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NORDRH EI N-WESTFALE N
Herausgegeben von Staatssekretar Prof. Dr. h. c. Leo Brandt
Nr.357
Prof. Dr.-Ing. Wilhelm Fucks
Mathematische Analyse der Formalstruktur von Musik
Als Manuskript gedruckt
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
1958
ISBN 978-3-663-03717-0 ISBN 978-3-663-04906-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-04906-7
Forschungsberichte des Wirtschafts- und Verkehrsministeriums Nordrhein-Westfalen
G 1 i e der u n g
. . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Die Aufgabe . . • • . • . s. 5
2. Musikalische Stilmerkmale erster Ordnung bei Instrumental-
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
und Vokalmusik S. 7
3. Untersuchung von Häufigkeitsverteilungen von Tondauern S. 8
4. Häufigkeitsverteilungen von Tonhöhen s. 15
5. Häufigkeitsverteilung von Intervallen konsonanter Töne s. 19
6. Häufigkeitsverteilungen von Intervallen aus konsekutiven
Tönen . . . . . . . . . S. 24
7. Musikalische Stilcharakteristiken höherer Ordnung.
Intervallpaare konsekutiver Töne S. 32
. .
8. Stochastisch erzeugte "Musik" • • S. 40
9. Häufigkeitsverteilung von Intervallen aus je zwei konse
kutiven Tönen und die theoretische Verteilung bei stocha-
. . . . . . . . . . . .
stischer Musik S. 43
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Forschungsberichte des Wirtschafts- und Verkehrsministeriums Nordrhein-Westfalen
1. Die Aufgabe
In einer Reihe von Arbeiten ist vom Verfasser gezeigt worden, daß es mög
lich ist, die Formalstruktur von Werken aus dem Bereich der Sprache mathe
matisch zu analysieren und für einzelne Zusammenhänge übergreifende Ge
setze zu finden. Es liegt nahe, zu fragen, ob ähnliche Untersuchungen nicht
auch in den anderen Bereichen der kulturellen Betätigung Erfolg verspre
chen. In dem vorliegenden Bericht sollen Ergebnisse der mathematischen
Analyse der Formalstrukturen von Musik mitgeteilt werden.
Auch bei der Musik wird man damit anfangen, ein Werk in Elemente zu zer
legen, wobei die Elemente mehr oder minder komplex gewählt werden können.
Eine außerordentlich weitgehende Zerlegung würde uns schließlich auf die
gesamte des akustischen Klanggebildes und dessen zeitli
Fre~uenzverteilung
chen Ablauf führen. Wir wollen hier nicht entfernt so weit gehen, sondern
jedenfalls in dem vorliegenden Bericht den einzelnen Ton, wie er durch eine
Note in der Partitur repräsentiert wird, als einfachstes Element betrach
ten.
Die einzelne Note in einer Partitur gibt zwei elementare Merkmale an: Dauer
und Tonhöhe. Natürlich hat sie noch weitere Merkmale. Sie steht unter
einem bestimmten Musikschlüssel. Sie hat einen bestimmten Platz im Takt
oder in anderen musikalischen Gebilden, wie z.B. Thema oder Satz. Auf die
letzteren Merkmale soll aber in dieser Arbeit nicht eingegangen werden.
Tonhöhen und Tondauern als Merkmale genommen, erlauben uns, für die Gesamt
heit der Töne eines musikalischen Werkes statistische Verteilungskurven zu
ermitteln und diese Kurven für verschiedene Werke miteinander zu verglei
chen. Auf diese Weise dürfen wir hoffen, bereits für die elementarsten Ge
bilde in einer Partitur Gesetzmäßigkeiten aufzudecken, die bis heute unbe
kannt geblieben sind.
