Mathematische Gesetze der Logik I: Vorlesungen über Aussagenlogik

578 Pages·1960·28.231 MB·German

by  H. Arnold Schmidt (auth.)

DIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER
BERUCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE
HERAUSGEGEBEN VON
R. GRAMMEL· F. HIRZEBRUCH· E. HOPF
H. HOPF . W. MAAK· W. MAGNUS· F. K SCHMIDT
KSTEIN·B.L.VAN DER WAERDEN
BAND 69
MATHEMATISCHE GESETZE DER LOGIK I
VON
H. ARNOLD SCHMIDT
SPRINGER-VERLAG
BERLIN· GOTTINGEN . HEIDELBERG
1960
MATHEMATISCHE
GESETZE DER LOGIK
I
VON
H.ARNOLD SCHMIDT
DR. PHIL., ORD. PROFESSOR DER MATHEMATIK UND DER MATH. LOGIK
AN DER UNIVERSITAT MARBURG
VORLESUNGEN DBER AUSSAGENLOGIK
MIT 24 ABBILDUNGEN
SPRINGER-VERLAG
BERLIN· GOTTINGEN· HEIDELBERG
1960
ALLE RECHTE,
INSBESONDERE DAS DER UBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN
VORBEHALTEN
OHNE AUSDRUCKLICHE GENEHMIGUNG DES VERLAGES
1ST ES AUCH NICHT GESTATTET, DIESES BUCH ODER TEILE DARAUS
AUF PHOTOMECHANISCHEM WEGE (PHOTOKOPIE, MIKROKOPIE) ZU VERVIELFALT IGEN
© BY SPRINGER-VERLAG OHG. BERLIN· GbTTINGEN . HEIDELBERG 1959
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1959
ISBN-13: 978-3-642-94781-0 e-ISBN-13: 978-3-642-94780-3
OOI: 10.1007/978-3-642-94780-3
DRUCK DER UNIVERSITATSDRUCKEREI H. STURTZ AG., WURZBURG
Vorwort.
A. Die Zielsetzung des Buches.
Die mathematische Logik, die hinsichtlich ihrer Methode als Mathe
matik, hinsichtlich ihres Gegenstandes als Logik anzusprechen ist, stellt
sich als eines jener Wissensgebiete dar, auf denen sich gegenwartig die ur
sprunglichen Interessen der Mathematiker und der nicht originar mathe
matisch orientierten Geisteswissenschaftler uberschneiden. Die Gesetz
maBigkeit des Denkens hat sich in weitem MaBe als eine so1che von der
Art mathematischer GesetzmaBigkeiten enthlillt, und keine Logik kann
an diesem Tatbestand mehr vorbeigehen, so wie heute etwa keine Physik
mehr den analogen Tatbestand ignoriert.
Das vorliegende Buch will sich demgemaB - wie die ihm zugrunde
liegenden mehrfach gehaltenen Vorlesungen es wollten - zunachst an
Mathematiker, zugleich aber auch an mathematisch interessierte Nicht
mathematiker - hiervor allem eben: an geisteswissenschaftlich orien
tierte Logiker - wenden. Diesem Ausgangsimpuls entspringt eine
doppelte Zielsetzung. Einerseits will das Buch - im Gegensatz zu bloBen
Anfangerbuchem - in jedem angeschnittenen Problemkreis bis zu seinen
zentralen Fragestellungen vordringen und sie in exakter mathematischer
Behandlungsweise beantworten. Andererseits solI es jedoch gleichzeitig
den nebenfachlich mathematisch ausgebildeten Lesem das Instrumen
tarium, das zum vollen Erfassen des mathematischen Gehaltes des
Stoffes natig ist, in die Hand geben. Mit der primaren Absicht, die
mathematischen Leser in die wichtigen Zuge des Wissensgebietes einzu
fUhren, laBt sich diese Rucksichtnahme wohl gerade auf Grund der oben
gekennzeichneten Eigenart der mathematischen Logik zwanglos ver
einigen, und zwar in der Weise, daB die einzelnen Kapitel mit einer aus
fuhrlichen Erlauterung der Grundbegriffe und der methodischen Grund
gedanken beginnen und sodann in den Kern der Fragestellungen ein
dringen, wobei diese Fragen jeweils ihre Lasung finden. Bei so1chen
Problemen, die sich an spezielle Kodifikationen anschlieBen, wird auch
das methodische Prinzip, nach dem das betreffende Kodifikat zunachst
ein Stuck weit konkret verfolgt wird, ehe in die syntaktische Unter
suchung eingetreten wird, der anschaulichen Profilierung des Gegen
standes forderlich sein.
