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MATHEMATIQUES DE
L’ASSURANCE NON-VIE
Tome I: Principes Fondamentaux de
Th(cid:19)eorie du Risque
Michel Denuit & Arthur Charpentier
31 mars 2004
ii
Pr(cid:19)eface
L’aversion aurisque,la \risquophobie",estaujourd’hui(cid:19)erig(cid:19)ee en
vertucommeent(cid:19)emoignelesd(cid:19)ebatsautourduprincipedepr(cid:19)ecaution.
Norme abstraite au contenu mal d(cid:19)e(cid:12)ni, il a vocation a(cid:18) int(cid:19)egrer le
pr(cid:19)eambule de notre Constitution au risque de produire des e(cid:11)ets
dont on ne mesure pas encore l’ampleur.
Danscecontexted’incertitude,ilestparticuli(cid:18)erementr(cid:19)econfortant
derevenirauxsources,auxfondamentaux,c’est-a(cid:18)-direauxmath(cid:19)ematiques
et de rappeler que le risque na^(cid:16)t de l’al(cid:19)ea et s’appr(cid:19)ehende gra^ce aux
d(cid:19)eveloppements les plus avanc(cid:19)es du calcul des probabilit(cid:19)es.
C’estcequerappellejustementl’ouvragedeMichelDenuitetAr-
thur Charpentier \Math(cid:19)ematiques de l’assurance non-vie", dont le
lecteur appr(cid:19)eciera la pr(cid:19)esentation rigoureuse, claire et p(cid:19)edagogique
des outils modernes d’analyse de risque.
L’assureurquejesuisa(cid:19)et(cid:19)eparticuli(cid:18)erementsensiblea(cid:18)l’introduc-
tion a(cid:18) la th(cid:19)eorie des copules qui permet de mod(cid:19)eliser la d(cid:19)ependance
entre les di(cid:11)(cid:19)erents risquesauxquels sont confront(cid:19)es les gestionnaires
au sein de nos entreprises. Car c’est une (cid:19)evidence, lorsque les catas-
trophes surviennent les sinistres ne sont pas ind(cid:19)ependants.
Cet ouvrage constituera, j’en suis su^r, une r(cid:19)ef(cid:19)erence incontour-
nable pour les actuaires. Mais au-dela(cid:18) du secteur restreint de l’assu-
rance, compte tenu de la place de plus en plus importante occup(cid:19)ee
par l’id(cid:19)ee de \risque" dans nos soci(cid:19)et(cid:19)es, l’enseignement du calcul
des probabilit(cid:19)es dans nos formations sup(cid:19)erieures d’ing(cid:19)enieurs, nos
(cid:19)ecoles decommerce et de gestion-et m^eme ensciences politiques!-,
gagnerait a(cid:18)aborderdes probl(cid:18)emesconcrets degestion durisqueem-
prunt(cid:19)eea(cid:18)l’actuariat.Cetouvrage,enproposantlesoutilsth(cid:19)eoriques
ad(cid:19)equats, leur en o(cid:11)re la possibilit(cid:19)e.
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iv
Lesfutursresponsableset d(cid:19)ecideursseraientainsimieuxa(cid:18)m^eme
d’int(cid:19)egrer dans leur d(cid:19)emarche le fait que le risque, bien quanti(cid:12)(cid:19)e et
appr(cid:19)eci(cid:19)e, constitue aussi, sinon davantage, une opportunit(cid:19)e d’inno-
vation, une source de cr(cid:19)eation de richesse, donc de progr(cid:18)es pour nos
soci(cid:19)et(cid:19)es.
Claude B(cid:19)eb(cid:19)ear, 31 mars 2003.
