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MATHEMATIQUES DE
L’ASSURANCE NON-VIE
Tome II : Tarification et
Provisionnement
Michel Denuit & Arthur Charpentier
7 d´ecembre 2009
Liminaires
ASSURANCE [asyra˜s] de asseurance, 16`eme si`ecle
—— 1. Sentiment de confiance, de s´ecurit´e, fait de rassurer. =⇒
confiance, qui´etude, s´ecurit´e —— 2. Contrat par lequel un
assureur garantit `a l’assur´e, moyennant une prime ou une
cotisation le paiement d’une somme convenue en cas de r´ealisation
d’un risque d´etermin´e =⇒ Risque, sinistre, dommage. —— 3.
Par extension, secteur regroupant les entreprises assurant cette
fonction. —— 4. “Le contrat al´eatoire est une convention
r´eciproque dont les effets quant aux avantages et aux pertes, soit
pour toutes les parties, soit pour l’une d’entre elles, d´ependent
d’un ´ev´enement incertain.” (Code Civil, art. 1964)
Si le premier tome de ces “Math´ematiques de l’Assurance Non-
Vie” ´etait celui de la th´eorie du risque, ce second tome sera celui
de l’activit´e d’assurance : la tarification et le provisionnement. Les
huit chapitres du premier tome donnent ainsi un certain nombre de
pr´erequis fondamentaux qui sont amplement utilis´es dans le second.
Contenu du Tome 2
Le neuvi`eme chapitre aborde d’un point de vue plus pr´ecis la
notion de tarification (dite a priori) pour des risques de masse
(par exemple, l’assurance automobile). La tarification a ´et´e intro-
duite d’un point de vue actuariel et probabiliste dans le troisi`eme
chapitre (notamment, la notion de prime pure). La recherche d’un
prix est ´egalement abord´ee dans le douzi`eme chapitre d’un point
de vue ´economique ou` le prix d’un bien (quel qu’il soit) doit ˆetre
vu comme un point d’´equilibre atteint par un acheteur et un ven-
deur.Ceneuvi`emechapitresesitueauconfluentdesdeux,entenant
compte de la notion d’h´et´erog´en´eit´e du portefeuille.
vi Liminaires
Nous insistons en particulier sur l’utilisation de va-
riables “exog`enes”, li´ees a` l’assur´e (ˆage, sexe, cat´egorie socio-
professionnelle, etc.), li´ees au bien assur´e (puissance du v´ehicule
ou son anciennet´e, en assurance automobile, par exemple), ou
li´ees `a l’environnement (zone urbaine ou rurale, par exemple).
Nous pr´esentons ainsi en d´etails l’utilisation des mod`eles lin´eaires
g´en´eralis´es (GLM pour Generalized Linear Models) afin de
mod´eliser une fr´equence ou un couˆt moyen de sinistres, en fonction
de variables explicatives.
Diderot rappelait dans ses Pens´ees Philosophiques que “celui
qui doute parce qu’il ne connaˆıt pas les raisons de la cr´edibilit´e n’est
qu’unignorant”.Nousconsacronsainsiledixi`emechapitre`aunoutil
tr`es utile en tarification par exp´erience : la th´eorie de la cr´edibilit´e.
Contrairement `a ce qui a ´et´e fait au neuvi`eme chapitre, dans lequel
les caract´eristiques exog`enes sont utilis´ees afin de pr´edire la sinis-
tralit´e, le dixi`eme chapitre utilisera le pass´e sinistres pour r´e´evaluer
le montant de la prime. Nous pr´esentons en particulier l’approche
bay´esienne, permettant de pr´evoir pour un individu le nombre de
sinistres qu’il aura l’ann´ee n (son esp´erance ou plus g´en´eralement
sa loi de probabilit´e), conditionnellement aux nombres de sinistres
observ´es au cours de n−1 premi`eres ann´ees. Enfin, nous pr´esentons
´egalement la pr´ediction lin´eaire propos´ee par Hans Bu¨hlmann, es-
timant le nombre moyen de sinistres de l’ann´ee n comme un ba-
rycentre, entre le nombre moyen de sinistres d´eclar´e par l’assur´e
au cours des n−1 premi`eres ann´ees, et la fr´equence moyenne sur
l’ensemble du portefeuille. La pond´eration donn´ee `a l’exp´erience in-
dividuelle est appel´ee coefficient de cr´edibilit´e.
