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Math,
ueouraphie
Tangente Hors-série n° 40
Mathématiques
et géographie
la Terre vue des maths
POLE•
© Éditions POLE -Paris 2011
Toute représentation, traduction, adaptation, publication ou reproduction, même partielle, par tous
procédés et sur tous supports, en tous pays, faite sans autorisation préalable, est illicite et expose
rait le contrevenant à des poursuites judiciaires. Référence : loi du 11 mars 1957.
ISBN: 9782848841175 ISSN: 0987-0806 Commission paritaire: 1011 K 80883
Prochaine ntent
dans la Bibliothèque Tangente
EDITIONS.
POLE
Mathématiques et géographie
Sommaire
La forme de la Terre
L'IGN
Gauss et la cartographie
Distances
Mathématiques exotiques
LeGPS
DOSSIER Géographie physique
A l'heure où les modèles climatiques constituent un enjeu
majeur, il n'est pas inutile de rappeler que les mathéma
tiques jouent un rôle important dans l'explication de cer
tains phénomènes naturels comme les marées, le vent ou
encore les courants marins.
La longueur des fleuves
Les marées, phénomène complexe et fascinant
La nouvelle géographie
L'énigme de Samos
Vents et courants marins
l•X•ti-1 3,1
Cartographie
1
L'art de la cartographie mobilise des techniques et des
connaissances scientifiques très variées. Le cartographe
doit être capable de projeter la représentation de la sur
face du globe sur une surface plane tout en conservant
certaines contraintes géométriques Oongueurs, angles
ou distances).
L'évolution des mesures
Géométriser la Terre
Le chemin du randonneur
Des projections à la carte
La France vue du train
Construction d'un globe terrestre
Les ondelettes, un outil sorti de terre
(suite du sommaire au verso)
Hors série n° 40. Mathématiques et géog aphle
l•X•t}1i:J,I
Topographie
L'homme parcourt le monde, conquiert, construit et
s'interroge. D veut mesurer et décrire la terre qu'il habi
te. Topographie, cartographie et géodésie sont liées à la
géométrie et s'associent pour accéder au savoir. Les ins
truments évoluent, mais les questions restent les
mêmes: apprécier une longueur, mesurer une surface,
évaluer un relief. ..
Voyage en Topographie
Ceci n'est pas une sphère
Mesurer la Terre, quelle idée !
Les instruments du topographe
Mesurer du linéaire par de l'angulaire
La triangulation
Représenter le relief
Comment s'orienter vers la Mecque ?
Faire le point en mer
l•X•t}1i:J,I
Géographie humaine
Les enjeux politiques, démographiques, économiques,
sociaux ou sociétaux autour de la géographie humaine
sont colossaux. On le mesure à l'aune du débat sur les
retraites, qui n'épargne aucun pays dans le monde.
Parmi les chiffres incontournables qui sont utilisés dans
tous les modèles figurent les données démographiques.
L'espérance de vie
Les statistiques en France
Les femmes meurent deux fois moins que les hommes !
Le recensement de la population
Autour de l'équation de Verhulst
De la dynamique des populations à la théorie du chaos
La loi de Zipf et la taille des agglomérations
Tout le monde ne s'appellera pas Martin !
Les aborigènes, une culture mathématique
La théorie des champs moyens
Problèmes
Solutions
En bref
Notes de lecture
4
Tc;1,n9ente Hors série n° 40. Mathématiques et géographie
par Édouard Thomas EN BREF
Pluridisciplinarité
L'actualité vient de fournir un exemple
(lié à la géophysique) qui prouve, si besoin
était, que les liens entre la géographie et la
reine des sciences n'ont jamais été si forts!
Écoulement de fluides
Une collaboration fructueuse entre
et problèmes d'échelles
mathématiciens et géophysiciens
Les écoulements fluides à l'intérieur de la terre sont à
l'origine du champ magnétique terrestre. Les mouve La mention « Énergie » du prix La-Recherche a
ments atmosphériques et les courants marins sont deux couronné en 2009 une équipe pluridisciplinaire
rouages essentiels du système climatique (voir en page composée majoritairement de ... mathématiciens.