Liminaires
RISQUE [risk] -1663, 1578. Italien risco, bas latin risicus ou
riscus. || 1 . Danger (cid:19)eventuel plus ou moins pr(cid:19)evisible, danger,
hasard, p(cid:19)eril. || 2 . Eventualit(cid:19)e d’un (cid:19)ev(cid:18)enement futur, incertain
ou d’un terme ind(cid:19)etermin(cid:19)e, ne d(cid:19)ependant pas exclusivement de la
volont(cid:19)e des parties et pouvant causer la perte d’un objet, ou tout
autre dommage. En mati(cid:18)ere d’assurance le terme d(cid:19)esigne souvent
l’(cid:19)ev(cid:19)enement contre la survenance duquel on s’assure. || 3 . \Le
risque est le hasard d’encourir un mal, avec esp(cid:19)erance, si nous
(cid:19)echappons, d’obtenir un bien" (Condillac, in Foulqui(cid:19)e,
Dictionnaire langue philos.)
Ojectifs et contexte
Cetouvragetraite desmath(cid:19)ematiques durisque,ausensou(cid:18) l’en-
tendentHansBu(cid:127)hlmanndansMathematical Methods in RiskTheory
(paruen1970) ou HansGerberdansAn Introduction to Mathemati-
cal RiskTheory (paruen1979).A(cid:12)nd’(cid:19)evitertouteconfusionavecles
math(cid:19)ematiques(cid:12)nanci(cid:18)eres,nousl’avons intitul(cid:19)e\Math(cid:19)ematiques de
l’assurance non-vie". Ces math(cid:19)ematiques correspondenta(cid:18) ce que les
anglo-saxons appellent aussi math(cid:19)ematiques actuarielles (actuarial
mathematics).
A partir de nos notes de cours remises en forme, nous avons
souhait(cid:19)e proposeraux(cid:19)etudiants en sciences actuarielles (mais aussi,
plusg(cid:19)en(cid:19)eralement, enmath(cid:19)ematiquesappliqu(cid:19)ees),unouvragepr(cid:19)esentant
lesoutilsmath(cid:19)ematiquesutilis(cid:19)es enassurancenon-vie,sanspourau-
tant avoir la pr(cid:19)etention d’^etre un trait(cid:19)e exhaustif des techniques ac-
tuarielles,loins’enfaut!L’ouvragevisepluto^ta(cid:18)fournirunem(cid:19)ethode
moderne d’analyse et de gestion des risques. Conc(cid:24)u comme support
des cours d’assurances dommages (a(cid:18) l’Ecole Nationale de la Statis-
tiqueetdel’AdministrationEconomique,eta(cid:18)l’InstitutdesSciences
Actuarielles de Louvain-la-Neuve), il semble tout indiqu(cid:19)e pour ser-
v
vi
vir de base a(cid:18) des enseignements semblables dans d’autres institu-
tions. Ainsi, de larges parties de cet ouvrage ont (cid:19)et(cid:19)e utilis(cid:19)ees dans
le cadre d’enseignements a(cid:18) l’Universit(cid:19)e Paris 9 Dauphine, a(cid:18) l’Insti-
tut de Science Financi(cid:18)ere et d’Assurance (ISFA) de l’Universit(cid:19)e de
Lyon1,a(cid:18)l’InstitutNationald’EconomieetdeStatistiqueAppliqu(cid:19)ee
(INSEA) de Rabat, a(cid:18) l’Ecole Nationale Sup(cid:19)erieure de Statistique et
d’EconomieAppliqu(cid:19)ee(ENSEA)d’Abidjan,a(cid:18)l’Universit(cid:19)e deVarso-
vieeta(cid:18)l’Universit(cid:19)e deBucarest. Enoutre,l’expos(cid:19)ea(cid:19)et(cid:19)e conc(cid:24)upour
permettre une lecture par des (cid:19)etudiants, chercheurs ou enseignants
enmath(cid:19)ematiques quid(cid:19)esireraient s’initierauxsciences actuarielles.
L’ouvrage se veut accessible aux di(cid:11)(cid:19)erents types de lecteurs. La plu-
part des notions techniques sont ainsi bri(cid:18)evement rappel(cid:19)ees, si bien
qu’un lecteur peut aborder l’ouvrage avec un minimum de connais-
sances en math(cid:19)ematiques et en th(cid:19)eorie des probabilit(cid:19)es.
