Mathematische Methoden f ¨ur Biowissenschaften III Fourieranalysis und Anwendungen

54 Pages·2011·0.75 MB·German

Mathematische Methoden fu¨r Biowissenschaften III
Fourieranalysis und Anwendungen
SkriptWS 2010/11
PD DrDirk Frettlo¨h
Fakulta¨tMathematik
Universita¨tBielefeld
February 14, 2011
Contents
1 DieschwingendeSaite 4
2 Fourierreihen 6
2.1 Approximation vonperiodischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Gibbssches Pha¨nomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 KonvergenzvonFRn 10
4 Hilbertra¨ume 12
4.1 ON-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 DieGaußsche Approximationsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 Fouriertransformation (FT) 21
5.1 PoissonsSummenformel(PSF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6 DFT 29
6.1 Trigonometrische Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2 DiskreteCosinus-Transformation (DCT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.3 Bildkompression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.4 FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.5 SchnelleMultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7 FTundDGL 43
7.1 Lapacetransformation (LT)undLT-Methodenfu¨rDGL . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.2 LineareDGL(-systeme)mitkonstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.3 FT-Methoden: DieWa¨rmegleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.4 FT-Methoden: Diemehrdimensionale Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2
Vorab:
DiesesSkriptentstandimRahmenderVorlesungMathematischeMethodenfu¨rBiowissenschaftenIII
imWS2009/10 ander UniBielefeld. Darinsoll laut Modulbeschreibung hauptsa¨chlich Fourieranal-
ysis behandelt werden, sowie stochastische Prozesse. In Absprache mit den Modulverantwortlichen
werden stochastische Prozesse weggelassen, um Zeitfu¨r Anwendung von Fourieranalysis (Bildkom-
pression, schnelle Multiplikation, Behandlung von Differentialgleichungen mit Fouriermethoden...)
sowieLaplacetransformation zulassen.
Dank:
Bedanken mo¨chte ich mich an dieser Stelle bei Uwe Schwerdtfeger fu¨r viele hilfreiche Tipps und
tatkra¨ftige Unterstu¨tzung; sowie bei den fu¨nf tapferen Teilnehmern der Vorlesung im WS 2009/10,
diemichaufetlicheFehlerimSkripthinwiesenundessoentscheidend verbesserten.
3
1 Die schwingende Saite
g(s) = u(s,0)
BetrachteeineSaite,eingespannt zwischen0undp : 0 p s.
Zur Zeitt =0 befinde sich die Saite in Lage g(s). Dabei ist g eine Funktion g:[0,p ] R, und g(s)
→
beschreibt dieAuslenkung derSaitenachoben(positiv) oderunten(negativ)anderStelles. Umden
Zustand der Saite zu beschreiben, brauchen wir auch noch den Impuls (=die Geschwindigkeit) zur
Zeit 0 (positiv: Saite schwingt gerade nach oben, negativ: Saite schwingt gerade nach unten). Das
bezeichnen wir mit h, also h:[0,p ] R. Die Funktionen g und h sollen “sinnvoll” sein. Etwa soll
→
g keine Sprungstellen haben (dann wa¨re die Saite ja an dieser Stelle gerissen). Daher nehmen wir
erstmalan,gundhseienstetig.
DieFunktion u(s,t):[0,p ] R Rsoll dann dieLage derSaitean derStelle s(0 s p )zur Zeit
× → ≤ ≤
t (t 0) beschreiben. Auf Grund der Newtonschen Mechanik (s. Physikbuch) gilt dann die partielle
≥
Differentialgleichung (PDE)
¶ 2u ¶ 2u
=c2 (c R) (1.1)
¶ t2 ¶ s2 ∈
InWorten: dieFunktion u,zweimalnacht abgeleitet, istgleichc2 malderFunktion u,zweimalnach
sabgeleitet.
Mo¨gliche Lo¨sungen (aber nicht unbedingt alle!) liefert derSeparationsansatz (siehe Differentialglei-
chungsbuch). Dazu nehmen wir an dass u(s,t) von der Form v(s)w(t) ist (was ja nicht der Fall sein
muss,aberwirnehmen’s malan,weil’sklappenwird). Danngilt:
(1.1) v(s)w (t)=c2v (s)w(t) (1.2)
′′ ′′
⇒
w (t) v (s)
′′ =c2 ′′ (1.3)
⇒ w(t) v(s)
w (t) v (s)
′′ = ac2 ′′ = a (1.4)
⇒ w(t) − ∧ v(s) −
w (t)+ac2w(t)=0 v (s)+av(s)=0 (1.5)
′′ ′′
⇒ ∧
fu¨r eine Konstante a R, denn: in der zweiten Gleichung ha¨ngt die linke Seite von t ab, die rechte
∈
nicht. D.h., egal wie ich t a¨ndere, der Wert der linken Seite bleibt gleich der rechten, also konstant.
