Mathematische Lernprozesse: Analysen mit kognitionstheoretischen Modellen

233 Pages·1986·4.07 MB·German

by  Klaus Hasemann (auth.)

Klaus Hasemann
Mathematische
Lernprozesse
GERTBÖHME
AM HOFRAIN 15
7743 FURTWANGEN 6
TELEFON [phone]
---Aus dem Programm ------------
Didaktik der Mathematik
Grundfragen des Mathematikunterrichts,
von E. Ch. Wittmann
Mathematisches Denken bei Vor- und Grundschulkindern,
von E. Ch. Wittmann
Der Mathematikunterricht in der Primarstufe,
von G. Müller und E. Ch. Wittmann
Anwendungsprobleme im Mathematikunterricht
der Sekundarstufe I, von M. Glatfeld (Hrsg.)
Didaktik des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe II,
von U.-P. Tietze, M. Klika, H. Walpers
Das Schulbuch im Mathematikunterricht,
von M. Glatfeld (Hrsg.)
Ziele des Mathematikunterrichts- Ideen für den Lehrer,
von Sh. M. Avital und S. J. Shettleworth
Mathematische Lemprozesse
von K. Hasemann
Didaktik mathematischer Probleme und Aufgaben,
von G. Glaeser (Hrsg.)
Mathematik für Lehrer in Ausbildung und Praxis,
von G. Glaeser
--Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Klaus Hasemann
Mathematische
Lemprozesse
Analysen mit kognitionstheoretischen Modellen
Herausgegeben von Erich Ch. Wittmann
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
1986
Alle Rechte vorbehalten
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1986
Ursprunglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1986
Das Werk einschlieBiich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede
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Zustimmung des Verlags unzuliissig und strafbar. Das gilt insbesondere fiir
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und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
ISBN 978-3-528-08937-5 ISBN 978-3-663-14035-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-14035-1
Vorwort
Im Mittelpunkt dieses Buches steht das mathematische Verhalten
von Schülern: ihre Fähigkeiten und ihre Schwierigkeiten beim
Umgehen mit mathematischen Begriffen, Regeln und Verfahren.
Vor allem die Schwierigkeiten der Schüler sollen beschrieben
werden, und es soll der Versuch gemacht werden zu erklären, wa
rum gerade diese Schwierigkeiten auftreten.
Ein Ziel ist es, die Denkprozesse, die die Schüler zu ihren Er
gebnissen führen, zu erforschen. Da man Denkprozesse nicht di
rekt beobachten kann, werden kognitionstheoretische Modelle
herangezogen, mit deren Hilfe sich möglicherweise das mathema
tische Verhalten der Schüler beschreiben und interpretieren
läßt. Jedoch sind solche Modelle theoretische Konstrukte, de
ren praktischer Wert sich in gewissen Bereichen des Mathematik
unterrichts erweisen kann oder auch nicht. Deshalb werden Schü
leräußerungen aus verschiedenen Bereichen des Mathematikunter
richts mit Hilfe der Modelle beschrieben und interpretiert.
Das Buch gründet sich auf Untersuchungen von individuellen Äus
serungen und Leistungen insbesondere von Hauptschülern in der
Bruchrechnung und von Gymnasiasten bei einer Einführung in das
algorithmische Denken. Hinzu kommen Beobachtungen, die bei
Grund- und Realschülern im Bereich der Geometrie gemacht wur
den.
Wenn auch durch die Analyse individueller Äußerungen von Schü
lern mit Hilfe kognitionstheoretischer Modelle keine Bestäti
gung dieser Modelle erbracht werden kann (in dem Sinne, daß ih
re Gültigkeit bewiesen wird), so kann sich doch ihre Brauchbar
keit oder Nützlichkeit erweisen. Denn diese Modelle werden ei
nerseits auf ihre innere Stimmigkeit hin überprüft und anderer
seits am konkreten, von der Konstruktion des Modells unabhängi
gen Einzelfall getestet. Der Erklärungswert eines Modells ist
dann in Relation zu dem der anderen Modelle zu setzen.
Das vorliegende Buch ist eine leicht überarbeitete Fassung mei
ner Habilitationsschrift, die 1985 vom Fachbereich Mathematik/
Informatik der Universität Osnabrück angenommen worden ist.
- VI -
Die Untersuchungen, die diesem Buch zugrunde liegen, wurden
von 1979 bis 1983 an der Universität Osnabrück durchgeführt,
in engem Kontakt mit den Arbeiten zu den dort gleichzeitig
