Table Of ContentHERMANN ÄMANDUS SCHWARZ
ZU SEINEM
FÜNFZIGJÄHRIGEN DOKTORJUBILÄUM
MATHEMATISCHE ABHANDLUNGEN
HERMANN ÄMANDUS SCHWARZ
ZU SEINEM
FÜNFZIGJÄHRIGEN DOKTORJUBILÄUM
AM 6. AUGUST 1914
GEWIDMET VON
FREUNDEN UND SCHÜLERN
MIT DEM BILDNIS VON H. A. SCHWARZ
UND 53 FIGUREN IM TEXT
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH
1914
Herausgeber:
C. CARATHEODORY
G. HESSENBERG
E. LANDAU
L. LICHTENSTEIN.
ISBN 978-3-642-50426-6 ISBN 978-3-642-50735-9 ( eßook)
DOI 10.1007/978-3-642-50735-9
Lieber Freund und Lehrer!
Wir verehren in Ihnen den Senior der altberühmten
Berliner Mathematikerschule, der die meisten von uns
ihre Ausbildung verdanken. Wir hoffen, Ihnen eine
Freude zu machen, indem wir Ihnen aus Anlass Ihres
fünfzigjährigen Doktmjubiläurns eine Sammlung von Ab
handlungen überreichen, von denen viele an Ihre Arbeiten
anknüpfen, alle aber bestrebt sind, Ihrern Vorbilde fol
gend, die Methoden exakter mathematischer Forschung
auf verschiedenartige Probleme der Analysis, Arithmetik
und Geometrie anzuwenden.
Alle Rechte, insbesondere
das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
Widmung V
ßolza, Oskar, Über Variationsprobleme mit Ungleichungen als Nebenbedingungen 1
Caratheodory, C., Elementarer Beweis für den Fundamentalsatz der konformen
Abbildungen. (Mit 13 Figuren) . . . . . . . . . . . . . 19
C1tuer siehe Schluß.
Fejer, Leopold, Über die Konvergenz der Potenzreihe an der Konvergenzgrenze
in Fällen der konformen Abbildung auf die schlichte Ebene . . . . . . 42
Hartogs, F., Über den Beweis eines Satzes aus der Theorie der analytischen
Funktionen mehrerer Veränderlichen . . . . . . 54
Hensel, K., Die Exponentialdarstellung. der Zahlen eines algebraischen Zahl-
körpers für den Bereich eines Primdivisors . . 61
llessenberg, Gerhard, Elementare Beweise für eine Maximumseigenschaft des
Sehnenvierecks. (Mit 10 Figuren) . . . . 76
llettner, G., Über die Schwarzsehe l\Iinimalfläcbe. (Mit 7 Figuren) 84
Hilb, Emil, Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen dritter Ordnung
mit drei singulären Stellen. (Mit 1 Figur) . . . . . . . . . . . 98
Illlbert siehe Schluß.
Il6lder, Otto, Abschätzungen in der Theorie der Differentialgleichungen . . . 116
Jlurwitz, A., Über die Weierstraßsche _5-Funktion 133
Jacobsthal, Ernst, Beiträge zur Kroneckersehen Theorie der algebraischen
Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . 142
Jahnke, E., Ein Orthogonalsystem für die Thetafunktionen von drei Argumenten 157
Jung, Heinrieb W. E., Über die kanonische Klasse einer auf einer algebraischen
Fläche liegenden algebraischen Kurve . . 166
Kneser, Adolf, Zur Theorie der Determinanten . 177
Koebe, Paul, Üher diejenigen analytischen Funktionen eines Arguments, welche
ein algebraisches Additionstheorem besitzen, und die endlich-vieldeutig um-
kehrbaren Abcischen Integrale . . . . . . . . . . . . . 192
Korn, A., Zwei Anwendungen der Metbode der sukzessiven Annäherungen . . 215
Lampe, Emil, Über einige elementargeometrische Beziehungen, die aus den Eigen-
schaften der Einheitswurzeln fließen . . . . 230
VIII Inhaltsverzeichnis.
