Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II: Band 2 Didaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra

307 Pages·2000·30.06 MB·German

by  Prof. Dr. Uwe-Peter Tietze

D.-P. Tietze, M. Klika, H. Wolpers (Hrsg.)
Mathematikunterricht in der
Sekundarstufe II
Aus dem Programm ____________- -...
Didaktik der Mathematik
Der Mathematikunterricht in der Primarstufe
von G. MUller und E. Ch. Wittmann
Grundfragen des Mathematikunterrichts
von E. Ch. Wittmann
Didaktische Probleme der elementaren Algebra
von G. Malle
Gotik und Graphik im Mathematikunterricht
von R. J. Neveling
DERIVE fur den Mathematikunterricht
von W. Koepf
Padagogik des Mathematikunterrichts
von L. Fuhrer
Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II
Bd. 1: Fachdidaktische Grundfragen -
Didaktik der Analysis
Bd. 2. Didaktik der Analytischen Geometrie
und Linearen Algebra
Bd. 3: Didaktik der Stochastik
von u.-P. Tietze, M. Klika und H. Wolpers (Hrsg.)
vieweg _________________ _"
Uwe-Peter Tietze
Manfred Klika
Hans Wolpers
(Hrsg.)
Mathematikunterricht in
der Sekundarstufe II
Band 2
Didaktik der Analytischen Geometrie und
Linearen Algebra
verfasst von Uwe-Peter Tietze
unter Mitarbeit von Peter Schroth und Gerald Wittmann
~
vleweg
Adressen der Herausgeber
Prof. Dr. Uwe-Peter Tietze
TU Braunschweig, FB 9
Institut fur Didaktik der Mathematik und Elementarmathematik
PockelstraBe 11
38106 Braunschweig
PD Dr. Manfred Klika und Dr. Hans Wolpers
Universitiit Hildesheim
Institut fur Mathematik und Angewandte Informatik
Marienburger Platz 22
31141 Hildesheim
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Softcover reprint of the hardcover 1st edition 2000
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Gedruckt auf siiurefreiem Papier
ISBN-13: 978-3-528-06767-0 e-ISBN-13: 978-3-322-86479-6
DOl: 10.1007/978-3-322-86479-6
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Vorwort der Herausgeber
Wir legen mit diesem Band zur Didaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Alge
nr
bra den Teil unseres dreibiindigen Werkes zum Mathematikunterricht in der Sekun
darstufe II VOT. Ahnlich wie in Teil II zur Didaktik der Analysis kntipfen wir auch hier an
die Fachdidaktischen Grundfragen aus Teil I an. Wir haben darauf geachtet, daB dieser
Band aber in sich geschlossen ist und ohne Vorkenntnisse gelesen werden kann.
Dennoch halten wir es ftir wtinschenswert, zur Vertiefung auf die Fachdidaktischen
Grundfragen zurtickzugreifen. Entsprechende Verweise sollen das erleichtern. Wir wie
derholen hier kurz die inhaltlichen Schwerpunkte von Teil I. Ausgangspunkt ist die Frage
nach den Zielen im Mathematikunterricht und deren Begrtindung. Wichtige Aspekte sind
die Ziel-Mittel-Argumentation, Fragen der Allgemeinbildung und der Wissenschaftsori
entierung, das Herausarbeiten allgemeiner Zielsetzungen und die Entwicklung des Be
griffs der fundamentalen Idee. Es wird gezeigt, daB die Beriicksichtigung dieser Aspekte
weitreichende Konsequenzen ftir die Planung und DurchfUhrung von Mathematikunter
richt in der Sekundarstufe II hat. Diese Aspekte erfahren im folgenden eine Vertiefung,
indem vier Grundtiitigkeiten des Mathematikunterrichts einer genauen Analyse unterzo
gen werden: Lernen (von Begriffen und Regeln), Problemlosen, Anwenden und Modell
bilden sowie Beweisen und Begrtinden. Es werden Grundlagen zum Verstehen von
inhaltsbezogenen Lern- und Interaktionsprozessen gelegt und Konsequenzen ffir das Un
terrichtsmanagement, insbesondere ffir die Auswahl von Lehrverfahren, abgeleitet. Mit
der Diskussion eines problem- und anwendungsorientierten Mathematikunterrichts und
der Frage nach Art, Ziel und Umfang des Rechnereinsatzes (Computer, grafIkfahiger Ta
schenrechner, Schul- und Anwendersoftware) werden wesentlichen Gesichtspunkten der
aktuellen Reformdiskussion urn den Mathematikunterricht Rechnung getragen.
