Table Of ContentUwe-Peter Tietze · Manfred Klika
Hans Wolpers
Hrsg.
Mathematikunterricht
in der Sekundarstufe II
Second Edition
U.-P.Tietze,M.Klika,H.Wolpers(Hrsg.)
Mathematikunterrichtinder
SekundarstufeII
Aus dem Programm ___.
Didaktikder Mathematik
DerMathematikunterrichtinderPrimarstufe
vonG.MullerundE.Ch.Wittmann
Grundfragendes Mathematikunterrichts
vonE.Ch.Wittmann
DidaktischeProblemederelementarenAlgebra
von G.Malle
GotikundGraphikim Mathematikunterricht
vonR.J.Neveling
DERIVEfurden Mathematikunterricht
vonW.Koepf
Padagogikdes Mathematikunterrichts
vonL.Fuhrer
MathematikunterrichtindarSekundarstufeII
Bd.1: FachdidaktischeGrundfragen-
DidaktikderAnalysis
Bd.2. DidaktikderAnalytischen Geometrie
undLinearenAlgebra
Bd.3: DidaktikderStochastik
vonD.-P.Tietze,M.Klikaund\-I.Wolpers(\-Irsg.)
vieweg ...-/
Uwe-Peter Tietze
Manfred Klika
Hans Wolpers
(Hr-sg.)
Mathematikunterricht in
der Sekundarstufe 11
Band 1
Fachdidaktische Grundfragen
verfasst von Uwe-Peter Tietze
unter Mitarbeit von Frank Förster
Didaktik der Analysis
verfasst von Manfred Klika und Uwe-Peter Tietze
unter Mitarbeit von Frank Förster
2., durchgesehene Auflage
aI
vleweg
Adressen der Herausgeber
Prof.Dr.Uwe-PeterTietze
TVBraunschweig,FB10
Institut furDidaktikder Mathematikund Elementarmathematik
PockelstraBe 11
38106 Braunschweig
PDDr.ManfredKlikaundDr.HansWolpers
Unlversltat Hildesheim
InstitutfurMathematikundAngewandteInformatik
Marienburger Platz22
31141 Hildesheim
1. Auflage 1997
2., durchgesehene Auflage2000
AileRechtevorbehalten
©SpringerFachmcdienWicsbadcn2000
lJrspriinglicherschienenbeiFriedr.Vieweg&SohnVerlagsgesellschaftmbH,
BraunschweiglWiesbaden,2000.
Das Werk und seine Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung
auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustim
mungdes Verlagsunzulasslg und strafbar.Dasgilt insbesondere furVerviel
faltigungen,Ubersetzungen,Mikroverfilmungenund dieEinspeicherungund
VerarbeitunginelektronischenSystemen.
http://www.vieweg.de
KonzeptionundLayoutdes Urnschlags:UlrikeWeigel,www.CorporateDesignGroup.de
GedrucktaufsaurefreiemPapier
ISBN978-3-528-16766-0 ISBN978-3-322-90568-0(eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-90568-0
v
Vorwort
Die Fachdidaktik hat in Forschung und Lehre in erster Linie vier miteinander verzahnte,
zentrale Aufgabenfelder:
- die Analyse fachspezifischer Lehr-, Lern-, Verstehens-und Interaktionsprozesse;
- die zielgeleitete Analyse, Konstruktion und Auswertung von Curricula, insbesondere die Ent-
wicklung und Legitimation von Zielen, Inhalten und Methoden;
- die Überbrückung der Kluft zwischen Fachwissenschaft und ihren Anwendungen einerseits und den
schulischen Inhalten andererseits;
- die Analyse der gesellschaftlichen Rolle des Faches.
Die ersten beiden Punkte erfordern eine enge Zusammenarbeit mit den Sozial-und Erzie
hungswissenschaften, die weiteren Punkte zusätzlich eine enge Zusammenarbeit mit der
Fachwissenschaft. Die Fachdidaktik hat auch die Aufgabe, die Fachgrenzen' zu über
schreiten und Mathematik "von Außen" zu betrachten. Die didaktische Diskussion in
Schule und Hochschule ist in zunehmendem Maße vielfältiger und reicher, aber zugleich
auch unübersichtlicher geworden.