VI Vorwort.
Es wird hier nicht der Versuch gemacht, die Logik voraussetzungslos
aufzubauen; - wenn auch der grundsatzliche Zweifel an der Moglichkeit
des Aufbaus eines logischen Kodifikats ohne jede logische Voraussetzung
in das Gebiet erkenntnistheoretischer Voruberlegungen gehort, die in
diesem Buche vermieden werden sol1en, so darf doch die Absicht be
kundet werden, einem solchen Ziele in diesem Buche nicht nachzujagen.
Ein gewisser Teil der Logik wird hier schon - in den syntaktischen
Erorterungen und Nachweisen - vorausgesetzt; es handelt sich dabei
urn einen mehr oder weniger primitiven Bereich des SchlieBens von
kombinatorisch-konstruktiver Art.
Zur Vermeidung von Zweigleisigkeiten ist bei der nachfolgenden Einfiihrung
in die Aussagenlogik auf die gleichzeitige Analyse dieses Bereiches verzichtet wor
den. Ebenso wurden auch "Oberlegungen aus der sogenannten formalen Semantik
vorerst beiseite gelassen, damit ein moglichst klares Bild der deduktiven Logik
hervortrete (vgl. hierzu spater S. 140). Bei der Behandlung der Pradikatenlogik,
der der II. Band gewidmet sein wird, gibt es "Oberlegungen, in denen formal
semantische Argumentationen eine fundamentale Rolle spielen; dort werden sie
zu ihrem Recht kommen.
Auch ein zweites Ziel hat sich die Vorlesung nicht gesetzt: sie will
nicht die mathematische Logik als ein Werkzeug zum Denkenlernen
hinstel1en. Der aufmerksame Leser wird auf Schritt und Tritt solchen
Dberlegungen, Beispielen und Ausblicken begegnen, die in hervorragen
der Weise geeignet sind, das exakte Denken zu trainieren und den Um
gang mit Begriffen, Schlussen und Begrundungen praziser zu gestalten.
Diese Wirkung der mathematischen Logik liegt so sichtbarlich auf der
Hand, daB ein pathetischer Hinweis darauf den Effekt nur abschwachen
wiirde. Die Struktur des Denkens ist eben mathematischer Art, und
wer dieser mathematischen Struktur nachspurt, schult gleichzeitig sein
Denken und klart es abo Andererseits jedoch ist diese Analyse des
Denkens weit davon entfernt, sich als ein bloBes Organon, ein Werkzeug
miBbrauchen zu lassen, mittels dessen man in einer mechanischen Weise
Denken erlernen konnte.
Mit der Absicht, die Vorlesung in allen Teilen so einzurichten, daB
sie auf den logischen Gehalt ausgeht, hangt es zusammen, daB uberall
eine moglichst einfache symbolische Einkleidung gewahlt wurde, ohne
auf schmuckendes Nebenwerk einzugehen. Demgegenuber sei der (bereits
weiter oben gestreifte) Verzicht auf jegliche erkenntnistheoretische oder
philosophische Diskussion hervorgehoben. Es wird zwar an mehreren
Stel1en die Harte, der die alternare Implikation in ihrer Interpretation
unterliegt, beleuchtet, und bei der Behandlung der Hauptansatze fUr
nichtalternare Logik - d. h. der derivativen, der intuitionistischen und
der strikten Logik - ist jeweils zunachst einfUhrend auf die leitenden
Konzeptionen eingegangen worden. Hieriiber hinaus jedoch wird jede
Vorwort. VII
philosophische Erorterung streng verrnieden. Die Probleme und ihre
Behandlung sollen in allen Phasen der Uberlegungen nach Moglichkeit
fiir sich seIber sprechen und dem Leser das Material zu eigener erkennt
nistheoretischer Bearbeitung erstellen. [Betreffs einer solchen philoso
phischen Unterrnauerung ist iiberdies in einigen Fallen zu empfehlen,
die jeweiligen pdidikatenlogischen Aufstockungen der Probleme - die
im II. Bande folgen sollen - abzuwarten; so schlieBt z. B. die iiber
zeugende Systematik, die den - im 6. und 7. Abschnitt des vorliegenden
Buches vorgefiihrten - Aufbau der intuitionistischen Aussagenlogik aus
den fundamentalen derivativen Postulaten (mit Heranziehung der im
plikativen Form zu einer eliminierbaren SchluBregel) in aussagenlogischer
Sicht auszeichnet, nicht aus, daB sich bei der Erweiterung zur intui
tionistischen Pradikatenlogik weitere nicht unerhebliche Gesichtspunkte
fiir die Analyse des erkenntnistheoretischen Standortes des mathemati
schen Intuitionismus herausschalen werden.]