Wir kntipfen mit dieser dreibandigen Didaktik an das Buch "TietzeIKlikaIWo[pers:
Didaktik des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe II" von 1982 an. Die vielfaltigen
Veriinderungen in der Schule, 10 den Fachwissenschaften und der Fachdidaktik haben uns
veranlaBt, ein neues Buch zu schreiben und nicht nur eine Neubearbeitung vorzulegen. Her
vorzuheben sind insbesondere die sich veriindernde gesellschaftliche Rolle des Gymnasi
ums, aktuelle und mogliche Veranderungen von Mathematikunterricht durch die neuen
Informationstechnologien, die Neubewertung der Anwendungsorientierung und das stark
gewachsene Wissen tiber fachspezifische Lehr-, Lern-, Verstehens- und Interaktions
prozesse.
Wichtiges Charakteristikum des gesamten Werkes ist es, daB die allgemeinen Gedan
ken und Theorien nicht abstrakt bleiben. Aile Teile dieser Didaktik sind mit zahlreichen
Beispielen und Aufgaben versehen. Diese sollen das Verstiindnis des Textes erleichtern,
zur Weiterarbeit anregen, als Obungsmaterial fUr didaktische Veranstaltungen in der ersten
und zweiten Ausbildungsphase dienen und Anregungen fUr den konkreten Unterricht
geben. Die Analyse expliziter und impliziter Ziele von Schulbtichern und deren Bewer
tung durch Lehrer sollen beim Umgang mit diesem ffir den Unterricht wichtigsten Me
dium helfen. Jedes Kapitel endet mit einer Zusammenstellung der zentralen Begriffe und
Themenkreise. Alle Kapitel sind in intensiven Diskussionen inhaltlich aufeinander ab
gestimmt worden.
VI Vorwort
Nach langer Diskussion tiber den Gebrauch weiblicher und mannlicher Wortformen,
wie Lehrerin, Lehrer und LehrerIn, haben wir uns fUr den traditionellen Weg der mann
lichen Form entschieden. Wir bitten unsere Leser, Verstandnis dafiir zu haben. Auch be
fragte Frauen haben uns in dieser Entscheidung bestiirkt.
Das Werk wendet sich an Fachdidaktiker, an Studenten des gymnasialen Lehramts, an
Referendare und an Lehrer, die ihren Unterricht tiberdenken mochten, die nach neuen
Formen des Unterrichtens oder nach inhaltlichen Anregungen suchen.
Miirz2000
Prof Dr. V.-P. Tietze Akad. Oberrat PD Dr. M. Klika Akad. Direktor Dr. H. Wolpers
TV Braunschweig und Vniversitiit Hildesheim
Vorwort der Verfasser dieses Bandes
Wir unterziehen den Schulstoff Analytische Geometrie und Lineare Algebra einer umfas
senden fachlichen und didaktisch-methodischen Analyse und geben zahlreiche Anregun
gen fUr den konkreten Unterricht. Ein erstes Kapitel dient dazu, eine Briicke zwischen
der Fachdisziplin und dem Schulstoff zu schlagen und dabei zugleich das Wesentliche
des Gebietes, die fundamentalen Ideen, herauszuarbeiten. Dabei wird das Stoffgebiet
unter drei Gesichtspunkten gesehen: Mathematik als Produkt, als ProzeB - als Machen,
Entwickeln und Entdecken von Mathematik - sowie schlieBlich Mathematik als Mo
dellbilden, Mathematisieren und Anwenden. Nach unseren Lehrerfahrungen kann dieses
Kapitel Studenten helfen, ihre fachwissenschaftlichen Veranstaltungen neu zu sehen und
damit besser zu verstehen. In einem zweiten Kapitel wird ein allgemeiner Uberblick tiber
den Unterricht in diesem Gebiet gegeben: didaktische Stromungen und Tendenzen wer
den dargestellt, unterschiedliche Schulbuchansiitze beschrieben und empirische Untersu
chungen zum konkreten Unterricht referiert und diskutiert. Mogliche Veriinderungen des
Unterrichts in diesem Gebiet durch die zunehmende Verbreitung und Leistungsfahigkeit
von Rechnern und Rechnerprogrammen werden jeweils herausgearbeitet. Die weiteren
Kapitel sind didaktischen Einzelfragen gewidmet. Neben der didaktisch-methodischen
Behandlung zentraler Inhalte werden die folgenden Fragekontexte diskutiert: Problem
und Anwendungsorientierung, Auswahl von Modellierungen und Problemaufgaben so
wie Moglichkeiten, mit Hilfe von Schulsoftware und grafikfahigen Taschenrechnern
Stoffe in Form eines experimentellen Unterrichts aufzuschlieBen.