Das Gymnasium hat in den vergangenen 30 Jahren gravierende Veränderungen erfah
ren. Das gilt insbesondere für die Zusammensetzung der Schülerschaft. Die heutigen
Gymnasiallehrer sehen sich gänzlich anderen Lehr- und Lernsituationen gegenüberge
stellt. Lehrer beklagen das Zunehmen der Spanne zwischen den schwachen und den
guten Lernern im Hinblick auf das inhaltliche Wissen und die kognitiven Fähigkeiten,
darüber hinaus die Auffälligkeiten hinsichtlich der Belastbarkeit, des Arbeitsverhaltens
und der Emotionen. Wie in vielen Bereichen unserer Gesellschaft, so gibt es auch im
Mathematikunterricht immer weniger den einen richtigen Weg, sondern viele, z.T. kon
kurrierende Wege. Unterrichten ist dadurch schwerer, aber auch abwechslungsreicher
und herausfordernder geworden.
Wir knüpfen mit dieser Didaktik an unser Buch "Didaktik des Mathematikunterrichts
in der Sekundarstufe n" von 1982 an. Die vielfältigen Veränderungen in der Schule, in den
Fachwissenschaften und der Fachdidaktik haben uns veranlaßt, ein neues Buch zu schreiben
und nicht nur eine Neubearbeitung vorzulegen. Hervorzuheben sind insbesondere: die sich
verändernde gesellschaftliche Rolle des Gymnasiums, aktuelle und mögliche Verände
rungen von MU durch die neuen Informationstechnologien, die Neubewertung der An
wendungsorientierung und das stark gewachsene Wissen über fachspezifische Lehr-,
Lern-, Verstehens-und Interaktionsprozesse.
Wichtig war es uns, die Lehrer stärker zu Wort kommen zu lassen und damit die
Anbindung an die Schulpraxis herauszuarbeiten. Dabei stützen wir uns im wesentlichen
auf zwei Untersuchungen. Die erste Untersuchung ist als Buch (Tietze 1986) erschienen.
Sie basiert zum einen auf einer repräsentativen schriftlichen Befragung von Mathematik
lehrern über den Oberstufenunterricht und zum anderen auf einer vergleichenden Schul
buchanaly'se. Zur zweiten Untersuchung, Intensivinterviews mit einer kleineren Anzahl
von Oberstufenlehrern, liegen bisher nur einzelne Aufsätze und die Materialienbände mit
den Transkripten der Interviews vor (Tietze 1992). Daneben sind praktische Erfahrungen
im Unterrichten und vielfältige Beobachtungen von MU, insbesondere im Rahmen von
Fachpraktika, in den Text eingegangen. Wir versuchen insgesamt, in dieser Didaktik
deskriptive und präskriptive Elemente miteinander zu verbinden. Das geschieht zum
einen, indem wii-vQrstellungen von Lehrern und Schülern zum Oberstufenunterricht
darstellen und erörtern sowie didaktische Strömungen, Schulbücher und Lern- und Lehr
prozesse analysieren. Das präskriptive Element beinhaltet Vorschläge zu allgemeinen
VI Vorwort
und inhaltlichen Zielen und zum methodischen Vorgehen sowie die zugehörige didakti
sche und fachliche Begründung. Viele Teile des Buches sind in Seminare zur Fachdidak
tik eingeflossen und dort diskutiert worden. Wir haben Studenten, Referendare, Lehrer,
Fachleiter, Kollegen an der Universität und Mitarbeiter gebeten, die Texte gegenzulesen
und mit ihnen diskutiert. Wir haben uns bemüht, die vielfältigen und widerstreitenden
Forderungen nach Lesbarkeit, Praxisorientierung, wissenschaftlicher Genauigkeit und
Vollständigkeit sowie nach Kürze in Einklang zu bringen.
