Mathématiques : Méthodes et exercices BCPST 1e année

320 Pages·2010·7.1 MB·French

by  Arnaud Bégyn

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Mathématiques
Méthodes et exercices
BCPST 1re année
Arnaud Bégyn
Professeur agrégé de mathématiques
en classe préparatoire BCPST au lycée Pierre de Fermat (Toulouse)
Guillaume Connan
Professeur agrégé de mathématiques
au lycée Jean Perrin (Rezé)
9782100549252-Begyn-lim.qxd 12/07/10 13:04 Page II
© Dunod, Paris, 2010
ISBN 978-2-10-055636-6
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Table des matières
Table des matières
1. Logique, théorie des ensembles 7. Dérivabilité des fonctions
et calcul formel 1 numériques et continuité 149
Les méthodes à retenir 2 Les méthodes à retenir 149
Énoncés des exercices 4 Énoncés des exercices 152
Du mal à démarrer? 7 Du mal à démarrer? 158
Corrigés des exercices 8 Corrigés des exercices 160
2. Nombres complexes 8. Intégration sur un segment
et trigonométrie 15 et équations différentielles
linéaires 183
Les méthodes à retenir 15
Énoncés des exercices 18 Les méthodes à retenir 183
Du mal à démarrer? 21 Énoncés des exercices 186
Corrigés des exercices 23 Du mal à démarrer? 191
Corrigés des exercices 193
3. Suites réelles 37
9. Dénombrement
Les méthodes à retenir 38
et calcul des probabilités 213
Énoncés des exercices 41
Du mal à démarrer? 45 Les méthodes à retenir 213
Corrigés des exercices 47 Énoncés des exercices 216
Du mal à démarrer? 222
4. Systèmes linéaires Corrigés des exercices 223
et calcul matriciel 61
10. Variables aléatoires 241
Les méthodes à retenir 62
Énoncés des exercices 63 Les méthodes à retenir 241
Du mal à démarrer? 68 Énoncés des exercices 242
Corrigés des exercices 69 Du mal à démarrer? 246
Corrigés des exercices 247
5. Espace vectoriel Kn et applications
linéaires de Kp dans Kn 83 11. Vecteurs aléatoires 257
Les méthodes à retenir 84 Les méthodes à retenir 257
élit. Énoncés des exercices 88 Énoncés des exercices 259
n d Du mal à démarrer? 94 Du mal à démarrer? 265
u
est Corrigés des exercices 95 Corrigés des exercices 266
e
é
utoris 6. Fonctions usuelles, polynômes 12. Géométrie 285
a
on en une indéterminée et continuité
pie n des fonctions numériques 121 Les méthodes à retenir 285
co Énoncés des exercices 290
o
ot Les méthodes à retenir 121
h Du mal à démarrer? 296
p
d. La Énoncés des exercices 126 Corrigés des exercices 298
o Du mal à démarrer? 131
n
u
D
© Corrigés des exercices 133
III
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Pour bien utiliser cet ouvrage
La page d’entrée de chapitre
Elle propose un plan du chapitre, les
thèmes abordés dans les exercices, ainsi
qu’un rappel des points essentiels du cours
pour la résolution des exercices.
Les méthodes à retenir
Cette rubrique constitue une synthèse des prin-
cipales méthodes à connaître,détaillées étape par
étape,et indique les exercices auxquels elles se
rapportent.
IV
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Énoncés des exercices
De nombreux exercices de difficulté croissante
sont proposés pour s’entraîner.La difficulté de
chaque exercice est indiquée sur une échelle de
1 à 4.
−
#∗
!− "
−
! −"
−−! −"
− !"
−
Du mal à démarrer ?
Des conseils méthodologiques sont proposés
#−$ − pour bien aborder la résolution des exercices.
−
−
!− "−
! "
Corrrigés des exercices ! "
Tous les exercices sont corrigés de façon détaillée.
! " ×
− −− −
−− −− −
−
V
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Introduction
Ce livre est un recueil d’exercices destinés aux élèves de première année de classes préparatoires BCPST,mais aussi
à des étudiants en Licence de SVT. Il sera aussi plus qu’utile aux élèves de seconde année souhaitant réviser le pro-
gramme de première année avant les concours.
Nous nous sommes principalement inspirés d’annales d’oraux du concours Agro-Véto. Afin d’offrir une gamme
d’exercices plus large,et de difficulté parfois plus importante,nous avons aussi cherché dans les annales d’oraux du
concours Escp-Eap (ouvert aux élèves de classes préparatoires ECS).
Dans chaque chapitre nous présentons d’abord les principales méthodes qui permettent de résoudre efficacement la
plupart des exercices. Chaque méthode est détaillée et est associée à un ou plusieurs exercices où elle peut être utili-
sée.
Les exercices sont ensuite présentés par ordre de difficulté croissante.
Les corrections ont été détaillées au maximum afin d’être compréhensibles par tous les élèves,même les plus en dif-
ficultés. Nous avons aussi utilisé beaucoup de figures pour rendre les corrections moins indigestes.