Nicht in die Darstellung einbezogen wurden unter anderem solche
Zweige der Aussagenlogik, bei denen das mathematisch-methodische
Interesse weit iiber dasjenige der rein logischen Interpretation hinaus
zugehen schien, sowie solche logischen Teilgebiete, die zwar mit der
Aussagenlogik in Beriihrung stehen, die jedoch in einer strengen Syste
matik primar nicht so sehr der Aussagenlogik als vielmehr einer ver
wandten Disziplin - etwa der Wahrscheinlichkeitstheorie (so die soge
nann ten "mehrwertigen Logiken") oder auch einer eigenstandigen I{las
senlogik zuzurechnen sind (so die Syllogistik, die zwar ihr aussagen
logisches Entsprechen hat, deren originare Interpretation jedoch in der
klassen- und pradikatenlogischen Sphare liegt).
In keiner Weise wird Vollstandigkeit in einem enzyklopadischen
Sinne angestrebt, die jedem Losungsversuch und jeder Variante eines
Problems Raum gabe. Vielmehr wird umgekehrt der Versuch gemacht,
von parallel verlaufenden oder sich verastelnden Teilziigen eines Pro
blems jeweils einen Zug herauszuheben und konsequent zu verfolgen.
Der Leser solI hierdurch in einen solchen Stand der Vertrautheit mit
der Materie versetzt werden, der ihm erlaubt, andere Teilziige, soweit
sie ihm begegnen werden, zu iiberschauen und insbesondere sie als Teil
ziige von hier mitgeteilten Problemen zu wiirdigen. Den Ausfiihrungen
aller verschiedenen Kapitel liegt eine einheitliche Betrachtungs- und
Darstellungsweise zugrunde; in vielen Fallen werden die Problemstellung
und die Losungsmethode durch Einblendung in den gemeinsamen Be
trachtungswinkel erheblich gegeniiber den literarischen Urspriingen
modifiziert (so wird, - urn schon hier ein Beispiel zu nennen, auf das
weiter unten noch einzugehen sein wird - die strikte Logik aus einem
rein aussagenlogischen Kodifikat entwickelt).
VIII Vorwort.
B. Einige Hinweise zum Lesen des Buches.
Zum Lesen des Buches seien noch einige Hinweise gegeben.
Die benutzten logischen Zeichen sind am Ende des Buches zusammen
gestellt.
Urn dem Leser ein moglichst plastisches Bild der einzelnen Gebiete
zu vermitteln, wurde in fast allen Abschnitten eine Reihe stichwort
artiger Ubersichten und tabellarischer Z~tsammenfassungen bzw. Gegenuber
stellungen eingestreut, deren ausgiebiger Gebrauch hiermit empfohlen sei.
