Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II: Band 3: Didaktik der Stochastik

338 Pages·2002·27.61 MB·German

by  Prof. Dr. Uwe-Peter Tietze

u.-P. Tietze, M. Klika, H. Wolpers (Hrsg.)
Mathematikunterricht in der
Sekundarstufe II
Aus dem Programm ______________
~
Didaktik der Mathematik
Grundfragen des Mathematikunterrichts
von E. Ch. Wittmann
Didaktische Probleme der elementaren Algebra
von G. Malle
DERIVE fur den Mathematikunterricht
von W. Koepf
Padagogik des Mathematikunterrichts
von L. Fuhrer
Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II
Bd. 1: Fachdidaktische Grundfragen -
Didaktik der Analysis
Bd. 2: Didaktik der Analytischen Geometrie
und Linearen Algebra
Bd. 3: Didaktik der Stochastik
von D.-P. Tietze, M. Klika und H. Wolpers (Hrsg.)
Leitfaden Arithmetik
von H.-I. Gorski, S. Muller-Philipp
Leitfaden Geometrie
von S. Muller-Philipp, H.-J. Gorski
vieweg _________________- -----"
Uwe-Peter Tietze
Manfred Klika
Hans Wolpers
(Hrsg.)
Mathematikunterricht in
der Sekundarstufe II
Band 3
Didaktik der Stochastik
verfasst von Hans Wolpers
unter Mitarbeit von Stefan G6tz
~
vleweg
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Ein Titeldatensatz fUr diese Publikation ist bei
der Deutschen Bibliothek erhiiItlich.
Prof. Dr. Uwe-Peter Tietze
TU Braunschweig, FB 9
Institut fUr Didaktik der Mathematik und Elementarmathematik
PockelsstraBe 11
38106 Braunschweig
E-Mail: [email protected]
PD Dr. Manfred Klika ond Dr. Hans Wolpers
Universitiit Hildesheim
Institut fUr Mathematik und Angewandte Informatik
Marienburger Platz 22
31141 Hildesheim
E-Mail: [email protected]
[email protected]
1. Auflage September 2002
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© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, BraunschweiglWiesbaden, 2002
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ISBN-13:978-3-528-06999-5 e-ISBN-13:978-3-322-83144-6
DOl: 10.1007/978-3-322-83144-6
v
Vorwort
Vorwort der Herausgeber
Wir legen mit dies em Band zur Didaktik der Stochastik den Teil IV unseres dreibandigen
Werkes zum Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II VOL Ahnlich wie in Teil II zur
Didaktik der Analysis und in Teil III zur Didaktik der Analytischen Geometrie und Line
aren Algebra kniipfen wir auch hier an die Fachdidaktischen Grundfragen aus Teil I an.
Zwar ist das vorherige Studium dieser Grundfragen sehr empfehlenswert, gleichwohl
kann der vorliegende Band auch ohne diese Voraussetzung gelesen werden, denn wir
haben darauf geachtet, dass dieser Band in sich geschlossen ist.
Weil nicht vorausgesetzt werden kann, dass die Themen der Stochastik so vertraut sind
wie die der Analysis oder der linearen Algebra, ist der Buchtext nach den mehr fachli
chen gesehenen Aufgaben der Stochastik, der Erhebung und Darstellung von Daten, der
Entwicklung und Anwendung von Modellen und der Uberpriifung und Interpretation
organisiert. Dabei werden aber vier Grundtatigkeiten des Mathematikunterrichts einer
genauen Analyse unterzogen: Lernen (von Begriffen und Regeln), Problernl6sen, An
wenden und Modellbiiden sowie Beweisen und Begriinden. Es werden Grundlagen zum
Verstehen von inhaltsbezogenen Lern- und Interaktionsprozessen behandelt und Konse
quenzen fUr das Unterrichtsmanagement, insbesondere fUr die Auswahl von Lehrverfah
ren, abgeleitet. Mit der Diskussion eines problem- und anwendungsorientierten Mathe
matikunterrichts und der Frage nach Art, Ziel und Umfang des Rechnereinsatzes
(Computer, grafikfahiger Taschenrechner, Schul- und Anwendersoftware) werden we
sentlichen Gesichtspunkten der aktuellen Reformdiskussion urn den Mathematikunter
richt Rechnung getragen.