Ditofu¨rdierechteSeitebzgl.s. AlsosindbeideSeitenkonstant(sagenwir,dierechteistgleich a),
−
unddie linke Seiteistgenau c2 maldierechte. (Warum wirhier astattanahmen: dannsparen wir
−
unsimFolgendeneinMinuszeichen.)
DieallgemeineLo¨sungderzweiDifferentialgleichungen(1.5)istnuneinfach(raten,oderDGL-Buch,
oder[WIK]):
w(t)=Csin(c√at)+C˜cos(c√at) (C,C˜ R) (1.6)
∈
v(s)=Dsin(√as)+D˜cos(√as) (D,D˜ R) (1.7)
∈
4
Obacht,diesliefertnichtalleLo¨sungendesurspru¨nglichen Problems(1.1)! AberdieseLo¨sungenrei-
chenunserstmal. Wirinteressieren unsu¨berdiesnurfu¨rreelleLo¨sungen, alsowollenwira 0. Wir
≥
mu¨ssen nun außerdem noch weitere Bedingungen erfu¨llen, unter anderem soll die Saite ja zu jedem
Zeitpunktt ins=0unds=p inPosition0festsitzen, also:
v(0)=0 v(p )=0 (1.8)
∧
Alsofolgtaus(1.7)mitv(0)=0: D˜ =0,unddann,wegenv(p )=0,entwederD=0,dassinteressiert
unsabernicht, denndannwu¨rdedieSaiteimmerstillstehen (konstante Lo¨sung0). Alsomussgelten
sin(√ap )= 0, und das heißt: √a N! Also hat das Gleichungssystem (1.6) & (1.7) & (1.8) nur
∈
Lo¨sungen fu¨r bestimmte Werte von a, na¨mlich fu¨r a=n2,n N. (Diese heißen auch “Eigenwerte”
∈
desGl.-systems.) AlleLo¨sungenvon(1.6)&(1.7)&(1.8)sinddanndiese:
v (s)=D sin(ns) (1.9)
n n
w (t)=C sin(cnt)+C˜ cos(cnt) (1.10)
n n n
DieLo¨sungen (sie heißen auch “Eigenfunktionen” des Gl.-systems) lassen sich also “nummerieren”,
mit n=0,1,2,.... Die entsprechenden Lo¨sungen von (1.1) mit den Anfangsbedingungen (1.8) sind
somit
u (s,t)=sin(ns) B sin(cnt)+A cos(cnt) (D)
n n n
(cid:0) (cid:1)
DerEinfachheit halber setzen wirA =C˜ D ,B =C D , dann sparen wiruns eine Konstante inder
n n n n n n
Formel.
Aber: dasurspru¨ngliche Problem enthielt noch gundh! Wirsuchen alsojeneLo¨sungen u ,dieauch
n
noch
¶ u
u(s,0)=g(s) (s,0)=h(s) (1.11)
∧ ¶ t
erfu¨llen. Dieobigenu tundassehr,sehrselten,egal,wiemanA ,B wa¨hlt. TRICK:Setze
n n n
¥
(cid:229)
u(s,t)= u (s,t).
n
n=1
Falls das konvergiert, und je zweimal nach s und nach t diff-bar ist, dann ist das eine Lo¨sung fu¨r
das urspru¨ngliche Problem (denn jeder einzelne Summand ist ja eine). Die Frage nach einer Lo¨sung
fu¨r das urspru¨ngliche Problem haben wir also reduziert auf die Frage: Ko¨nnen wir A ,B in (D) so
n n
wa¨hlen,dass
¥
(cid:229)
u(s,0)= A sin(ns)=g(s) und (1.12)
n
n=1
¶ u (cid:229)¥
(s,0)= cnB sin(ns)=h(s) gilt? (1.13)
¶ t n
n=1
(1.14)
DieFragenachKonvergenz,allgemeinundgegengbzwh,hatHundertevonJahrenimRaumgestan-
denundvieleZweigederMathematikbefruchtet. Sieistknifflig,daherverschiebenwirsieaufspa¨ter.