Voici quelques conseils pour bien utiliser ce livre :
• Il est conseillé de passer un moment à réfléchir à l’exercice sans aucune autre aide que votre cours de mathématiques.
• Si vous êtes véritablement bloqué,vous trouverez une indication à la suite des énoncés d’exercices. Ceci devrait vous
permettre de trouver la solution.
• Vous trouverez ensuite une solution détaillée. Rappelons tout de même une évidence :se jeter sur la correction sans
réfléchir seul à la solution ne vous apportera rien, même si vous avez compris les raisonnements et calculs présen-
tés.
Nous avons choisi des exercices qui sont très classiques, c’est-à-dire que beaucoup d’exercices posés aux concours
leur ressemblent.
Si vous réussissez l’effort de retenir par coeur les méthodes de résolution présentées dans les corrections,vous serez
donc beaucoup plus à l’aise et plus en confiance à l’écrit et à l’oral des concours.
Un dernier mot sur la rédaction du livre : vous avez entre les mains la toute première version de ce recueil. Malgré
tous nos efforts de rigueur et les nombreuses relectures,il se peut qu’il reste des petites erreurs de calculs,des fautes
de frappe ou d’impression,ou encore des raisonnements mal rédigés ou trop compliqués. Afin d’améliorer au mieux
le contenu,un suivi sera effectué « en temps réel » à l’adresse suivante :http://arnaud.begyn.free.fr/. Vous êtes sincè-
rement invités à signaler toute erreur potentielle ou à demander des éclaircissements (par exemple via notre page
Facebook ou en envoyant un mail à [email protected]). Nous nous engageons à vous répondre rapidement.
Nous tenons à remercier Éric d’Engenières qui nous a fait confiance pour la rédaction de cet ouvrage.
Un recueil pour les élèves de seconde année devrait paraître prochainement.
Nous vous souhaitons une bonne lecture et une très bonne réussite aux concours !
Arnaud Bégyn
VI
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11
Logique, théorie
CHAPITRE
des ensembles
et calcul formel
Plan Thèmes abordés dans les exercices
Les méthodes à retenir 2 • Raisonnements mathématiques
Énoncés des exercices 4 • Opérations sur les ensembles
• Propriétés générales des applications
Du mal à démarrer? 7
• Manipulation des symboles ! et "
Corrigés 8
Points essentiels du cours
pour la résolution des exercices
• Démonstration d'une implication,d'une équivalence
• Raisonnement par contraposée
• Raisonnement par l'absurde
• Raisonnement par récurrence
• Démonstration d'une inclusion,d'une égalité entre ensembles
• Règles de calcul pour les opérations sur les ensembles
• Image directe ou réciproque d'une partie par une application
• Injectivité,surjectivité ou bijectivité d'une application
• Théorème d'inversibilité pour la loi de composition
• Théorème de la bijection pour les fonctions numériques
• Règles de calcul avec les symboles ! et "
• Règles de calcul sur les coefficients binomiaux
• Sommes usuelles :sommes arithmétiques,sommes géométriques,formule du
binôme
élit.
d
n
u
est
e
é
oris
ut
a
n
o
n
e
pi
o
c
o
ot
h
p
a
L
d.
o
n
u
D
©
1
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Chapitre 1• Logique,théorie des ensembles et calcul formel
Les méthodes à retenir
• Pour démontrer que A B on suppose que la propriété A est
!⇒
vérifiée et on doit démontrer que la propriété B l'est aussi.
!Exercice 1.4
• Pour démontrer l'implication A B,on peut raisonner par contra-
!⇒
posée,c'est-à-dire démontrer l'implication non(B) non(A):on
Pour démontrer une implication !⇒
suppose que B n'est pas vérifiée et on démontre qu'alors A ne l'est
ou une équivalence
pas non plus.
!Exercice 1.1
• Pour démontrer une équivalence A B on raisonne par double-
⇐⇒
implication : on démontre l'implication A B ainsi que sa réci-
!⇒
proque B A.
!⇒
!Exercice 1.6
• Pour démontrer que A est vérifiée :on suppose que A n'est pas véri-
Pour raisonner par l'absurde fiée et on en déduit une contradiction évidente du type 1 0,3!2
=
etc.
!Exercices 1.3 et 1.6
• Pour démontrer que x E,P(x) :on se fixe un x E quelconque
∀ ∈ ∈
et on doit alors démontrer que P(x) est vérifiée pour ce x fixé.
!Exercice 1.1
• Pour démontrer que x E/P(x) : on doit donner (au moins) un
∃ ∈
exemple de x Equi vérifie la propriété P(x). Lorsque P(x)est une
∈
Pour démontrer une proposition équation alors x est l'inconnue et on doit trouver (au moins) une
logique dépendant de solution.
quantificateurs
!Exercice 1.5
• Pour démontrer que !x E : on démontre comme précédemment
∃ ∈
que x E/P(x) et,de plus,qu'il ne peut y avoir deux valeurs dis-
∃ ∈
tinctes de xpour lesquelles P(x) est vraie (par exemple à l'aide d'un
raisonnement par l'absurde).
