Mathématiques ECS 1re année Le compagnon

781 Pages·2011·18.89 MB·French

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LE COMPAGNON
Françoise Benoist Benoît Rivet
Professeur agrégée Professeur agrégé de mathématiques
de mathématiques en ECS2 en classes préparatoires
au lycée Gay-Lussac (Limoges) au lycée Gay-Lussac (Limoges)
Samuel Maffre Lionel Dorat
Professeur agrégé Professeur agrégé
de mathématiques en ECS1 de mathématiques en ECS1
au lycée Gay-Lussac (Limoges) au lycée Camille Vernet (Valence)
Brice Touzillier
Professeur agrégé
de mathématiques en ECS2
au lycée Michelet (Vanves)
©Dunod,Paris,2011
ISBN 978-2-10-056931-1

Table des matières
1. Nombres réels 1 4.4 Racinesd’unpolynôme 97
Synthèse 105
1.1 Additionetsymbolesomme 1
Testsetexercices 106
1.2 Multiplicationetcoefficientsbinomiaux 6
Corrigésdesexercices 110
1.3 Inégalités 12
Synthèse 15 5. Systèmes linéaires 124
Testsetexercices 16
5.1 Définitions 124
Corrigésdesexercices 20
5.2 Opérationsélémentaires 125
2. Ensembleset applications 29 5.3 Miseenœuvredelaméthodedupivot
deGauss 125
2.1 Logique 29
Synthèse 130
2.2 Modesderaisonnement 32
Testsetexercices 131
2.3 Ensembles 38
Corrigésdesexercices 132
2.4 Applications 42
6. Espacesvectoriels 135
Synthèse 48
Testsetexercices 49 6.1 Structured’espacevectoriel 135
Corrigésdesexercices 53 6.2 Sous-espacesvectoriels 137
6.3 Famillesdevecteurs 143
3. Nombres complexes 62
6.4 Sommedesous-espacesvectoriels 149
3.1 Propriétésfondamentales 62
Synthèse 153
3.2 Formetrigonométriqued’uncomplexe 65
Testsetexercices 154
3.3 ÉquationsdansC 70
Corrigésdesexercices 156
Synthèse 73
7. Applicationslinéaires 164
Testsetexercices 74
Corrigésdesexercices 77 7.1 Applicationslinéaires 164
7.2 Noyauetimaged’uneapplicationlinéaire 167
4. Polynômes réels ou complexes 85
7.3 Opérationssurlesapplicationslinéaires 172
4.1 PolynômesàcoefficientsdansK 85
7.4 Imaged’unefamilledevecteurs
4.2 Divisioneuclidiennedepolynômes 92 paruneapplicationlinéaire 176
4.3 Dérivéessuccessives 95 7.5 Projectionsetsymétries 177
IV
Tabledesmatières
Synthèse 185 11.2 Suitesconvergentes 291
Testsetexercices 186 11.3 Limitesinfinies 298
Corrigésdesexercices 188 11.4 Quelquespropriétésdel’ensemble
desnombresréels 302
8. Espaces vectoriels
dedimensionfinie 196 Synthèse 306
Testsetexercices 307
8.1 Dimension 196
8.2 Sous-espacesd’unespacededimensionfinie 201 Corrigésdesexercices 312
8.3 Rang 203 12. Exemplesde suites 321
Synthèse 207
12.1 Suitesarithmético-géométriques 322
Testsetexercices 208
12.2 Relationlinéairederécurrenced’ordre2 323
Corrigésdesexercices 210
12.3 Relationderécurrencedutypeun+1=f(un) 325
9. Matrices 218
Synthèse 331
9.1 Matricesetapplicationslinéaires 218
Testsetexercices 332
9.2 Opérationssurlesmatrices 222
Corrigésdesexercices 336
9.3 Rangd’unematrice 227
9.4 Matricescarrées 230 13. Étudeasymptotique
des suites 345
9.5 Changementdebase 237
9.6 Retoursurlessystèmeslinéaires 241 13.1 Suitenégligeabledevantuneautre 345
Synthèse 243 13.2 Suiteséquivalentes 348
Testsetexercices 244
Synthèse 353
Corrigésdesexercices 248
Testsetexercices 354
10. Réduction
Corrigésdesexercices 357
des endomorphismes
et des matricescarrées 258
14. Étudelocaledes fonctions 363
10.1 Elémentspropresd’unendomorphisme 258
14.1 Limiteetcontinuitéenunpoint 363
délit 10.2 Endomorphismesdiagonalisables 261 14.2 Limiteàgauche,àdroite.Prolongement
n
u 10.3 Réductiondesmatricescarrées 263 parcontinuité 366
est
orisée 10.4 Applicationsdeladiagonalisation 269 14.3 Propriétés 369
ut Synthèse 271
a 14.4 Comparaisondesfonctionsauvoisinage
n
no Testsetexercices 272 d’unpoint 374
pie
oco Corrigésdesexercices 275 14.5 Branchesinfiniesdescourbes 377
ot
h
p Synthèse 381
La 11. Généralitéssurles suites
od. réelles 287 Testsetexercices 382
n
u
D
© 11.1 Définitions 287 Corrigésdesexercices 386
V
Tabledesmatières
15. Étudeglobaledes fonctions 392 19. Séries numériques 501
15.1 Rappelsetcomplémentssurquelques 19.1 Généralités 501
propriétésglobalesdesfonctions 392
19.2 Sériesàtermespositifs 504
15.2 Fonctionsmonotones 395
19.3 Sériesgéométriquesetexponentielles 507
15.3 Fonctionscontinuessurunintervalle 397
Synthèse 513
15.4 Théorèmedelabijection 400
Testsetexercices 514
Synthèse 403
