Mathematische Begriffsbildung zwischen Implizitem und Explizitem: Individuelle Begriffsbildungsprozesse zum Muster- und Variablenbegriff

373 Pages·2012·2.672 MB·German

by  Florian Schacht (auth.)

Florian Schacht
Mathematische Begriffsbildung zwischen Implizitem und Explizitem
VIEWEG+TEUBNER RESEARCH
Dortmunder Beiträge zur Entwicklung
und Erforschung des Mathematikunterrichts
Band 4
Herausgegeben von:
Prof. Dr. Hans-Wolfgang Henn
Prof. Dr. Stephan Hußmann
Prof. Dr. Marcus Nührenbörger
Prof. Dr. Susanne Prediger
Prof. Dr. Christoph Selter
Technische Universität Dortmund
Eines der zentralen Anliegen der Entwicklung und Erforschung des Mathe-
matikunterrichts stellt die Verbindung von konstruktiven Entwicklungs-
arbeiten und rekonstruktiven empirischen Analysen der Besonderheiten,
Voraussetzungen und Strukturen von Lehr- und Lernprozessen dar. Dieses
Wechselspiel findet Ausdruck in der sorgsamen Konzeption von mathe-
matischen Aufgabenformaten und Unterrichtsszenarien und der genauen
Analyse dadurch initiierter Lernprozesse.
Die Reihe „Dortmunder Beiträge zur Entwicklung und Erforschung des
Mathematikunterrichts“ trägt dazu bei, ausgewählte Themen und
Charakteristika des Lehrens und Lernens von Mathematik – von der Kita
bis zur Hochschule –unter theoretisch vielfältigen Perspektiven besser zu
verstehen.
Florian Schacht
Mathematische
Begriffsbildung zwischen
Implizitem und Explizitem
Individuelle Begriffsbildungsprozesse
zum Muster- und Variablenbegriff
Mit einem Geleitwort von Prof. Dr. Stephan Hußmann
VIEWEG+TEUBNER RESEARCH
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Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der
Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über
<http://dnb.d-nb.de> abrufbar.
Dissertation Technische Universität Dortmund, 2011
Tag der Disputation: 04.05.2011
Erstgutachter: Prof. Dr. Stephan Hußmann
Zweitgutachterin: Prof. Dr. Susanne Prediger
Drittgutachterin: Prof. Dr. Lisa Hefendehl-Hebeker
1. Auflage 2012
Alle Rechte vorbehalten
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012
Lektorat: Ute Wrasmann | Britta Göhrisch-Radmacher
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solche Namen im S inne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu
betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften.
Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-1967-3
Geleitwort
Gesetzmäßigkeiten und Wirkungsweisen in Begriffsbildungsprozessen zu rekon-
struieren ist eine große Herausforderung, der sich seit vielen Jahren Wissen-
schaftlerinnen und Wissenschaftler aus unterschiedlichen Fachdisziplinen wie
Fachdidaktik, Psychologie, Philosophie oder Sprachwissenschaften stellen. Die
methodischen Zugriffe und die stützenden Rahmentheorien fallen je nach diszip-
linärem Bezug sehr unterschiedlich aus. Um interessante und ertragreiche Ansät-
ze für die Mathematikdidaktik nutzbar zu machen, ist es von großer Bedeutung,
sie hinsichtlich ihrer Verwertbarkeit auszuloten.
Florian Schacht hat sich dieser Aufgabe in einer herausfordernden Variante
gestellt, indem er die derzeit intensiv diskutierten Arbeiten des Philosophen Ro-
bert Brandom, einer der gegenwärtig anerkanntesten amerikanischen Philoso-
phen, zur inferentiellen Semantik für die mathematikdidaktische Analyse von
Begriffsbildungsprozessen aufbereitet, mit geeigneten didaktischen Theorien
verflechtet und empirisch an einer Fallstudie absichert.
Der Kern der Betrachtungen von Herrn Schacht fokussiert auf die Idee, dass
das (mathematische) Denken und Handeln durch eine inferentielle Struktur von
Festlegungen gegliedert werden kann. Demnach stellen Festlegungen die zentra-
len und kleinsten Einheiten des Denkens und Handelns dar. Festlegungen haben
den Charakter von Behauptungen und steuern implizit und explizit das Denken
und Handeln. Sie geben an, was wir aktuell oder auch längerfristig für ‚wahr’
halten. Festlegungen bieten somit in analytischer Hinsicht aussichtsreiche An-
knüpfungspunkte, um individuelles Denken und Handeln mitsamt den Konse-
quenzen in einen Begründungszusammenhang zu stellen und zu analysieren.
Inhaltliche Äußerungen lassen sich unter diesem Blickwinkel zweifach deu-
ten: als Ergebnis der individuellen Festlegungsentwicklung und als Antwort auf
den normativen Status des anderen. Jede inhaltliche Äußerung ist demzufolge
sowohl der eigenen Biographie als auch der Akzeptanz des Diskurspartners ver-
pflichtet. Herr Schacht nutzt diese Doppelperspektive, um das komplexe Zusam-
menspiel individueller Begriffsentwicklung und sozialer Praxis zu analysieren.
Hierzu reformuliert er den Brandomschen Ansatz für die Mathematikdidaktik und
reichert ihn durch die Theorie der ‚conceptual fields’ von Vergnaud an. Diese
Zusammenschau erlaubt ihm zweierlei: Einerseits einen differenzierten Blick auf
die Festlegungsarten zu richten, andererseits Prozesse der Begriffsentwicklung an
solche Situationen zu binden, in denen die Begriffe seitens ihrer Akteure han-
delnd und denkend genutzt werden.
VI Geleitwort
Die Fokussierung auf Inferenzen lenkt die Aufmerksamkeit auf die indivi-
duellen Denk- und Verstehensprozesse von Schülerinnen und Schülern, die sich
innerhalb ihres je spezifischen Begründungszusammenhangs als in sich logisch
und kohärent strukturiert zeigen. Als Beschreibungs- und Analyseinstrument
vermag dieses theoretische Konstrukt die besonderen Gelenkstellen von Be-
griffsbildungsprozessen zu beleuchten, im Sinne der Offenlegung eines Zusam-
menhangs von Vorbedingungen, Vorerfahrungen und den Konklusionen der ge-
troffenen Festlegungen.
Die Güte einer Theorie zur Rekonstruktion muss sich an ihrer Erklärungs-
kraft für empirische Daten bewähren. Diesen Beweis ist Florian Schacht nicht
schuldig geblieben. Er hat das Instrumentarium auf den Lernkontext ‚Bildmuster
und Zahlenfolgen’ in einer 5. Klasse angewendet und die Lernprozesse hinsicht-
lich der Entwicklung des Variablenbegriffes analysiert. An dem Lernkontext wird
der Theorierahmen beispielgebunden entwickelt und das Auswertungsschema
erprobt.
Herrn Schacht ist es mit der vorliegenden Arbeit gelungen, sowohl theore-
tisch als auch empirisch relevante mathematikdidaktische Fragestellungen mit
fundiertem und versiertem theoretisch und methodisch überzeugenden Vorgehen
zu bearbeiten. Dabei begeistert die Arbeit durch die Komplexität des theoreti-
schen Fundaments, durch die Stringenz der systematischen und komplexen Ana-
lysen, durch die Sauberkeit und Angemessenheit der Methoden, die Lesbarkeit
und insbesondere durch das innovative Potential für die Mathematikdidaktik.