Seite
Landau, Edmund, Über die Primzahlen in definiten quadratischen Formen und
die Zetafunktion reiner kubischer Körper 244
Lichtenstein, Leon, Über eine Integro-Differentialgleichung und die Entwicklung
willkürlicher Funktionen nach deren Eigenfunktionen 274
1\lertens, Franz, Über die Bildung zyklischer Gleichungen vom Grade A-2, wo J,
eine ungerade Primzahl bezeichnet . 286
Mohrmann, Johannes, De superficiebus in planum explicabilibus primorum septem
ordinum 291
1\liintz, Ch. H., Über den Approximationssatz von Weierstraß . 303
Neovius, E. R., Analytische Bestimmung einiger ins Unendliche reichender .Mini
malfiächenstücke, deren Begrenzung gebildet wird von drei geraden Linien,
von welchen zwei sich schneiden, während die dritte der Ebene der beiden
ersten parallel ist.· (Mit 17 Figuren) 313
Rothe, Hudolf, Zur geometrischen Optik in eiuem inhomogenen Medium mit
stetig veränderlichem Brechungsindex. (Mit 2 Figuren) 340
Salkowski, E., Über eine besondere Art von Linienkongruenzen 357
Schmidt, Erhard, Bemerkung zur Potentialtheorie . 365
Schottky, F., Zu den Beweisep des Lindemannsehen Satzes 384
Scln·utk:,, Lothar v., Beweis des Satzes, daß die Entfernungen eines Punktes
von drei gegebenen Punkten die kleinst'e Summe aufweisen, wenn sie mit-
einander gleiche Winkel bilden. (Mit 1 Figur) 390
Schur, I., Über die Entwicklung einer gegebenen Funktion nach den Eigenfunk-
tionen eines positiv definiten Kerns . 3!l2
Simou, Max, Sophie Germain 410
Steinitz, Ernst, Die allgemeine Theorie der Körper und der Fundamentalsatz
der Algebra 420
Toeplitz, 0., Bemerkung über einen Satz von Mercer. (Mit 2 Figuren) 427
Cauer, Detlef, Über die Pfeiffersche Methode 432
llilbert, David, Über die Invarianten eines Systems von beliebig vielen Grund-
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fu~w .
Über Variationsprobleme mit Ungleichungen
als Ne benbedingungen.
Von
Oskar Bolza in Freiburg i. B.
Variationsprobleme mit endlichen Ungleichungen als Neben
bedingungen (geometrisch gesprochen, mit Gebietseinschränkungen),
sind zuerst von Weierstraß 1) behandelt worden. Wenn bei der
Aufgabe
J = fF(x, y, x', y') dt = Minimum
die zulässigen Kurven auf einen Bereich 9l der x, y-Ebene beschränkt
werden, und wenn die Kurve ~0, welche das Integral J zu einem
Minimum macht, ein Segment P P mit der Begrenzung l.t des Be
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m w
reiches gemein hat, so muß, wie eierstraß zeigt, entlang diesem
Bogen die Ungleichung: i' < 0, res p. > 0, erfüllt sein, jenachdem der
Bereich 9l zur Linken oder zur Rechten des von P nach P durch
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laufenen Bogens Iot liegt.
Dabei ist i' llie linke Seite der Weierstraß' sehen Form der Euler'
sehen Differentialgleichung berechnet für die Kurve Iot.
Die analoge Aufgabe fii.r das räumliche Variationsproblem be
handelt Hadamard 2).
Ein Beispiel eines Variationsproblems mit einer Differential
ungleichung als Nebenbedingung (geometrisch gesprochen, mit einer
Gefällbeschränkung) hat zuerst Zer m e 1 o 3) gegeben. Eine weitere
1) Vg l. K n es er, Lehrbuch der Variationsrechnung, § 44, und BoI z a, Lee
tures on the Calculus of Variations, § 29 a und Vorlesungen über Variationsrechnung
§ 52a.
2) Ha da m a r d, Le~ons · sur Je calcul des variations, no. 162-164.
3) Jahresberichte der Deutschen Mathematikervereinigung, Bd. 11 (1902), S. 1 t6
Festschrift Schwarz. 1