!Exercice 1.5
• Si la propriété à démontrer, pour tout entier naturel n, vérifie une
relation donnée entre le rang n et le rang n 1, on utilise alors le
+
Pour raisonner par récurrence principe de récurrence.
!Exercices 1.2,1.11 et 1.13
2
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Les méthodes à retenir
• Si la propriété à démontrer, pour tout entier naturel n, vérifie une
relation donnée entre les rangs n,n 1 et n 2,on utilise alors le
+ +
principe de récurrence à deux pas.
!Exercice 1.2
Pour raisonner par récurrence
• Si la propriété à démontrer, pour tout entier naturel n, vérifie une
relation donnée entre tous les rangs k tel que k !n,on utilise alors
le principe de récurrence forte.
!Exercice 1.2
• Pour démontrer l'inclusion E F on démontre l'implication
⊂
x E x F.
∈ !⇒ ∈
!Exercices 1.3,1.6 et 1.8
• Pour démontrer l'égalité E F on raisonne par double-inclusion :
Pour démontrer une inclusion ou
=
on démontre l'inclusion E F et l'inclusion réciproque F E.
une égalité entre deux ensembles
⊂ ⊂
!Exercices 1.3,1.6,1.7 et 1.8
• Dans les deux cas, on peut aussi utiliser les opérations sur les
ensembles.
!Exercices 1.6 et 1.7
• Pour démontrer que f :E F est injective sur E : on se donne
−→
(x ,x ) E2 tel que f(x ) f(x ), et on doit alors montrer que
1 2 1 2
∈ =
x x .
1 2
=
!Exercices 1.4 et 1.5
Pour démontrer qu'une application
est injective ou surjective
• Pour démontrer que f :E F est surjective de E sur F : on se
−→
donne y F fixé quelconque ,et on doit alors donner (au moins) un
∈
x E tel que y f(x),par exemple en démontrant que l'équation
∈ =
y f(x) d'inconnue x a (au moins) une solution dans E.
=
!Exercices 1.4 et 1.5
• On revient à la définition en démontrant qu'elle est à la fois injecti-
ve sur E,et surjective de E sur F.
délit. !Exercice 1.4
n
u
ée est • On démontre les deux en même temps : on se donne y ∈F fixé
autoris Pour démontrer qu'une application qexueemlcpolneq eune ,deétm oonn tdraonitt qaluoer sl' émquoanttiroenr yque ∃f!(xx)∈dE'i/ncyon=nufe( xx)a, upnaer
n est bijective =
no unique solution dans E.
e
opi !Exercice 1.5
c
o
ot
ph • On utilise le théorème d'inversibilité pour la loi de composition :on
a
od. L détermine une application g :F−→E telle que f ◦g =idF et
n g f id .
u E
D© ◦ = !Exercice 1.15
3
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Chapitre 1• Logique,théorie des ensembles et calcul formel
• Dans le cas d'une fonction numérique, on peut utiliser le théorème
Pour démontrer qu'une application
de la bijection.
est bijective
!Exercice 1.5
• Pour y F fixé quelconque,f 1(y) est l'unique solution de l'équa-
−
∈
tion y f(x) d'inconnue x E.
= ∈
Pour déterminer l'application !Exercice 1.5
réciproque d'une bijection
• Si on a trouvé g :F E telle que f g id et g f id ,
F E
−→ ◦ = ◦ =
alors f 1 g.
−
=
!Exercice 1.15
• On met en facteur les termes ne dépendant pas de l'indice de som-
mation,on utilise ensuite les règles de calcul sur les symboles !,et
on conclut en faisant apparaître les sommes usuelles (à l'aide de
changements d'indice).
Pour calculer une somme formelle !Exercices 1.9,1.12,1.13 et 1.14
• Si le résultat final est donné dans l'énoncé,on peut aussi démontrer
la formule par récurrence.
!Exercices 1.11 et 1.12
Énoncés des exercices
1.1 Exemple de démonstration d'une implication par contraposée
Établir que : n N, n2pair npair.
∀ ∈ !⇒
1.2 Exemples de démonstration par récurrence
n n(n 1)(2n 1)
a)Établir que,pour tout n N : k2 + + .
∈ = 6
!k 0
=
bÉ)taOblnir dqéufei,npito uurn eto usut inte réNell:eu (un)2n∈nN1par( : 1u)0n.=u1=3 et ∀n∈N, un+2=un+1+2un.
∈ n = + + −
c)On définit une suite réelle (un)n∈Npar :u0=0,u1=3et
2 n
n N , u u .
∀ ∈ ∗ n+1= n !k 0 k
=
Montrer que,pour tout n N :u 3n.
∈ n =
1.3 Autour de l'image directe d'une application
Soit f :E Fune application. Soient A et B deux parties de E.
−→
4