOTRON 300 gelost
werden konnen.
Das von JUTTLER entwickelte Verfahren der Optimierung nach
mehreren Zielfunktionen basiert auf der Spieltheorie. Es
bietet eine Moglichkeit, dieses in der Praxis sehr
h~ufig
auftretende Problem zu losen, falls die verschiedenen Opti
mierungsaufgaben als Problem der Linearoptimierung ge
schrieben werden konnen. WERNER berichtet Uber einige Ver
besserungen von Losungsalgorithmen der quadratischen Opti
mierung. 1m Zusammenhang mit der quadratischen Optimierung
mue erwBhnt werden, daB gegenwartig die Theorie der prakti
schen Anwendung voraus ist. 1m Beitrag von WILDENHAIN wer
den Probleme der Anwendung der dynamischen Optimierung,
insbesondere Speicherplatzbedarf und Rechenaufwand, behan
delt, wobei die fUr den NE 503 entwickelten Programme auf
ein Zuordnungsproblem angewendet werden. FROTSCHER unter
sucht Aufgabenstellungen aus dem Maschinenbaubetrieb, die
auf Warteschlangenprobleme (Bedienungsprobleme) zurUckge
fUhrt werden kennen. Der Erzeugung von (Pseudo-)Zufallszah
len, dre eine zentrale Stellung in Methoden der (Monte-Car
lo-)Simulation einnimmt, wird von WEBER diskutiert. Die be
kannten Generatoren, die Zufallszahlen auf deterministische
Weise herstellen, werden unter Ausnutzung der Interrupts
des Rechenautomaten zu einem "halb-physikalischen" Verfah
ren weiterentwickelt. Die Auflesung von StUcklisten und
die Bestimmung totaler StUckzahlen und totaler Durchlauf
zeiten ist eine Aufgabe, die in fast jedem Betrieb der me
tallverarbeitenden Industrie auftritt. SCHREITER berichtet
Uber ein Verfahren zur Losung dieses Problems, wobei mathe
matische tiberlegungen benutzt werden. Auch 1m Beitrag von
SCHUBERT und SCffiVETLICK wird ein weiteres praxisreif ent
wickeltes Verfahren beschrieben, dessen Problematik - Auf
teilung mittelfristiger Produktionsprogramme - allgemein
bei der Einsatzvorbereitung der elektronischen Datenverar
beitung auftritt. Die Effektivitat der Einbeziehung heuri-
8
stisoher Lenkungsregeln in ain Bilanzierungssystem kann
mit der Methode dar Monte-Carlo-Simulation gelest werden.
Daduroh umgeht man kostenaufWendige und schwer durchfUhr
bare Experimente im praktischen Betrieb. Uber Ergebnisse
auf diesem Gebiet wird von FACKLAM berichtet. HERBIG erlau
tert ein Programm zur naherungsweisen optimalen Abstimmung
von FlieBstraBen. 1m letzten Beitrag geht ANGERMANN auf
die Moglichkeiten ein, di~ die Operationsforsohung fUr die
Marktforschung bietet.
Fast alle der beschriebenen Verfahren und Programme kennen
Bestandteile von Bausteinen der elektronischen Datenverar
beitung werden.
Die Autoren und der Herausgeber hoffen mit diesen Beitragen,
das fUr den vorliegenden Sammelband gesteckte Ziel - Infor
mation und UnterstUtzung der Einsatzkollektive - zu errei
chen. Wie immer sind die Verfasser an Hinweisen und Anre
gungen interessiert, urn den Forderungen der Volkswirtschaft
auf ihrem Spezialgebiet - der Operationsforschune - in Zu
kunft noch besser gerecht werden zu kennen.
9
Dipl.-Math. Dr. rer. oee. Helmut Juttler
Teil1
Ein Modell
zur Berucksichtigung mehrerer Ziel
funktionen bei Aufgabenstellungen
der mathematischen Optimierung
