Mathematisch-strukturelle Grundlagen der Informatik

533 Pages·1999·28.34 MB·German

by  H. Ehrig

Springer-Lehrbuch
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H. Ehrig· B. Mahr . F. Cornelius
M. GroBe-Rhode· P. Zeitz
Mathematisch-strukturelle
Grundlagen
der Informatik
Mit 103 Abbildungen und 71 Tabellen
Springer
SBN-13: 978-3-540-63865-0 e-ISBN-13: 978-3-642-97986-6
001: 10.1007/978-3-642-97986-6
Vorwort
Anfang der neunziger Jahre wurde am Fachbereich Informatik der TU Ber
lin eine neue Studienordnung eingefuhrt, die als Verbindung der Siiulen In
formatik und Mathematik einen Zyklus "Theoretische Grundlagen der In
formatik" vorsieht. In diesem Zyklus werden neben den klassischen Grund
lagen der Theoretischen Informatik, wie Automatentheorie, Formale Spra
chen, Berechenbarkeits- und Komplexitiitstheorie, insbesondere mathema
tisch-strukturelle Grundlagen der Informatik vermittelt, die im weiteren In
formatikstudium von zentraler Bedeutung sind. Sie werden von uns in jedem
Studienjahr in zwei vierstiindigen Lehrveranstaltungen mit jeweils 250~300
Teilnehmern angeboten.
Aus den Skripten zu diesen Lehrveranstaltungen entstanden nach mehr
facher Uberarbeitung die Teile I~IV dieses Buches, in denen mathematische
Grundbegriffe, algebraische Strukturen und Spezifikationen sowie Aussagen
und Priidikatenlogik behandelt werden. Die kategoriellen Grundlagen der In
formatik in Teil V dieses Buches sind aus einem Skriptum fiir die Lehrveran
staltung "Kategorientheorie fur Informatiker" hervorgegangen, die im Rah
men des Nebenfachs Mathematik regelmiiJ3ig von uns angeboten wird.
Der Zyklus der Veranstaltungen zur theoretischen Informatik wurde wei
testgehend mit den Kernveranstaltungen des Grundstudiums abgestimmt.
Thematisch angrenzend ist das Gebiet der funktionalen Programmierung.
Zu diesen Vorlesungen ist ebenfalls im Springer-Verlag gerade ein Lehrbuch
unseres Kollegen Peter Pepper erschienen [Pep98].
Wir sind dem Springer-Verlag sehr dankbar, daB wir die mathematisch
strukturellen Grundlagen der Informatik in dieser Zusammenstellung, die
es bisher in der einfiihrenden wissenschaftlichen Literatur noch nicht gibt,
als Lehrbuch veroffentlichen konnen. Hier vor allem herzlichen Dank an Dr.
Hans Wossner, den zustiindigen Programmplaner und Lektor, und Frank
Holzwarth, den Jt>'IEXnischen Begleiter, fiir fachkundige Unterstiitzung und
unermiidliche Hilfe.
Danken mochten wir auch Roswitha Bardohl, Marion Elsner, Sebastian
John, Heike Pisch, Gunnar Schrodter, Dietmar Wolz und Uwe Wolter, die
uns sowohl bei der Durchfiihrung der Lehrveranstaltungen als auch bei der
Endredaktion dieses Buches eine groBe Hilfe waren.
Berlin, im Oktober 1998 Hartmut Ehrig
Bernd Mahr
Felix Cornelius
Martin GrofJe-Rhode
Philip Zeitz
Inhaltsverzeichnis
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Teil I. Mathematische Grundbegriffe
1. Mengen................................................... 7
1.1 Konzept............................................... 7
1.2 Menge und Element .................................... 9
1.3 Teilmenge und Potenzmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12
1.4 Vereinigung, Durchschnitt, Komplement . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16
1.5 Kartesisches Produkt und disjunkte Vereinigung. . . . . . . . . . .. 20
1.6 W6rter und Wortmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23
2. Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29
2.1 Konzept............................................... 29
2.2 Zweistellige Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
2.3 Eigenschaften von Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32
2.4 Komposition von Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34
2.5 Umkehrrelation ................... ".................... 37
2.6 Mehrstellige Relationen ................................. 39
3. Abbildungen.............................................. 43
3.1 Konzept............................................... 43
3.2 Partielle Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45
3.3 Eigenschaften partieller Abbildungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49
3.4 Totale Abbildungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50
3.5 Komposition und Eigenschaften von Abbildungen. . . . . . . . . .. 54
3.6 Abbildungssatz......................................... 59
3.7 Kategorie der Mengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62
3.8 Kardinalitat........................................... 68
4. Ordnungen............................................... 77
4.1 Konzept............................................... 77
4.2 Partielle und totale Ordnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80
4.3 Lexikographische und Standardordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86
VIII Inhaltsverzeichnis
5. Aquivalenzrelationen..................................... 93
5.1 Konzept............................................... 93
5.2 Aquivalenzrelationen.................................... 94
5.3 AquivalenzabschluB..................................... 96
5.4 Aquivalenzklassen und Quotienten ........................ 101
5.5 Faktorisiermlgssatz ..................................... 104
Teil II. Algebraische Strukturen
6. Datenstrukturen .......................................... 113
6.1 Konzept ............................................... 113
6.2 Zahlen ................................................ 114
6.3 Worter ................................................ 116
6.4 Stacks und Queues ..................................... 116
6.5 Weitere Datenstrukturen ................................ 119
7. Signaturen und Algebren ................................. 121
7.1 Konzept ............................................... 121
7.2 Signaturen ............................................. 123
7.3 Algebren .............................................. 125
8. Homomorphismen ........................................ 133
8.1 Konzept ............................................... 133
8.2 Homomorphismen ...................................... 136
8.3 Erweiterungen ......................................... 141
8.4 Komposition und Isomorphie ............................. 143
8.5 Abbildungssatz fur Homomorphismen ..................... 145
8.6 Kategorie von Algebren ................................. 150