DasandereProblem,dasBestimmenderAn undBn,konnte bereitsEuler(s. [WIK]).
5
2 Fourierreihen
Betrachten wir das Problem in etwas allgemeinerer Form. Gegeben eine Funktion f :[ p ,p ] R.
− →
Gesuchta ,b sodassgilt:
n n
¥
a0 (cid:229)
f(s)= + a cos(ns)+b sin(ns) (2.1)
n n
2
n=1
(cid:0) (cid:1)
DieseReiheseiu¨berdiesgleichma¨ßigkonvergent(s.untenoder[WIK]). (Warumwirhier a0 schreiben
2
undnichta wirdspa¨terdeutlich.) TRICK:Esgilt
0
p
cos(nt)sin(mt)dt =0 (m,n N ) (2.2)
Z p ∈ 0
−p 0 :m=n N
cos(nt)cos(mt)dt = 6 ∈ 0 (2.3)
Z p p :n=m N
− (cid:26) ∈
p 0 :m=n N
sin(nt)sin(mt)dt = 6 ∈ 0 (2.4)
Z p p :n=m N
− (cid:26) ∈
(Beweis: U¨bungsaufgabe 2,Blatt1). Damiterhalten wiraus(2.1):
¥
a0 (cid:229)
f(s)cos(ms)= cos(ms)+ a cos(ns)cos(ms)+b sin(ns)cos(ms) (2.5)
n n
2
n=1
p p a0 (cid:0)(cid:229)¥ (cid:1)
f(s)cos(ms)ds= cos(ms)+ a cos(ns)cos(ms)+b sin(ns)cos(ms) ds (2.6)
⇒Z p Z p 2 n n
n=1
− −
a0 p (cid:229)¥(cid:0) p p (cid:1)
= cos(ms)ds+ a cos(ns)cos(ms)ds+b sin(ns)cos(ms)ds
2 Z p nZ p nZ p
n=1
− − −
(cid:0) (2.7) (cid:1)
Hierbrauchenwirgleichma¨ßigeKonvergenz: Dannisteserlaubt,SummeundIntegralzuvertauschen.
Das Scho¨ne ist nun: Wegen (2.2), (2.3), (2.4) werden fu¨r fast alle Werte von m die Summanden zu
Null. Die Integrale, die beides, also sowohl sin- als auch cos-Terme, enthalten, werden alle zu Null,
vondenanderen u¨berleben nurdiemitm=n. Alsoerhalten wirfu¨rm=0:
p p a a p
f(s)cos(0)ds= 0cos(0)ds= 0 1ds=a p ,
Z p Z p 2 2 Z p 0
− − −
undfu¨rm 1(mitn=m):
≥
p p
f(s)cos(ns)ds= a cos(ns)cos(ns)ds=a p .
Z p Z p n n
− −
Damithaben wireine einfache Darstellung fu¨rdiea . Miteinerkomplett analogen Rechnung (Mult.
n
mitsin(ms)stattcos(ms))erhalten wirdieb ,undinsgesamt:
n
1 p 1 p
a = f(s)cos(ns)ds (n N ) b = f(s)sin(ns)ds (n N)
n p Z p ∈ 0 n p Z p ∈
− −
6
Definition2.1. Sei f :[ p ,p ] R. Diea ,b obenheißenFourierkoeffizienten von f,dieReihe
n n
− →
¥
a0 (cid:229)
+ a cos(nx)+b sin(nx)
n n
2
n=1
(cid:0) (cid:1)
heißtFourierreihe (kurz: FR)von f.
(Zu Herrn Jean Baptiste Joseph Fourier s. [WIK].) Die Frage der Konvergenz der Fourierreihe ist
immernoch offen; bisher wissenwiralso nicht, ob(2.1) gilt, obalsodieFourierreihe von f wirklich
(undfu¨rallesbzwx)gegen f konvergiert. Aberfallsesklappt, dannistdieseFunktionjaaufganzR
definiert. Genauer: Wegen sin(x)=sin(x+2np ) und cos(x)=cos(x+2np ) fu¨r alle x R,n Zist
∈ ∈
dannauch f(x)= f(x+2np )fu¨rallex R,n Z. Dasheißt, dieFunktion ist2p -periodisch:
∈ ∈
Definition2.2. GegebeneineFunktion f :R R.