Corrigésdesexercices 518
Testsetexercices 404
20. Fonctionsde deuxvariables 528
Corrigésdesexercices 408
20.1 Rappelssurleplan.Élémentsdetopologie 528
16. Dérivation 416
20.2 FonctionsdéfiniessurR2,continuité 534
16.1 Conceptionlocaledeladérivée 416 20.3 Calculdifférentiel 538
16.2 Propriétésglobalesdeladérivée 421 Synthèse 543
16.3 Dérivéessuccessives 428 Testsetexercices 544
16.4 Fonctionsconvexes 430 Corrigésdesexercices 547
Synthèse 433
21. Dénombrement 554
Testsetexercices 434
21.1 Définitionetpropriété 555
Corrigésdesexercices 438
21.2 Dénombrementsusuels 558
17. Intégrationsurun segment
21.3 Exemple:jeudecarteetdénombrement 564
et primitives 448
Synthèse 567
17.1 Constructiondel’intégralesurunsegment 448
Testsetexercices 568
17.2 Propriétésdel’intégralesurunsegment 451
Corrigésdesexercices 571
17.3 Primitivesetintégrales 454
22. Statistiques 580
17.4 Calculdesintégrales 459
22.1 Cadremathématique 582
Synthèse 462
22.2 Représentationgraphique 583
Testsetexercices 463
22.3 Caractéristiquesdeposition 585
Corrigésdesexercices 467
22.4 Caractéristiquesdedispersion 589
18. FormulesdeTaylor
etdéveloppements limités 479 Synthèse 590
23. Espaces probabilisésfinis 591
18.1 FormulesdeTaylor 479
18.2 Développementslimités 483 23.1 LeproblèmeduchevalierdeMéré 592
Synthèse 488 23.2 Probabilitésurunensemblefini 593
Testsetexercices 489 23.3 Probabilitéconditionnelle 598
Corrigésdesexercices 492 23.4 Indépendance 603
VI
Tabledesmatières
Synthèse 605 Testsetexercices 696
Testsetexercices 606 Corrigésdesexercices 699
Corrigésdesexercices 609
27. Couplesdevariablesaléatoires
24. Variablesaléatoiresfinies 621 discrètes 706
24.1 Loid’unevariablealéatoire 622 27.1 Loiconjointe,loismarginalesd’uncouple
devariablesaléatoires 706
24.2 Espéranceetvarianced’unevariablealéatoire 626
27.2 Indépendance 708
24.3 Loisusuelles 632
27.3 Espéranceetcovariance 709
Synthèse 643
27.4 Sommedevariablesaléatoires 714
Testsetexercices 645
Synthèse 717
Corrigésdesexercices 647
Testsetexercices 718
25. Espaceprobabilisés infinis 656
Corrigésdesexercices 722
25.1 σ-algèbredesévénements 657
28. Élémentsd’algorithmique 735
25.2 Probabilité 658
28.1 EnvironnementPASCAL 735
25.3 Probabilitéconditionnelle 664
28.2 Structuresdebase 738
25.4 Indépendance 667
28.3 Fonctionsetprocédures 743
Synthèse 668
28.4 LesTableaux 745
Testsetexercices 669
28.5 Simulationsenprobabilité 747
Corrigésdesexercices 672
28.6 Logiciel 749
26. Variablesaléatoiresinfinies 680
Synthèse 750
26.1 Variablealéatoirediscrète 680 Testsetexercices 751
26.2 Espéranceetvarianced’unevariablealéatoire 683 Corrigésdesexercices 756
26.3 Loisusuelles 688
Index 765
Synthèse 695
délit
n
u
est
e
orisé
ut
a
n
o
n
pie
o
oc
ot
h
p
La
d.
o
n
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VII
Pour bien utiliser cet ouvrage
Lapaged’entréedechapitre
Elleproposeuneintroductionaucours,un
rappel des prérequis et des objectifs, ainsi
qu’unplanduchapitre.
Lecours
• Lecoursabordelesnotionsduprogrammede
façonsynthétiqueetstructuréeafind’enfaci-
literl’apprentissage.
• Desencartsdétaillentétapeparétapelesmé-
thodes essentielles, et sont suivis d’exemples
d’application.
Pictogramme
• Des commentaires pédagogiques vous ac-
compagnent dans le cours et dans les corri-
gés d’exercices. Ils sont identifiés par ce pic-
togramme:
Miseengardecontredeserreursfréquentes.
Lasynthèse
Enfindechapitre,ellevousproposeunrécapi-
tulatifdessavoirs,dessavoir-faireetdesmots-
clés.
VIII
Pourbienutilisercetouvrage
Testersesconnaissances
Quelques QCM et Vrai ou Faux? pour tester
votreconnaissanceducours.
Exercicesd’application
Ils vous proposent d’utiliser vos connaissances
ducourspourrésoudredesproblèmessimples.
Leur difficulté est indiquée sur une échelle de
1à3.
Exercicesd’approfondissement
Des énoncés qui vous proposent de ré-
soudre des problèmes demandant une ré-
flexion plus poussée, souvent extraits d’an-
nales de concours. Leur difficulté est indiquée
suruneéchellede1à3.
délit Lescorrigésdesexercices
un Tous les tests de connaissances, les exercices
est d’application et d’approfondissement sont corri-
e
orisé gés.
ut Lessolutionssontregroupéesenfindechapitre.
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