30). Ces phénomènes, complexes, sont difficiles à repro Le thème des travaux primés était Mathématiques
duire numériquement ou à simuler (les longueurs ou les et Écoulements géophysiques : paramétrisations
échelles de temps sont très disparates). Leur prévision et petites échelles. Le groupe industriel français
est donc problématique. Les scientifiques adoptent alors Aréva, spécialisé dans l'énergie, a remis 10000 €
une démarche de simplification des modèles, dans les aux chercheurs. L'équipe était composée des
quels les « petits » paramètres sont souvent négligés. mathématiciens David Gérard-Varet (professeur à
Parmi ces paramètres, on trouve par exemple les rugosi ) 'Université Denis-Diderot-Paris-VII), Didier
tés des surfaces d'écoulement, les forces de viscosité, ou Bresch (directeur de recherche au CNRS à
les petites variations de la profondeur marine. Négliger l'Université de Savoie), Benoît Desjardins (pro
ces paramètres, c'est empêcher la représentation des fesseur associé à ) 'École normale supérieure de
phénomènes qui se produisent à petite échelle. Or ces Paris), Emmanuel Grenier (professeur à l'École
phénomènes peuvent avoir un impact fondamental sur la normale supérieure de Lyon) et du géophysicien
manière dont les fluides s'écoulent. La simplification des Emmanuel Dormy (chercheur à l'Institut de phy
modèles empêche donc une description réaliste des phé sique du globe de Paris).
nomènes naturels, cohérente avec les mesures réalisées. L'étude primée a porté sur une analyse mathéma
Une analyse mathématique poussée de certains de ces tique poussée de phénomènes géophysiques qui
microphénomènes a été le point de départ à l'étude de se produisent à une petite échelle (spatiale ou
problèmes de complexité croissante, qui ont valu à temporelle) liée aux reliefs océaniques : influence
l'équipe de chercheurs réunie autour de David Gérard de petites variations de la profondeur marine sur
Yaret le prix La-Recherche 2009. Les chercheurs ont les courants marins, par exemple. Les scienti
également proposé des « lois de fermeture », modèles fiques ont également proposé des modèles dans
dans lesquels les petites échelles sont exprimées en fonc lesquels les petites échelles du monde microsco
tion des grandes. Grâce à ces nouveaux outils, ils ont pique sont exprimées en fonction des grandes
démêlé le rôle de différentes échelles spatiales et tempo échelles du monde macroscopique.
relles, présentes aussi bien au sein des écoulements de Lors de la remise du prix, le directeur scientifique
fluides que de surfaces rugueuses. d' Areva, Philippe Garderet, très à l'aise, a félicité
ainsi les lauréats : « Quand on s'intéresse aux gise
ments d'uranium, on a besoin de mécanique des
fluides pour comprendre la géophysique interne du
globe ou certains écoulements.[ ...] Nous, on creu
se des trous. Et on espère que ce type de recherche
nous aidera à mieux creuser nos trous ! »
5
Hors-série n° 40. Mathématiques et Géographie Tangente
HISTOIRES par François Lavallou
la forme de la Terre
L'image de la forme de la terre s'est établie au cours des
siècles. Elle suit intimement l'histoire des idées et des
religions. De nombreuses idées fausses associées à l'évolution
de cette représentation terrestre font partie de notre
mémoire collective.