→
(a) f heißtT-periodisch,fallsfu¨rallex Rgilt: f(x)= f(x+T). Das(betragsma¨ßig)kleinstesolcher
∈
T heißtPeriodevon f.
(b) f heißtgerade[bzwungerade], falls f( x)= f(x)[bzw f( x)= f(x)].
− − −
Beispiel2.3. DieSinusfunktion ist2p -periodisch undungerade (schwarzer Graph):
1.0
0.5
K4 K2 0 2 4 6 8 10
x
K0.5
K1.0
DieCosinusfunktion ist2p -periodisch undgerade(roter[bzw. grauer]Graph).
2.1 Approximationvonperiodischen Funktionen
WirstellenunsfolgendemProblem: einegegebene2p -periodischeFunktionsolldurcheinfacheFunk-
tionenapproximiertwerden. EinfacheFunktionensindz.B.Polynome. Leichtu¨berlegtmansichaber,
warumPolynomehierungeeignetsind(warum?). GeeignetsindtrigonometrischePolynome,dassind
Funktionen derForm
N
(cid:229)
f(x)=a˜ + a cos(nx)+b sin(nx) .
0 n n
n=1
(cid:0) (cid:1)
7
3.0
2.5 2.5
2.0 2.0
1.5 1.5
1.0 1.0
0.5 0.5
K4 K3 K2 K1 0 1 2 3 4
K4 K3 K2 K1 0 1 2 3 4 x
x
(a) (b)
3.0 3.0
2.5 2.5
2.0 2.0
1.5 1.5
1.0 1.0
0.5 0.5
K4 K3 K2 K1 0 1 2 3 4 K4 K3 K2 K1 0 1 2 3 4
x x
(c) (d)
Figure1: ApproximationenderDreiecksfunktion(a)durchdieersten2TermeseinerFourierreihe(b);
bzwdieersten4Terme(c);bzwdieersten9Terme(d).
(EinIngenieurwu¨rdedasProblemsoformulieren,dassereinvorgegebenesSchwingungsmuster[z.B.
Sa¨gezahnschwingung, Rechteckschwingung] durch U¨berlagerung “reiner” Schwingungen erzeugt,
oder zumindest anna¨hert. Ein Musiker wu¨rde sich dafu¨r interessieren, welche hochfrequenten To¨ne
(Oberto¨ne) erdurchgleichzeitiges Erklingen lassenvonGrundto¨nen erzeugen kann;s.[WIK].)
Und da haben wir ja bereits eine mo¨gliche Lo¨sung (bis auf die immer noch offenen Konvergenzfra-
gen): Wir nehmen die ersten N Summanden der Fourierreihe von f. Probieren wir es einfach mal
aus:
Beispiel2.4. Sei f˜:[ p ,p ] R, f(x)= x;undsei f die2p -periodischeFortsetzungvon f˜aufganz
− → | |
R(“Dreiecksfunktion”, sieheFig.1(a)).
DieFourierkoeffizienten sind
4 : nungerade
a0=p , bn=0, an= −0p n2 : ngerade
(cid:26)
alsoist f(x)= x p + (cid:229)N −4cos (2n−1)x . (ZuDetailss.U¨bungsaufgabe 3,Blatt1.)
| |≈ 2 p (2n 1)2
n=1 (cid:0)− (cid:1)
8
1.0 1.0
0.5 0.5
K4 K3 K2 K1 0 1 2 3 4 K4 K3 K2 K1 0 1 2 3 4
K0.5 x K0.5 x
K1.0 K1.0
(a) (b)
1.0 1.0
0.5 0.5
K4 K3 K2 K1 0 1 2 3 4 K4 K3 K2 K1 0 1 2 3 4
K0.5 x K0.5 x
K1.0 K1.0
(c) (d)
Figure 2: Approximationen der Rechtecksfunktion (a) durch die ersten 4 Terme seiner Fourierreihe
(b);bzwdieersten16Terme(c);bzwdieersten30Terme(d).
Einige approximierenden Funktionen sind in Bild 1 dargestellt: Fu¨r N =1 (p 4cos(x), also zwei
2 −p
Summanden),N =3(4Summanden),N =8(neunSummanden).
