Mathématiques et Technologie

585 Pages·2009·10.31 MB·French

by  Christiane Rousseau

Springer Undergraduate Texts
in Mathematics and Technology
Directeursdecollection
JonathanM.Borwein
HelgeHolden
ComitédeLecture
LisaGoldberg
ArminIske
PalleE.T.Jorgensen
StephenM.Robinson
Christiane Rousseau
Yvan Saint-Aubin
Mathématiques et Technologie
Avec la participation d’HélèneAntaya et d’IsabelleAscah-Coallier
123
ChristianeRousseau YvanSaint-Aubin
Départementdemathématiques Départementdemathématiques
etdestatistique etdestatistique
UniversitédeMontréal UniversitédeMontréal
C.P.6128,SuccursaleCentre-ville C.P.6128,SuccursaleCentre-ville
Montréal,QuébecH3C3J7 Montréal,QuébecH3C3J7
Canada Canada
[email protected] [email protected]
Directeursdecollection
JonathanM.Borwein HelgeHolden
FacultyofComputerScience DepartmentofMathematicalSciences
DalhousieUniversity NorwegianUniversityScienceand
Halifax,NovaScotiaB3H1W5 Technology
Canada AlfredGetzvei1
[email protected] NO-7491Trondheim
Norway
[email protected]
ISBN:978-0-387-69212-8 e-ISBN:978-0-387-69213-5
LibraryofCongressControlNumber:2007942237
MathematicsSubjectClassi(cid:30)cation (2000):00-01,03-01,42-01,49-01,94-01,97-01
©2008SpringerScience+BusinessMedia,LLC
Allrightsreserved.Thisworkmaynotbetranslatedorcopiedinwholeorinpartwithoutthewrittenpermissionofthe
publisher(SpringerScience+BusinessMedia,LLC,233SpringStreet,NewYork,NY10013,USA)andtheauthor,
exceptforbriefexcerptsinconnectionwithreviewsorscholarlyanalysis.Useinconnectionwithanyformofinformation
storageandretrieval,electronicadaptation,computersoftware,orbysimilarordissimilarmethodologynowknownor
hereafterdevelopedisforbidden.
Theuseinthispublicationoftradenames,trademarks,servicemarksandsimilarterms,eveniftheyarenotidenti(cid:30)ed
assuch,isnottobetakenasanexpressionofopinionastowhetherornottheyaresubjecttoproprietaryrights.
Tousdroitsréservés.Aucunepartieduprésentouvragenepeutêtretraduiteoureproduitesansl’autorisationécritede
l’éditeur(SpringerScience+BusinessMedia,LLC,233SpringStreet,NewYork,NY10013,USA),exceptionfaitede
courtsextraitsdanslecadred’unecritiqueoud’unouvragesavant.Sonexploitationpartoutprocédédestockageet
d’extractiondedonnées,d’éditiqueoudetraitementinformatique,oupartoutautremoyen,semblableoudifférent,
connuouàvenir,eststrictementinterdite.
Danscettepublication,l’emploid’appellationscommerciales,demarquesdecommerceoudeserviceetd’autres
termesdemêmenaturenereprésentepasl’expressiond’unavissurleurassujettissementpotentielàdesdroitsde
propriétéintellectuelle.
Printedonacid-freepaper./Imprimésurpapiernonacide.
987654321
springer.com
Pr´eface
A` quoi serventles math´ematiques? Tout n’a-t-ilpas´et´e trouv´een math´ematiques?
Voicidesquestionsbiennaturellespourde jeunes´etudiantsuniversitaires.Lesr´eponses
de leurs professeurs sont, la plupart du temps, rapides. En effet, les cours, structur´es
et charg´es, s’accomodent mal de digressions qui permettraient de donner des exemples
d’applications.
Lesmˆemesquestionssontpos´eesdansles´ecolesd’enseignementsecondaire,parplus
d’´etudiants et avec plus d’insistance. Les maˆıtres de ces ´ecoles ont ´evidemment la vie
plus dure que les professeurs d’universit´e. S’ils savent r´epondre de fac¸on comp´etente `a
ces questions, c’est peut-ˆetre qu’ils l’ont appris aupr`es de ceux qui les ont form´es. Et
s’ils ne le savent pas, `a qui la faute?