Stephan Hußmann
Danksagung
Entstanden ist diese Arbeit in meinem privaten und beruflichen Umfeld, von dem
ich zu schätzen weiß, dass es mich inspiriert, mich stützt, mich ermutigt und mir
Kraft gibt für ein solches Projekt.
Ganz besonders danken möchte ich Prof. Dr. Stephan Hußmann für das
überaus produktive Arbeitsumfeld und die Unterstützung meines Projektes. Von
den intensiven Gesprächen, von seinem Weitblick und seiner kreativen Art, Ma-
thematikdidaktik zu treiben, habe ich viel gelernt. Prof. Dr. Susanne Prediger
danke ich für die konstruktive Begleitung und die wichtigen Impulse, die meine
Arbeit durch sie erfahren hat, sowie für die Übernahme des Zweitgutachtens.
Prof. Dr. Lisa Hefendehl-Hebeker danke ich sehr für das Interesse, das sie meiner
Beschäftigung mit diesem Thema entgegengebracht hat, sowie für die Übernah-
me des Drittgutachtens.
Die konstruktive und begrifflich anregende Arbeitsatmosphäre in der AG
Hußmann / Prediger habe ich sehr genossen. Danken möchte ich insbesondere
meinen Kolleg(inn)en Heinz Laakmann, Dr. Michael Meyer, Maike Schindler
und Susanne Schnell für die vielen intensiven Gespräche, die Fragen beantworten
und aufwerfen konnten, die meine Arbeit betrafen.
Ein ganz besonderer Dank gilt Kathrin Akinwunmi für die Hilfe bei der
Auswertung der Daten der empirischen Erhebung sowie für die Bereitschaft, sich
so intensiv in mein Thema mit einzudenken, dass ein tolles Arbeitsteam entstan-
den ist. Von den vielen Gesprächen mit Theresa Deutscher und der Möglichkeit,
mit ihr den Entstehungsprozess unserer beiden Arbeiten zu reflektieren, habe ich
sehr profitiert. Das überaus fruchtbare Arbeitsumfeld im Dortmunder Doktoran-
den Seminar am Institut für Entwicklung und Erforschung des Mathematikunter-
richts, die tollen Kolleginnen und Kollegen am IEEM sowie die IEEM-DOPACG
haben mir drei intensive und schöne Jahre in Dortmund geschenkt.
Prof. Dr. Uta Quasthoff und ihrem Team möchte ich für die Möglichkeit des
interdisziplinären Austauschs danken und für das Interesse an meiner Arbeit.
Mein Dank gilt außerdem allen an dieser Arbeit beteiligten Schülerinnen
und Schülern sowie den Lehrerinnen und Lehrern, insbesondere Conny
Witzmann und Bernd Ohmann. Sie haben maßgeblich dazu beigetragen, dass
dieses Projekt gelingen konnte. Dr. Christian Rüede danke ich für den kollegialen
fachlichen Austausch.
Meinen engen Freundinnen und Freunden, besonders Tom Bauernfeind, Sa-
scha Fuchs und Sarah Reinhold, möchte ich danken für die Kraft und die Rück-
sicht und die Verlässlichkeit, die ich in dieser Zeit erfahren habe. Es ist schön,
VIII Danksagung
solche Freunde zu haben. Ein solches Projekt wäre in dieser Form nicht entstan-
den ohne die Abwechslung, die Gespräche und die gemeinsamen Interessen mit
ihnen.
Schließlich danke ich meiner Familie – Marita Determann-Schacht, Klemens
Löchte und Elisa Schacht – für die gesamte Unterstützung, die ich erfahren habe,
nicht zuletzt einfach dadurch, dass sie für mich da sind. Mein größter Dank gilt
meiner Freundin Teresa Boldt, die mir unschätzbar viel Kraft gibt, die mich ab-
lenkt, mich fokussieren und fragen lässt und die dadurch mir Freude bereitet, dass
sie ist wie sie ist.

