Mathematische Dynamik: Modelle und analytische Methoden der Kinematik und Kinetik

493 Pages·2016·5 MB·German

by  Martin Prechtl (auth.)

Martin Prechtl
Mathematische
Dynamik
Modelle und analytische Methoden
der Kinematik und Kinetik
Springer-Lehrbuch Masterclass
Martin Prechtl
Mathematische Dynamik
Modelle und analytische Methoden
der Kinematik und Kinetik
2., überarbeitete Auflage
MartinPrechtl
Coburg,Deutschland
ISSN1234-5678
Springer-LehrbuchMasterclass
ISBN978-3-662-49430-1 ISBN978-3-662-49431-8(eBook)
DOI10.1007/978-3-662-49431-8
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Vorwort
”Magna pars est profectus velle proficere.”
– L.A. Seneca, 4 v.Chr. - 65 n.Chr. –
Nach Seneca hat der Wunsch nach Fortschritt den gr¨oßten Anteil an dem,
wasmanerreichthat.FolglichistdaspermanenteBestreben,Neulandzube-
tretenunddieseszudurchdringen,Quelleinererfolgreichenunddamitauch
befriedigendenWeiterentwicklung.DiesesBuchsolldiespannendeWeltder
Dynamik er¨offnen, kombiniert mit einem intensiven Hauch von Mathema-
tik.HatjemanddasZiel,indiese“Disziplin”einzutretenundschließlichbis
zu einem qualifizierenden Wissensstand fortzuschreiten, so sollen hier alle
notwendigen Hilfestellungen gefunden werden.
Grundlage fu¨r den Inhalt sind meine Lehrveranstaltungen u¨ber “Dyna-
mikundH¨ohereDynamik”sowie“MathematischeMethodenundModelle”
an der Hochschule Coburg. Eine Reihe von Inspirationen dafu¨r haben aber
ihren Ursprung in den fru¨heren Vorlesungen “Technische Mechanik 3 – Ki-
nematikundKinetik”sowie“TechnischeMechanik5–Maschinendynamik“
von Professor Kuhn (ehem. Ordinarius des Lehrstuhls fu¨r Technische Me-
chanik der Friedrich-Alexander-Universit¨at Erlangen-Nu¨rnberg). Ich hatte
die Ehre, bei ihm – zusammen mit Professor Geiger – meine Promotions-
eignungspru¨fung abzulegen. An dieser Stelle sei auch ganz besonders der
mittlerweileleiderschonverstorbeneProfessorRast(HochschuleMu¨nchen)
erw¨ahnt; er hat mich stets fu¨r Mathematik begeistert und mir pr¨agende
Impulse fu¨r einen erfolgreichen Abschluss des Studiums gegeben. So man-
che Beispiele aus seinem grandiosen Mathematikunterricht leben jetzt in
meinen Vorlesungen weiter.
DasBuch“MathematischeDynamik”stelltdenAnspruch,abgesehenvon
einigenDetails,diegesamteBandbreitederTheoriederBewegungsvorg¨ange
darzustellen, unter Beru¨cksichtigung aller fu¨r ein vertieftes Verst¨andnis der
Theorie erforderlichen Herleitungen. Jedoch liegt der Fokus in der Darstel-
lungdersystematischenDenkweiseimRahmenderModellbildungbzw.der
L¨osungvonspezifischenFragestellungen.ZudemwerdendieS¨atzederDyna-
mik sowie ausgew¨ahlte mathematische Methoden an relativ einfachen, aber
aussagekr¨aftigen Beispielen angewandt und diese komplett und ausfu¨hr-
lich durchgerechnet. Eine vergleichende Erl¨auterung alternativer L¨osungs-
ans¨atze – sofern m¨oglich und sinnvoll – liefert dem Leser schließlich einen
V
VI
u¨bergeordnetenBlickaufdieThematikundf¨ordertdabeidasErkennenspe-
zifischer Zusammenh¨ange sowie das laterale Denkverm¨ogen. Das Lehrbuch
ist hervorragend als Prim¨ar- oder Erg¨anzungsliteratur fu¨r ein Studium des
Maschinenbaus an Hochschulen fu¨r angewandte Wissenschaften bzw. Tech-
nischen Hochschulen und Universit¨aten geeignet sowie fu¨r Studierende und
LehrendeineinemfachlichverwandtenStudiengang.Hierbeiseibetont,dass
die“MathematischeDynamik”einepassendeundvertiefendeErg¨anzungzu
Band3deretabliertenReihe“TechnischeMechanik”(ebf.Springer-Verlag)
der Professoren D. Gross, W. Hauger, J. Schr¨oder und W.A. Wall ist.