Jules Dubourdieu notait en 1958 dans la pr(cid:19)eface de sa Th(cid:19)eorie
Math(cid:19)ematique des Assurances, que
\l’enseignement de l’actuariat appara^(cid:16)t ainsi comme (cid:12)g(cid:19)e
dansuneterminologie,sinondansdesm(cid:19)ethodes d(cid:19)epass(cid:19)ees,
et iln’estpas surprenant, dans ces conditions, quelesap-
plications aux probl(cid:18)emes de l’assurance apparaissent a(cid:18) la
plupart des probabilistes comme peu instructives, et peu
dignes de retenir l’attention du math(cid:19)ematicien".
Pour faire une comparaison, si les math(cid:19)ematiques (cid:12)nanci(cid:18)eres ont su
franchir ce cap, il faut noter que les math(cid:19)ematiques de l’assurance
n’ont pas tellement (cid:19)evolu(cid:19)e depuis cette d(cid:19)eclaration. Pour continuer
le parall(cid:18)ele, si les march(cid:19)es (cid:12)nanciers se sont mis a(cid:18) manipuler des
concepts math(cid:19)ematiques de plusen plus(cid:19)evolu(cid:19)es, les math(cid:19)ematiques
du risque ont souvent inspir(cid:19)e du scepticisme au sein des compagnies
d’assurance. L’assurance non-vie a souvent repos(cid:19)e sur du bon sens,
et suruneperceptionquelquepeusubjectivedurisque.Maiscomme
le notait Borel au sujet des compagnies d’assurance,
\nous partons ainsi d’une base pratique assez solide pour
quenousayonsdanslath(cid:19)eorielacon(cid:12)ancequiestn(cid:19)ecessaire
pour ne pas avoir a(cid:18) tenir compte du scepticisme qui peut
toujours ^etre oppos(cid:19)e a(cid:18) toute tentative d’explication ra-
tionnelle".
De la m^eme fac(cid:24)on, nous pensons que la th(cid:19)eorie math(cid:19)ematique de
l’assurance n’est pas seulement une application s(cid:19)eduisante du cal-
cul des probabilit(cid:19)es: nous sommes persuad(cid:19)es qu’elle peut contribuer
a(cid:18) promouvoir le d(cid:19)eveloppement de m(cid:19)ethodes plus rationelles dans
la gestion des risques. Et les di(cid:14)cult(cid:19)es qui vont n(cid:19)ecessairement de
vii
pair font que l’actuaire \doit unir a(cid:18) une solide formation th(cid:19)eorique
l’esprit critique et la prudence qu’exige toute activit(cid:19)e qui ne se can-
tonne pas sur le plan de la sp(cid:19)eculation pure et qui entend dominer
les faits." C’est pour cela que nous pensons que cet ouvrage est
(cid:19)egalement destin(cid:19)e aux professionnels du risque.
L’ouvrage traite surtoutles risquesde masse, c’est-a(cid:18)-dire la cou-
vertured’ungrandnombrederisquessemblablesaumoyendecontrats
dont les conditions sont standardis(cid:19)ees. L’expos(cid:19)e se focalise donc sur
de grands portefeuilles d’assurance; ceci permettra de faire appel
aux r(cid:19)esultats asymptotiques du calcul des probabilit(cid:19)es, comme la
loi des grands nombres et le th(cid:19)eor(cid:18)eme central-limite.
L’ouvrage se concentre sur les assurances de choses et les assu-
rances de responsabilit(cid:19)e. Dans le premier cas, l’assureur s’engage a(cid:18)
indemniserl’assur(cid:19)e des dommages subis par ses biens (assurance in-
cendie, vol, dommages mat(cid:19)eriels aux v(cid:19)ehicules, ...). Dans le second
cas, l’assureur s’engage a(cid:18) indemniser a(cid:18) la place de l’assur(cid:19)e les tiers
victimes de dommages mat(cid:19)eriels ou corporels dont l’assur(cid:19)e est res-
ponsable (assurance de responsabilit(cid:19)e civile automobile, familiale,
...).
\But the age of chivalry is gone;
that of sophisters, economists, and calculators has succeeded [...] "
Edmond Burke, Re(cid:13)ections on the Revolution in France (1791).