Im ersten Teil des Buches werden fachdidaktische Grundfragen geklärt. Ausgangs
punkt ist die Frage nach den Zielen im Mathematikunterricht und deren Begründung.
Wichtige Aspekte sind die Ziel-Mittel-Argumentation, Fragen der Allgemeinbildung und
der Wissenschaftsorientierung, das Herausarbeiten allgemeiner Zielsetzungen und die
Entwicklung des Begriffs der fundamentalen Idee. Es wird gezeigt, daß die Berücksichti
gung dieser Aspekte weitreichende Konsequenzen für Planung und Durchführung von
Mathematikunterricht in der Sekundarstufe 11 hat. Diese Aspekte erfahren im folgenden
eine Vertiefung, indem vier Grundtätigkeiten des Mathematikunterrichts einer genauen
Analyse unterzogen werden: Lernen (von Begriffen und Regeln), Problemlösen, Anwen
den und Modellbilden sowie Beweisen und Begründen. Es werden Grundlagen zum Ver
stehen von inhaltsbezogenen Lern- und Interaktionsprozessen gelegt und Konsequenzen
für das Unterrichtsmanagement, insbesondere für die Auswahl von Lehrverfahren, abge
leitet. Mit der Diskussion eines problem- und anwendungsorientierten Mathematikunter
richts und der Frage nach Art, Ziel und Umfang des Rechnereinsatzes (Computer, grafik
fähiger Taschenrechner, Schul- und Anwendersoftware) werden wesentlichen Gesichts
punklen der aktuellen Reforrndiskussion um den Mathematikunterricht Rechnung getragen.
Wichtiges Charakteristikum von Teil I wie auch des gesamten Buches ist es, daß die
allgemeinen Gedanken und Theorien nicht abstrakt bleiben, sondern an vielfältigen In
halten de~ Mathematikunterrichts konkretisiert und zur Strukturierung der Unterrichts
stoffe der Sekundarstufe 11 herangezogen werden. Es werden unterschiedliche didakti
sche Tendenzen und Entwicklungen aufgezeigt und auf der Basis von empirischen
Untersuchungen ein Bild des konkreten Unterrichts gezeichnet.
Die Teile 11, III und IV unterziehen die drei zentralen Gebiete des Mathematikunter
richts in der Sekundarstufe II einer umfassenden didaktisch-methodischen Analyse und
geben zahlreiche Anregungen für den konkreten Unterricht. Basis hierfür sind die in Teil
I entwickelten fachdidaktischen Grundlagen. Diese Teile zur Didaktik der Analysis, der
Analytischen GeometrielLinearen Algebra und der Stochastik umfassen jeweils mehrere
Kapitel. Ein erstes Kapitel dient dazu, eine Brücke zwischen der jeweiligen Fachdisziplin
und dem Schulstoff zu schlagen und dabei zugleich das jeweils Wesentliche des Gebie
tes, die fundamentalen Ideen, herauszuarbeiten. Dabei wird das Stoffgebiet unter drei
Gesichtspunkten gesehen: Mathematik als Produkt, als Prozeß - als Machen, Entwickeln
und Entdecken von Mathematik - sowie schließlich Mathematik als Modellbilden, Ma
thematisieren und Anwenden. Nach unseren Lehrerfahrungen kann dieses Kapitel Stu
denten helfen, ihre fachwissenschaftlichen Veranstaltungen neu zu sehen und damit
besser zu verstehen. In einem zweiten Kapitel wird ein allgemeiner Überblick über den
Unterricht in diesem Gebiet gegeben: didaktische Strömungen und Tendenzen werden
dargestellt, unterschiedliche Schulbuchansätze beschrieben und empirische Untersuchun
gen zum konkreten Unterricht referiert und diskutiert. Mögliche Veränderungen des
Unterrichts in den drei Gebieten durch die zunehmende Verbreitung und Leistungsfähig
keit von Rechnern und Rechnerprogrammen werden jeweils herausgearbeitet. Die weite-
Vorwort VII
ren Kapitel sind didaktischen Einzelfragen gewidmet. Neben der didaktisch-methodi
schen Behandlung zentraler Inhalte werden die folgenden Fragekontexte diskutiert: Pro
blem- und Anwendungsorientierung, Auswahl von ModelIierungen und Problemaufga
ben sowie Möglichkeiten, mit Hilfe von Schulsoftware und grafikfähigen Taschenrech
nern Stoffe in Form eines experimentellen Unterrichts aufzuschließen.