Ich danke an dieser Stelle dem Springer-Verlag, der sich spontan und un-
kompliziertbereit erkl¨arthat, meineGedankenzur Dynamikzu ver¨offentli-
chen.AllenvoranseihierbeiHr.ClemensHeine,PublishingEditorundPro-
grammleiter Mathematik + Statistik, genannt. Danken darf ich natu¨rlich
auchderLeitungderHochschuleCoburgmitPr¨asidentProf.P¨otzl,diemir
fu¨r dieses Projekt zwei “halbe Forschungssemester” gew¨ahrt hat.
Mein gr¨oßter Dank gilt jedoch meiner lieben Ehefrau Bettina, die wie-
der einmal Verst¨andnis dafu¨r aufbrachte, dass ich mich u¨ber einen l¨angeren
Zeitraum ganz intensiv einem fachlichen Thema zuwandte; darunter hatte
der eine oder andere Abend zu leiden. Gewidmet sei das Buch aber “mei-
nen beiden M¨adels”, meinen bezaubernden T¨ochtern Mathilda Marie und
Lisbeth Luisa. Es ist nicht immer einfach mit ihnen, aber sie sind einfach
wunderbar. M¨ogen beidein ihrem Leben auch immer wieder mal das aufre-
gende Bedu¨rfnis verspu¨ren, im positiven Sinne fortschreiten zu wollen.
Martin Prechtl · Coburg im Jahr 2014
Vorwort zur 2. Auflage
“Jenes Verh¨altnis zwischen Lehrer und Schu¨ler, [...], jene so unendlich
fruchtbare, dabei so subtile Beziehung zwischen einem geistigen
Fu¨hrer und einem begabten Kinde, [...], kam [...] zur vollen Blu¨te.”
– aus H. Hesse: “Jedem Anfang wohnt ein Zauber inne” (Lebensstufen) –
MitdemZeitpunktderVer¨offentlichungdererstenAuflagediesesLehrbuchs
begann ich bereits mit dessen U¨berarbeitung. Es wurden mittlerweile eine
ganze Reihe an Tippfehlern und auch ein paar “gr¨obere Schnitzer” erkannt
und korrigiert; leider hatte ich bei der ersten Fassung u¨bersehen, im LATEX-
Editor Kile das “Automatic Spell Checking” zu aktivieren – nobody’s per-
fect.DiezweiteAuflagehabeichschließlichzudemalsGelegenheitgenutzt,
um punktuelle Erg¨anzungen vorzunehmen und den Abschnitt “U¨bungsauf-
gaben” einzufu¨gen. Doch die “vollkommene Perfektion” wird wohl nie er-
reicht werden – und folglich die Phase des Weiterentwickelns auch niemals
abgeschlossen sein. Also: “Magna pars est profectus velle proficere.”
Martin Prechtl · Coburg im Jahr 2015
Ode an die Dynamik
Das im Folgenden niedergeschriebene “Werk” wurde im Jahr 2012 von drei
Maschinenbau-Studenten an der Hochschule fu¨r Angewandte Wissenschaf-
ten Coburg verfasst. Es k¨onnte zur “Aufheiterung” dienen und damit das
Erlernen der Dynamik erleichtern. .......................................