Insbesondere fa¨llt im letzten Beispiel auf: Die zu approximierende Funktion war gerade, und die
Koeffizientenb der(ungeraden) Sinusfunktionen sindalle0. Dasisteinallgemeines Pha¨nomen:
n
Bemerkung2.5. Ist f einegeradeFunktion, sogiltfu¨rallseineSinus-Fourierkoeffizienten b =0.
n
Ist f eineungerade Funktion,sogiltfu¨rallseineCosinus-Fourierkoeffizienten a =0.
n
2.2 Gibbssches Pha¨nomen
Die Funktion im letzten Beispiel war stetig, und die Approximation hat offenbar gut geklappt. Be-
trachten wir mal ein Beispiel mit einer unstetigen Funktion, der “Rechtecksfunktion” (s. Fig. 2 (a)).
Dazusei
1 :x>0
f˜:[ p ,p ] R, f˜(x)= 0 :x=0 ,
− → 
1 :x<0

−
und f seiseine2p -periodische FortsetzungaufganzR.

9
f istungerade, alsosindallea =0,undesist
n
1 p 2 p 2 p
b = f(x)sin(nx)dx= sin(nx)dx= cos(nx)
n p Z p p Z0 −p n 0
− (cid:12)
2 2 0 : (cid:12)ngerade
= cos(np ) cos(0) = 1 ( 1)n = (cid:12)
−p n − p n − − 4 : nungerade
(cid:26) p n
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
Also ist f(x) (hoffentlich) gleich seiner Fourierreihe 4 sin(x)+ 1sin(3x)+ 1sin(5x)+ . In Fig.
p 3 5 ···
2sinddieApproximationen mittelsderersten 4bzw16bzw30TermenderFRdargestellt. Offenbar
(cid:0) (cid:1)
na¨hertsichdasinsgesamtunserem f an. AberandenSprungstellenwillesnichtrichtigkonvergieren:
Es gibt immer “U¨berschießer” um etwa 0,2. Diese ru¨cken zwar immer na¨her an die Sprungstelle
heran,aberniedrigerwerdensienicht! Diesbeschreibt diefolgende Bemerkung.
Bemerkung2.6(GibbsschesPha¨nomen). Ist f eine2p -periodische Funktion,undhat f eineSprung-
stelle bei x, und die Ho¨he des Sprungs ist a. Dann schießt die N-te Fourierreihen-Approximation
von f inderNa¨hevon xuma 0,08949... u¨ber den wahrenFunktionswert hinaus. DiesesMaximum
·
wandert mitwachsendem N immerna¨her gegen x, aber die Ho¨hebleibt dieselbe, unabha¨ngig von N.
(Fu¨rUnterschießer analogmitMinima).
(Derallgemeine Beweisistsehrtechnisch. DerBeweisfu¨runserBeispielstehtauf[WIK].)
ImBeispielobenistdieSprungho¨he2,alsosinddieWertederMaxima(=dieHo¨hederSpitzen)etwa
0,18. Nunkannmansichfragen: Istdasnunkonvergent? Odernicht?
3 Konvergenz von FRn
Definition3.1. Sei f :D R,also(f ) eineFolgevonFunktionen. Dannheißt
n n n N
→ ∈
(a) (f ) punktweisekonvergent gegendieFunktion f ,falls
n n N
∈
x D,e >0 N N n N : f (x) f(x) <e
n
∀ ∈ ∃ ∈ ∀ ≥ | − |
(b) (f ) gleichma¨ßigkonvergent (kurz: glmkgt)gegendieFunktion f ,falls
n n N
∈
e >0 N N x D,n N : f (x) f(x) <e
n
∀ ∃ ∈ ∀ ∈ ≥ | − |
Bemerkung3.2. (fn)n N istglmkgtgenaudann,wenn fn f ¥ 0 (n ¥ )
∈ k − k → →
Dabeiist ¥ dieSupremumsnorm: f ¥ :=sup f(x).
k·k k k | |
x D
∈
Proof. (zuBem. 3.2)Dass fn f ¥ 0 (n ¥ )gilt,heißtja:
k − k → →
e >0 N n N : sup f (x) f(x) <e
n
∀ ∃ ∀ ≥ | − |
x D
∈
Das Supremum u¨ber alle x D (der “worst-case”) des Betrags ist also schon kleiner als e , also alle
∈
andernBetra¨geauch:
e >0 N n N,x D: f (x) f(x) <e .
n
∀ ∃ ∀ ≥ ∈ | − |
10