Wir kniipfen mit dieser dreibandigen Didaktik an das Buch "TietzelKlikaIWolpers: Di
daktik des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe II" von 1982 an. Die vielfliltigen
Veranderungen in der Schule, in den Fachwissenschaften und der Fachdidaktik haben uns
veranlasst, ein neues Buch zu schreiben und nicht nur eine Neubearbeitung vorzulegen.
Hervorzuheben sind insbesondere die sich verandernde gesellschaftliche Rolle des Gym
nasiums, aktuelle und mogliche Veranderungen von Mathematikunterricht durch die
neuen Informationstechnologien, die Neubewertung der Anwendungsorientierung (Beto
nung des Realitatsbezugs) und das stark gewachsene Wissen iiber fachspezifische Lehr-,
Lern-, Verstehens- und Interaktionsprozesse.
Wichtiges Charakteristikum des gesamten Werkes ist es, dass die allgemeinen Gedanken
und Theorien nicht abstrakt bleiben. AIle Teile dieser Didaktik sind mit zahlreichen Bei
spielen und Aufgaben versehen. Diese sollen das Verstandnis des Textes erleichtern, zur
Weiterarbeit anregen, als Ubungsmaterial fUr didaktische Veranstaltungen in der ersten
und zweiten Ausbildungsphase dienen und Anregungen fiir den konkreten Unterricht
geben. AIle Kapitel sind in intensiven Diskussionen inhaltlich aufeinander abgestimmt
worden.
Nach langer Diskussion iiber den Gebrauch weiblicher und mannlicher Wortformen, wie
Lehrerin, Lehrer und LehrerIn, haben wir uns fiir den traditionellen Weg der mann lichen
VI Vorwort
Form entschieden. Wir bitten un sere Leser, VersHindnis dafUr zu haben. Auch befragte
Frauen haben uns in dieser Entscheidung bestarkt.
Das Werk wendet sich an Fachdidaktiker, an Studenten des gymnasialen Lehramts, an
Referendare und an Lehrer, die ihren Unterricht iiberdenken mochten, die nach neuen
Formen des Unterrichts oder nach inhaltlichen Anregungen suchen.
Juli 2002
Prof Dr. u.-P. Tietze; Akad. Oberrat PD Dr. M. Klika; Akad. Dir. i. R. Dr. H. Wolpers
TV Braunschweig und Vniversitiit Hildesheim
Vorwort der Verfasser dieses Bandes
Der Mathematikunterricht der Sekundarstufe II wird von drei Themenbereichen be
stimmt: Analysis, Lineare Algebra und Analytische Geometrie sowie Stochastik. Dem
entsprechend besteht die Reihe "Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II" aus drei
Banden, die ersten beiden sind 1997 (2., durchgesehene Auflage 2000) bzw. 2000 er
schienen, der dritte zur Stochastik liegt nun vor. Die Reihenfolge des Auftretens ist nicht
ganz unabhangig von der Bedeutung der jeweiligen Gebiete in der schulischen Praxis zu
sehen. Kein Mathematikunterricht, der etwas auf sich halt, kommt urn Fragen der Analy
sis herum, die fast schon beriihmten Kurvendiskussionen sind oft die "Rettungsanker"
beim Abitur fUr manche(n) Schiilerin bzw. Schiiler. Auch im Studium des Lehramts Ma
thematik ist die Analysis der dominierende Topos des ersten Studienabschnitts, dieser
Eindruck wird noch verstarkt, wenn Physik als zweites Fach gewahlt worden ist. Die
Analytische Geometrie kann da nicht ganz mithalten, zumal ihre Anwendungen in au
Bermathematischen Situationen in vielen Fallen weniger bekannt sind als jene der Analy
sis, und eine gewisse Anwendungsorientierung aber Kennzeichen jedes modernen Ma
thematikunterrichts ist.
Die Stochastik hat erst in den letzten Iahrzehnten Eingang in die Studienplane der Lehr
amtsausbildung in Mathematik gefunden, ihre feste Verankerung im Mathematikunter
richt selbst hat aber noch nicht stattgefunden. Es ist dabei interessant festzustellen, dass
einerseits oft dariiber geklagt wird, die an der Universitat in der Lehramtsausbildung
Mathematik angebotenen (mathematischen) Inhalte seien fUr die Schule zu wenig
brauchbar, dass aber andererseits Stochastiklehrveranstaltungen im Studium zu wenig
wahrgenommen werden. Tatsachlich zeigt sich an dies em Beispiel einmal mehr, wie
wichtig das an der Universitat gelehrte Wissen fiir den spateren Lehrberuf ist, urn nam
lich z. B. neue curriculare Inhalte angemessen in den bestehenden Lehrstoff einordnen zu
konnen.