Le onzi`eme chapitre aborde un m´ecanisme de tarification par
exp´erience (ou a posteriori) fort appr´eci´e en Europe : les syst`emes
bonus-malus. Il s’agira, tout comme dans le dixi`eme chapitre, de
r´e´evaluer le montant de la prime `a l’aide des sinistres observ´es dans
lepass´e,maiscettefoiscelasefera`al’aided’unm´ecanismeuniforme
etsimplifi´e,seprˆetantais´ementauformalismecontractuel(alorsque
la haute technicit´e de la th´eorie de la cr´edibilit´e la cantonne le plus
souvent aux couvertures d’assurance souscrites par les personnes
morales).Lem´ecanismebonus-malusincite´egalement`alaprudence
et r´eduit les inefficacit´es induites par l’al´ea moral. Nous pr´esentons
ainsi deux types de syst`emes : le syst`eme dit “`a classes” (comme
celui en vigueur en Belgique), et le syst`eme “`a coefficients r´educteur
ou majorateur” (en vigeur en France). Dans les deux cas, la th´eorie
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des chaˆınes de Markov permettra de mod´eliser la trajectoire des
assur´es dans de tels syst`emes.
En travaillant sur les probl`emes de jeux et de paris, Pascal
d´eclarait que “s’il y a autant de hasards d’un cˆot´e que de l’autre, le
pariest`ajouer´egalcontre´egal”.Ceprobl`emea´et´ereprisparDaniel
Bernoulli sous la forme du paradoxe dit “de Saint Petersbourg”, in-
troduisantladistinctionfondamentaleentrelegain(pretium)etson
utilit´e (emolumentum). Cette th´eorie d’esp´erance morale (comme
elle fut parfois appel´ee) a ´et´e formalis´ee et pleinement exploit´ee `a
partir des travaux de von Neumann et Morgenstern, en introduisant
les bases axiomatiques de l’utilit´e esp´er´ee. Cette th´eorie est le point
de d´epart du douzi`eme chapitre qui aborde l’assurance d’un point
de vue ´economique, ou` assureur comme assur´e sont des agents, qui
n’acceptent de payer pour une couverture (un bien) que si leur uti-
lit´e (ou leur esp´erance d’utilit´e) s’en trouve am´elior´ee. Un certain
nombre de paradoxes remettent toutefois en cause la plupart des
conclusions. Plusieurs approches duales sont alors propos´ees, par
exemple la notion de subjectivit´e des probabilit´es de survenance des
sinistres. Nous abordons ´egalement les m´ecanismes de couverture
pour des risques multiples, assurables ou non-assurables (ces der-
niers ´etant parfois qualifi´es de background risk).
Comme nous l’avons vu dans le Tome I, le march´e de l’assu-
rance se caract´erise par l’inversion du cycle de production. L’assu-
reurs’´etantengag´e`averseruneindemnit´eencasdesurvenanced’un
sinistreaucoursd’unep´eriode,ildoitconstituerdesprovisionspour
les sinistres non encore r´egl´es. C’est autour de cette notion comp-
table que le treizi`eme chapitre est articul´e. Comme nous le verrons,
les mod`eles utilis´es ne sont pas n´ecessairement tr`es complexes, mais
leur diversit´e rend l’exercice p´erilleux pour un actuaire : quel est,
au final, le mod`ele qu’il doit retenir pour estimer la charge finale
des sinistres pour des exercices non encore clos. Ce chapitre propose
un panorama non-exhaustif des diff´erentes m´ethodes, en insistant
sur le fait que les erreurs de mod`eles peuvent ˆetre importantes, et
difficiles `a quantifier. Une approche unifi´ee bas´ee sur les GLM per-
mettra d’aborder le probl`eme `a l’aide de techniques appropri´ees et
relativement universelles.
Les risques majeurs sont particuli`erement importants `a traiter
puisqu’ils repr´esentent (en montant) l’essentiel du passif d’un assu-
reur. Mais ils sont d’autant plus difficiles `a appr´ehender qu’il n’est
viii Liminaires
alors plus possible d’invoquer la plupart des r´esultats fondamen-
taux (loi de grands nombres et th´eor`eme central limite), ´evoqu´es
dans le Tome I. Le quatorzi`eme chapitre propose ainsi un certain
nombre d’outils math´ematiques permettant de mod´eliser au mieux
ces´ev´enementsrares,maisextrˆemementcouˆteux.“L’habituel d´efaut
de l’homme est de ne pas pr´evoir l’orage par beau temps”,pr´etendait
Machiavel, faisant que les catastrophes ont longtemps ´et´e g´er´ees
ex-post. Les r´esultats pr´esent´es dans ce chapitre, et les outils mis
en place sur les march´es assurantiels (en particulier les trait´es de
r´eassurance) sont autant d’´el´ements qui rendent plus solides un
march´e de plus en plus sollicit´e, pour offrir des garanties toujours
plus ´etendues.