La gen`ese du livre
Il est impossible d’introduire le pr´esent livre sans pr´esenter le cours d’ou` il tire ses
origines. Le cours Math´ematiques et technologie a ´et´e cr´e´e `a l’Universit´e de Montr´eal
et donn´e pour la premi`ere fois au trimestre d’hiver 2001, pour pallier le fait que trop
peu d’applications r´eelles ´etaient pr´esent´ees dans nos cours. Depuis le d´ebut, le cours
Math´ematiques et technologie de l’Universit´e de Montr´eal s’adresse principalement aux
futurs maˆıtres au secondaire, quoiqu’il soit ´egalement ouvert `a tous les ´etudiants de
math´ematiques.
Il n’existait pas de manuel appropri´e pour ce que nous voulions r´ealiser. Ceci nous
a incit´e, dans un premier temps, `a ´ecrire des notes de cours. Nous nous sommes pris
au jeu, si bien que ce livre contient maintenant plus de mat´eriel que ce qui peut ˆetre
enseign´eenunseultrimestre.Et,quoiquenoussoyonstousdeuxdesmath´ematiciensde
carri`ere,nousdevonsavouerquenousneconnaissionspasoupeulesd´etailsdeplusieurs
des applications qui sont d´ecrites dans les chapitres qui suivent.
VI Pr´eface
Les objectifs d’un cours Math´ematiques et technologie
Les objectifs d’un tel cours sont de montrer le caract`ere vivant des math´ematiques
et leur omnipr´esence dans le d´eveloppement des technologies, et d’initier l’´etudiant au
processus de mod´elisation conduisant au d´eveloppement de certaines applications des
math´ematiques.
Quoique quelques-uns des sujets couverts sortent maintenant du cadre strict des
technologies, nous esp´erons faire comprendre que, oui, les math´ematiques servent, et
elles servent dans plusieurs applications de la vie de tous les jours. De plus, certains
des sujets abord´essont en plein d´eveloppementet permettent donc aux´etudiants de se
rendre compte, souvent pour la premi`ere fois, que les math´ematiques sont en´evolution
et que de nombreuses questions demeurent ouvertes.
Puisquelecoursaccueilleunnombreimportantdefutursmaˆıtresausecondaire,ilest
important de souligner que le but n’est pas de leur fournir des exemples d’applications
qu’ils pourront enseigner directement a` leurs ´el`eves, mais bien de leur pr´esenter des
exemples tangibles d’applications et de leur donner des outils pour qu’ils puissent eux-
mˆemes, plus tard, pr´eparer des exemples d’applications `a l’intention de leurs ´el`eves.Ils
doivent sentir qu’ils enseigneront une mati`ere d’une grande beaut´e, certes, mais dont
les applications ont fa¸conn´e l’environnement humain et sa compr´ehension.
Le choix des sujets
Enchoisissantlesapplications,nousavonsport´euneattentionparticuli`ereauxpoints
suivants.
• Les applications sont modernes ou touchent le quotidien des ´etudiants. De plus,
contrairement aux math´ematiques muˆres enseign´ees dans les autres cours, les
math´ematiquesutilis´eesiciappartiennentparfoisa`deschapitresr´ecentsoumˆeme,
encore en d´eveloppement.
• Les math´ematiques demeurent relativement ´el´ementaires et, si elles d´epassent
les premiers cours du premier cycle (calcul, alg`ebre lin´eaire, probabilit´es) et les
math´ematiques du secondaire, les aspects manquants sont couverts dans le cadre
du chapitre. Un effort sp´ecial est fait pour donner aux math´ematiques du secon-
daire,enparticulierlag´eom´etrie,une placede choix.Lebagagemath´ematiquede
baseestune boˆıte`aoutilsremarquable,a`conditiondebienconnaˆıtreetmaˆıtriser
cesoutils,deselaisseraller`aexplorerleurpolyvalenceet,souventpourlapremi`ere
fois,ded´ecouvrircombienilsdeviennentpuissantslorsqu’ilssontutilis´esensemble.