Die (stoff-)didaktische Forschung bietet ein erganzendes Bild. Die Beitrage zu Themen
der Geometrie und der Stochastik sind auBerordentlich zahlreich. Den Schluss daraus zu
ziehen, diese Gebiete seien im derzeitigen Mathematikunterricht sehr bedeutend, ist min
destens gewagt. Dabei sind von der Fachdidaktik sowohl allgemeine wie auch fUr die
Stochastik spezifische Ergebnisse erzielt bzw. verifiziert worden, die es wert sind, beach-
Vorwort VII
tet zu werden. Allerdings ist das Panorama fachlicher Zusammenhange und didak
tisch-methodischer Diskussionen und Vorschlage so weitgespannt, dass es unmoglich ist,
einen vollstandigen und gleichzeitig ausfUhrlichen Uberblick iiber die fachdidaktische
Forschung und ihre Ergebnisse in Bezug auf die Stochastik zu geben.
Zum Schluss bleibt noch die angenehme Ptlicht, all jenen zu danken, die zur Entstehung
dieses Buches beigetragen haben. Insbesondere danken wir den Professoren Joachim
Bentz, Wilfried Herget und Michael Kolonko und den Studienraten Lutz Breidert, Joa
chim Haase und Gerd Hinrichs fUr ihre Durchsicht und wertvollen Hinweise. Fiir den
"Wiener Teil" haben in kompetenter, engagierter und geduldiger Weise (der Zweitautor
hat immer wieder etwas gefunden oder andern wollen) Frau Gudrun Kretzschmar, Frau
Cornelia Bauer, Frau Waltraud Lager yom Sekretariat des Institutes fUr Mathematik der
Universitat Wien, Frau Eva Kissler [jetzt: Erwin Schrodinger International Institute for
Mathematical Physics (ESI)], Frau Erika Klejna und Frau Brigitte Wendelin (beide jetzt:
Studienbeihilfenbehorde) die Schreibarbeit geleistet, was bei den Tiicken, die hin und
wieder bei dem zugrundeliegenden Textprogramm auftreten, keine einfache Aufgabe
gewesen ist.
Juli 2002
Akad. Direktor i. R. Dr. H. Wolpers Univ.-Doz. Mag. Dr. Stefan GOtz
Universitiit Hildesheim Universitiit Wien
InstitutfUr Mathematik und Institut fUr Mathematik
Angewandte Informatik
Einleitung
"Es gibt kein Stricken ohne Wolle" heiBt es, und die im Vergleich zur analytischen oder
algebraischen/geometrischen nicht so vertraute stochastische "Wolle" will sorgfaltig
abgewickelt werden, urn bei dem Bild zu bleiben. Daher wird im ersten Kapitel der fach
systematische Hintergrund in sehr geraffter Form dargestellt. Selbstverstandlich kann und
will diese Schilderung kein einschIagiges Lehrbuch ersetzen, dennoch wurde auf eine
gewisse Vollstandigkeit, wie sie im Rahmen einer Einfiihrung in die elementare Wahr
scheinlichkeitstheorie und Statistik anzustreben ist, geachtet.
Dieser fachsystematische Hintergrund beginnt mit dem (mathematischen) Konzept des
Wahrscheinlichkeitsraums und der Idee der Zufallsvariablen mit ihren Beschreibungs
moglichkeiten (Verteilungen). Die Grenzwertsiitze, welche daran anschlieBen und eine
Beziehung zwischen gewissen Verteilungen herstellen, sind i. AUg. schwierig zu bewei
sen, ihre Anwendung als Approximationssatze dagegen ist oft einfach.
Die wichtigste Konfrontation der Wahrscheinlichkeitstheorie mit der Realitat passiert in
der Statistik, die zugehOrige Modellbildung basiert auf Begriffen der beschreibenden
Statistik. Dabei erschOpfen sich die zugehOrigen Aktivitaten natiirlich nicht im Berechnen
allein, bedeutend erscheint aus heutiger Sicht auch das Erstellen und Interpretieren von
graphischen DarsteUungen des zur Verfiigung stehenden Datenmaterials.