Lequinzi`emechapitreestdavantagem´ethodologique.Ilpr´esente
un certain nombre d’outils num´eriques afin de calculer des primes,
des mesures de risque, des probabilit´es de ruine, etc. En particulier,
nous insistons sur les m´ethodes de simulation, en tentant de voir
comment obtenir les meilleurs r´esultats, en un minimum de temps
de calcul.
Enfin, un dernier chapitre en guise de conclusion essaiera de
pr´esenter sur quelques cas simples et concrets les limites de l’as-
surabilit´e : `a l’aide des outils propos´es dans les deux tomes de ces
“Math´ematiques de l’Assurance Non-Vie”, les compagnies d’assu-
rance peuvent-elles pour autant tout assurer?
Remerciements
Avant de conclure cette pr´eface, nos plus sinc`eres remerciements
vont `a nos coll`egues, qui ont accept´e de porter un regard critique et
constructif sur ce texte, `a diff´erents stades de son ´evolution. Nous
voudrions ainsi remercier Meglena Jeleva, Anne-C´ecile Goderniaux,
H´el`ene Gu´erin et Claude Lef`evre. Nous souhaitons ´egalement ex-
primer notre gratitude envers le professeur Christian Gouri´eroux
pour ses nombreux commentaires et suggestions, qui ont permis de
corriger et d’am´eliorer sensiblement le texte, mais aussi pour avoir
accept´e de nous publier dans cette prestigieuse collection.
Les nombreux ´etudiants `a qui les auteurs ont eu le grand plai-
sir d’inculquer les sciences actuarielles, ont largement contribu´e `a
am´eliorer la pr´esentation de l’expos´e. Nous tenons ici `a nous excu-
serdenousˆetreservisd’euxcommeautantdecobayesinvolontaires.
Notre gratitude leur est acquise.
Liminaires ix
Merci ´egalement aux demandes insistantes d’un certain nombre
de professionnels de l’assurance souhaitant que leur soient expos´ees
de fac¸on claire des m´ethodes r´ecentes afin de traiter des risques de
plusenpluscomplexes.Sanseux,cetouvragen’auraitprobablement
jamais vu le jour. Qu’ils en soient remerci´es. Et que soient remerci´es
´egalement un certain nombre d’universitaires en math´ematiques ap-
pliqu´ees ou en ´economie, qui, nous l’esp´erons, auront trouv´e ici
mati`ere `a de nouveaux travaux de recherche. Nous avons essay´e
de tenir compte de leurs critiques lors de la r´edaction de ce second
tome.
Les deux tomes de ces “Math´ematiques de l’Assurance Non-
Vie” ont eu l’immense honneur d’ˆetre respectivement introduits
par Claude B´eb´ear - fondateur d’AXA et Pr´esident du Conseil de
Surveillance, assureur et actuaire reconnu - et conclus par Hans
Bu¨hlmann - professeur ´em´erite de l’ETH Zu¨rich, et auteur de l’ou-
vrage qui, 35 ans apr`es sa publication, fait encore r´ef´erence en
math´ematiquesdel’assurancenon-vie.Mercipourleurbienveillance
et leurs encouragements.
Enfin, last but not least, nous tenons `a remercier nos employeurs
respectifs, pour le cadre de travail agr´eable et les moyens qu’ils
mettent `a notre disposition, afin de d´evelopper un travail scienti-
fique de qualit´e.
Chapitre 9
Tarification a priori
9.1 Introduction
Danslatarificationditea priori,l’id´eeestdes´eparerlescontrats
(etlesassur´es)enplusieurscat´egories,defa¸conqu’`al’int´erieurd’une
cat´egorie, les risques puissent ˆetre consid´er´es comme “´equivalents”.
Les bases de la tarification en univers segment´e ont ´et´e jet´ees dans
le Tome 1 (voyez la Section 3.8).
Comme nous l’avons vu `a la Section 3.7, l’h´et´erog´en´eit´e au sein
d’un portefeuille pose un grand nombre de probl`emes, en particu-
lier d’antis´election : si la mˆeme prime est appliqu´ee `a l’ensemble du
portefeuille, les mauvais risques s’assureront (`a un prix d’ailleurs
moins ´elev´e que celui qui devrait leur ˆetre r´eclam´e), mais les bons
pourraient ˆetre d´ecourag´es par le tarif trop ´elev´e, ce qui aura ten-
dance `a d´egrader le r´esultat1. L’id´ee naturelle qui est d´evelopp´ee
dans les premi`eres sections de ce chapitre est de partitionner le
portefeuille afin de constituer des sous-portefeuilles sur lesquels les
risquespeuventˆetreconsid´er´escommeind´ependantsetdemˆemeloi.