Tome 1 - Principes fondamentaux de th(cid:19)eorie
du risque
Le premier tome entend jeter les bases th(cid:19)eoriques n(cid:19)ecessaires a(cid:18)
la compr(cid:19)ehension et a(cid:18) la r(cid:19)esolution des probl(cid:18)emes qui se posent en
assurance non-vie. Il est consacr(cid:19)e aux principes fondamentaux de la
th(cid:19)eorie math(cid:19)ematique du risque, th(cid:19)eorie dans laquelle les sciences
actuarielles sont profond(cid:19)ement ancr(cid:19)ees.
Le premier chapitre introduira les concepts de base de l’assu-
rance non-vie, de mani(cid:18)ere relativement informelle. Avant d’enta-
mer l’(cid:19)etude des techniques assurantielles proprement dites, il nous a
en e(cid:11)et paru essentiel de fournir au lecteur une introduction aux
notions qui seront utilis(cid:19)ees abondamment dans la suite de l’ou-
vrage. Cette introduction s’av(cid:18)erera particuli(cid:18)erement utile aux non-
actuaires,quipourrontainsimieuxappr(cid:19)ehenderlecadre(cid:19)economique
dans lequel se placent les d(cid:19)eveloppements des chapitres suivants.
viii
Historiquement, les math(cid:19)ematiques actuarielles sont n(cid:19)ees avec
les tables de mortalit(cid:19)e, et le calcul de rentes actualis(cid:19)ees, c’est-a(cid:18)-
dire une conception d(cid:19)eterministe du risque. Toutefois, la plupart
des (cid:19)el(cid:19)ements utilis(cid:19)es dans l’approche moderne des math(cid:19)ematiques
de l’assurance reposent sur les outils d(cid:19)evelopp(cid:19)es dans la branche de
th(cid:19)eoriedesprobabilit(cid:19)es:lasurvenanced’unsinistreestun(cid:19)ev(cid:18)enement
al(cid:19)eatoire, ainsi que, bien souvent, son cou^t. Comme le notait Du-
bourdieu,
\il serait vain de chercher a(cid:18) aborder et a(cid:18) traiter ces
probl(cid:18)emes [de \th(cid:19)eorie du risque"] d’une mani(cid:18)ere tant
soit peu approfondie, sans faire appel aux m(cid:19)ethodes mo-
dernes de la th(cid:19)eorie des probabilit(cid:19)es".
Ledeuxi(cid:18)emechapitreintroduitlamod(cid:19)elisationprobabilistedurisque,
qui sera utilis(cid:19)ee dans toute la suite de l’ouvrage. La taille de ce cha-
pitre peut para^(cid:16)tre impressionnante au premier regard. Toutefois,
ceci permettra aux chapitres suivant d’^etre consid(cid:19)eralement all(cid:19)eg(cid:19)es,
puisque la plupart des r(cid:19)esultats de th(cid:19)eorie du risque peuvent ^etre
vus comme des applications de r(cid:19)esultats probabilistes. Le second
chapitre introduira les outils probabilistes utilis(cid:19)es en mod(cid:19)elisation
des risques, de fac(cid:24)on abordable pour un public d’(cid:19)economistes, et
int(cid:19)eressant, on l’esp(cid:18)ere, pour les math(cid:19)ematiciens. Les mod(cid:18)eles clas-
siques pour le nombre et le cou^t (individuel) des sinistres y seront
pr(cid:19)esent(cid:19)es.
Le troisi(cid:18)eme chapitre sera enti(cid:18)erement consacr(cid:19)e au concept de la
prime pure: il s’agira de l(cid:19)egitimer, sous certaines conditions, l’usage
de l’esp(cid:19)erance math(cid:19)ematique pour calculer le prix du risque. Le
principe de mutualisation des risques repose, d’un point de vue
math(cid:19)ematique, sur l’utilisation de la loi des grands nombres. On
suppose alors g(cid:19)en(cid:19)eralement que les risques sont assez nombreux et
assez homog(cid:18)enes pour ^etre \justi(cid:12)ables de la loi math(cid:19)ematiques des
probabilit(cid:19)es" selon l’Encyclopedia Universalis.
\Celaexpliquequecertainsrisquescatastrophiques soient
actuellement inassurables. Mais le champ des risques as-
surabless’(cid:19)elargitsanscessegra^ceaux(cid:19)etudesdesth(cid:19)eoriciens..."
