Table Of ContentD.-P. TIetze, M. Klika, H. Wolpers
Mathematikunterricht in der
n
Sekundarstufe
ADS dem Programm _____________ ____
Didaktik der Mathematik
Der Mathematikunterricht in der Primarstufe
von G. Muller und E. Ch. Wittmann
Grundfragen des Mathematikunterrichts
von E. Ch. Wittmann
Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht
von H. Winter
Didaktische Probleme der elementaren Algebra
von G. Malle
Gotik und Graphik im Mathematikunterricht
von R. J. N eveling
DERIVE fiir den Mathematikunterricht
von W. Koepf
Padagogik des Mathematikunterrichts
von L. Fuhrer
Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II
Bd. 1: Fachdidaktische Grundfragen
Didaktik der Analysis
Bd. 2: Didaktik der Analytischen Geometrie
und Linearen Algebra - Didaktik der Stochastik
von U-P. Tietze, M. Klika und H. Wolpers
Vieweg __________________
~
Vwe-Peter Tietze
Manfred Klika
Hans Wolpers
Mathematikunterricht
in der Sekundarstufe II
Band 1:
Fachdidaktische Grundfragen -
Didaktik der Analysis
Vnter Mitarbeit von Frank Forster
I I
Vlawag
Adressen der Autoren:
Prof. Dr. Vwe-Peter Tietze
TV Braunschweig, FB 10
Institut fUr Mathematik, Physik und deren Didaktik
PockelstraBe 11
38106 Braunschweig
Dr. Manfred Klika und Dr. Hans Wolpers
VniversitiH Hildesheim
Institut fUr Mathematik
Marienburger Platz 22
31141 Hildesheim
Aile Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, BraunschweiglWiesbaden, 1997
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ist ohne Zustimmung des Verlages unzuHissig und strafbar. Das gilt ins
besondere flir Vervielfliltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und
die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Gedruckt auf sliurefreiem Papier
ISBN 978-3-528-06766-3 ISBN 978-3-322-91965-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-91965-6
v
Vorwort
Die Fachdidaktik hat in Forschung und Lehre in erster Linie vier miteinander verzahnte,
zentrale Aufgabenfelder:
- die Analyse fachspezifischer Lehr-, Lem-, Verstehens-und Interaktionsprozesse;
- die zielgeleitete Analyse, Konstruktion und Auswertung von Curricula, insbesondere die Ent-
wicklung und Legitimation von Zielen, Inhalten und Methoden;
- die UberbIiickung der Kluft zwischen Fachwissenschaft und ihren Anwendungen einerseits und den
schulischen Inhalten andererseits;
- die Analyse der gesellschaftlichen Rolle des Faches.
Die ersten beiden Punkte erfordern eine enge Zusammenarbeit mit den Sozial- und Erzie
hungswissenschaften, die weiteren Punkte zusatzlich eine enge Zusammenarbeit mit der
Fachwissenschaft. Die Fachdidaktik hat auch die Aufgabe, die Fachgrenzen zu tiber
schreitenund Mathematik "von AuBen" zu betrachten. Die didaktische Diskussion in
Schule und Hochschule ist in zunehmendem MaBe vielfaltiger und reicher, aber zugleich
auch untibersichtlicher geworden.
Das Gymnasium hat in den vergangenen 30 Jahren gravierende Veranderungen erfah
reno Das gilt insbesondere ftir die Zusammensetzung der Schiilerschaft. Die heutigen
Gymnasiallehrer sehen sich ganzlich anderen Lehr- und Lernsituationen gegentiberge
stellt. Lehrer beklagen das Zunehmen der Spanne zwischen den schwachen und den
guten Lernern im Hinblick auf das inhaltliche Wissen und die kognitiven Fahigkeiten,
dartiber hinaus die Auffalligkeiten hinsichtlich der Belastbarkeit, des Arbeitsverhaltens
und der Emotionen. Wie in vie len Bereichen unserer Gesellschaft, so gibt es auch im
Mathematikunterricht immer weniger den einen richtigen Weg, sondern viele, z.T. kon
kurrierende Wege. Unterrichten ist dadurch schwerer, aber auch abwechslungsreicher
und herausfordernder geworden.