Wichtig war es uns, Lehrer zu Wort kommen zu lassen und damit die Anbindung an
die Schulpraxis herauszuarbeiten. Dabei sttitzen wir uns im wesentlichen auf zwei Un
tersuchungen (Tietze 1986, 1992). Eine weitere empirische Studie, die wir beriicksichti
gen konnten, betrifft inhaltsbezogene Lernprozesse und -probleme von Schiilern im
Bereich Analytische Geometrie und Lineare Algebra. Es handelt sich um eine Arbeit von
Herrn Wittmann, die gerade fertiggestellt wird. Daneben sind praktische Erfahrungen im
Unterrichten und vieWUtige Beobachtungen von Mathematikunterricht, insbesondere im
Rahmen von Fachpraktika, in den Text eingegangen. Wir versuchen insgesamt, in dieser
Didaktik deskriptive und praskriptive Elemente miteinander zu verbinden. Das geschieht
Vorwort VII
zum einen, indem wir Vorstellungen von Lehrem und Schiilem zum Oberstufenunter
richt darstellen und erortem sowie didaktische Stromungen, Schulbiicher und Lem- und
Lehrprozesse analysieren. Das priiskriptive Element beinhaltet Vorschlage zu allgemei
nen und zu inhaltsbezogenen Zielen und zum methodischen Vorgehen sowie zugehorige
didaktische und fachliche Begriindungen. Viele Teile des Buches sind in Seminare zur
Fachdidaktik eingeflossen und dort diskutiert worden. Wir haben Studenten, Referen
dare, Lehrer, Fachleiter, Kollegen an der Universitat und Mitarbeiter gebeten, die Texte
gegenzulesen, und mit ihnen diskutiert. Wir haben uns bemiiht, die vielfaItigen und
widerstreitenden Forderungen nach Lesbarkeit, Praxisorientierung, wissenschaftlicher
Genauigkeit und Vollstandigkeit sowie nach Kiirze in Einklang zu bringen.
In unseren mathematikdidaktischen Veranstaltungen geben wir den Studenten die
Moglichkeit, Erfahrungen mit mathematischen Grundtlltigkeiten zu machen und zu
reflektieren, indem wir Phasen des aktiven Problemlosens, des Modellbildens, des mathe
matischen Argumentierens und Stun den in die Veranstaltungen einfiigen, in denen
Studenten ihre Kommilitonen unterrichten. An vielen Stellen werden Computeralgebra
systeme und dynamische Geometrieprograrnme eingesetzt. Wir versuchen ferner, tiber
die zentralen Inhalte der Analytischen Geometrie/Linearen Algebra hinaus Querverbin
dungen zu anderen Gebieten herzustellen, indem Elemente der Differentialgeometrie, der
Stochastik oder der diskreten Mathematik mit einbezogen werden.
Wir danken fiir ihren Rat und ihre Mithilfe: Herrn Demuth (GO), Herrn Akad. Rat
Forster (BS), Herrn Prof. Dr. Jahnke (BI), Herrn Kuhlmay (BS), Herrn Prof. Dr. Malle
(Wien), Herrn Fachseminarleiter StD Meyer (HA), Herrn Studienassessor SchrOder (HI)
und Herrn wiss. Mitarbeiter Dr. Stahl (BS). Unser besonderer Dank gilt Herrn Fachsemi
narleiter StD Domieden (BS), der alle Kapitel gegengelesen und uns mit seiner Erfahrung
zur Seite gestanden hat, Herrn Dipl. Phys. Hampe, der die Mehrzahl der Bilder ange
fertigt und die typografische Gestaltung der Bande tibemommen hat, Frau Kroack (BT)
und Frau cando Schmerschneider (BS), die Korrektur gelesen haben, sowie Herrn cando
Heerhold (BS), der an allen inhaltlichen und organisatorischen Fragen beteiligt war, alle
Texte gegengelesen und sich immer wieder fiir die Zuganglichkeit der Texte eingesetzt
hat. Herr Heerhold war femer an der experimentellen Arbeit mit Computeralgebrasy
stemen und dynamischen Geometrieprograrnmen beteiligt.