Fassen wir die einzelnen Töne paarweise zusammen, so geht dies auf zweier
lei Weise. Wir können konsekutive Töne zusammenfassen oder gleichzeitig er
klingen(.e, also konsonante, in einem Akkord auftretende Tonpaare. Jedes
Tonpaar ist gekennzeichnet durch je zwei Merkmale, welche die Dauer der
beiden beteiligten Töne kennzeichnen und durch je zwei Merkmale, welche die
Höhe der jeweils beteiligten Töne kennzeichnen. Wir erhalten so zwei Ma
trizen, die Tondauer-Matrix und die Tonhöhen-Matrix.
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Wir können aber auch das Frequenzintervall je zwei konsekutiver oder kon
sonanter Töne ins Auge fassen und die Häufigkeitsverteilung dieser Intervalle
studieren. Auch über Untersuchungen dieser Art soll in dem vorliegenden
Bericht Mitteilung gemacht werden.
Nachdem wir den musikalischen "Text" zunächst in seine elementarsten Be
standteile zerlegt haben, ihn sozusagen bis auf die "Atome" verdampft ha
ben, werden wir die Struktur der Partitur dann Schritt für Schritt rück
wärts wieder aufbauen wollen. Wir kommen so zu immer komplizierteren Struk
turcharakteristiken, die Schritt für Schritt von der Nahordnung zur Fern
ordnung in der musikalischen Struktur führen und für deren mathematische
Erfassung zunehmend anspruchsvollere mathematische Hilfsmittel benötigt
werden.
In diesem Bericht wollen wir bis zu Intervallmatrizen gehen, die sich auf
Paare von konsekutiven Intervallen als ihren Elementen beziehen. Diese
Matrizen können dann analysiert werden, wie dies stets bei Matrizen ge
schieht, und sie führen schließlich auf die Korrelationsellipsen der In
tervallpaare.
Es wird sich bei unseren Untersuchungen zeigen, daß wir auf Schritt und
Tritt auf bisher unbekannte Gesetzmäßigkeiten im Bereich des Musikalischen
stoßen. Insbesondere wird sich schließlich zeigen, daß die Stilentwicklung
der abendländischen Musik, auf die wir uns in dieser Arbeit beschränken
wollen, über einige Jahrhunderte hinweg durch einen monotonen Gang gewisser
mathematischer Stilcharakteristiken, beispielsweise der Häufigkeitsvertei
lungen der Intervalle, mathematisch beschrieben werden kann.
Um zu diesen Beschreibungen zu gelangen, erwies es sich als nützlich, eine
stileinheitliche Musik zu untersuchen, die in besonderer Weise elementar
oder, wenn man so will, primitiv ist. Es wurde dafür stochastische "Musik"
gewählt, beispielsweise ein vierstimmiger Satz, bei dem die Töne alle von
gleicher Dauer sind und für die Tonhöhen Gleichwahrscheinlichkeit voraus
gesetzt ist. Im einzelnen wurden die Tonhöhen bestimmt anhand von veröffent
lichten Ergebnissen des Roulettes des Spielkasinos in Bad Neuenahr. Die
mathematische Analyse dieser "Musik" erlaubt es, verschiedene Faktoren,
welche die mathematischen Stilcharakteristiken der natürlichen Musik ge
meinschaftlich bestimmen, voneinander zu trennen und so Kennzeichen heraus
zufinden, mit deren Hilfe erst deutbare Gesetzmäßigkeiten gefunden werden
konnten.
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2. Musikalische Stilmerkmale erster Ordnung
bei Instrumental- und Vokalmusik
Analog wie bei der mathematischen Untersuchung der Formalstruktur der Spra
che werden wir, wie bereits im ersten Abschnitt angedeutet, bei den ent
sprechenden Untersuchungen der Musik zunächst einmal von den verschiedenen
Häufigkeitsverteilungen der Merkmale erster Ordnung ausgehen.
Wir denken uns als konkretes Beispiel eine Partitur gegeben und fassen, um
die Vorstellung zu fixieren, die einzelnen Noten der Partitur als Elemente
ins Auge. Die Noten haben verschiedene Merkmale, die wir uns durch Zahlen
abzählbar denken. Die Zahlen, die die Merkmale bedeuten, bezeichnen wir
mit i. i bedeutet also etwa eine quantitative Angabe der Tondauer oder auch
der Tonhöhe oder aber etwa auch die zahlenmäßige Angabe der Größe des In
tervalls zwischen zwei gleichzeitig erklingenden Tönen.