Wir kntipfen mit dieser Didaktik an unser Buch "Didaktik des Mathematikunterrichts
in der Sekundarstufe II" von 1982 an. Die vielfaItigen Veranderungen in der Schule, in den
Fachwissenschaften und der Fachdidaktik haben uns veranlaBt, ein neues Buch zu schreiben
und nicht nur eine Neubearbeitung vorzulegen. Hervorzuheben sind insbesondere: die sich
verandernde gesellschaftliche Rolle des Gymnasiums, aktuelle und mogliche Verande
rungen von MU durch die neuen Informationstechnologien, die Neubewertung der An
wendungsorientierung und das stark gewachsene Wissen tiber fachspezifische Lehr-,
Lern-, Verstehens- und Interaktionsprozesse.
Wichtig war es uns, die Lehrer starker zu Wort kommen zu lassen und damit die
Anbindung an die Schul praxis herauszuarbeiten. Dabei sttitzen wir uns im wesentlichen
auf zwei Untersuchungen. Die erste Untersuchung ist als Buch (Tietze 1986) erschienen.
Sie basiert zum einen auf einer repriisentativen schriftlichen Befragung von Mathematik
lehrern tiber den Oberstufenunterricht und zum anderen auf einer vergleichenden Schul
buchanalyse. Zur zweiten Untersuchung, Intensivinterviews mit einer kleineren Anzahl
von Oberstufenlehrern, liegen bisher nur einzelne Aufsatze und die Materialienbande mit
den Transkripten der Interviews vor (Tietze 1992). Daneben sind praktische Erfahrungen
im Unterrichten und vielfaltige Beobachtungen von MU, insbesondere im Rahmen von
Fachpraktika, in den Text eingegangen. Wir versuchen insgesamt, in dieser Didaktik
deskriptive und praskriptive Elemente miteinander zu verbinden. Das geschieht zum
einen, indem wir Vorstellungen von Lehrern und Schiilern zum Oberstufenunterricht
darstellen und erortern sowie didaktische Stromungen, Schulbticher und Lern- und Lehr
prozesse analysieren. Das priiskriptive Element beinhaltet Vorschlage zu allgemeinen
VI Vorwort
und inhaltlichen Zielen und zum methodischen Vorgehen sowie die zugehorige didakti
sche und fachliche Begriindung. Viele Teile des Buches sind in Seminare zur Fachdidak
tik eingeflossen und dort diskutiert worden. Wir haben Studenten, Referendare, Lehrer,
Fachleiter, Kollegen an der Universitiit und Mitarbeiter gebeten, die Texte gegenzulesen
und mit ihnen diskutiert. Wir haben uns bemiiht, die vielfaltigen und widerstreitenden
Forderungen nach Lesbarkeit, Praxisorientierung, wissenschaftlicher Genauigkeit und
Vollstandigkeit sowie nach Kiirze in Einklang zu bringen.
1m ersten Teil des Buches werden fachdidaktische Grundfragen gekliirt. Ausgangs
punkt ist die Frage nach den Zielen im Mathematikunterricht und deren Begriindung.