M L
a Terre est plate ! Cette éviden
ce révélée par l'expérience quo
tidienne a perduré assez long
temps dans la Grèce ancienne. Tout au
plus discutait-on de la forme: était-elle
circulaire, comme le ciel, ou carrée,
\\· ~ pour marquer sa différence avec la
.... voûte étoilée ? Avec la naissance de la
··················· ... >\~:::::·:::::5'.. .... ········· philosophie, et de sa fille la démocra
tie, le discours raisonné est roi ; la reli
Circonférence gion et la mythologie ne suffisent plus
comme explication du monde. Dès le
VIe siècle, Pythagore et Thalès envisa
En figure est représentée la merveilleuse méthode gent une terre sphérique, isolée au
utilisée par Ératosthène pour évaluer la circonfé centre d'un cosmos lui aussi sphérique.
rence terrestre. Voyons une autre méthode, établie
par les Arabes. Il s'agit dans un premier temps l'Hntiquité et Ptolémée
d'évaluer par mesure trigonométrique la hauteur h
d'une montagne. Puis un géomètre montagnard Cette hypothèse est justifiée à
détermine, du haut de ce promontoire, l'angle 0 l'époque classique par Aristote, qui
sous lequel est vu l'horizon. Nous avons alors observe la disparition des navires au
(R + h )sin(0) = R, c'est-à-dire R- hsi~(B) . cours de leur éloignement, ne laissant
l-sm(8)
émerger pour un temps que le haut de
C'est une méthode peu précise car l'angle 0 est leur mature. Il note surtout que l'étoile
proche de 90°, et donc sin(0)=1. Polaire s'élève de plus en plus au
Une autre méthode, reprenant le principe desssus de l'horizon quand on se
d'Ératosthène, consiste à marcher plein nord, c'est déplace vers le nord ; il reconnaît
à-dire le long d'une longitude, jusqu'à ce que l'angle enfin, dans l'ombre projetée sur la sur
sous lequel on observe l'étoile Polaire varie de 1°. La face lunaire lors des éclipses, la roton
distance parcourue correspond alors à un degré dité de la terre. Ces arguments phy
d'arc d'un grand cercle terrestre. siques, agrémentés de considérations
métaphysiques, finiront par convaincre.
Tangente Hors-série n°40. Mathématiques et Géographie
À l'époque hellénistique (Ille siècle
avant Jésus-Christ), Ératosthène donne
la première mesure du globe terrestre
(voir en encadré), avec des erreurs qui
se compensent pour donner finalement
un résultat à moins de 0,5 % près ! Il
dresse une carte du monde à partir des
récits de navigateurs, et si les contours
de la Méditerranée sont bien connus,
son ignorance est totale pour les terres
plus éloignées. Il fait l'hypothèse d'un
continent inconnu : les Antipodes (voir
en encadré). Comme Pythagore avant
lui, il partage le globe en cinq zones :
l'équateur, désertique, et, de chaque Oecumène de Ptolémée (BNF).
côté, une zone tempérée et une zone
glaciale. La zone tempérée au nord
correspond au monde connu et est Antipodes
appelée oecoumène.
Au 1f siècle avant J.-C., Hipparque de L'impossibilité physique d'une vie aux antipodes est
Nicée complète les cartes d'un réseau le principal argument des détracteurs de la sphéri
de latitudes et longitudes qui permet cité terrestre : « Ceux qui pensent qu'il y a des
taient de mieux localiser et de calculer Antipodiens opposés à nos pas, cela a-t-il quelque
plus facilement les distances. Marin de sens ? Ou bien y a-t-il quelqu'un d'assez inepte
Tyr (fin du Ier siècle - début du IIe pour croire qu'il y a des hommes dont les plantes
siècle) reprendra ses travaux, en éta des pieds sont au-dessus de leur tête ? Que les
blissant des cartes avec des terres trop herbes et les arbres croissent vers le bas ? Que les
vastes pour un globe trop petit (5 /7 de pluies, la neige et la grêle tombent sur terre vers le
celui d'Eratosthène). Cette amplifica haut? » Raimundo Lulle (vers 1235-1315), grand
tion des terres habitées aura pour pourfendeur des idées toutes faites, trouve un bel
conséquence de donner l'espoir à un argument de symétrie pour invalider cette démons
certain Christophe Colomb de pouvoir tration : « Si la Terre est bien ronde - ce que nous
aller directement d'Europe en Inde ! croyons - et si les Antipodes sont habités, pour les
(Voir aussi en page 57). Au lie siècle, gens des Antipodes c'est nous qui sommes la tête en
Claude Ptolémée, polymate grec bas et qui devrions tomber. Or, nous ne tombons
d'Alexandrie, synthétise ) 'ensemble pas, donc la vie est autant possible aux Antipodes
des connaissances grecques de que chez nous. »
l'époque. Pour des cartes régionales, il
utilise une projection cylindrique qui
préfigure la projection de Mercator
(voir l'article en page 48). Après la tiens de langue maternelle syriaque,
chute de l'Empire romain d'Occident vivant dans le monde arabe et ayant
(476), de nombreux textes scienti appris le grec. Les textes de Ptolémée
fiques grecs ne survivent que grâce à ne seront redécouverts en Occident
leur traduction en arabe dès le IXe qu'à la fin du xue siècle ( voir I' enca
siècle, le plus souvent par des chré- dré sur Gérard de Crémone).