Es möge nun in der Partitur z. Elemente mit dem Merkmal i geben und die
l.
Gesamtzahl aller Elemente sei Z. Es gilt dann natürlich:
Lz.
=Z (1)
. l.
l.
Die relativen Häufigkeiten p. der Elemente mit dem Merkmal i, bezogen auf
l.
die Gesamtzahl Z der Elemente, ergibt sich dann zu:
Aus dieser relativen Häufigkeitsverteilung p. können wir nun weitere Stil-
l.
charakteristiken erster Ordnung berechnen. Wir wollen uns hier interessie-
ren für die folgenden: Mittelwert, zweites, drittes und viertes Moment,
Streuung, Schiefe, Kurtosis, Exzeß und Entropie.
p.; V
l.
6="V.AJ. Streuung (5)
2
At3
Schiefe (6)
~3
6 3
44
Kurtosis
C4
~
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Exzeß (8)
z
s p .• log p.; Entropie
. l l
l
In den folgenden Kapiteln wird noch im einzelnen auf die Bedeutung der
verschiedenen Merkmale eingegangen werden.
3. Untersuchung von Häufigkeitsverteilungen von Tondauern
In diesem Abschnitt wollen wir relative Häufigkeiten PT studieren, in de
nen angegeben ist, wie oft eine Note der Länge ~ im gesamten Musikwerk an
teilig erscheint. In der Tabelle 1 sind die hier studierten Werke aus der
Instrumentalmusik angegeben. Die Tabelle 2 gibt die Werke aus dem Bereich
der Vokalmusik an, die hier untersucht worden sind. Es handelt sich dabei
stets um vergleichbare Werke und vergleichbare Stimmen, nämlich um die er
ste Violine von Symphonien und Tondichtungen und um den Sopran des Chores
für Messen.
Die Tabellen mögen illustriert sein durch die Abbildungen 1 bis 4, deren
Inhalt aus den Unterschriften ohne weiteres hervorgeht. Bei diesen Abbil
dungen fällt sogleich der drastische Unterschied auf, etwa zwischen Abbil
dung 2, welche Musik von BEETHOVEN repräsentiert, und Abbildung 3, einer
Häufigkeitsverteilung der Notendauern in Richard STRAUSSens "Tod und Ver
klärung". Die Abbildungen 5 und 6 zeigen Häufigkeitsverteilungen älterer
und moderner Musik von Notendauern der Sopranstimme des Chores. Auch die-
se Abbildungen lehren uns bemerkenswerte Unterschiede zwischen den verschie
denen musikalischen Stilarten kennen.
Das erste, was an gesetzlichem Verhalten bei den Häufigkeitsdauern der ver
schiedenen Tondauern auffällt, ist, daß die Häufigkeiten der Tondauern 1/64,
1/32, 1/16 usw. außerordentlich viel größer sind als die Häufigkeiten der
Tondauern 3/64, 3/32, 3/16 usf.
Um das Verhältnis der Häufigkeiten der Töne mit der Dauer und etwa ~
2n 2n
untereinander oder etwa auch das Verhältnis der Häufigkeit der Töne mit der
Dauer __1 zu allen übrigen Tondauern vergleichen zu können, mögen zwei Kenn-
2n
ziffern hier eingeführt werden.