Wichtige Aspekte sind die Ziel-Mittel-Argumentation, Fragen der Allgemeinbildung und
der Wissenschaftsorientierung, das Herausarbeiten allgemeiner Zielsetzungen und die
Entwicklung des Begriffs der fundamentalen Idee. Es wird gezeigt, daB die Beriicksichti
gung dieser Aspekte weitreichende Konsequenzen fUr Planung und DurchfUhrung von
Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II hat. Diese Aspekte erfahren im folgenden
eine Vertiefung, indem vier Grundtatigkeiten des Mathematikunterrichts einer genauen
Analyse unterzogen werden: Lernen (von Begriffen und Regeln), ProblemlOsen, Anwen
den und Modellbilden sowie Beweisen und Begriinden. Es werden Grundlagen zum Ver
stehen von inhaltsbezogenen Lern- und Interaktionsprozessen gelegt und Konsequenzen
fUr das Unterrichtsmanagement, insbesondere fUr die Auswahl von Lehrverfahren, abge
leitet. Mit der Diskussion eines problem- und anwendungsorientierten Mathematikunter
richts und der Frage nach Art, Ziel und Umfang des Rechnereinsatzes (Computer, grafik
fahiger Taschenrechner, Schul- und Anwendersoftware) werden wesentlichen Gesichts
punkten der aktuellen Reformdiskussion urn den Mathematikunterricht Rechnung getragen.
Wichtiges Charakteristikum von Teil I wie auch des gesamten Buches ist es, daB die
allgemeinen Gedanken und Theorien nicht abstrakt bleiben, sondern an vielfaltigen In
halten des Mathematikunterrichts konkretisiert und zur Strukturierung der Unterrichts
stoffe der Sekundarstufe II herangezogen werden. Es werden unterschiedliche didakti
sche Tendenzen und Entwicklungen aufgezeigt und auf der Basis von empirischen
Untersuchungen ein Bild des konkreten Unterrichts gezeichnet.
Die Teile II, III und IV unterziehen die drei zentralen Gebiete des Mathematikunter
richts in der Sekundarstufe II einer umfassenden didaktisch-methodischen Analyse und
geben zahlreiche Anregungen fUr den konkreten Unterricht. Basis hierfUr sind die in Teil
I entwickelten fachdidaktischen Grundlagen. Diese Teile zur Didaktik der Analysis, der
Analytischen GeometrielLinearen Algebra und der Stochastik umfassen jeweils mehrere
Kapitel. Ein erstes Kapitel dient dazu, eine Briicke zwischen der jeweiligen Fachdisziplin
und dem Schulstoff zu schlagen und dabei zugleich das jeweils Wesentliche des Gebie
tes, die fundamentalen Ideen, herauszuarbeiten. Dabei wird das Stoffgebiet unter drei
Gesichtspunkten gesehen: Mathematik als Produkt, als ProzeB - als Machen, Entwickeln
und Entdecken von Mathematik - sowie schlieBlich Mathematik als Modellbilden, Ma
thematisieren und Anwenden. Nach unseren Lehrerfahrungen kann dieses Kapitel Stu
denten helfen, ihre fachwissenschaftlichen Veranstaltungen neu zu sehen und damit
besser zu verstehen. In einem zweiten Kapitel wird ein allgemeiner Uberblick iiber den
Unterricht in diesem Gebiet gegeben: didaktische Stromungen und Tendenzen werden
dargestellt, unterschiedliche Schulbuchansatze beschrieben und empirische Untersuchun
gen zum konkreten Unterricht referiert und diskutiert. Mogliche Veranderungen des
Unterrichts in den drei Gebieten durch die zunehmende Verbreitung und Leistungsfahig
keit von Rechnern und Rechnerprogrammen werden jeweils herausgearbeitet. Die weite-
Vorwort VII
ren Kapitel sind didaktischen Einzelfragen gewidmet. Neben der didaktisch-methodi
schen Behandlung zentraler Inhalte werden die folgenden Fragekontexte diskutiert: Pro
blem- und Anwendungsorientierung, Auswahl von Modellierungen und Problemaufga
ben sowie Moglichkeiten, mit Hilfe von Schulsoftware und grafikfahigen Taschenrech
nern Stoffe in Form eines experimentellen Unterrichts aufzuschlieBen.
Aile Teile dieser Didaktik sind mit zahlreichen Beispielen und Aufgaben versehen.