Miirz2000
Prof Dr.rer.nat. Dr.phil.habil. V.-P. Tietze Studienrat G. Wittmann
Prof Dr.rer.nat.habil. P. Schroth Gymnasium Scheinfeld
TV Braunschweig, Institut fUr Didaktik der
Mathematik und Elementarmathematik
IX
Inhaltsverzeichnis'
TElL III DIDAKTIK DER ANALYTISCHEN GEOMETRIE UNO LINEAREN ALGEBRA
BEZIEHUNGSNETZE, FUNDAMENTALE IDEEN UND HISTORISCHE ENTWICK-
LUNG DER ANALYTISCHEN GEOMETRIE UND LINEAREN ALGEBRA .................. 2
1.1 Leitideen und fachwissenschaftlicher Hintergrund ............................................................... 3
1.1.1 Leitideen der Linearen Algebra: Uberblick ........................................................................... 3
Matrizen ................................................................................................................................. 6
Eigenwerte und Eigenvektoren .............................................................................................. 7
1.1.2 Vektorraum und Punktraum .................................................................................................. 9
Exkurs 1: BegrUndung der Linearen Algebra aus tier Geometrie ....................................... 11
Exkurs 2: Der Punktraum als Vektorraum -ldentifizierung von Punkt und Vektor ........... 13
1.1.3 Symmetrische Bilinearformen, Quadriken und deren Klassifikation .................................. 15
Kegelschnitte ....................................................................................................................... 16
Fliichen 2. Ordnung ............................................................................................................ 20
1.l.4 Lineare und affine Abbildungen und deren Klassifikation .................................................. 22
Die affinen Abbildungen der Ebene ..................................................................................... 24
Die affinen Abbildungen des Raumes .................................................................................. 25
Die orthogonalen Abbildungen und Isometrien .................................................................. 26
1.1.5 Determinantenform und Determinante ................................................................................ 28
1.1.6 Metrische Raume ................................................................................................................. 30
1 l.7 Lineare Gleichungssysteme und der GauBsche Algorithmus .............................................. 33
1.1.8 Zusammenfassung: Leitideen .............................................................................................. 36
Schema 1.1 Leitideen der Linearen Algebra ....................................................................... 37
Aufgaben, Wiederholung, wichtige Begriffe und Zusammenhange ................................................ 37
1.2 Zentrale Mathematisierungsmuster und bereichsspezifische Strategien ............................. .40
1.2.1 Zentrale Mathematisierungsmuster. .................................................................................... .40
Aspekte des mathematischen Modellierens im Mathematikunterricht ................................. 41
1.2.1.1 Beschreibung physikalischer und technischer Phanomene mit Hilfe
von Vektoren und Kurven ................................................................................................... 42
1.2.1.2 Entscheidungs-und Optimierungsprobleme in den Wirtschaftswissenschaften
(Verflechtungs-,lineare Optimierungs-und Transportprobleme) ...................................... .45
1.2.1.3 Beschreibung von Prozessen in den Sozial-, Wirtschafts-und Naturwissenschaften
(Markoff-Prozesse, Probleme der Populationsdynamik) ..................................................... 50
1.2.1.4 Klarung von Zusammenhiingen zwischen MerkmalsvariablenIMeBgroBen
(regressions-, korrelations-und faktorenanalytische Fragestellungen) ............................... 53
1.2.1.5 Lineare Gleichungssysteme als zentrales Mathematisierungsmuster. .................................. 57
Schema 1.2 ZusammenJassung: Zentrale Mathematisierungsmuster .................................. 58
1.2.2 Bereichsspezifische Strategien und Problemkontexte ......................................................... 59
Schema 1.3 Bereichsspezijische Strategien ......................................................................... 60
1.2.2.1 Geometrisieren algebraischer Sachverhalte und Algebraisieren
geometrischer Sachverhalte ................................................................................................. 60
1.2.2.2 Zur Analogie zwischen ebenen und raumlichen Sachverhalten sowie
zwischen R2, R3 und Rn .........................••..........................................................................6 2
Die Abschnitte 1.4 & 2.3 wurden von G. Wittmann, 4.3 von P. Schroth und U.-P. Tietze verfaBt.