Hors-série n• 40. Mathématiques et Géographie Tangente
HISTOIRES La forme de la Terre
le moyen Hge et la Renaissance
Contrairement aux idées reçues, on ne
s'est pas mis soudain, au Moyen Âge,
à croire à une terre plate ! La connais
sance du Timée de Platon avait été
entretenue, et la rotondité de la terre
était admise par les lettrés. Bien sûr,
quelques théologiens restent fidèles à
une cosmologie biblique qui présente
une terre en forme de disque.
D'autres, tels Saint Augustin, sont sur
tout gênés par le peuplement des
Antipodes. À part ces quelques résis
tances ecclésiastiques (et nos légendes
urbaines), la terre est ronde pour
toutes les personnes instruites. La
redécouverte, en Occident, de la scien
ce antique se fait d'abord par les textes
arabes lors de la Reconquista (entre
les v11f et xve siècles). Une seconde
vague arrive avec le flux de Byzantins
le traducteur de Crémone vers Venise, avant la chute de
l'Empire romain d'Orient. Ils appor
tent de nombreux documents grecs
Gérard de Crémone (vers 1114 - vers 1187) est un originaux ou reconstitués, qui partici
traducteur latin (sans doute le plus prolifique) de pent grandement au développement
textes grecs sauvegardés de l'oubli par leurs traduc d'une « reconquista intellectuelle »,
tions en arabe. Ayant eu connaissance de l'existence la Renaissance.
des Compositions mathématiques de Ptolémée, il se Les grandes expéditions maritimes
rend en 1167 à Tolède. Il étudie l'arabe et traduit en espagnoles et portugaises à partir de la
latin de nombreux ouvrages importants, alors incon fin du xve siècle apportent de nom
nus en Occident. On lui doit, entre autres, les breuses informations géographiques,
Coniques d'Apollonius et l'Almageste de Ptolémée et demandent en retour des précisions
Oe nom est la version arabisée de « La très grande », sur la forme et les dimensions de notre
sous-entendu « Composition mathématique » ). Sa globe. Avec les traductions des textes
traduction est très littérale. Bien qu'il ait déclaré de Ptolémée, tout était en place pour
« qu'un bon traducteur, outre une excellente un âge d'or de la cartographie.
connaissance de la langue qu'il traduit et de celle en Désacralisée par la révolution coperni
laquelle il s'exprime, possède le savoir de la discipli cienne, devenue une planète comme
ne concernée », on doit reconnaître que ses traduc les autres, notre terre, ce « géoïde
tions, en les comparant aux textes originaux (quand patatoïdaJ », aJlait pouvoir devenir un
ils existent), présentent de grandes imperfections. objet d'étude scientifique.
F.L.
Tcingent:e Hors-série n°40. Mathématiques et Géographie