Diese sollen das VersHindnis des Textes erleichtern, zur Weiterarbeit anregen, als Obungs
material fUr didaktische Veranstaltungen in der ersten und zweiten Ausbildungsphase
dienen und Anregungen ftir den konkreten Unterricht geben. Die Analyse expliziter und
impliziter Ziele von Schulbtichern und deren Bewertung durch Lehrer sollen beim Um
gang mit diesem fUr den Unterricht wichtigsten Medium helfen. Jedes Kapitel endet mit
einer Zusammenstellung der zentralen Begriffe und Themenkreise. Aile Kapitel sind in
intensiven Diskussionen inhaltlich aufeinander abgestimmt worden.
Wir danken fUr ihren Rat und ihre Mithilfe: unseren Kollegen Herrn Doz. Dr. Dahlke
(BS), Frau Studienassessorin Eckebrecht (BI), Herrn Prof. Dr. Kahle (GO), Herrn wiss.
Mitarbeiter Dipl.-Math. Guder und Herrn wiss. Mitarbeiter Dipl.-Math. Stahl sowie unse
ren Studenten Frau Studienreferendarin Ridder, Herrn Henningsen, Herrn Heerhold;
Herrn Neumann und Herrn Schroder. Ferner danken wir unseren Sekretarinnen Frau Kiy
und Frau Schreiber. Unser besonderer Dank gilt Herrn Fachseminarleiter StD Dornieden
(BS), der aile Kapitel gegengelesen und uns mit seiner Erfahrung zur Seite gestanden hat,
Herrn Hampe, der die Mehrzahl der Bilder angefertigt und die typografische Gestaltung
der beiden Bande tibernommen hat, und Herrn Demuth, der als Student und als wissen
schaftliche Hilfskraft an allen inhaltlichen und organisatorischen Fragen beteiligt war
und sich immer wieder fUr die Lesbarkeit und Zuganglichkeit der Texte eingesetzt hat.
Dartiber hinaus dankt Herr Klika Herrn Prof. Dr. Alten (HI), Herrn Prof. Dr. Herget (BI)
und Herrn Prof. Dr. Jahnke (BI), Herr Tietze dankt Herrn Prof. Dr. Stein (MS) und Herr
Forster dankt Herrn OStR Dr. Nauen (BS) und Herrn Assessor Striethorst (B) sowie
Herrn StR Korner (BS) fUr Unterrichtsbeispiele.
Nach langer Diskussion tiber den Gebrauch weiblicher und mannlicher Wortformen,
wie Lehrerin, Lehrer und LehrerIn, haben wir uns fUr den traditionellen Weg der mannli
chen Form entschieden. Wir bitten unsere Leser, Verstandnis daftir zu haben. Auch be
fragte Frauen haben uns in dieser Entscheidung bestarkt.
Das Werk wendet sich an Fachdidaktiker, an Studenten des gymnasialen Lehramts, an
Referendare und an Lehrer, die ihren Unterricht tiberdenken mochten, die nach neuen
Formen des Unterrichtens oder nach inhaltlichen Anregungen suchen.