Alle Teile dieser Didaktik sind mit zahlreichen Beispielen und Aufgaben versehen.
Diese sollen das Verständnis des Textes erleichtern, zur Weiterarbeit anregen, als Übungs
material für didaktische Veranstaltungen in der ersten und zweiten Ausbildungsphase
dienen und Anregungen für den konkreten Unterricht geben. Die Analyse expliziter und
impliziter Ziele von Schulbüchern und deren Bewertung durch Lehrer sollen beim Um
gang mit diesem für den Unterricht wichtigsten Medium helfen. Jedes Kapitel endet mit
einer Zusammenstellung der zentralen Begriffe und Themenkreise. Alle Kapitel sind in
intensiven Diskussionen inhaltlich aufeinander abgestimmt worden.
Wir danken für ihren Rat und ihre Mithilfe: unseren Kollegen Herrn Doz. Dr. Dahlke
(BS), Frau Studienassessorin Eckebrecht (BI), Herrn Prof. Dr. Kahle (GÖ), Herrn wiss.
Mitarbeiter Dipl.-Math. Guder und Herrn wiss. Mitarbeiter Dipl.-Math. Stahl sowie unse
ren Studenten Frau Studienreferendarin Ridder, Herrn Henningsen, Herrn Heerhold;
Herrn Neumann und Herrn Schröder. Ferner danken wir unseren Sekretärinnen Frau Kiy
und Frau Schreiber. Unser besonderer Dank gilt Herrn Fachseminarleiter StD Dornieden
(BS), der alle Kapitel gegengelesen und uns mit seiner Erfahrung zur Seite gestanden hat,
Herrn Hampe, der die Mehrzahl der Bilder angefertigt und die typografische Gestaltung
der beiden Bände übernommen hat, und Herrn Demuth, der als Student und als wissen
schaftliche Hilfskraft an allen inhaltlichen und organisatorischen Fragen beteiligt war
und sich immer wieder für die Lesbarkeit und Zugänglichkeit der Texte eingesetzt hat.
Darüber hinaus dankt Herr Klika Herrn Prof. Dr. Alten (HI), Herrn Prof. Dr. Herget (BI)
und Herrn Prof. Dr. Jahnke (BI), Herr Tietze dankt Herrn Prof. Dr. Stein (MS) und Herr
Förster dankt Herrn OStR Dr. Nauen (BS) und Herrn Assessor Striethorst (B) sowie
Herrn StR Körner (BS) für Unterrichtsbeispiele.
Nach langer Diskussion über den Gebrauch weiblicher und männlicher Wortformen,
wie Lehrerin, Lehrer und LehrerIn, haben wir uns für den traditionellen Weg der männli
chen Form entschieden. Wir bitten unsere Leser, Verständnis dafür zu haben. Auch be
fragte Frauen haben uns in dieser Entscheidung bestärkt.
Das Werk wendet sich an Fachdidaktiker, an Studenten des gymnasialen Lehramts, an
Referendare und an Lehrer, die ihren Unterricht überdenken möchten, die nach neuen
Formen des Unterrichtens oder nach inhaltlichen Anregungen suchen.