9. Terme und strukturelle Induktion ' ........................ 153
9.1 Konzept ............................................... 153
9.2 Grundterme ........................................... 155
9.3 Terme mit Variablen .................................... 158
9.4 Strukturelle Induktion .................................. 160
10. Termalgebren ............................................. 167
10.1 Konzept ............................................... 167
10.2 Termalgebren .......................................... 170
10.3 Initiale Algebra ........................................ 171
10.4 Termalgebra mit Variablen .............................. 175
10.5 Freie Algebren ......................................... 176
Inhaltsverzeichnis IX
11. Algebraische Spezifikationen .............................. 181
11.1 Konzept ............................................... 181
11.2 Gleichungen und Gliltigkeit .............................. 184
11.3 Initiale Semantik algebraischer Spezifikationen ............. 187
Teil III. Aussagenlogik
12. Aussagenlogische Formeln und Giiltigkeit ...... ........... 201
12.1 Konzept ............................................... 202
12.2 Die Syntax der Aussagenlogik ............................ 206
12.3 Die Semantik der Aussagenlogik .......................... 209
13. Folgerung................................................. 225
13.1 Konzept ............................................... 225
13.2 Der Folgerungsbegriff und seine Eigenschaften .............. 227
14. Logische Aquivalenz ...................................... 237
14.1 Konzept ............................................... 237
14.2 Logisch aquivalente Formeln und Formelmengen ............ 238
14.3 Normalformen ......................................... 244
14.4 Junktorbasen .......................................... 252
15. Aussagenlogische Hilbert-Kalkiile ......................... 259
15.1 Konzept ............................................... 259
15.2 Hilbert-Regeln ......................................... 261
15.3 Hilbert-Kalklile ........................................ 266
15.4 Ein korrekter und vollstandiger Hilbert-Kalklil ............. 272
16. Aussagenlogische Sequenzenkalkiile ....................... 277
16.1 Konzept ................................................ 277
16.2 Sequenzenkalkiile ....................................... 278
16.3 Ein korrekter und vollstandiger Sequenzenkalklil ............ 282
17. Das Resolutionsverfahren ................................. 289
17.1 Konzept ............................................... 289
17.2 Das Resolutionsverfahren ................................ 291
17.3 Horn-Klauseln ......................................... 297
X Inhaltsverzeichnis
Teil IV. Pradikatenlogik
18. Pradikatenlogische Formeln und Giiltigkeit ............... 307
18.1 Konzept ............................................... 307
18.2 Logische Signaturen und Strukturen ...................... 311
18.3 Die Syntax der Pradikatenlogik .......................... 314
18.4 Die Semantik der Pradikatenlogik ........................ 318
19. Folgerung und logische Aquivalenz ........................ 333
19.1 Konzept ............................................... 333
19.2 Modellklassen .......................................... 334
19.3 Folgerung und logische Aquivalenz ........................ 337
19.4 Theorien .............................................. 347
20. Substitution und Umbenennung .......................... 353
20.1 Konzept ............................................... 353
20.2 Definitionen und Satze .................................. 355
21. Pradikatenlogische Hilbert-Kalkiile ....................... 365
21.1 Konzept ............................................... 365
21.2 Definitionen und Satze .................................. 366
21.3 Ein korrekter und vollstandiger Hilbert-Kalkiil ............. 371
Teil V. Kategorielle Grundlagen
22. Kategorien in Mathematik und Informatik ................ 383
22.1 Konzept ............................................... 383
22.2 Definition und Beispiele ................................. 384
22.3 Konstruktionen von Kategorien .. ,....................... 395
23. Isomorphie, Mono- und Epimorphismen .................. 401
23.1 Konzept ............................................... 401
23.2 Isomorphie ............................................ 402
23.3 Mono- und Epimorphismen .............................. 404
24. Funktoren und natiirliche Transformationen .............. 409
24.1 Konzept.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
24.2 Funktoren ............................................. 410
24.3 Natiirliche Transformationen und Funktorkategorien ........ 416
Inhaltsverzeichnis XI
25. Produkte und Coprodukte ................................ 425
25.1 Konzept ............................................... 425
25.2 Produkte .............................................. 427
25.3 Eigenschaften von Produkten ............................ 431
25.4 Coprodukte ............................................ 437
25.5 Dualitat ............................................... 439
26. Universelle Konstruktionen ..... .......................... 445
26.1 Konzept ............................................... 445
26.2 Finale und Initiale Objekte .............................. 446
26.3 Kartesische Kategorien und Funktoren .................... 448
26.4 Egalisatoren und Coegalisatoren .......................... 454
26.5 Pullbacks und Pushouts ................................. 457
26.6 Limiten und Colimiten .................................. 462
27. Adjunktionen ............................................. 473
27.1 Konzept ............................................... 473
27.2 Freie Konstruktionen ................................... 475
27.3 Adjunktionen .......................................... 481
27.4 Exponenten ............................................ 491
28. Anwendungen auf Algebra und Logik ..................... 497
28.1 Kategorielle Schlufiregeln ................................ 498
28.2 Hom-Funktoren und Termalgebren ........................ 507
28.3 Indizierte Kategorien ................................... 512
Sachverzeichnis ............................................... 521
Literatur ..................................................... 533