Sei te 8
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Tab eil e 1
1 • BACH, Brandenburgisches Concert Nr. 3, G-Dur (1721),
Edition Eulenburg, London, Nr. 254
2. HÄNDEL, Concerto grosso Nr. 5, D-Dur (1739),
Edition Eulenburg, London, Nr. 268
3. MO ZART , Symphonie Nr. 40, g-moll, K.V. 550 (1788),
Edition Eulenburg, London, Nr. 404
4. BEETHOVEN, Symphonie Nr. 1 , C-Dur (1800),
Edition E~lenburg, London, Nr. 418
5. BEETHOVEN, Symphonie Nr. 2, D-Dur (1803),
Edition Eulenburg, London, Nr. 419
6. BEETHOVEN, Symphonie lir. 5, c-moll (1808),
Edition Eulenburg, London, Nr. 402
7. BEETHOVEN, Symphonie Nr. 6, F-Dur (1808),
Edition Eulenburg, London, Nr. 407
8. BEETHOVEli, Symphonie Nr. 8, F-Dur (1812),
Edition Eulenburg, London, Nr. 416
9. TSCHAIKOWSKY, Symphonie Nr. 5, e-moll (1888),
Edition Eulenburg, London, Nr. 429
10. STRAUSS, R., ItTod und Verklärung", (1889),
Edition Eulenburg, London, Nr. 442
11. STRAUSS, R. , "Till Eulenspiegels lustige Streiche" ( 1890 ) ,
Edition Eulenburg, London, Nr. 443
12. TSCHAIKOWSKY, Symphonie Nr. 6, h-moll (1893),
Edition Eulenburg, London, Nr. 479
13. STRAUSS, R., "Also sprach Zarathustra" (1896),
Edition Eulenburg, London, Nr. 444
14. HINDEMITH, Symphonie "Mathis der Maler", (1934),
Edition Schott, Mainz, Nr. 3509
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Tab e 1 1 e 2
1a) Gregorianischer Gesang, Missa de angelis (,--600),
A. Schott, Meßbuch der Heiligen Kirche, Herderverlag
Freiburg
2a) Gregorianischer Gesang, Requiem (. .... 600) ,
A. Schott, Meßbuch der Heiligen Kirche, Herderverlag
Freiburg
1 ) PALESTRINA, Missa Papae Marcelli (1555),
Edition Eulenburg, Zürich, Nr. 963
2) MO ZART , Requiem (1791),
Wiener Philharmonischer Verlag, Nr. 59
3) BEETHOVEN, Missa Solemnis (1824) ,
Edition Eulenburg, London, Nr. 951
4) BRUCKNER, Messe in E-Moll (Fassung 1882) ,
Brucknerverlag Wiesbaden GmbH., Partitur-Sonderausgabe
5) PRIETO, Missa Jubilar (1954),
Handschrift des Komponisten
6) Sopran des Chores.
MEULEMANS, Missa in honorem Sancti Servatii (1955),
Handschrift des Komponisten
7) Alt des Chores.
MEULEMANS, Missa in honorem Sancti Servatii (1955),
Handschrift des Komponisten
8) Tenor des Chores.
MEULEMANS, Missa in honorem Sancti Servatii (1955),
Handschrift des Komponisten
Sei te 10
Forschungsberichte des Wirtschafts- und Verkehrsministeriums Nordrhein-liestfalen
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° ° 1 8 1/4 3/8 11 2 3/4 1 ° ° 1/8 1/4 3/8 1/2 3/4 I
7---I·~
A b b i 1 dun g A b b i 1 dun g 2
Rel. Häufigkeit der Notendauer ~ Rel. Häufigkeit der Notendauer ~
MOZART: Symphonie Nr. 40 KV. 550 BEETHOVEN: Symphonie Nr. 2 Op. 36
1. Violine Anzahl der Noten: 6393 1. Violine Anzahl der Noten: 7302
Lo
36,210 30,805 = 15,083
= =
L.1
~ P 1/2n
(10)
~
P3/2n
(11 )
wobei n alle ganzen Zahlen bedeutet. Durch den Nenner der Gleichung (11)
werden alle Noten außer denen der Dauer 1/2n erfaßt.
Diese Kennziffern sind in unsere Abbildungen 1 bis 6 sogleich mit einge
tragen worden. Wir finden, daß sie allemal größer als 1 sind, für einige
Werke sehr groß und daß sie recht charakteristische musikalische Stil
kennzeichnungen darstellen.
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