On parle alors de classes de risques. Les classes sont dites a priori
lorsqu’ils’agitdeclasserlerisqueapartird’informationdisponiblea
priori (sur l’assur´e, le bien assur´e...) et a posteriori si l’information
sur l’historique des sinistres de l’assur´e est prise en consid´eration
(comme cela sera fait dans les deux chapitres suivants).
Les Chapitres 3 et 4 du Tome 1 ont pr´esent´e les principes
g´en´eraux de calcul des primes, reposant essentiellement sur le cal-
1. Insistonsencoreunefoissurl’absencedecaract`erep´ejoratifdanslequalifi-
catif“mauvais”.Ilnes’agitpasdestigmatiserunecertainecat´egoried’individus
mais bien de reconnaˆıtre techniquement que certains assur´es causent davantage
de sinistres, ou des sinistres plus couˆteux, que d’autres.
2 Chapitre 9. Tarification a priori
cul de la prime pure, correspondant `a l’esp´erance math´ematique du
couˆt annuel des sinistres d´eclar´es `a l’assureur. Cette prime pure se
d´ecomposait toutefois en deux composantes : la fr´equence et le couˆt
moyen, en notant simplement que
(cid:34) N (cid:35)
(cid:88)
E X = E[N]×E[X ],
i i
i=1
pour des montants de sinistres X ,X ,... ind´ependants et de mˆeme
1 2
loi, ind´ependants de leur nombre N (voyez la Propri´et´e 3.2.11). Il
convient en effet de s´eparer ces deux notions pour plusieurs rai-
sons : les facteurs explicatifs ne sont pas toujours les mˆemes (en
assurance automobile, la fr´equence est une variable li´ee essentielle-
ment au conducteur, et le couˆt moyen au v´ehicule), le couˆt moyen
est soumis `a l’inflation alors que la fr´equence suit des cycles plus
complexes, et si la fr´equence peut ˆetre connue rapidement, le couˆt
peut ˆetre long `a estimer lors d’accidents corporels par exemple (ce
dernier point sera abord´e en d´etails dans le Chapitre ?? sur le pro-
visionnement).
Exemple 9.1.1. La Figure ?? compare, sur des donn´ees franc¸aises,
le couˆt moyen des sinistres et la fr´equence pour des segments de po-
pulation diff´erents, avec un d´ecoupage prenant en compte le sexe,
l’ˆage (18-25, 25-40, 40-65, plus de 65 ans), l’utilisation du v´ehicule
(commerciale ou non), la puissance (gradu´ee de A a` K, K d´esignant
les grosses cylindr´ees), pour quelques cat´egories socio-professionelle
(profession lib´erale, fonction publique ou agriculture). Les deux axes
permettent de repr´esenter le comportement moyen sur l’ensemble
de la population (fr´equence de l’ordre de 13,5% et couˆt moyen de
1 100 e correspondant respectivement aux axes verticaux et hori-
zontaux de la figure). On note que le point qui se d´etache le plus
du nuage est celui des jeune conducteurs (hommes de 18 `a 25 ans,
classe H-18-25 en haut `a droite), qui ont `a la fois plus de sinistres et
des sinistres plus couˆteux. Les hommes de 25 `a 40 ans se d´etachent
´egalement, en particulier d`es lors qu’ils ont une voiture puissante
ou qu’ils ont une profession lib´erale et qu’ils utilisent leur v´ehicule
dans le cadre de leur travail. Les femmes exerc¸ant une profession
lib´erale sont ´egale mises en avant, avec une fr´equence de sinistres
tr`es ´elev´ee, mais un couˆt moyen dans la moyenne. En revanche, les
personnes ˆag´ees ou les hommes inactifs ont une fr´equence relative-
ment faible pour un couˆt moyen standard.
Deplus,silamod´elisationdirectedelaprimepurepeutparaˆıtre
plus robuste et plus rapide, elle s’av`ere relativement complexe `a
9.2. Les variables tarifaires 3
mettre en oeuvre puisqu’il est difficile de trouver des lois simples
mod´elisantcorrectementlaprimepure.Enrevanche,desloissimples
permettent de mod´eliser les fr´equences, et les couˆts moyens (voir
Chapitre 2).
9.2 Les variables tarifaires
En tarification, par habitude, mais aussi pour des raisons tech-
niques que nous allons pr´esenter ici, les variables tarifaires sont
g´en´eralement des variables qualitatives. Les variables continues sont
alors g´en´eralement regroup´ees par classes.