November 1996
Prof Dr. u.-P. Tietze Akad. Oberrat Dr. M. Klika
Akad. Rat F. Förster Akad. Direktor Dr. H. Wo/pers
TU Braunschweig Universität Hildesheim
Institutfür Mathematik. Physik und deren Didaktik Institutfür Mathematik
IX
Inhaltsverzeichnis 1
TEIL I FACHDIDAKTISCHE GRUNDFRAGEN DES MATHEMATIKUNTERRICHTS
n
IN DER SEKUNDARSTUFE
Verfasser: U.-P. Tietze (Kap. 1,2,3,5), F. Förster (Kap. 4)
AUSWAHL UND BEGRÜNDUNG VON ZIELEN, INHALTEN UND METHODEN ......... I
1.1 Grundfragen und Entwicklungen in der Curriculumdiskussion ............................................... 2
1.1.1 Der Reformaufbruch in den sechziger Jahren und die Konsequenzen als
einführendes Beispiel einer Curriculumdiskussion .................................................................. 2
1.1.2 Historische Entwicklungen und didaktische Strömungen des Mathematikunterrichts ............. 4
1.1.3 Elemente der didaktischen Curriculumdiskussion .................................................................. 10
Exkurs: Globale Curriculumrevision? *. ................................................................................ 11
Exkurs: Taxonomie und Operationalisierung mathematischer Lernziele *. ........................... 12
Allgemeinbildung und Vnterrichtskultur ................................................................................ 12
Wissenschaftsorientierung und Wissenscha[tspropädeutik .................................................... 15
Exemplarisches Lehren und Lernen ....................................................................................... 16
Vorstellungen von Lehrern zum Curriculum .......................................................................... 17
1.1.4 Merkmale von Grund-und Leistungskursen .......................................................................... 17
Grund-und Leistungskurse aus der Sicht des Lehrers ........................................................... 18
1.2 Zur Begründung von Zielen für den MU in der S H ............................................................... 20
1.2.1 Allgemeine und spezielle inhaltsbezogene Ziele .................................................................... 22
Die Vermittlung eines angemessenen Bildes von Mathematik als allgemeines
inhaltsbezogenes Ziel .............................................................................................................. 23
Spezielle inhaltsbezogene Qualifikationen ............................................................................. 25
1.2.2 Allgemeine verhaltensbezogene Ziele .................................................................................... 27
Ein Katalog allgemeiner verhaltensbezogener Lernzielefür den MV der S 11 ....................... 29
Vertiejimg: Ergänzende Erläuterung allgemeiner verhaltensbezogener Lernziele * ............. 32
1.3 Fundamentale Ideen ................................................................................................................ 37
Leitideen, bereichsspezifische Strategien, zentrale Mathematisierungsmuster ...................... 40
1.4 Zur Rolle des Rechners im Mathematikunterricht ................................................................. 42
Mögliche Funktionen von Rechnern im Mathematikunterricht .............................................. 45
Wichtige Inhalte in neuem Licht ............................................................................................. 47
Aufgaben, Wiederholung, Ergänzung .......................................................•...................................... 48
2 LERNEN UND LEHREN VON BEGRIFFEN UND REGELN ............................................ 50
2.1 Elemente des Begriffs-und Regellernens aus psychologischer Sicht... .................................. 51
Sinnvolles rezeptives Lernen ................................................................................................... 52
Subjektive Aspekte der Begrijfsbildung .................................................................................. 54
Repräsentation ........................................................................................................................ 55
2.2 Besonderheiten mathematischer Begriffs-und Theoriebildung .............................................. 56
2.2.1 Begriffsbildung im Mathematikunterricht .............................................................................. 57
Zur Bedeutung mathematischer Begrijfe ................................................................................ 58
2.2.2 Begriffsentwicklung und Exaktifizieren * .............................................................................. 60
Exkurs in die Algebra ............................................................................................................. 63
2.2.3 Elementarisieren - zum Verhältnis von Fach-und Schulmathematik * ................................. 64
2.3 Exkurs: Lern-und Lehrschwierigkeiten * .............................................................................. 64
2.3.1 Einführende Überlegungen ..................................................................................................... 65
Abschnitte zur Vertiefung sind mit * gekennzeichnet. Die Numerierung von Bildern und Schemata
bezieht sich auf die Kapitel (oberste Gliederungsebene). Die Numerierung von Beispielen und
Aufgaben erfolgt auf der Ebene der Hauptabschnitte (zweite Ebene, etwa Beispiel 2 in 2.3).