Nous insisterons toutefois (lourdement peut-^etre) sur les situations
ou(cid:18) le calcul dela primepureau moyen de l’esp(cid:19)erance math(cid:19)ematique
n’estpaspertinent.Nousverrons(cid:19)egalementqu’unetari(cid:12)cationbas(cid:19)ee
uniquementsurla primepureconduita(cid:18)uneruinecertaine(quelque
soit le niveau des fonds propres dont la compagnie dispose).
Cette approche a(cid:18) l’aide de la prime pure permet d’obtenir un
ix
(cid:19)equilibre (cid:19)economique en moyenne. Ce qui signi(cid:12)e que pour des
risques analogues et ind(cid:19)ependants, et pour un portefeuille su(cid:14)sam-
ment grand, la loi des grands nombres peut s’appliquer. Le qua-
tri(cid:18)eme chapitre montrera comment, et pourquoi l’actuaire ne se
contente pas de la prime pure mais lui ajoute un chargement de
s(cid:19)ecurit(cid:19)e. Cette composante peut ^etre particuli(cid:18)erement importante,
en particulier si le risque est susceptible de subir, d’une ann(cid:19)ee a(cid:18)
l’autre des (cid:13)uctuations importantes, ou si le risque est insu(cid:14)sam-
ment connu.
Dans les ann(cid:19)ees 80, sur les march(cid:19)es (cid:12)nanciers, l’hypoth(cid:18)ese de
risquesgaussienss’estav(cid:19)er(cid:19)ee insu(cid:14)santepourmesurercorrectement
les risques: comment comparer du risque de faillite a(cid:18) du risque de
variation de taux de change, en utilisant comme seul indicateur la
volatilit(cid:19)e (l’(cid:19)ecart-type)? La mesure de risque retenue a(cid:19)et(cid:19)e la Value-
at-Risk (ou VaR), correspondant a(cid:18) un quantile de la distribution de
perte.Ils’agitalors,a(cid:18)probabilit(cid:19)edonn(cid:19)ee,dupire casprobable.Nous
verrons dans le cinqui(cid:18)eme chapitre ce qu’est une mesure de risque,
et quelles propri(cid:19)et(cid:19)es souhaitables elle doit v(cid:19)eri(cid:12)er. Nous (cid:19)evoquerons
plus particuli(cid:18)erement deux mesures de risque utilis(cid:19)ees en assurance
non-vie:laValue-at-Risk,ainsiquelaTailVaR(esp(cid:19)eranceau-dela(cid:18)de
la VaR). Nous pr(cid:19)esenterons(cid:19)egalement une classe relativement vaste
de mesures de risque, d(cid:19)e(cid:12)nies a(cid:18) l’aide d’op(cid:19)erateurs de distorsion.
En(cid:12)n, nous nous servirons de ces mesures de risque pour comparer
les risques en pr(cid:19)esence.
Danslescontratsd’assurance-vie,historiquementcentredepr(cid:19)edilection
des actuaires, le risque (cid:19)etait individuel. En assurance non-vie, sous
l’impulsion de l’(cid:19)ecole scandinave (Filip Lundberg d(cid:18)es 1909 puis Ha-
rald Cram(cid:19)er en 1926), les actuaires se sont int(cid:19)eress(cid:19)es a(cid:18) l’approche
du risque du point de vue de la compagnie d’assurance: le mod(cid:18)ele
collectif (cid:19)etait n(cid:19)e. Le sixi(cid:18)eme chapitre sera ainsi consacr(cid:19)e au mod(cid:18)ele
collectif. Comme le notait Hans Gerber dans l’introduction de An
Introduction to Mathematical Risk Theory, l’obtention de la loi de
probabilit(cid:19)e de la charge totale des sinistres a toujours (cid:19)et(cid:19)e l’objet
d’un chapitre central dans les ouvrages de th(cid:19)eorie du risque. Nous
(cid:19)etudierons en particulier dans cette partie les m(cid:19)ethodes num(cid:19)eriques
permettant d’obtenirla loi de la sommecumul(cid:19)ee de sinistre(notam-
ment a(cid:18) l’aide du c(cid:19)el(cid:18)ebre algorithme de Panjer).