En assurance automobile, la tarification peut d´ependre des ca-
ract´eristiques propres du v´ehicule (puissance et vitesse de pointe,
anciennet´e du v´ehicule), de son usage, de la zone de circulation
(densit´e du trafic), ou de certains traits sp´ecifiques du conducteur
habituel.
Figure9.1–Statistiquesrelativesaucouplefr´equence/couˆtmoyen
en assurance automobile, observation d’un portefeuille d’assurance
fran¸cais.
Les informations que tente d’avoir l’assureur sur l’assur´e, afin
de contrer l’antis´election doivent, d’un point de vue pratique, ˆetre
v´erifiables. Certaines informations qui pourraient ˆetre r´ev´elatrices
d’un comportement `a risque (c’est-`a-dire fortement corr´el´ees `a la
sinistralit´e) ne peuvent ˆetre utilis´ees car elles induiraient une forte
fraude (point que nous n’aborderons pas dans ce chapitre) : ainsi,
la distance parcourue par le v´ehicule chaque ann´ee est difficilement
v´erifiable.
Les variables explicatives composant X peuvent ˆetre de
diff´erentstypes.Certainesd’entreellespeuventˆetrequantitativeset
continues (comme la puissance de la voiture ou l’ˆage de l’assur´e par
exemple). D’autres variables explicatives dont l’assureur dispose `a
proposdesesassur´espeuventˆetrequantitativesdiscr`etes(lenombre
d’enfantsdel’assur´e,parexemple).D’autresencoresontqualitatives
ou cat´egorielles (comme le sexe de l’assur´e, par exemple). On peut
´egalementutiliserdesindicesr´esumantlescaract´eristiquesdelazone
d’habitation de l’assur´e `a partir de donn´ees publiques, comme celles
issues d’un recensement. En condensant l’information pertinente `a
propos de la sinistralit´e disponible aupr`es d’un institut national de
statistique, on peut ainsi obtenir de nouvelles variables explicatives
4 Chapitre 9. Tarification a priori
dont le pouvoir pr´edictif (reconnu par le mod`ele) est souvent tr`es
important. Nous reviendrons sur ce point `a la Section ??.
Lesvariablesquantitativesn’appellentpasdecommentairespar-
ticuliers. En ce qui concerne les variables cat´egorielles, on convient
de coder tout facteur partitionnant la population en k cat´egories
par les entiers 0,1,...,k − 1. Certains facteurs peuvent ˆetre ordi-
naux et r´esulter d’une variable quantitative (comme la puissance
d’un v´ehicule que l’on a cod´ee en diff´erentes classes), soit ordinaux
mais sans´echelle quantitative (comme le niveau d’´etudes) ou encore
ˆetre purement qualitatif, sans induire d’ordre (comme le sexe). Une
variable cat´egorielle `a k facteurs est g´en´eralement cod´ee par k −1
variables binaires qui sont toutes nulles pour le niveau de r´ef´erence.
Exemple 9.2.1. La plupart du temps, les variables explicatives
sont toutes cat´egorielles dans un tarif commercial. Consid´erons par
exemple un compagnie segmentant selon le sexe, le caract`ere sportif
du v´ehicule et l’ˆage de l’assur´e (3 classes d’ˆages, `a savoir moins de
30 ans, 30-65 ans et plus de 65 ans). Un assur´e sera repr´esent´e par
un vecteur binaire donnant les valeurs des variables
(cid:26)
0, si l’assur´e est un homme,
X =
1 1, si l’assur´e est une femme,
(cid:26)
0, si le v´ehicule n’a pas de caract`ere sportif,
X =
2 1, si le v´ehicule a un caract`ere sportif,
(cid:26)
1, si l’assur´e a moins de 30 ans,
X =
3 0, sinon,
(cid:26)
1, si l’assur´e a plus de 65 ans,
X =
4 0, sinon.
Pour chaque variable, on choisit comme niveau de r´ef´erence (i.e.
celui pour lequel toutes les variables binaires utilis´ees pour la co-
der valent simultan´ement 0) la modalit´e la plus repr´esent´ee dans le
portefeuille. Les r´esultats s’interpr`eteront ensuite comme une sur-
ou sous-sinistralit´e par rapport `a cette classe de r´ef´erence. Ainsi, le
vecteur (0,1,1,0) repr´esente un assur´e masculin de moins de 30 ans
conduisant un v´ehicule sportif.
9.3 Principes de base de la statistique
Cette section rappelle bri`evement les m´ethodes statistiques
´el´ementaires. Notre pr´esentation est intuitive et informelle. Pour
plus de d´etails, nous renvoyons le lecteur par exemple `a Monfort
(1996).