VIII Vorwort
Das Aufstellen von konkreten, quantitativen Modellen geschieht mit Hilfe der aus der
Wahrscheinlichkeitstheorie bekannten Verteilungen von Zufallsvariablen. Bine - aus
didaktischer Sicht - hochst diffizile Vereinigung der beiden Sichtweisen aus beschrei
bender Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie ergibt die beurteilende Statistik. Beim
quantitativen Auswerten von Datensatzen und Uberpriifen von Aussagen iiber sie wird im
Wesentlichen zwischen dem Schatzen (von Parametern) und dem Testen (von Hypothe
sen) unterschieden. Neben dem klassischen Aufbau dieser Verfahren wird auch eine
Alternative im Rahmen der Bayes-Statistik vorgestellt.
Durch die Geschichte der Stochastik zieht sich als "roter Faden" der Wahrscheinlich
keitsrechnung der Wandel des Wahrscheinlichkeitsbegriffs. Von seiner Entstehung auf
grund von Fragen, die sich im Zuge der Beschaftigung mit Gliicksspielen ergeben haben
bis zu seiner axiomatischen Formulierung ist es ein weiter Weg gewesen. Die Urspriinge
der Statistik sind wohl in den Volkszahlungen zu suchen, ihre Methoden haben sich bis
heute derart verfeinert, dass sie aus kaum einer Wissenschaft, die in irgendeiner Form mit
Empirie zu tun hat, mehr wegzudenken ist.
Der letzte Abschnitt des ersten Kapitels ist den Bemiihungen gewidmet, mit Hilfe des
Konzeptes der Fundamentalen Ideen ein Curriculum fUr den Stochastikunterricht zu
strukturieren und zu entwickeln.
Das zweite Kapitel beginnt mit einem historischen Abriss iiber den Stochastikunterricht.
Die verschiedenen Ansatze, die sich dabei ergeben haben, bestehen heute z. T. nebenein
ander, allerdings sind ihre Auswirkungen auf den konkreten Stochastikunterricht sehr
unterschiedlich.
GroBe Datenmengen, welche in stochastischen Situationen naturgemaB haufig vorkom
men, rufen in natiirlicher Weise zum Einsatz des Computers in jeder Phase der Bearbei
tung auf, also von der Datenerfassung iiber die Strukturierung zur Modellbildung und
schlieBlich zur Uberpriifung. Routinen kommen in statistischen Verfahren viele vor, ihre
DurchfUhrung kann - im Gegensatz zur Interpretation der Ergebnisse oder dem Ziehen
von Schliissen daraus - der Computer iibernehmen. Die Simulation von Zufallsexperi
men ten ist ebenfalls eine Indikation fUr den Computereinsatz im Stochastikunterricht,
konkrete Hinweise auf Programm(paket)e beenden den zweiten Abschnitt dieses Kapi
tels.
Das stochastische Denken im dritten Abschnitt des zweiten Kapitels bringt uns auf die
Frage zuriick, warum die Stochastik im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II keine
groBere - namlich die ihr nach heutiger Auffassung zustehende - Rolle spielt. Die
Schwierigkeiten, eine richtige Intuition bei der Erfassung von stochastischen Situationen
zu entwickeln, sind mannigfach belegt (eine Ausformung davon sind die Paradoxa, die in
gewisser Weise sogar typisch fUr dieses Teilgebiet der Mathematik sind, obwohl auch in
anderen mathematischen Gebieten welche existieren), und haben die Entwicklung von
Theorien des stochastischen Denkens provoziert. Die Intuitionen und Strategien werden
an einzelnen konkreten Begriffen der Stochastik diskutiert, Folgerungen fUr den Sto
chastikunterricht schlieBen dies en Abschnitt abo
Das dritte Kapitel konkretisiert vielfach an hand von Beispielen die Themen, die im ersten
Kapitel angesprochen worden sind. Dabei bedeutet "Konkretisieren" das Heruntertransfe
rieren mathematischer Inhalte auf schulrelevante Aspekte. Die Realisierung des Grund-
Vorwort IX
satzes "Vereinfaehen, ohne zu verfalsehen!" ist, wie die Diskussion zeigt, gerade in der
Stoehastik mit ihrer starken Anwendungsorientierung nieht einfaeh. Es gibt keinen Ko
nigsweg, daher kannen nur einige Varianten aufgezeigt werden. Die Frage "Was maehte
ieh in dieser Stunde bzw. mit diesem Beispiel eigentlieh mitteilen?" kann nur mit Hilfe
eines soliden Hintergrundwissens beantwortet werden. In diesem Sinne sind die ange
fuhrten Themen dieses Kapitels nur Hinweise, spatestens hier setzt eben die individuelle
Arbeit jedes/r einzelnen Lehrers/in ein. Der gewahlte Rahmen zeigt, was in einem Sto
ehastikunterrieht der Sekundarstufe II alles vorkommen kann (aber natiirlieh nieht zur
Ganze muss !), mit ein wenig Ausbliek, was es sonst noch so gibt.