Frei nachdem wohlberu¨hmtestenSchiller-Gedicht “OdeandieFreude”,
insbes. bekannt in der Vertonung von Ludwig v. Beethoven (1770-1827):
Schlusschor Sinfonie Nr. 9 in d-Moll, Opus 125, 4. Satz [1]:
– 1 – – 2 –
Freude sch¨oner Kinematik Wem der schiefe Wurf gelungen,
Tochter aus Elysium Impuls und Energien kennt.
Wir betreten voller Panik, Wer diesen großen Sieg errungen,
Himmlische dein Heiligtum. Mit Freude aus der Pru¨fung rennt.
Deine Kurse qu¨alen wieder, Wer keine gute Formelsammlung,
Spreu vom Weizen wird geteilt, Sein Eigen nennt auf dem Erdenrund!
Die Erlesenen werden klu¨ger, Und wer’s nie gelernt der stehle,
Wo Deine strenge Knute weilt. Weinend sich aus diesem Bund.
– 3 –
Dynamik brauchen alle Wesen,
auf dem Wege zum Diplom.
Alle Guten, alle B¨osen,
Besteigen so den Masch’bauthron.
Graues Haar und tiefe Falten,
Gewichen ward des Lebens Freud.
Dieses Antlitz bleibt erhalten,
Zehn Jahr dahin der Lebenszeit.
– 4 – – 5 –
Kinetik heißt die starke Feder, Aus der Wahrheit Notenspiegel,
In der ewigen Natur. L¨achelt sie den Pru¨fling an,
Kinematik treibt die R¨ader, Die Fu¨nf im Zeugnis sei das Siegel,
In der großen Weltenuhr. Fu¨r des Mu¨ßigg¨angers Bahn.
K¨orper dreht sie um die Achsen, Auf dem Tische Bu¨cherberge,
Der Hebelarm erzwingt Moment. H¨ort man sie um Gnade fleh’n,
Kugeln pendeln sanft an Federn, Der Kampf mit ...
Was der Pru¨fer Schwingung nennt. ...Newtons schwerem Erbe,
L¨asst uns im Chor der Meister steh’n.
VII
VIII
– 6 –
Dozenten kann man’s nicht vergelten,
Sch¨on ist ihnen gleich zu sein.
Wer ohne Plan ist soll sich melden,
Am Zweitversuche sich erfreun.
Groll und Rache sei vergessen,
Auch Herrn Prechtl sei verziehn,
Keine Tr¨ane soll ihn pressen,
Keine Reue nage ihn.
– 7 – – 8 –
Fester Mut in schweren Leiden, Feuer sprudelt in den Adern,
Hilflos wenn der Blackout scheint, Statt des roten Menschenblut,
Ewigkeit geschwornen Eiden, Bru¨der heut sollt ihr nicht hadern,
Wahrheit gegen Freund und Feind. Der Verzweiflung Heldenmut!
Masch’baustolz vor K¨onigsthronen, Freunde fliegt von euren Sitzen,
Bru¨der g¨alt es Gut und Blut, Wenn die Pru¨fung ist vorbei,
Gute Noten soll’n uns kleiden, Lasst das Bier zum Himmel spritzen,
Untergang der Fristennot. Morgen ist uns einerlei.
Coburg · 2012 ............. von K. Bauder, K. Hofmann, M. Mayer
Und nun wu¨nsche ich viel Spaß &
Erfolg beim “Studieren” der
Mathematischen Dynamik, also ...
“Befreien wir uns von allem was wir zu wissen glauben
und schaffen wir Platz fu¨r die Erkenntnis.”
