Table Of ContentFranka Miriam Brückler
Mathematische
Grundlagen der
Kristallographie
für Mathematiker
und Naturwissenschaftler
Mathematische Grundlagen der
Kristallographie
Franka Miriam Brückler
Mathematische Grundlagen
der Kristallographie
für Mathematiker und
Naturwissenschaftler
Franka Miriam Brückler
Department of Mathematics
University of Zagreb
Zagreb, Kroatien
ISBN 978-3-662-58958-8 ISBN 978-3-662-58959-5 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-58959-5
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Planung/Lektorat: Iris Ruhmann
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Vorwort
Die Ordnung, das Ebenmaß, die Harmonie bezaubert uns … Gott ist lauter Ordnung. Er ist
der Urheber der allgemeinen Harmonie (G.W. Leibniz, 1646–1716).
Symmetrie … ist eine Idee, vermöge derer der Mensch durch die Jahrtausende seiner
Geschichte versucht hat, Ordnung, Schönheit und Vollkommenheit zu begreifen und zu
schaffen (H. Weyl, 1885–1955).
Seit etwa 20 Jahren bin ich von der mathematischen Schönheit der Kristalle fasziniert.
Meine eigene kleine Sammlung ist nur ein kleiner Teil dieser fesselnden Welt. Kristalle
besitzen sowohl die offensichtliche äußere Schönheit wie auch „innere Werte“. Fast wie
bei Menschen ist die äußere Schönheit nicht ihrer selbst Willen, sondern als Resultat
der inneren Schönheit liebenswert. Schönheit ist zwar ein recht subjektiver Begriff, bei
Kristallen bekommt er aber eine präzisere Bedeutung: Schönheit als Regelmäßigkeit und
Ebenmaß, Symmetrie genannt. Es handelt sich um typische mathematische Eigenschaf-
ten – Kristalle sind die wohl „mathematischsten“ Wesen der reellen, physischen Welt.
Kristalle aus eigener Sammlung. (Foto: F.M. Brückler)
Leider enthält die Literatur über Kristalle meist entweder nur die Feststellung und Auf-
zählung ihrer Symmetrieeigenschaften, ohne mathematische Beweise und oft auch ohne
mathematische Formulierungen, oder aber handelt es sich um abstrakte mathematische
V
VI Vorwort
Literatur, aus der die physischen Entsprechungen der mathematischen Begriffe meist
nur schwer herauszulesen sind. Dies ist der Hauptgrund, der mich zum Schreiben dieses
Buches angeregt hat. Dieses Buch ist sozusagen als eine Brücke zwischen rein kristal-
lographischer und rein mathematischer Literatur zum Thema gedacht. Es enthält mehr
mathematischen Erklärungen für Naturwissenschaftler als in der gängigen kristallogra-
phischen Literatur und mehr kristallographische Fakten und Beispiele für Mathemati-
ker, unter Verwendung kristallographischer Notationskonventionen, als in der gängigen
mathematischen Literatur.
In diesem Buch werden die Grundlagen mathematischer Kristallographie beschrieben:
stereografische und gnomonische Projektion, analytische Geometrie von Kristallstruktu-
ren (kristallographische Koordinaten, direktes und reziprokes Gitter, Gitterebenen, …)
sowie kristallographische Gruppentheorie (kristallographische Punkt- und Raumgrup-
pen). Die Reihenfolge und Inhalte entsprechen den üblichen mathematischen Inhalten in
Basiskursen in systematischer Mineralogie bzw. Kristallographie. Im Gegensatz zu sol-
chen Kursen werden hier aber alle Inhalte vom mathematischen Standpunkt aus erklärt
und begründet. Alle Prinzipien werden durch konkrete Beispiele illustriert.