An mehreren Stellen wird ein eiliger Leser, m.a.W. ein so1cher, der
sich zunachst im graBen informieren mochte, ohne auf die mathematische
Durchftihrung eingehen zu wollen, darauf aufmerksam gemacht, daB er
einen Paragraphen oder eine ganze Gruppe von Paragraphen tiber
schlagen konne. Hierdurch ist, wie ich zuversichtlich hoffe, auch ein
mehr oberflachlich interessierter Leser der Furcht vor zu groBem Umfang
der Lekttire enthoben; tiberdies ist jeweils die Einteilung des Stoffes
nach Moglichkeit so sichtbar angelegt, daB jeder Leser unschwer das
ihn Interessierende herauszuholen vermag, ohne sich mit den tibrigen
Teilen zu belasten. Zur Erleichterung einer so1chen teilweisen oder un
geordneten Lekttire habe ich allenthalben moglichst viele Verweisungen
eingeftigt; insbesondere dienen dies em Zwecke auch Verweisungen auf
spiiter folgendes, die die jeweiligen Querverbindungen deutlich prafilieren
sollen. Den Verweisungen der letzteren Art ist stets das Wort "spater"
beigegeben. Demjenigen Leser, der das Buch in der ordnungsgemaBen
Reihenfolge liest, solI hierdurch signalisiert werden, daB er die betref
fende Verweisung nicht zur Kenntnis zu nehmen braucht; es moge
sich also niemand durch die Verweisungen auf spater folgendes in seiner
normalen Lekttire unterbrechen lassen!
Es ist vielleicht gut, schon hier beziiglich der Verwendung von Anfuhnmgs
zeichen im Text auf S. 147 zu verweisen, auf der erHiutert wird, warum ihre Ver
wendungsweise sich im folgenden nicht einer in der mathematischen Logik in
weitem MaBe eingebiirgerten und an sich wohlfundierten Gebrauchsweise an
schlieBt; bei Einbeziehung semantischer Uberlegungen in den II. Band wird sich
iibrigens das Bediirfnis nach teilweisem AnschluB an diese Gebrauchsweise starker
geltend machen.
Die kodifikativen Beweise, durch die, wie bereits in Abteilung A erwahnt
wurde, die meisten vorgeftihrten Kodifikate ein Stuck weit ausgeleuchtet
werden, wurden so ausftihrlich gestaltet, daB der Leser sie bequem ohne
Ausftihrung von Nebenrechnungen durchfiihren kann. Das am Ende
des Buches angeftigte ,Verzeichnis der wichtigsten numerierten Formen'
solI das Lesen dieser Beweise erleichtern. Dem fortgeschrittenen Leser
kann iibrigens zur Lektiire so1cher kodifikativen Beweise unbedenklich
geraten werden, sie jeweils gerade so weit auszudehnen, wie dies zur
Erlangung einer hinreichenden Vertrautheit im Umgang mit dem be-
Vorwort. IX
treffenden Kodifikat wunschenswert erscheint, und sich von da an mit
der Aneignung der bewiesenen Form selbst zu begnugen, da dies zum
Verstandnis der anschlieBenden syntaktischen Fragen ausreichen wird.
Wiehtig ist noch der Hinweis auf die allenthalben beigegebenen
Aufgaben. Sie teilen sich in Textaufgaben und andere Aufgaben. Eine
Textaufgabe ist dort eingeschaltet, wo eine Passage der Deduktion so
trivial erscheint oder bereits vorher so oft vorgeftihrt wurde oder wo
sie in so deutlichem MiBverhaltnis zur Tiefe des Ergebnisses steht, daB
eine genauere DurchfUhrung eher eine stcirende Verz6gerung der Lekture
als eine Hilfe fUr den Leser bedeuten k6nnte. Um darauf aufmerksam
zu machen, daB die betreffende Passage verkurzt oder uberschlagen
wurde, wird der Leser durch den Terminus "Textaufgabe" zum kurzen
Uberdenken der Deduktion aufgefordert. Bis auf die Textaufgaben soIl
eben der gesamte Text ohne Zuhilfenahme eines Bleistiftes zugig lesbar
sein. (Der Terminus "Textaufgabe" ersetzt an einigen Stellen auch die
frtiher ubliche Wendung "wie man leicht erkennt" und soIl in diesem
FaIle dem Leser die Garantie bieten, daB - leider im Gegensatz zu
manchem Gebrauch der genannten Wen dung - die Sache trivial, d.h.
wirklich leicht vollstandig zu erkennen ist.) Auch die Aufgaben, die
nieht als Textaufgaben gekennzeichnet sind, sind in der Regel keines
wegs schwere Erprobungsaufgaben, sondern lediglich Aufforderungen
zum bloBen Trainieren der im Text gegebenen methodischen Grundzuge
(es gibt nur vereinzelte Ausnahmen).