November 1996
Prof Dr. u.-P. Tietze Akad. Oberrat Dr. M. Klika
Akad. Rat F. Forster Akad. Direktor Dr. H. Wolpers
TU Braunschweig Universitiit Hildesheim
1nstitut for Mathematik, Physik und deren Didaktik 1nstitut for Mathematik
IX
Inhaltsverzeichnis1
TElL I FACHDIDAKTISCHE GRUNDFRAGEN DES MATHEMATIKUNTERRICHTS
IN DER SEKUNDARSTUFE II
Verfasser: U.-P. Tietze (Kap. 1,2,3,5), F. Forster (Kap. 4)
AUSWAHL UNO BEGRUNOUNG VON ZIELEN, INHALT EN UNO METHOOEN ......... 1
1.1 Grundfragen und Entwieklungen in der Currieulumdiskussion ............................................... 2
1.1.1 Oer Reforrnaufbrueh in den sechziger Jahren und die Konsequenzen als
einfuhrendes Beispiel einer Currieulumdiskussion .................................................................. 2
1.1.2 Historisehe Entwieklungen und didaktisehe Stromungen des Mathematikunterriehts ............. 4
1.1.3 Elemente der didaktisehen Currieulumdiskussion .................................................................. 10
Exkurs: Globale Curriculumrevision? *. ................................................................................ 11
Exkurs: Taxonomie und Operationalisierung mathematischer Lemziele *. ........................... 12
Allgemeinbildung und Unterrichtskultur ................................................................................ 12
WissenschaJtsorientierung und WissenschaJtspropadeutik .................................................... 15
Exemplarisches Lehren und Lemen ....................................................................................... 16
Vorstellungen von Lehrem zum Curriculum .......................................................................... 17
1.1.4 Merkmale von Grund-und Leistungskursen .......................................................................... 17
Grund-und Leistungskurse aus der Sicht des Lehrers ........................................................... 18
1.2 Zur Begriindung von Zielen fur den MU in der S 11... ............................................................ 20
1.2.1 Allgemeine und spezielle inhaltsbezogene Ziele .................................................................... 22
Die Vermittlung eines angemessenen Bildes von Mathematik als allgemeines
inhaltsbezogenes Ziel .............................................................................................................. 23
Spezielle inhaltsbezogene QualiJikationen ............................................................................. 25
1.2.2 Allgemeine verhaltensbezogene Ziele .................................................................................... 27
Ein Katalog allgemeiner verhaltensbezogener Lemziele fUr den MU der S II ....................... 29
* .............
Vertiefung: Erganzende Erlauterung allgemeiner verhaltensbezogener Lemziele 32
1.3 Fundamentale Ideen ................................................................................................................ 37
Leitideen, bereichsspeziJische Strategien, zentrale Mathematisierungsmuster ...................... 40
1.4 Zur Rolle des Rechners im Mathematikunterrieht ................................................................. 42
Mogliche Funktionen von Rechnem im Mathematikunterricht .............................................. 45
Wichtige Inhalte in neuem Licht ............................................................................................. 47
Aufgaben, Wiederholung, Erganzung .............................................................................................. 48
2 LERNEN UNO LEHREN VON BEGRIFFEN UNO REGELN ............................................ 50
2.1 Elemente des Begriffs-und Regellemens aus psyehologiseher Sieht... .................................. 51
Sinnvolles rezeptives Lemen ................................................................................................... 52
Subjektive Aspekte der Begriffsbildung .................................................................................. 54
Reprasentation ........................................... ", .......................................................................... 55
2.2 Besonderheiten mathematiseher Begriffs-und Theoriebildung .............................................. 56
2.2.1 Begriffsbildung im Mathematikunterrieht .............................................................................. 57
Zur Bedeutung mathematischer Begriffe ................................................................................ 58
2.2.2 Begriffsentwieklung und Exaktifizieren * .............................................................................. 60
Exkurs in die Algebra ............................................................................................................. 63
2.2.3 Elementarisieren - zum Verhrutnis von Faeh-und Sehulmathematik * ................................. 64
2.3 Exkurs: Lem-und Lehrsehwierigkeiten * .............................................................................. 64
2.3.1 Einfuhrende Uberlegungen ..................................................................................................... 65
Absehnitte zur Vertiefung sind mit * gekennzeiehnet. Oie Numerierung von Bildem und Schemata
bezieht sieh auf die Kapitel (oberste Gliederungsebene). Oie Numerierung von Beispielen und
Aufgaben erfolgt auf der Ebene der Hauptabsehnitte (zweite Ebene, etwa Beispiel 2 in 2.3).