Dieses Buch ist einerseits für Mathematiker, insbesondere Unterrichtende an Univer-
sitäten, gedacht, die entweder allgemeines Interesse an den Grundzügen der Geometrie
und Algebra von Kristallen haben oder wirklichkeitsnahe Anwendungen von analytischer
Geometrie und linearer Algebra, Gruppentheorie und Projektionen suchen. Anderer-
seits ist dies auch ein Buch für Kristallographen und allgemeiner Chemiker, Geologen,
Mineralogen und Physiker, die die Erklärungen diverser mathematischer Regeln der
Kristallographie und Mineralogie suchen. Obwohl die Anwendungen der Mathematik
auf Kristallographie noch viele andere Themen einschließen, vor allem die Theorie der
Fourier-Transformationen, haben wir diese hier nicht behandelt, sondern uns an Inhalte
gehalten, die auch Studierenden der Mathematik, Chemie, Geologie und Physik schon in
den ersten Studienjahren zugänglich sind. Für solche anderen Anwendungen verweisen
wir auf weiterführende Literatur, beispielsweise E. Princes Mathematical Techniques in
Crystallography and Materials Science (Springer, Berlin 2004).
Am Ende des Vorwortes will ich mich bei allen bedanken, die zur Entstehung dieses
Buches beigetragen haben: Frau Iris Ruhmann und Frau Janina Krieger aus dem Sprin-
ger-Verlag, meiner besten und zugleich mathematisch-kristallographischen Freundin
Željka Bilać, die mich als Erste mit der spannenden Welt der Kristalle bekanntmachte,
sowie meinen kroatischen kristallographischen Freunden, durch die ich die Liebe zur
mathematischen Schönheit von Kristallen entdeckt habe und von denen ich die Grund-
züge der Kristallographie gelernt habe: Krešimir Molčanov, Vladimir Stilinović, Darko
Tibljaš, Ivan Vicković und anderen von der Naturwissenschaftlichen Fakultät in Zagreb.
Zagreb Franka Miriam Brückler
Februar 2019
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Literatur ......................................................... 5
2 Geometrische Darstellung von makroskopischen Kristallen ............. 7
2.1 Sphärische Projektion ......................................... 7
2.2 Stereografische Projektion ...................................... 9
2.3 Gnomonische Projektion ....................................... 20
2.4 Lösungen zu den Aufgaben ..................................... 23
Literatur ......................................................... 25
3 Analytische Geometrie und Vektorrechnung in der
Kristallographie ................................................. 27
3.1 Kristallographische Koordinaten ................................. 27
3.2 Gitterebenen ................................................. 32
3.3 Geraden im Raum ............................................ 46
3.4 Reziprokes Gitter ............................................. 48
3.5 Zonenrechnung .............................................. 58
3.6 Lösungen zu den Aufgaben ..................................... 60
Literatur ......................................................... 61
4 Kristallographische Gruppentheorie ................................ 63
4.1 Isometrien des euklidischen Raumes .............................. 63
4.2 Translationssymmetrie und periodische Parkettierungen .............. 89
4.3 Symmetriegruppen ............................................ 94
4.3.1 Kristallformen ......................................... 107
4.3.2 Kristallographische Punktgruppen .......................... 111
4.3.3 Kristallographische Raumgruppen ......................... 145
4.4 Lösungen zu den Aufgaben ....................................... 165
Literatur ......................................................... 180
VII
VIII Inhaltsverzeichnis
Mathematisches Repetitorium ......................................... 183
Symbolik .......................................................... 193
Stichwortverzeichnis ................................................. 203
1
Einführung
Kristallesindwohldie„mathematischste“ ErscheinunginderNatur.Geometrischgesehen
sind sie räumliche Gebilde, besser gesagt Polyeder (Abb.1.1). Polyeder sind von ebenen
FlächenbegrenzteKörper,wiez.B.WürfelundPyramiden.WennwirindiesemBuchvon
einemmakroskopischenKristallsprechen,meinenwirdasentsprechendePolyedermodell
des Kristalls. Echte makroskopische Kristalle zeigen ein kleineres oder größeres Maß an
Unregelmäßigkeiten,diedurchphysischeEinflüsse,welchewährenddesKristallwachstums
aufdasKristalleingewirkthaben,entstandensind;dieselassenwirhieraberdurchgehend
außerAcht.