• Lesapplicationschoisiesfontressortirlapuissancedel’outilmath´ematique:pour
le scientifique, les id´ees sont la chose la plus pr´ecieuse et, derri`ere la plupart
des r´eussites technologiques, il y a une id´ee brillante, mˆeme si elle est parfois
´el´ementaire.
Lessujetssontchoisistantpourleurint´erˆetintrins`equequepourlesmath´ematiques
auxquelles ils font appel.
• La droite et le plan apparaissent sous toutes leurs formes (´equation r´eguli`ere,
´equation param´etrique,droite de l’espace), parfois de fa¸con inattendue (les plans
Pr´eface VII
qui s’intersectent pour permettre la lecture d’un message encod´e `a l’aide du code
de Reed–Solomon).
• Un tr`es grand nombre de sujets font appel aux d´efinitions g´eom´etriques d’objets
g´eom´etriques usuels : le cercle, la sph`ere, les coniques. De plus, le concept de
lieu g´eom´etrique revient a` r´ep´etitions,par exemple pour les probl`emes ou` on cal-
cule la position d’un objet par triangulation (chapitre 1 sur le positionnement et
chapitre 15 des flashs-science).
• Les diff´erents types de transformations affines du plan ou de l’espace, en particu-
lierlessym´etriesetlesrotationsapparaissentdemani`erer´ecurrente:compression
d’images avec les fractales (chapitre 11), frises et mosa¨ıques (chapitre 2), mouve-
ment des robots (chapitre 3).
• Les groupesfinis apparaissentcomme groupesde sym´etriedes frises etmosa¨ıques
(chapitre 2), mais aussi pour les tests de primalit´e en cryptographie (chapitre 7).
• Les corps finis apparaissent aussi bien dans le chapitre sur les codes correcteurs
d’erreurs (chapitre 6) que dans l’´etude du signal g´en´er´e par les satellites dans
le syst`eme GPS (chapitre 1) et dans les g´en´erateurs de nombres al´eatoires (cha-
pitre 8).
• Lacryptographie(chapitre7)etlesg´en´erateursdenombresal´eatoires(chapitre8)
fontappela`l’arithm´etiquemodulon,alorsquel’arithm´etiquemodulo2intervient
dans les codes correcteurs d’erreurs (chapitre 6).
• Les probabilit´es apparaissent dans des contextes inusit´es : l’algorithme Page-
Rank pour le fonctionnement de Google (chapitre 9), ainsi que dans la construc-
tion de grands nombres premiers (chapitre 7), alors que leur utilisation dans les
g´en´erateursde nombres al´eatoiresest plus classique (chapitre 8).
• L’alg`ebre lin´eaire est omnipr´esente : codes de Hamming et de Reed–Solomon
(chapitre 6), algorithme PageRank (chapitre 9), robotique (chapitre 3), frises et
mosa¨ıques (chapitre 2), fonctionnement du GPS (chapitre 1), standard JPEG
(chapitre 12), etc.
Le livre comme manuel d’un cours
Le livre s’adresse a` des ´etudiants ayant maˆıtris´e les cours de calcul `a plusieurs va-
riables, d’alg`ebrelin´eaire et de probabilit´es´el´ementaires,et ayantdes connaissancesde
g´eom´erie euclidienne. Nous esp´erons n’avoir rien tenu d’autre pour acquis. La lecture
du livre est malgr´e tout un d´efi et requiert une certaine maturit´e scientifique : elle de-
mande de pouvoir sortir les acquis math´ematiques des manuels originaux. En effet, la
plupartdesapplicationsconsid´er´eesn´ecessitentl’int´egrationd’unemultitudedenotions
math´ematiques. Pour cette raison, nous recommandons ce livre pour des ´etudiants de
deuxi`eme ou troisi`eme ann´ee universitaire.