Florian Schacht
Inhaltsverzeichnis
Verzeichnis der Tabellen ………...….....………………………..…….………. XI
Verzeichnis der Abbildungen …………........…………………...…………... XIII
Verzeichnis der Diagramme ………...….....………………………………...... XV
Einleitung .............................................................................................................. 1(cid:3)
Teil 1(cid:29)(cid:3) (cid:55)(cid:75)(cid:72)(cid:82)(cid:85)(cid:72)(cid:87)(cid:76)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:42)(cid:85)(cid:88)(cid:81)(cid:71)(cid:79)(cid:68)(cid:74)(cid:72)(cid:81)........................................................................ 11(cid:3)
1 Individuelle Begriffsbildung in inferentialistischer Perspektive ..................... 13(cid:3)
1.1 Epistemologische Fundierung: Zwischen Repräsentation und
Inferenz ..................................................................................................... 16(cid:3)
1.2 Empirische Fundierung: Individuelle Begriffsbildung in der
Mathematik ............................................................................................... 36(cid:3)
1.3 Konstruktive Fundierung: Lernkontexte als Forschungsgegenstand ....... 49(cid:3)
1.4 Mathematikdidaktische Fundierung: Vergleichende Analyse des
Theorierahmens im Lichte einer pragmatischen Erklärungshaltung ........ 64(cid:3)
1.5 Fazit und Forschungsfragen ..................................................................... 87(cid:3)
2 Festlegungsbasiertes auswertungspraktisches Analyseschema ....................... 89(cid:3)
2.1 Theoriegeleitete und beispielgebundene Entwicklung des
Auswertungsschemas ............................................................................... 92(cid:3)
2.2 Forschungspraktische Implikationen für die Rekonstruktion
individueller Begriffsbildungsprozesse .................................................. 100(cid:3)
2.3 Forschungspraktische Implikationen für die fachinhaltliche und
stoffdidaktische Analyse (konventionale Ebene) ................................... 110(cid:3)
2.4 Aussagekraft des forschungspraktischen Auswertungsschemas ............ 119(cid:3)
3 Theoretische Einbettung: Zur Analyse von Begriffsbildung in der
Mathematikdidaktik ....................................................................................... 135