Die Numerierung von Bildem, Schemata und FuBnoten bezieht sich auf die Kapitel (oberste Glie
derungsebene). Die Numerierung von Beispielen und Aufgaben erfolgt auf der Ebene der Hauptab
schnitte (zweite Ebene, etwa Beispiel 2 in 2.3).
x
Inhaltsverzeichnis
1.2.2.3 Linearitatsuberlegungen, die Darstellung und Behandlung elementar-algebraischer
Sachverhalte im Matrizenkalkill sowie das Transforrnieren von Koordinaten .................... 63
1.2.2.4 Strategie des GauBschen Algorithmus ................................................................................ 63
1.2.2.5 Mathematisches Experimentieren mit konkreten Modellen und dem Rechner ................... 65
Aufgaben, Wiederholung ................................................................................................................ 67
1.3 Zusammenfassung: Fundamentale Ideen flir den Unterricht in
Analytischer Geometrie und Linearer Algebra ................................................................... 69
Schema 1.4 Zusammenfassung: Fundamentale 1deen zur Analytischen Geometrie
und Linearen Algebra im Umfeld der Schulmathematik ..................................................... 71
Aufgaben ......................................................................................................................................... 72
1.4 Historische Entwicklung (von G. Wittmann) ............................................................................ 73
Entwicklung der klassischen Analytischen Geometrie ........................................................ 73
Lineare Gleichungssysteme. Determinanten und Matrizen ................................................. 75
Die Entwicklung frUher geometrischer Kalkule: Leibniz. Mobius. Bellavitis ..................... 77
Von den komplexen Zahlen zu Hamiltons Quatemionenkalkul .......................................... 80
Entwicklung der Vektoranalysis aus dem QuatemionenkalkUl ........................................... 83
Ursprange der Vektorraumtheorie bei Grassmann ............................................................ 84
Erste Axiomatisierungen der Vektorraumstruktur durch Peano und Weyl ......................... 86
Etablierung des axiomatischen Vektorraumbegriffs durch die Funktionalanalysis ............ 87
Beitriige der Korpertheorie zur Entwicklung der Linearen Algebra ................................... 90
Entwicklung der Linearen Algebra im 20. lahrhundert. ..................................................... 91
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion .................................................................. 92
2 ALLGEMEINE DIDAKTISCHE FRAGEN ZUR
ANALY TISCHEN GEOMETRIE UND UNEAREN ALGEBRA .................................... 93
2.1 Fachdidaktische Entwicklungen und Stromungen .............................................................. 93
2.1.1 Die Analytische Geometrie in der Traditionellen Mathematik ........................................... 94
2.1.1.1 Koordinatengeometrie und die Lehre von den Kegelschnitten ........................................... 94
2.1.1.2 Vektorielle Analytische Geometrie ..................................................................................... 98
Aufgabeninseln und Routineaufgaben .............................................................................. 100
Lineare Gleichungssysteme und Determinanten in iilteren Schulbuchem ........................ 101
2.1.2 Die Lineare Algebra der Neuen Mathematik .................................................................... 102
2.1.3 Die anwendungsorientierte Lineare Algebra ..................................................................... 105
Exkurs: Matrizen und Motivation ..................................................................................... 107
Grenzen aufJermathematischer Motivierung ..................................................................... 108
2.1.4 Die didaktische und schulpraktische Auseinandersetzung mit der Linearen Algebra ....... 108
2.1.4.1 Eine Auseinandersetzung mit den Begrfindungsargumenten der Linearen Algebra
in der Neuen Mathematik .................................................................................................. 108
Exkurs: Abstrahierende oder charakterisierende Axiomatik -
ein schulrelevanter Gegensatz? ........................................................................................ 110
2.1.4.2 Schulpraktische Konsequenzen: eine Lehrplanlinderung von 1983 .................................. 112
2.1.4.3 n-Tupel und ihre geometrische Interpretation ................................................................... 114
2.1.4.4 Art und Urnfang geometrischer Fragestellungen .............................................................. 115
2.1.4.5 Zuruck zur vektoriellen Analytischen Geometrie? -Ein Vergleich neuerer Schulbucher.118
2.1.5 Problemorientierung, Rechner und experimenteller Unterricht,
gebietsubergreifende Ansiitze ........................................................................................... 121
2.1.5.1 Der Rechner und mathematisches Experimentieren .......................................................... 121
2.1.5.2 Zuruck zu den Kegelschnitten? ......................................................................................... 123
2.1.5.3 Problemorientierung, Objektstudien und experimentelles Arbeiten ................................. 123
2.1.5.4 Gebietsubergreifende Ansiitze ........................................................................................... 124
Inhaltsverzeichnis XI
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion ................................................................. 125