durchgeführten Projekten "Veränderungen des kognitiven Entwick
lungsstandes von Schülern der Orientierungsstufe im Mathematik
unterricht" (Viet, Schmidt, Sommer und Grammelt 1982, Sommer
1982, Schmidt 1983, Viet 1983) und "Empirische Untersuchungen
zur Psychologie des Mathematiklernens" (Cohors-Fresenborg
1978, 1979b, 1980, 1981, 1982, 1983a, 1985, Cohors-Fresenborg
und Strüber 1981). Die im 5. Kapitel ausgewerteten Daten wur
den in einer von Cohors-Fresenborg geleiteten Untersuchung er
hoben. Allen meinen Osnabrücker Kollegen, insbesondere aber
Frau Viet und Herrn Cohors-Fresenborg, bin ich zu großem Dank
verpflichtet.
Ebenso danke ich den Herren Dörfler (Klagenfurt), Vermandel
(Antwerpen) und Wittmann (Dortmund) für ihre freundliche Unter
stützung. Ihre Ratschläge und Anregungen haben wesentlich zum
Entstehen dieses Buches beigetragen. Dem Verlag Vieweg danke
ich für die schnelle Publikation.
Meine Untersuchungen wurden von 1981 bis 1982 von der Deut
schen Forschungsgemeinschaft (DFG) mit einer Sechbeihilfe ge
fördet.
Hannover, Oktober 1985 Klaus Hasemann
Inhalt Seite
1. Einleitung 1
1.1. Ziele der Untersuchungen 5
1. 2. Die Auswahl der mathematischen Inhalte 10
2. Eine empirische Untersuchung zur Bruchrechnung 16
2 .1. Die Schüler und die Anforderungsstruktur der 18
Aufgaben
2. 2. Die Methode der klinischen Interviews 23
2. 3. Interpretationsmethoden 30
2 .4. Ergebnisse der Schüler 36
3. Kognitionstheoretische Modelle 56
3 .1. Skemps Modell der Intelligenz 58
3. 2. Minskys Theorie der Gedächtnisstrukturen 62
3. 3. Modelle des Wissens 64
3 .4. Gelperins Theorie der Ausbildung geistiger 68
Handlungen
3. 5. Van Hieles Niveautheorie 70
3. 6. Verstehensmodelle 75
3. 7. Vergnauds kognitive Theorie 87
3. 8. Das Modell der "hypothetischen Mechanismen" 93
von Davis und McKnight
4. Die Interpretation der Schülerergebnisse bei 112
Aufgaben aus der Bruchrechnung
4.1. Die Interpretation mit der Niveautheorie 112
4.2. Die Interpretation mit Verstehensmodellen 119
4.3. Die Interpretation mit Vergnauds kognitiver 125
Theorie
4.4. Die Interpretation mit dem Modell der 13D
"hypothetischen Mechanismen"
4. 5. Diskussion und Bewertung der Modelle 147
- VIII -
5. Die Anwendung der Modelle auf eine Lernsequenz 152
zur Einführung in das algorithmische Denken
5 .1. Die Lernsequenz 153
5. 2. Experimente zur Einführung in das algorithmische 157
Denken
5. 3. Die Interpretation der Schüleräußerungen 171
6. Diskussion der Ergebnisse 190
6.1. Theoriegeleitete Erklärungen für das 190
mathematische Verhalten der Schüler
6. 2. Die Bedeutung der Modelle 195
6. 3. Ausblick 198
Literaturverzeichnis 201
Anhang: Interviewfragebogen mit Aufgaben zur Addition 219
von Bruchzahlen
1. Einführung
Einige Beispiele sollen deutlich zu machen, welche Beobachtun
gen und Befunde Anlaß gegeben haben zu dem vorliegenden Buch.
Diese Beispiele von Schülerlösungen zu Aufgaben aus der Bruch
rechnung stehen exemplarisch für eine Reihe von Phänomenen,
die man beobachten kann, wenn Schüler mit mathematischen Be
griffen, Regeln und Verfahren umgehen. Das Verhalten der Schü
ler soll an dieser Stelle noch weitgehend unkommentiert blei
ben; es wird sich jedoch zeigen, daß zu seiner Erklärung beson
dere Untersuchungs- und Interpretationsmethoden erforderlich
sind. Darauf wird dann im Folgenden eingegangen.
1. Beispiel:
Bei schriftlichen Tests, die mit 12- bis 14-jährigen Schülern
in England und mit einer Stichprobe von etwa 100 gleichaltri
gen Hauptschülern im Raum Osnabrück durchgeführt wurden, soll
ten die Schüler unter anderen die beiden folgenden Aufgaben lö
sen (vgl. Hasemann 1981a):
(1) Be rec h ne 61 . 43 .
(2) Ein Teil des Kreises ist gepunktet.
Färbe ~ des gepunkteten Teils des Kreises
schwarz. Welchen Bruchteil des ganzen
Kreises hast du schwarz gefärbt?
Es zeigte sich, daß in England 53% der Schüler bei Aufgabe
(2), aber nur 23% bei der Rechenaufgabe (1) erfolgreich waren,
während es bei uns fast genau umgekehrt war: 52% konnten in
j
(1) ~ mit multiplizieren, aber nur 30% färbten den Kreis in
(2) korrekt schwarz.
Abb. 1.1