Le texte se pr´esente sous deux formes : les chapitres principaux, plus longs et
d´etaill´es,et les flashs-science (chapitre 15), courts et bien circonscrits. Le lecteur verra
une certaine unit´e dans les chapitres plus longs : les premi`eres sections d´ecrivent l’ap-
plicationetleprobl`ememath´ematiquequiestsoulev´e.Suit unedescription´el´ementaire
de cas simples pr´ec´ed´ee,si besoin est, des compl´ements math´ematiques.Nous appelons
VIII Pr´eface
cette partie la th´eorie ´el´ementaire. Enfin, une ou quelques sections couvrent en plus
de d´etails les aspects math´ematiques fins ou des d´etails technologiques ou` inter-
viennent encore plus de math´ematiques ou, simplement, mettent en relief le fait que
les math´ematiques seules ne suffisent pas toujours! Nous avons pris l’habitude d’appe-
lercettederni`erepartielath´eorieavanc´ee.Chacunedesapplicationsest´etudi´eependant
environcinq heures: d’abordla th´eorie´el´ementaire(une oudeux heures),des exercices
(deux heures) et, si le temps le permet, la th´eorie avanc´ee (une ou deux heures). Il ar-
rive r´eguli`erementque la partie avanc´ee ne soit qu’effleur´ee. Les flashs-science peuvent
ˆetre trait´es en une heure de cours ou donn´es en exercice, sans avoir vu de th´eorie au
pr´ealable. Durant un trimestre, en plus de quelques flashs-science, nous parvenons `a
couvrir une partie importante de huit a` 12 chapitres. Un autre choix naturel serait de
r´eduire consid´erablement le nombre de chapitres couverts et de s’aventurer plus pro-
fond´ement dans les parties avanc´ees.
Le pr´esent recueil contient trop de mat´eriel pour un cours d’un trimestre : on peut
donc se permettre de choisir les sujets pr´ef´er´es, soit en fonction de leur int´erˆet comme
tel, soit encore en fonction des math´ematiques qu’ils font travailler. Les chapitres non
trait´esoulessectionsdeth´eorieavanc´eepeuventservirdepointded´epartpourunprojet
de session. Quant au lecteur qui explorerait ce livre pour parfaire ses connaissances
math´ematiques et ´elargir ses horizons, il pourra aller d’un chapitre a` l’autre selon sa
fantaisie. Chaque chapitre est (math´ematiquement) ind´ependant (ou presque), et tous
les liens avec les autres chapitres sont explicites.
Une note, maintenant, pour les professeurs qui utiliseront ce manuel. L’enseigne-
ment de ce cours nous a forc´e `a r´eviser nos m´ethodes p´edagogiques : ici, aucun sujet
n’est un pr´ealable pour un autre cours, les d´efinitions et th´eor`emes ne sont pas le but
ultime du cours, et les recettes ne sont pas suffisantes pour r´esoudre les probl`emes.
Touscesfacteurssontsourced’anxi´et´epourles´etudiants.De plus,nousnesommespas
des sp´ecialistes des technologies que nous examinons. Nous multiplions les liens aves la
technologie. Nous encourageons la participation des ´etudiants; ceci permet de v´erifier
leur pr´eparation relativement aux outils math´ematiques utilis´es. Quant aux examens,
nous les rassurons d`es le d´epart : ils sont a` livre ouvert, non cumulatifs et limit´es aux
parties´el´ementaires.Ilsmettentainsil’accentsurlamod´elisationsimpleetlar´esolution
de probl`emes. Nos ensembles d’exercices mettent l’accent sur le d´eveloppement de ces
aptitudes.Les´etudiantsmaˆıtrisentdonclapartie´el´ementairetravaill´eeaumoyend’exer-
cices,etd´ecouvrent,sanspression,leplaisirdesecultiverenexplorantlapartieavanc´ee.
Le livre pour le lecteur solitaire
Pendant toutes ces ann´ees d’´ecriture du livre, nous nous sommes pris au jeu de
d´ecortiquer et comprendre les math´ematiques sous-jacentes aux applications techno-
logiques propos´ees ici et de mettre en lumi`ere la beaut´e et la puissance des outils
math´ematiques.Nouscroyonsquecemanuelpeutint´eressertoutlecteur,dujeunescien-
tifique au math´ematicien chevronn´e curieux de comprendre les math´ematiques cach´ees
derri`ereles r´ealisationstechnologiques. A` songr´e,ce lecteur peut se promener entre les
Pr´eface IX
parties´el´ementaireset avanc´ees,tirer partidu fait que les chapitres sontind´ependants,
profiter des notes historiques et, qui sait, regarder quelques probl`emes.