– Professor Dr. Karl-Friedrich Boerne
alias Jan Josef Liefers, Tatort “Fakten, Fakten ...” (Ep. 517, ARD 2002) –
Inhaltsverzeichnis
Begriffe,Symbole XI
1 Kinematik 1
1.1 Kinematik des Punktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Geschwindigkeit und Beschleunigung . . . . . . . . . . 1
1.1.3 Kartesische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.4 Polarkoordinaten der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.5 Natu¨rliche Koordinaten im Raum . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Relativ-Punktkinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2 Translation des Bezugssystems . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.3 Bezugssystemrotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Kinematik starrer K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.2 Translationsbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.3 K¨orperrotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.4 Allgemeine Bewegung starrer K¨orper . . . . . . . . . . 29
1.3.5 Bewegungen in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4 Relativ-K¨orperkinematik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Massenpunktkinetik 45
2.1 Newtonsche Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Die Dynamische Grundgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.2 Freie Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.3 Gefu¨hrte Bewegung und Zwangskr¨afte . . . . . . . . . 53
2.2.4 Widerstandskr¨afte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3 Arbeitssatz und konservative Kr¨afte . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.5 Drehimpuls, Momentensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.6 Impulssatz und Theorie der Stoßprozesse . . . . . . . . . . . . 99
2.6.2 Stoßintegral/Kraftstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.6.3 Zentrale St¨oße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.7 d’Alembertsche Tr¨agheitskraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.8 Massenpunktsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.8.2 Schwerpunktsatz, Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . 121
2.8.3 Momentensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.8.4 Arbeits- und Energiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.9 Zeitlich ver¨anderliche Massen und Schubkraft . . . . . . . . . 132
IX
X Inhaltsverzeichnis
3 KinetikdesstarrenKo¨rpers 137
3.1 Rotation um raumfeste Achsen (1) . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.1.1 Momentensatz, Massentr¨agheitsmoment . . . . . . . . 137
3.1.2 Satz von Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.1.3 Rotationsenergie und Arbeitssatz . . . . . . . . . . . . 149
3.2 Ebene Bewegungen starrer K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.2.1 Schwerpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.2.2 Momentensatz fu¨r einen bewegten Bezugspunkt . . . . 158
3.2.3 Impuls- und Drehimpulssatz . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.2.4 Kinetische Energie, Schwerepotenzial . . . . . . . . . . 177
3.3 K¨orperbewegungen im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.3.1 Momentensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.3.2 Drehimpuls und Tr¨agheitstensor. . . . . . . . . . . . . 191
3.3.3 Kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.3.4 Euler-Gleichungen und Kreiselbewegungen . . . . . . . 213
3.4 Rotation um raumfeste Achsen (2) . . . . . . . . . . . . . . . 229
4 LagrangescheMethoden 251
4.1 Prinzip von d’Alembert (Fassung nach Lagrange) . . . . . . . 251
4.2 Lagrangesche Gleichungen 1. und 2. Art . . . . . . . . . . . . 255
5 Schwingungsfa¨higeSysteme 275
5.1 Theorie des harmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . . . . 276
5.2 Freie 1D-Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
5.2.1 Lineare konservative Systeme, Eigenfrequenz . . . . . . 282
5.2.2 Ersatzfedermodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
5.2.3 Dissipative Systeme: D¨ampfung . . . . . . . . . . . . . 299
5.3 Harmonische Erregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
5.3.1 Dimensionslose Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . 311
5.3.2 Frequenzgang in Amplitude und Phase . . . . . . . . . 322
5.4 Gekoppelte Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
5.4.1 Freie 2D-Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
5.4.2 Harmonische Erregung und Schwingungstilgung . . . . 339
5.4.3 Masselose Biegekopplung. . . . . . . . . . . . . . . . . 344
5.5 Eigenschwingungen eines Kontinuums . . . . . . . . . . . . . 358
6 Erga¨nzendeBeispiele 371
7 U¨bungenmitLo¨sungsskizzen 407
A. Herleitungen 443
B. Massentra¨gheitsmomente 461
Literatur-undStichwortverzeichnis 470