Mathematische Grundlagen der Informatik: Mathematisches Denken und Beweisen Eine Einführung

330 Pages·2011·2.38 MB·German

by  Christoph Meinel

Christoph Meinel | Martin Mundhenk
Mathematische Grundlagen der Informatik
Christoph Meinel | Martin Mundhenk
Mathematische
Grundlagen
der Informatik
Mathematisches Denken und Beweisen
Eine Einführung
5., überarbeitete Auflage
STUDIUM
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der
Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über
<http://dnb.d-nb.de> abrufbar.
Prof. Dr. sc. nat. Christoph Meinel
Geboren 1954 in Meißen. Studium der Mathematik an der Humboldt-Universität zu Berlin. Diplom 1979
und Promotion 1981 bei L. Budach. Von 1981 bis 1991 wiss. Mitarbeiter bzw. Oberassistent an der Sek-
tion Mathematik bzw. am Fachbereich Informatik der Humboldt-Universität zu Berlin und am Institut
für Mathematik der Akademie der Wissenschaften in Berlin. Habilitation 1988. 1991 C4-Lehrstuhlver-
tretung an der Universität-Gesamthochschule Paderborn und Forschungsaufenthalt an der Universi-
tät Saarbrücken. 1992 Berufung zum C4-Professor für Theoretische Konzepte und neue Anwendungen
der Informatik an der Universität Trier. Gründungsdirektor des 1998 von der Fraunhofer Gesellschaft
betreuten Forschungs- und Entwicklungsinstituts für Telematik in Trier. Seit 2004 Direktor des Hasso-
Plattner-Instituts für Softwaresystemtechnik GmbH und C4-Professor für Internet-Technologien und
Systeme an der Universität Potsdam. Autor, Koautor/Herausgeber von acht Büchern/Proceedings-
bänden und über 250 Veröffentlichungen in wissenschaftlichen Zeitschriften und referierten Kon-
ferenzbänden. Besondere Forschungsinteressen in den theoretischen Grundlagen der Informatik
(Komplexitätstheorie, Algorithmen und Datenstrukturen, BDDs und Formale Verifikation) und im
Bereich Internet-Technologien und Systeme (IT-Security, sichere Telemedizin und E-Learning).
Prof. Dr. rer. nat. Martin Mundhenk
Geboren 1961 in Bad Pyrmont. Studium der Informatik an der Technischen Universität Braunschweig.
Diplom 1986 bei H.-D. Ehrich. Von 1986 bis 1989 wiss. Mitarbeiter an der EWH Koblenz, von 1989 bis
1993 an der Universität Ulm. Promotion 1993 bei U. Schöning. Von 1994 bis 2001 wiss. Assistent an
der Universität Trier. 1996 Research Scholar an der University of Kentucky. Frühjahr 2000 Visiting
Assistant Professor am Dartmouth College. 2001 Habilitation an der Universität Trier bei Ch. Meinel
und Berufung zum C3-Professor für Informatik an die Friedrich-Schiller-Universität Jena. In der Lehre
tätig in der Ausbildung von geisteswissenschaftlichen Studenten mit Nebenfach Informatik. For-
schungsgebiet ist Theoretische Informatik, insbesondere Komplexitätstheorie und Logik.
1. Auflage 2000
5., überarbeitete Auflage 2011
Alle Rechte vorbehalten
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
Lektorat: Ulrich Sandten | Kerstin Hoffmann
Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien.
Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media.
www.viewegteubner.de
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich ge schützt. Jede
Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Ur heber rechts ge set zes ist ohne
Zustimmung des Verlags unzuläss ig und strafb ar. Das gilt insb es ondere für
Vervielfältigungen, Über setzun gen, Mikro verfil mungen und die Ein speiche rung
und Ver ar b eitung in elek tro nischen Syste men.
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk
berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im
Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher
von jedermann benutzt werden dürften.
Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg
Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-1520-0
Vorwort
Dieses Buch ist entstanden aus einer vom ersten Autor neu konzipierten Vor-
lesung fu¨r Erstsemester der F¨acher Informatik und Wirtschaftsinformatik an
der Universit¨at Trier. Ziel dieser Vorlesung war es, die H¨orer mit ihren recht
unterschiedlichen mathematischen Vorkenntnissen und Fertigkeiten abzuholen
und sie mit dem fu¨r ein erfolgreiches Studium der Informatik oder verwandter
Studieng¨ange notwendigen mathematischen Ru¨stzeug auszustatten. Am Ende
der Vorlesung sollten die H¨orer dann in der Lage sein, in der exakten und
streng formalisierten Denk- und Schreibweise der Mathematik zu argumentie-
ren – eine F¨ahigkeit, ohne die eine erfolgreiche Arbeit in der Informatik un-
vorstellbar ist. Anders jedoch als in den u¨blichen Mathematikvorlesungen, bei
denen die H¨orer von vornherein mit dieser abstrakten mathematischen Denk-
und Schreibweise konfrontiert werden, sollte diese hier behutsam eingefu¨hrt
und eingeu¨bt werden, um dem Schein, dass Mathematik schwer, manchmal zu
schwerw¨are,gleichvonvornhereinzubegegnen.VorlesungundBuchbeginnen
deshalbimerstenTeilmiteinerrechtinformellen, erz¨ahlerischen“ Einfu¨hrung
”
in die Begriffswelt der Aussagenlogik und Mengenlehre und entwickeln dabei
ein erstes belastbares Verst¨andnis fu¨r den Sinn und Zweck exakter mathe-
matischer Beschreibungen und Argumentationen. Die Bedeutung des mathe-
matischen Beweisens wird erkl¨art und beim Sprechen u¨ber Relationen und
Abbildungen systematisch eingeu¨bt. Im zweiten Teil der Vorlesungen werden
dannfu¨rdieInformatikwichtigeBeweistechniken,wiez.B.vollst¨andigeInduk-
tion oder Abz¨ahltechniken aus der Kombinatorik, mit einigen Anwendungen
in der Stochastik vorgestellt. Der dritte Teil er¨ortert schließlich fu¨r die inzwi-
schenmathematischgeschultenLesereinigegrundlegendediskreteStrukturen,
wie z.B. Graphen oder Boole’sche Algebren. Gleichsam spiralenf¨ormig werden
Begriffe, die in den ersten Kapiteln lediglich informell eingefu¨hrt wurden, in
einem abschließenden Kapitel zur Aussagenlogik nun auf dem Niveau der ex-
akten mathematischen Denk- und Schreibweise wieder aufgenommen und be-
handelt. Ausgestattet mit einer gesicherten Intuition haben H¨orer und Leser
nun auch in den h¨oheren Gefilden mathematischer Betrachtungen eine gute
Chance, sich zurechtzufinden und souver¨an zu bewegen.
6
Wir hoffen, mit einer solchen Aufbereitung des fu¨r einen Studenten oder ande-
ren Interessierten der Informatik unerl¨asslichen mathematischen Stoffes even-
tuelle Defizite aus der mathematischen Vorbildung der Leser wettmachen und
darausresultierendeVorbehaltegegenu¨bereinerweiterfu¨hrendenMathematik-
ausbildung abbauen zu k¨onnen.
Wir danken den Trierer Informatikstudenten fu¨r ihre zahlreichen Anregun-
gen im Verlaufe der Vorlesungen, auch streckenweises Unverst¨andnis hat uns
geholfen, die Aufbereitung und Darstellung des Stoffes zu u¨berdenken und
am Stil der Darstellung zu feilen. Den Kollegen der Abteilung Informatik der
Universit¨at Trier sind wir sehr verbunden fu¨r gemeinsame Auffassungen zur
Notwendigkeit einer soliden mathematischen Grundausbildung im Informatik-
und Wirtschaftsinformatikstudium. Schließlich bedanken wir uns fu¨r die Un-
terstu¨tzung beim Zeichnen von Bildern und beim Korrekturlesen ganz herzlich
bei Jochen Bern, Benjamin Boelter, Carsten Damm, Lilo Herbst, Lothar Jost
und Harald Sack.
Trier, Februar 2000 Christoph Meinel
Martin Mundhenk
Vorwort zur dritten Auflage
In der dritten Auflage wurde ein Kapitel u¨ber Modulare Arithmetik mit den
mathematischen Grundlagen der Kryptographie angefu¨gt. Außerdem wurden
Fehler und Unstimmigkeiten reduziert. Fu¨r die Hinweise dazu bedanken wir
uns herzlich bei zahlreichen kritischen Lesern.
Potsdam/Jena, M¨arz 2006 Christoph Meinel
Martin Mundhenk
Vorwort zur fu¨nften Auflage
In der fu¨nften Auflage wurden weiterhin Fehler reduziert und stellenweise die
Notation verbessert. Fu¨r alle Hinweise dazu bedanken wir uns herzlich bei
zahlreichen kritischen Lesern.