Le septi(cid:18)eme chapitre sera centr(cid:19)e sur l’(cid:19)equilibre a(cid:18) long terme des
r(cid:19)esultats de la compagnie, correspondant a(cid:18) la notion math(cid:19)ematique
x
de probabilit(cid:19)e de ruine. Le lien entre processus stochastiques et
th(cid:19)eorie du risque a (cid:19)et(cid:19)e (cid:19)etabli au d(cid:19)ebut du vingti(cid:18)eme si(cid:18)ecle par Filip
Lundberg et Harald Cram(cid:19)er. Ce probl(cid:18)eme de la ruine d’une com-
pagnie d’assurance a toutefois (cid:19)et(cid:19)e relanc(cid:19)e en 1963, suite a(cid:18) l’inter-
vention de Bruno de Finetti au colloque ASTIN a(cid:18) Trieste, sur \La
th(cid:19)eorie des plus grandes valeurs et son application aux probl(cid:18)emes
de l’assurance". Nous mettrons l’accent dans cette partie sur les
(cid:19)equations exactes ((cid:19)equations int(cid:19)egro-di(cid:11)(cid:19)erentielles ou relations a(cid:18)
l’aidedetransform(cid:19)eesdeLaplace,parexemple),enpr(cid:19)esentantquelques
cas particuliers permettant d’obtenir des formules explicites pour la
probabilit(cid:19)ederuine(enparticulierdanslecaspoissonien,lorsqueles
cou^ts individuels suivent une loi exponentielle n(cid:19)egative), mais aussi
des approximations ou des majorations de la probabilit(cid:19)e de ruine.
En retenant l’approche de Seal, nous (cid:19)etudierons de fac(cid:24)on g(cid:19)en(cid:19)erale
la probabilit(cid:19)e de ruine a(cid:18) horizon donn(cid:19)e (parfois in(cid:12)ni), en fonction
du montant de r(cid:19)eserves initiales.
Le huiti(cid:18)eme et dernier chapitre du premier tome abordera le cas
desrisquesmultiples.Ene(cid:11)et,engestiondesrisques,unedesnotions
fondamentales est celle d’agr(cid:19)egation des risques: un portefeuille de
compagnie d’assurancenon-viecomporteainsides contrats automo-
bile, habitation, incendie, etc. Par facilit(cid:19)e, on suppose g(cid:19)en(cid:19)eralement
touscesrisquesind(cid:19)ependants,ycomprisquandunecompagniecom-
mence a(cid:18) proposer des contrats (dits multi-branches) couvrant l’en-
sembledesrisquespourunm^emeclient.Commelerappelaitd’ailleurs
Hans Bu(cid:127)hlmann1 en 1963,
\the independence hypothesis is so common to be made
that many authors forget to mention it".
Mais les temp^etes de 1999 par exemple ont montr(cid:19)e clairement que
lorsquedescatastrophessurviennent,plusieursgarantiessonttouch(cid:19)ees
en m^eme temps: les risquesne sont pas ind(cid:19)ependants. Une fois cette
constatationfaite,ilconvientdeproposerdesmod(cid:18)elespermettantde
prendre en compte cette non-ind(cid:19)ependance entre les risques. Apr(cid:18)es
des rappels sur les vecteurs al(cid:19)eatoires, nous(cid:19)evoquerons la notion de
d(cid:19)ependance positive, de relation d’ordre entre vecteurs al(cid:19)eatoires,
ainsi que la notion de mesure de d(cid:19)ependance. La section suivante
abordera alors la notion fondamentale de fonction copule, permet-
tantdes(cid:19)eparerunvecteurderisques,enuncomportement marginal
d’une part, et une structure de d(cid:19)ependance d’autre part. Mais si
1.On notera d’ailleurs l’apport de Hans Bu(cid:127)hlmann sur ce sujet (en parti-
culier sur l’(cid:19)etude des variables (cid:19)echangeables) dans Austauschbare stochastische
Variabeln und ihre Grenzwertsatze (1960).