Les contributions d’H´el`ene Antaya et Isabelle Ascah-Coallier
Lechapitre 14surle calculdes variationsa´et´e´ecritparH´el`eneAntayaalorsqu’elle
effectuaitunstaged’´et´e`a lafinde sonc´egep.Le chapitre13surl’ordinateura` l’ADN a
´et´e´ecritl’´et´e suivantpar H´el`eneAntayaet Isabelle Ascah-Coallier,alorsd´etentricesde
bourses de recherche du premier cycle du Conseil de recherches en sciences naturelles
et en g´enie du Canada.
Mode d’emploi des chapitres
A` peudechosespr`es,leschapitressontind´ependants.Aud´ebutdechacun,uncourt
mode d’emploi d´ecrit les connaissances de base utilis´ees ainsi que la d´ependance entre
les sections et, s’il y a lieu, leurs difficult´es relatives.
Christiane Rousseau
Yvan Saint-Aubin
D´epartement de math´ematiques et de statistique
Universit´e de Montr´eal
Mai 2008
Remerciements
La gen`ese du cours Math´ematiques et technologie et des notes de cours ayantdonn´e
naissance`a celivreremontea`l’hiver2001.Ilnous afalluapprendrede nouveauxsujets
que nous ne connaissions pas ou peu, composer des exercices et encadrer des projets
d’´etudiants dans des domaines qui nous ´etaient inconnus. Pendant toutes ces ann´ees
nous avons pos´e beaucoup de questions et qu´emand´e beaucoup d’explications. Nous
voulons remercier les nombreuses personnes qui nous ont support´e scientifiquement.
Leur aide aura aussi r´eduit consid´erablement le nombre des impr´ecisions et erreurs;
nous demeurons ´evidemment responsables de celles qui demeurent et nous invitons les
lecteurs a` nous les rapporter.
Nous avons appris beaucoup de Jean-Claude Rizzi, Martin Vachon et Annie Boily,
tous d’Hydro-Qu´ebec, sur le suivi des orages, de St´ephane Durand et Anne Bourlioux
sur des points fins concernant le GPS, d’Andrew Granville sur les algorithmes r´ecents
de factorisation des nombres entiers, de Val´erie Poulin et Isabelle Ascah-Coallier sur
le fonctionnement de l’ordinateur quantique, de Pierre L’E´cuyer sur les g´en´erateursde
nombresal´eatoires,deMehranSahamisurGoogle,deSergeRobert,JeanLeTourneuxet
Anik Souli`eresur les liens entre les math´ematiques et le son musical,de PaulRousseau
et Pierre Beaudry sur les circuits fondamentaux des ordinateurs, de Mark Goresky
sur les registres `a d´ecalage et les propri´et´es des suites qu’ils g´en`erent. David Austin,
RobertCalderbank,BrigitteJaumard,JeanLeTourneux,RobertMoody,PierrePoulin,
Robert Roussarie,KaleemSiddiqi et Lo¨ıcTeyssiernous ont fournides r´ef´erenceset des
commentaires pr´ecieux.
Beaucoup de nos amis et coll`egues ont lu des portions du manuscrit et nous ont
fait des commentaires, dont Pierre Bouchard, Michel Boyer, Raymond Elmahdaoui,
Alexandre Girouard,Martin Goldstein, JeanLeTourneux, Francis Loranger,Marie Lu-
quette, Robert Owens, Serge Robert, Olivier Rousseau. Nicolas Beauchemin et Andr´e
Montpetit nous ont aid´es plus d’une fois lors de probl`emes de graphisme et nous ont
r´ev´el´e des subtilit´es de TeX. Les conseils typographiques et linguistiques de Mireille
Cˆot´e nous ont´et´e fort utiles.