Potsdam/Jena, Januar 2011 Christoph Meinel
Martin Mundhenk
Inhaltsverzeichnis
Einleitung 11
I Grundlagen 17
1 Aussagen 19
1.1 Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Verknu¨pfungen von Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Tautologie und Kontradiktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Aussageformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5 Aussagen mit Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Mengen und Mengenoperationen 36
2.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Gleichheit von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Komplement¨are Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Die leere Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5 Teilmenge und Obermenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Potenzmenge und Mengenfamilien . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.7 Vereinigung, Durchschnitt und Differenz von Mengen . . . . . 47
2.8 Produkt von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.9 Weitere Rechenregeln fu¨r Mengenoperationen . . . . . . . . . 56
3 Mathematisches Beweisen 58
4 Relationen 63
4.1 Definition und erste Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8 Inhaltsverzeichnis
4.2 Operationen auf Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Wichtige Eigenschaften von Relationen . . . . . . . . . . . . . 71
4.4 A¨quivalenzrelationen und Klasseneinteilung . . . . . . . . . . 74
4.5 Rechnen mit A¨quivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.6 Halbordnungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5 Abbildungen und Funktionen 89
5.1 Definition und erste Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2 Surjektive, injektive und bijektive Abbildungen . . . . . . . . 94
5.3 Folgen und Mengenfamilien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.4 Kardinalit¨at von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Quellen und weiterfu¨hrende Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
II Techniken 109
6 Grundlegende Beweisstrategien 111
6.1 Direkter Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.2 Beweis durch Kontraposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.3 Widerspruchs-Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.4 A¨quivalenzbeweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.5 Beweis atomarer Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.6 Beweis durch Fallunterscheidung . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.7 Beweis von Aussagen mit Quantoren . . . . . . . . . . . . . . 121
6.8 Kombinatorischer Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7 Vollst¨andige Induktion 128
7.1 Idee der vollst¨andigen Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.2 Beispiele fu¨r Induktionsbeweise . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.3 Struktur von Induktionsbeweisen . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.4 Verallgemeinerte vollst¨andige Induktion . . . . . . . . . . . . 135
7.5 Induktive Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Inhaltsverzeichnis 9
8 Z¨ahlen 147
8.1 Grundlegende Z¨ahlprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.2 Permutationen und Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . 152
8.3 Rechnen mit Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . 157
9 Diskrete Stochastik 167
9.1 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . 167
9.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.3 Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.4 Binomial-Verteilung und geometrische Verteilung . . . . . . . 183
Quellen und weiterfu¨hrende Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
III Strukturen 191
10 Boole’sche Algebra 193
10.1 Schaltfunktionen und Ausdru¨cke . . . . . . . . . . . . . . . . 193
10.2 Definition der Boole’schen Algebra . . . . . . . . . . . . . . . 199
10.3 Beispiele Boole’scher Algebren. . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
10.4 Eigenschaften Boole’scher Algebren . . . . . . . . . . . . . . . 208
10.5 Halbordnungen in einer Boole’schen Algebra . . . . . . . . . . 212
10.6 Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
10.7 Normalformen fu¨r Boole’sche Ausdru¨cke . . . . . . . . . . . . 218
10.8 Minimierung Boole’scher Ausdru¨cke . . . . . . . . . . . . . . 221
10.9 Der Isomorphie-Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
10.10 Schaltkreis-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
11 Graphen und B¨aume 236
11.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
11.2 Wege und Kreise in Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
11.3 Graphen und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
11.4 Isomorphismen auf Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
11.5 B¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
10 Inhaltsverzeichnis
12 Aussagenlogik 267
12.1 Boole’sche Algebra und Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . 267
12.2 Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
12.3 Erfu¨llbarkeits¨aquivalente Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . 275
12.4 Unerfu¨llbare Klauselmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
12.5 Erfu¨llbarkeit von Hornklauseln . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
12.6 Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
12.7 Klauselmengen in 2KNF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
13 Modulare Arithmetik 298
13.1 Die Teilbarkeitsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
13.2 Modulare Addition und Multiplikation . . . . . . . . . . . . . 303
13.3 Modulares Rechnen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
13.4 Der gr¨oßte gemeinsame Teiler und der Algorithmus von Euklid 311
13.5 Der kleine Satz von Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
13.6 Verschlu¨sselung mit dem kleinen Satz von Fermat . . . . . . . 319
13.7 Das RSA-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
Quellen und weiterfu¨hrende Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
Index 329