Das vierte Kapitel schlieBlich bringt Themen, bei denen meist von konkreten Problem
stellungen (auBermathematischer Natur) ausgegangen wird und dann sukzessive Be
schreibungsmaglichkeiten und magliche Lasungswege entwiekelt werden. Ein didakti
scher Kommentar bzw. ein didaktisehes Resiimee als Hilfestellung zur Einordnung dieser
nicht unbedingt gangigen Stoffgebiete beschlieBt jeden Abschnitt in diesem Kapitel.
Neben der Problemorientierung ist der Anwendungscharakter ein weiteres Auswahlkrite
rium fur die behandelten Themen dieses Kapitels gewesen, ganz in dem Sinne, wie sich
die moderne Mathematik und ihre Vertreter bzw. Vertreterinnen heute vielfaeh prasentie
reno
An einzelnen Stellen des in Rede stehenden Kapitels werden aueh Vernetzungen der
Stochastik mit der Analysis bzw. mit der Linearen Algebra deutlieh, neben den spezifi
schen Gesichtspunkten des stoehastisehen Denkens gehart das Aufzeigen dieser Zusam
menhange unbedingt zu einem ergiebigen Stoehastikunterrieht (wobei diese Querverbin
dungen natiirlich auch an ganz anderen Beispielen demonstriert werden kannen).
x Inhaltsverzeichnis
Inhaltverzeichnis
TeiliV DIDAKTIK DER STOCHASTIK
1 Fachlicher Hintergrund und historische Entwicklung ......... 1
1.1 Fachlicher Hintergrund ...................................................................... 1
1.1.1 Wahrscheinlichkeitsraum ..................................................................... 1
1.1.1.1 Ereignisalgebra .................................................................................... 2
1.1.1.2 WahrscheinlichkeitsmaB ...................................................................... 3
1.1.1.3 Verkntipfungen von Wahrscheinlichkeiten .......................................... 6
1.1.1.3.1 Additionssatze ...................................................................................... 6
1.1.1.3.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit ............................................................... 7
1.1.1.3.3 Multiplikationssatz ............................................................................... 9
1.1.1.3.4 Satz von der totalen W ahrscheinlichkeit.. .......................................... 10
1.1.1.3.5 Unabhangigkeit .................................................................................. 10
1.1.1.3.6 Bayes-Regel ....................................................................................... 12
1.1.1.3.7 Produktraume ..................................................................................... 14
1.1.2 Zufallsvariable, Verteilungen, Momente ........................................... 15
1.1.2.1 Zufallsvariablen, Verteilungen ........................................................... 15
1.1.2.1.1 Diskrete Verteilungen ........................................................................ 15
1.1.2.1.2 Stetige Verteilungen ........................................................................... 16
1.1.2.2 Erwartungswert, Varianz (Standardabweichung) ............................... 17
1.1.2.2.1 Erwartungswert .................................................................................. 17
1.1.2.2.2 Varianz, Standardabweichung ............................................................ 19
1.1.3 Spezielle Verteilungen ....................................................................... 20
1.1.3.1 Gleichverteilung ................................................................................. 20
1.1.3.2 Binomialverteilung ............................................................................ 20
1.1.3.3 Geometrische Verteilung ................................................................... 22
1.1.3.4 Hypergeometrische Verteilung .......................................................... 23
1.1.3.5 Poisson-Verteilung ............................................................................ 24
1.1.3.6 Normalverteilung ............................................................................... 25
1.1.3.7 Exponentialverteilung ........................................................................ 26
1.1.4 Gesetze der groBen Zahlen und GrenzwertsiHze ................................ 27
1.1.4.1 Ungleichung von Tschebyscheff ........................................................ 27
1.1.4.2 Schwaches Gesetz der groBen Zahlen ................................................ 28
1.1.4.3 Grenzwertsatze von de Moivre und Laplace ...................................... 29
1.1.4.4 Zentraler Grenzwertsatz ..................................................................... 30
1.1.4.5 Oberblick tiber die moglichen Approximationen ............................... 31
1.2 Modellbildung in der Stochastik ..................................................... 32
1.2.1 Datenerfassung und -strukturierung ................................................... 32
1.2.2 Beschreibende Statistik ...................................................................... 32