x
Inhaltsverzeichnis
Schema und Prozedur ............................................................................................................. 66
Lemschwierigkeiten in der Algebra ........................................................................................ 67
2.3.2 Semantischer Aspekt: das Aufstellen und Interpretieren von Termen und Formeln ............... 68
2.3.3 Syntaktisch-algorithmischer Aspekt... ..................................................................................... 69
Das algorithmische Lösen einfacher Aufgaben ....................................................................... 69
.. Generalregeln" als Ursache von Fehlern ............................................................................. 72
Zusätzliche Schwierigkeiten einer .. höheren" Algebra ........................................................... 73
Folgerungen und Konsequenzen ............................................................................................. 74
2.4 Formen von Unterricht und Lehrverfahren ............................................................................. 74
2.4.1 Einführung .............................................................................................................................. 74
Exkurs: Modell-Lernen * ........................................................................................................ 75
2.4.2 Drei idealtypische Lehrverfahren ............................................................................................ 76
Ausubels Verfahren des expositorischen Lehrens ................................................................... 77
Verfahren des entdeckenlassenden Lehrens im Sinne von Bruner .......................................... 78
Der fragend-entwickelnde Unterricht ..................................................................................... 80
2.5 Methodische Hinweise zum Lehren mathematischer Begriffe, Theorien und Regeln ............ 82
2.5.1 Allgemeine methodische Hinweise und fachdidaktische Prinzipien ....................................... 82
Das Anerkennen von Vorwissen .............................................................................................. 82
Das Subsumieren unter Oberbegriffe: geeignete Ankerideen und Grundvorstellungen ......... 83
Fachdidaktische Prinzipien ..................................................................................................... 84
2.5.2 Zur Planung des Begriffs-und RegelIehrens ........................................................................... 86
Mittelfristige Planung ............................................................................................................. 86
Kurifristige Planung ............................................................................................................... 87
Verstehen und Verstehenskontrolle ......................................................................................... 88
Aufgaben, Wiederholung, Anregungen zur Diskussion ................................................................... 89
3 PROBLEME ENTDECKEN, PROBLEME LÖSEN .............................................................. 91
3.1 Einführendes Beispiel zum Problemlösen ............................................................................... 92
Problemkontext Lineares Optimieren ...................................................................................... 92
3.2 Charakteristische Aspekte von Problemen .............................................................................. 93
Problemkontext Geometrische Objektstudien .......................................................................... 97
3.3 Heuristische Verfahrensregeln und prozeßorientierte Hilfen .................................................. 98
3.3.1 Globale Heuristiken ................................................................................................................ 99
3.3.2 Lokale Heuristiken ................................................................................................................ 10 2
3.4 Ziele und Methoden eines problemorientierten Unterrichts .................................................. 108
3.4.1 Vorstellungen über einen problemorientierten Unterricht und seine Ziele ........................... 108
3.4.2 Problemorientierung im alltäglichen Unterricht .................................................................... 110
3.4.3 Zur Förderung von Problemlösefähigkeiten .......................................................................... 112
Problemkontext Funktionen, Kurven und deren Krümmung ................................................ 114
3.5 Exkurs: Empirische Untersuchungen zum Problemlösen *. .................................................. 117
Quellen für Problemkontexte .......................................................................................................... 119
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion ................................................................. 119
4 ANWENDEN, MATHEMATISIEREN, MODELLBILDEN ............................................... 121
4.1 Mathematisieren und Modellbilden ....................................................................................... 121
Der Modellbildungsprozeß .................................................................................................... 121
Deskriptive und normative Modelle ...................................................................................... 125
Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Modellbildung ................................................ 126
4.2 Tendenzen und Strömungen zur Anwendungsorientierung von MU .................................... 128
4.2.1 Historische Entwicklungen und neuere Tendenzen in der
fachdidaktischen Diskussion ................................................................................................. 128
4.2.2 Ziele eines anwendungsorientierten Mathematikunterrichts ................................................. 131