GemaB dem in Abteilung A umrissenen Charakter des Buches ist zur
Unterstreichung des einheitlichen Standes der aussagenlogischen Pro
blemstellung im Text selbst auf die Angabe von Autoren und Publi
kationen grundsatzlich verzichtet worden. Eine Ausnahme bilden hier
neben den Initiatoren so1cher Problemkreise, denen je ein ganzer
Abschnitt des Buches gewidmet ist (z. B. Gentzen, Lewis u. a.) ledig
lich so1che Autoren, deren Name als Bestandteile gewisser Fach
ausdrucke auftreten, und zwar entweder von allgemein eingeburgerten
Fachausdrucken (wie z.B., "Peircesche Wahrform") oder von Fachaus
drucken, deren Attribute der Unterscheidung dienen (wie z.E. die
Autorennamen verschiedener Axiomensysteme).
Ein an del' Angabe der Autoren interessierter Leser findet dem
gegenuber bei der im nachsten Absatz folgenden Inhaltsubersicht zu
jedem vorgebl'achten Problem die Quellenangabe. Auf diese bezieht sich
auch das spater folgende Literaturverzeichnis.
C. Inhaltsiibersicht.
An den Anfang der Vorlesungen ist ein Abschnitt uber die Algebra
der Logik, die sogenannte BOoLEsche Algebra [3J gestellt. Da diese von
Gleichungen zwischen Aussagenformen handelt, erscheint sie durch
x Vorwort.
ihre Affinitat zur elementaren Algebra den meisten Anfangern der Logik
recht eingangig underleichtert ihnen somit das Eindringen in mathe
matische Gesetze der Logik. Von dem Standort, den die moderne
mathematische Logik erreicht hat, stellt sich allerdings ein so1cher
Gleichheitskalkiil nicht als die angemessenste Erfassung so1cher Gesetz
maBigkeiten dar, und unter diesem Aspekt ist man versucht, der Algebra
der Logik eine ahnliche Rolle zuzuweisen, wie sie die Segelschiffe in der
Handelsmarine spielten: wenn sich auch mit geraumer Zeit das Gros
der Handelsschiffe aus neueren Schiffstypen zusammensetzen wird, so
vermittelt doch ihre Benutzung nach wie vor eine fachgerechte Grund
ausbildung. Unter einem anderen Aspekt nimmt jedoch die Algebra
der Logik gerade heute wieder einen hervorragenden Platz in der logi
schen Kodifikation ein; sie ordnet die GesetzmaBigkeiten des Denkens
einer zentralen Teilstruktur der heutigen Algebra unter, derjenigen der
distributiven Verbande. Auch unter diesem Aspekt wird die logische
Algebra hier vorgefiihrt.
Dariiber hinaus dient der Nachweis del' Vollstandigkeit der Boole
schen Algebra (Kap. III) zugleich der Vorbereitung auf den Vollstandig
keitsnachweis fUr ein spaterfolgendes normaldeduktives "WR-Kodifikat"
(entsprechend bildet ein in sich abgeschlossenes Kapitel, das sich im
AnschluB an eine Arbeit von H. HERMES und H. SCHOLZ [11] mit der
Vollstandigkeit einer bloB en Implikations-Negations-Logik befaBt -
Kap. V - die Vorbereitung auf den Vollstandigkeitsnachweis fUr ein
spater folgendes normaldeduktives "FL-Kodifikat").
Der Verfasser hat in den 1. Abschnitt eine Reihe anschaulicher Inter
pretationsbeispiele eingestreut, die den Einfiihrungszweck erleichtern
sollen und die in den weiteren Abschnitten naturgemaB zuriicktreten. -
Einige Paragraphen (insbesondere § 24) deuten kurz die Zusammen
hange mit del' Klassen- und Begriffslogik an.
Die im 2. Abschnitt gebrachte EinfUhrung in die wertende Logik legt
den Grund fiir die alterniire Aussagenlogik, die sich als diejenige Theorie
beschreiben laBt, we1che aus der Aristotelischen Kennzeichnung del'
Aussage als dessen, was entweder ,wahr' oder ,falsch' ist, entspringt.