2.2 Das Curriculum aus Sicht des Lehrers ............................................................................... 127
2.2.1 Schulbiicher im Urteil der Lehrer ...................................................................................... 128
2.2.2 Interviews .......................................................................................................................... 130
2.3 Schiilerkonzepte und epistemologische Probleme (von G. Wittmann) ............................. 132
2.3.1 Vektorbegriff ..................................................................................................................... 134
Vektor als Pfellklasse bzw. Verschiebung .......................................................................... 134
Vektor als n-Tupel reeller Zahlen ...................................................................................... 137
2.3.2 Parametergleichung einer Gerade ...................................................................................... 140
2.3.3 Aufgaben in der Analytischen Geometrie ......................................................................... 142
2.3.4 Vektorraum als Strukturbegriff ......................................................................................... 145
Aufgaben ........................................................................................................................................ 148
2.4 Zur Rechtfertigung und Realisierung eines veranderten Unterrichts
in Analytischer Geometrie und Linearer Algebra .............................................................. 149
2.4.1 Neue Formen des Unterrichtens,
Veranderungen in der Unterrichtskultur und in den Zielen ............................................... 149
2.4.2 Offene Probleme und das "Offnen" von Schulbuchaufgaben ........................................... 152
2.4.3 Sprache und Verstehen ...................................................................................................... 153
2.4.4 Rechnereinsatz ................................................................................................................... 153
2.4.5 Inhalte ............................................................................................................................... 154
Grund- und Leistungskurs ............................................................................................. 156
Perspektiven .................................................................................................................. 158
Aufgaben, Anregungen zur Diskussion ........................................................................................ 158
3 DIDAKTISCHE BEHANDLUNG VON EINZELTHEMEN ........................................... 159
3.1 Punkte, Geraden, Ebenen sowie Vektoren und lineare Gleichungssysteme ...................... 159
3.1.1 Vektoren und Punkte ......................................................................................................... 159
Schema 3.1 Schulrelevante lnterpretationen des Vektorbegriffs ....................................... 160
3.1.2 Geraden, Ebenen und lineare Gleichungssysteme ............................................................. 166
Geraden und Ebenen in der Koordinatengeometrie .......................................................... 170
Lineare Gleichungssysteme und lineare mathematische Modelle ..................................... 171
3.1.3 Konvexe Mengen, lineares Optimieren ............................................................................. 173
Lmeares Optimieren .......................................................................................................... 176
3.1.4 Exkurse zur Vertiefung des theoretischen Aspekts von Mathematik ................................ 177
Problemorientlerte Entdeckung der Vektorraumstruktur .................................................. 177
Exaktifizierungen und Erweiterungen ............................................................................... 180
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion ................................................................. 182
3.2 Lange, Abstand, WinkelmaB und Skalarprodukt... ............................................................ 185
3.2.1 Zur Einfiihrung des Skalarprodukts ................................................................................... 185
Didaktische Uberlegungen ................................................................................................ 187
lnnermathematische Anwendungen des Skalarprodukts .................................................. 188
32.2 Fachliche Erweiterungen und Vertiefungen .................................................................... 191
Vektorprodukt und Spatprodukt ........................................................................................ 191
Exkurs: Allgemeine Fragen der Uingen-und Abstandsmessung ...................................... 192
Drei Exkurse zum theoretischen Aspekt von Mathematik .................................................. 194
3.2.3 Die Korrelation als Skalarprodukt und andere Anwendungen .......................................... 195
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion ................................................................. 196
3.3 Abbildungen, Matrizen und Deterrninanten ...................................................................... 199
3.3.1 Lineare und affine Abbildungen ........................................................................................ 199
Unterschiedliche didaktische Ansiitze ............................................................................... 199