Diese regelmäßige äußere Erscheinung von Kristallen ist die Folge ihres regelmä-
ßigeninnerenAufbaus.DerdänischeGelehrteNicolausSteno bemerkteim17.Jh.beider
UntersuchungvonQuartzkristallen,dassbestimmteFlächenunabhängigvonKristallgröße
und-formimmeringleichenWinkelnzueinanderstehen.Ervermutete,dassdiesauchfür
andereKristallartengilt.Jean-BaptisteRomédeL’Islekonntedies1780bestätigen.Diese
Einsichtwirdalsdassogenannte1.kristallographischeGesetz,oderGesetzderWinkelkon-
stanz,formuliert.
Definition1.1 (GesetzderWinkelkonstanz)AllezurselbenKristallartgehörendenEin-
zelkristalleschließenzwischenanalogenFlächen–gleichenDruck,gleicheTemperaturund
chemischeZusammensetzungvorausgesetzt–stetsgleicheWinkelein(zitiertnach[7]).
Zu gleicher Zeit entdeckte der französische Mineraloge René-Just Haüy das 2. kristallo-
graphischeGesetzoderGesetzderrationalenIndizes,alsereinKalkspatkristallzuBoden
fallenließunddabeibemerkte,dassdiesoentstandenenBruchstückediegleicheFormhat-
tenwiederursprünglicheKristall.Darausfolgerteer,dassKristalleauskleinerenEinheiten
©Springer-VerlagGmbHDeutschland,einTeilvonSpringerNature2019 1
F.M.Brückler,MathematischeGrundlagenderKristallographie,
https://doi.org/10.1007/978-3-662-58959-5_1
2 1 Einführung
Abb.1.1 Makroskopische
KristallehabenPolyederform.
(Bild:V.Stilinovic´)
aufgebautsind.DieswurdeAnfangdes20.Jh.durchDiffraktionanKristallenbestätigt.Wir
formulierenhierdassoebengenannteGesetzderrationalenIndizes:
Definition1.2 (GesetzderrationalenIndizes)EinKoordinatensystemmitKoordinatenur-
sprung O innerhalb des Kristalls sei so gewählt, dass seine Achsen zu drei Kanten des
Kristallsparallelsind.FernerseieineFlächedesKristalls(Einheitsflächegenannt)fixiert,
welchezukeinerderKoordinatenachsenparallelist.SeienA,BundCdieSchnittpunkteder
EinheitsflächemitdenKoordinatenachsenunda =|OA|,b=|OB|,c=|OC|.1Fürjede
FlächedesKristallswerdendannihreMiller’schenIndizes(hkl)definiert:EssindZahlen
h,k,l,fürwelche a : b : c =|OA(cid:2)|:|OB(cid:2)|:|OC(cid:2)|gilt(A(cid:2),B(cid:2),C(cid:2)sindSchnittpunkteder
h k l
betrachteten Fläche mit den Koordinatenachsen; falls die Fläche parallel zu einer Achse
liegt,wirdderentsprechendeMiller’scheIndexgleich0gesetzt).
FüralleKristalleundalleWahlenderKoordinatenachsenundderEinheitsfläche(unter
denebengenanntenBedingungen)gilt:FürjedeKristallflächeisth : k : l einVerhältnis
vonganzenZahlen,derenabsoluteBeträgeklein(einstellig)sind(„kleineganzeZahlen“).
DieEinheitsflächehatoffensichtlichdieMiller’schenIndizes(111).DasVerhältnisa :b:c
sowie die Miller’schen Indizes der Kristallflächen können direkt aus goniometrischen
Messungenberechnetwerden[4].
FürmehrDetailsüberdieerwähntenundanderegeschichtlicheAspektederKristallogra-
phieverweisenwirauf[5,6],fürallgemeinenaturwissenschaftlicheFaktenüberKristalle
verweisenwirauf[1,2].
AusmathematischerSichtkönnenwirdieerstenbeidenkristallographischenGesetzeals
Axiomeauffassen,genausowiedieinnereRegelmäßigkeitvonKristallen.DerinnereAufbau
vonKristallen(wiebeispielsweisejenerinAbb.1.2)kanngeometrischgesehenimmer als
1Mit|PQ|bezeichnenwirindiesemBuchdieEntfernungzweierPunkte PundQ.