x Inhaltsverzeichnis
Schema und Prozedur ............................................................................................................. 66
Lemschwierigkeiten in der Algebra ........................................................................................ 67
2.3.2 Semantischer Aspekt: das Aufstellen und Interpretieren von Termen und Formeln ............... 68
2.3.3 Syntaktisch-aIgorithmischer Aspekt.. ...................................................................................... 69
Das algorithmische LOsen einfacher Aufgaben ....................................................................... 69
.. Generalregeln " als Ursache von Fe hlem ............................................................................. 72
Zusatzliche Schwierigkeiten einer .. hoheren " Algebra ........................................................... 73
Folgerungen und Konsequenzen ............................................................................................. 74
2.4 Formen von Unterricht und Lehrverfahren ............................................................................. 74
2.4.1 Einruhrung .............................................................................................................................. 74
Exkurs: Modell-Lemen * ........................................................................................................ 75
2.4.2 Drei ideaItypische Lehrverfahren ............................................................................................ 76
Ausubels Verfahren des expositorischen Lehrens ................................................................... 77
Verfahren des entdeckenlassenden Lehrens im Sinne von Bruner .......................................... 78
Der fragend-entwickelnde Unterricht ..................................................................................... 80
2.5 Methodische Hinweise zum Lehren mathematischer Begriffe, Theorien und Regeln ............ 82
2.5.1 Allgemeine methodische Hinweise und fachdidaktische Prinzipien ....................................... 82
Das Anerkennen von Vorwissen .............................................................................................. 82
Das Subsumieren unter Oberbegriffe: geeignete Ankerideen und Grundvorstellungen ......... 83
Fachdidaktische Prinzipien ..................................................................................................... 84
2.5.2 Zur Planung des Begriffs-und Regellehrens ........................................................................... 86
Mittelfristige Planung ............................................................................................................. 86
Kurifristige Planung ............................................................................................................... 87
Verstehen und Verstehenskontrolle ......................................................................................... 88
Aufgaben, Wiederholung, Anregungen zur Diskussion ................................................................... 89
3 PROBLEME ENTDECKEN, PROBLEME LOSEN .............................................................. 91
3.1 Einruhrendes Beispiel zum Problemlosen ............................................................................... 92
Problemkontext Lineares Optimieren ...................................................................................... 92
3.2 Charakteristische Aspekte von Problemen .............................................................................. 93
Problemkontext Geometrische Objektstudien .......................................................................... 97
3.3 Heuristische Verfahrensregeln und prozeBorientierte Hilfen .................................................. 98
3.3.1 Globale Heuristiken ................................................................................................................ 99
3.3.2 Lokale Heuristiken ................................................................................................................ 102
3.4 Ziele und Methoden eines problemorientierten Unterrichts .................................................. 108
3.4.1 Vorstellungen tiber einen problemorientierten Unterricht und seine Ziele ........................... 108
3.4.2 Problemorientierung im alltiiglichen Unterricht.. .................................................................. ll0
3.4.3 Zur Forderung von Problemlosefiihigkeiten .......................................................................... 112
Problernkontext Funktionen, Kurven und deren Kriimmung ................................................ 114
3.5 Exkurs: Empirische Untersuchungen zum ProblemlOsen *. .................................................. 117
Quellen rur Problernkontexte. ......................................................................................................... 119
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion ................................................................. 119
4 ANWENDEN, MATHEMATISIEREN, MODELLBILDEN ............................................... 121
4.1 Mathematisieren und Modellbilden ....................................................................................... 121
Der Modellbildungsprozej3 .................................................................................................... 121
Deskriptive und normative Madelle ...................................................................................... 125
Moglichkeiten und Grenzen mathematischer Modellbildung ................................................ 126
4.2 Tendenzen und Stromungen zur Anwendungsorientierung von MU .................................... 128
4.2.1 Historische Entwicklungen und neuere Tendenzen in der
fachdidaktischen Diskussion ................................................................................................. 128