Die Auffassung der logischen Verkniipfungen als Wahrheitsfunktionen
bildet das Fundament dieser Dberlegungen, in deren Verlauf unter
anderem die binaren Verkniipfungen zueinander in Beziehung gesetzt und
die wichtigsten binaren Verkniipfungsbasen vorgefUhrt werden (Kap. VI).
Der Begriff der Wahr/orm, der in diesem Zusammenhang erortert
wird (Kap. VII), wird aIle weiteren Dberlegungen zur alternaren Aus
sagenlogik (1. Teil des Buches) durchziehen. Es werden zunachst die
wichtigsten Typen von Wahrformen zusammengestellt - §§ 43f. (diese
Dbersicht ist zugleich zur Einiibung des Lesens aussagenlogischer For
meln geeignet).
Vorwort. XI
Der Darstellung der Wahrheitswertung schlieBt sich eine solche der
Methode der Quasiwahrheitswertungen an (Kap. VIII), die vornehmlich
wohl von BERNAYS [2J, LUKASIEWICZ und TARSKI [19J entwickelt wurde
und die in erster Linie dem Nachweis von Unabhangigkeiten bei deduk
tiver Kodifikation der Logik dient.
1m Zusammenhang mit den Quasiwahrheitswertungen wird in § 49
auch auf die Bedenklichkeiten eingegangen, die einer rein aussagen
logischen Interpretation der sogenannten "mehrwertigen Logiken" (ge
nauer: der "mehr-als-zweiwertigen Logiken") entgegenstehen.
Der ausfiihrlicheren Beschaftigung mit der bei der Behandlung der
Quasiwahrheitswertungen bereits kurz in vorlaufiger Weise heran
gezogenen deduktiven Behandlungsweise ist im 3. Abschnitt zunachst
eine allgemein gehaltene Erklarung des Begriffs des kodifizierten Wis
sensgebietes bzw. des Kodifikates [24J vorangestellt. Die Kodifikation
eines exakten Wissensgebietes geht iiber die - insbesondere seit dem
Erscheinen von Hilberts "Grundlagen der Geometrie" urn die Jahr
hundertwende in der Mathematik und in Teilen z.B. der Physik heimisch
gewordene - Axiomatisierung gerade durch die Einbeziehung des Logi
schen in die exakte Fixierung hinaus; auch ein solcher Axiomatiker, der
noch nicht das Systematisch-zwingende dieser Entwicklung eigenstandig
nachempfunden haben sollte, wird einen solchen Ubergang jedenfalls als
eine durch die bekannten Paradoxien der Mengenlehre und Logik aufge
deckte Notwendigkeit anerkennen, und tatsachlich ist, wie ich glaube,
durch den Begriff der Kodifikation die Grundkonzeption umrissen, deren
sich kiinftige exakte Forschung bedienen wird. (Es gibt mannigfache Ab
wandlungen dieser Konzeption; am nachsten steht der hier gepragten
Fixierung neben der alten CARNAPschen [5J Bestimmung der "formalen
Sprache" wohl die jetzt vielfach benutzte, ebenfalls ein wenig allgemeinere
CURRYSche [6J Begriffsbildung des "formal systems"). In §53 wird die logi
sche Fundierung einerTheorie in einem ,logischen Kernkodifikat' skizziert.
Die wichtigsten Ziige der allgemeinen Syntax der Kodifikate werden
in Kap. X umrissen, wobei flir die HILBERTschen Grundanforderungen
an Axiomensysteme, namlich Widerspruchsfreiheit und Vollstandigkeit
(sowie gegenseitige Unabhangigkeit der Axiome) jeweils die verschie
denen angemessenen Fassungen einander gegeniibergestellt werden.
Grundlegende syntaktische Unterscheidungen - wie diejenigen von
Einschlagigkeit und Beweisbarkeit von Ausdriicken (bzw. Formen),
Vollstandigkeit und Entscheidungsdefinitheit von Kodifikaten, Aqui
valenz und Deduktionsgleichheit von Satzgebilden (d.h. einschlagigen
Ausdriicken), explizite und implizite Abhangigkeit von SchluBregeln,
Separation, Elimination und Inversion von SchluBregeln, Elimination
und Reduktion von Begriffen (nebst Restriktion von Kodifikaten)
werden ausfiihrlich auseinandergesetzt.