4.2.2 Ziele eines anwendungsorientierten Mathematikunterrichts ................................................. 131
Inhaltsverzeichnis XI
4.3 Anwendungsorientierung im alltiiglichen Mathematikunterricht ......................................... 133
4.3.1 Unterrichtsbeispiele zum anwendungsorientierten Mathematikunterricht... ......................... 134
Das Beispiel" Verkehrsdurchsatz" ....................................................................................... 134
Das Beispiel "AIDS-Test" .................................................................................................... 136
Von der Einkleidung zum Sachproblem ................................................................................ 137
Kleinvieh macht auch Mist - "Massentierhaltung" und andere kleine Beispiele ................ 139
4.3.2 Welche Rolle spielt die Anwendungsorientierung in der Unterrichtspraxis? ....................... 140
4.3.3 Methodische Einzelfragen zum anwendungsorientierten MU .............................................. 142
4.4 Exkurs: Numerische Mathematik im anwendungsorientierten MU * ................................... 145
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion ................................................................. 148
5 BEWEISEN, BEGRONDEN, ARGUMENTIEREN ............................................................ 151
5.1 Beweisen, Begrtinden, Argumentieren - eine einfiihrende Analyse ..................................... 151
Der Beweis in der Fachwissenschaft .................................................................................... 151
Axiomensysteme .................................................................................................................... 152
Historischer Exkurs zum Beweisen, zur Rolle der Anschauung und
der Formalisierung *. ........................................................................................................... 153
Exkurs uber die Rolle des Computers beim Beweisen * ....................................................... 155
Anschauliches und prtiformales Beweisen; lokales und globales Ordnen ............................ 156
Begrunden und Argumentieren - Formen, Darstellung und AligemeingUltigkeit ................ 158
5.2 Zur Praxis des Beweisens ..................................................................................................... 159
5.2.1 Der Begriff der Argumentationsbasis und subjektive Aspekte des Beweisens ..................... 159
Definitionen und Schluj3regeln als Teil der Argumentationsbasis ........................................ 161
5.2.2 Praxis des Beweisens im Mathematikunterricht ................................................................... 164
5.3 Zielanalyse zum Begrtinden und Beweisen .......................................................................... 166
5.4 Methodische Uberlegungen zum Begrtinden und Beweisen ................................................ 169
Oberprilfen und Bewerten von Schulerbeweisen .................................................................. 174
Kriterien for einen didaktisch guten Beweis ......................................................................... 175
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion ................................................................. 176
TElL II ANALYSIS
Verfasser: M. Klika (Kap. 6, Abs. 8.1,8.3), U.-P. Tietze (Kap. 7, Abs. 8.2), F. Forster (Kap. 9)
6 HISTORISCHE ENTWICKLUNG, BEZIEHUNGSNETZE UNO
FUNDAMENTALE IDEEN ................................................................................................. 178
6.1 Entwicklung der Infinitesimalrechnung ................................................................................ 179
6.2 Leitideen undfachlicher Hintergrund ................................................................................... 183
6.2.1 Reelle Zahlen. Funktions-, Grenzwert-und Stetigkeitsbegriff.. ........................................... 184
Zum Funktionsbegriff ........................................................................................................... 185
Funktionen von mehreren Variablen .................................................................................... 187
Zum Kurvenbegriff. ............................................................................................................... 188
Zum Grenzwert-und Stetigkeitsbegriff. ................................................................................ 188
6.2.2 Ableitung und Integral .......................................................................................................... 190
Zum Ableitungsbegriff .......................................................................................................... 191
Ableitungsfunktion, Stammfunktion ...................................................................................... 196
Globale Stitze ........................................................................................................................ 197
Zum Integralbegriff .............................................................................................................. 198
Bogenltinge und Krummung ................................................................................................. 200
6.3 Zentrale Mathematisierungsmuster und bereichsspezifische Strategien ............................... 201
6.3.1 Verwendungssituationen und Zentrale Mathematisierungsmuster ....................................... 201
Mathematisierungsmuster in Physik und Technik ................................................................ 202
Mathematisierungsmuster in Biologie, Chemie, Medizin ..................................................... 206
Mathematisierungsmuster in Wirtschafts- und Sozialwissenschaften ................................... ·207
