Table Of ContentMathematiklernen in der Grundschule
Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II
Herausgegeben von
Prof. Dr. Friedhelm Padberg
Universität Bielefeld
Bisher erschienene Bände (Auswahl):
Didaktik der Mathematik
P. Bardy: Mathematisch begabte Grundschulkinder – Diagnostik und Förderung (P)
M. Franke: Didaktik der Geometrie (P)
M. Franke/S. Ruwisch: Didaktik des Sachrechnens in der Grundschule (P)
K. Hasemann: Anfangsunterricht Mathematik (P)
K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Primarstufe (P)
F. Käpnick: Mathematiklernen in der Grundschule (P)
G. Krauthausen: Digitale Medien im Mathematikunterricht der Grundschule (P)
G. Krauthausen/P. Scherer: Einführung in die Mathematikdidaktik (P)
G. Krummheuer/M. Fetzer: Der Alltag im Mathematikunterricht (P)
F. Padberg/C. Benz: Didaktik der Arithmetik (P)
P. Scherer/E. Moser Opitz: Fördern im Mathematikunterricht der Primarstufe (P)
A.-S. Steinweg: Algebra in der Grundschule – Muster und Strukturen/Gleichungen/funktionale
Beziehungen (P)
G. Hinrichs: Modellierung im Mathematikunterricht (P/S)
R. Danckwerts/D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten (S)
G. Greefrath: Didaktik des Sachrechnens in der Sekundarstufe (S)
K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Sekundarstufe I (S)
F. Padberg: Didaktik der Bruchrechnung (S)
H.-J. Vollrath/H.-G. Weigand: Algebra in der Sekundarstufe (S)
H.-J. Vollrath/J. Roth: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe (S)
H.-G. Weigand/T. Weth: Computer im Mathematikunterricht (S)
H.-G. Weigand et al.: Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I (S)
Mathematik
F. Padberg: Einführung in die Mathematik I – Arithmetik (P)
F. Padberg: Zahlentheorie und Arithmetik (P)
K. Appell/J. Appell: Mengen – Zahlen – Zahlbereiche (P/S)
A. Filler: Elementare Lineare Algebra (P/S)
S. Krauter/C. Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie (P/S)
H. Kütting/M. Sauer: Elementare Stochastik (P/S)
T. Leuders: Erlebnis Arithmetik (P/S)
F. Padberg: Elementare Zahlentheorie (P/S)
F. Padberg/R. Danckwerts/M. Stein: Zahlbereiche (P/S)
A. Büchter/H.-W. Henn: Elementare Analysis (S)
G. Wittmann: Elementare Funktionen und ihre Anwendungen (S)
P: Schwerpunkt Primarstufe
S: Schwerpunkt Sekundarstufe
Weitere Bände in Vorbereitung
Friedhelm Käpnick
Mathematiklernen
in der Grundschule
Friedhelm Käpnick
Universität Münster
Fliednerstraße, 48149 Münster
Deutschland
ISBN 978-3-642-37961-1 ISBN 978-3-642-37962-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-37962-8
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V
Vorwort
»Das kann ich nicht!«, stellt Finn resigniert fest,
nachdem er etwa fünf Minuten erfolglos versuchte,
die Aufgabe »430 – 180« zu rechnen. Trotz intensiven
Bemühens konnte der Drittklässler seiner Lehrerin
nur drei falsche und scheinbar sinnlose Ergebnisse
präsentieren. Zu seiner Entmutigung trug zudem bei,
dass Anna, seine Nachbarin, in der gleichen Zeit
spielend zehn solcher Aufgaben richtig löste.
Will man diese mehr oder weniger typische Alltagssituation des heutigen Ma-
thematikunterrichts in der Grundschule analysieren, sind sehr vielfältige in-
haltliche Aspekte und Zusammenhänge zu beachten. Offensichtlich sind z. B.
die enormen Unterschiede im Lern- bzw. Entwicklungsniveau beider Kinder.
Hieraus ergeben sich wiederum Fragen hinsichtlich des sozialen Lernens, wie
etwa: Wäre es für Finn (und Anna) hilfreich, wenn beide Kinder zumindest
einige Aufgaben gemeinsam rechnen würden? Wie geht man als Lehrperson
und als Institution »Schule« generell mit der scheinbar immer größer werden-
den Heterogenität gleichaltriger Kinder um? …
Sehr komplex und zugleich spezifisch dürften zudem die Ursachen für Finns
Lernprobleme sein. Als eine Hauptursache lassen sich beispielsweise ein un-
zureichendes Zahlen- und Operationsverständnis des Jungen vermuten. Wei-
terhin könnte Finn noch nicht fähig sein, einzelne Teilhandlungen sinnvoll zu
koordinieren. Vielleicht hat der Junge aber »nur« fehlerhafte Rechenstrategien
angewendet. Als Ursachen kommen ebenso generelle Defizite bezüglich der
Gedächtnisfähigkeit, der Fähigkeit im Abstrahieren, Verallgemeinern oder im
Strukturieren infrage. Außerdem spielen bei massiven Lernproblemen von
Kindern häufig motivationale Aspekte oder Defizite in der Ausprägung co-
kognitiver Persönlichkeitsmerkmale, wie z. B. fehlende Konzentrations- oder
Ausdauerkompetenzen, eine Rolle. Aus eigenen Erfahrungen in der Förde-
rung mathematisch minder- wie hochbegabter Kinder weiß ich, dass darüber
hinaus spezielle Probleme in der Sinneswahrnehmung, wie etwa eine Winkel-
fehlsichtigkeit, besondere neuropsychologische Konstellationen oder synäs-
thetische Auffassungen zu Zahlen, das Lernen von Mathematik beeinflussen
können.
Eine Analyse der Lernsituation schließt ebenso die Frage ein, wie und war-
um Anna die Aufgaben spielend leicht lösen kann. Und konkret weitergefragt:
Hat sie eine besondere mathematische Begabung? Ist sie mit dem Bearbeiten
der Aufgaben unterfordert (und Finn zugleich überfordert)? …
VI Vorwort
Zu dem hier exemplarisch aufgezeigten hochkomplexen Bedingungsgefüge
für das kindliche Lernen von Mathematik entwickeln Wissenschaftlerinnen
und Wissenschaftler der Fachdidaktik und entsprechender Bezugsdiszipli-
nen seit Langem Theorieansätze und praxisrelevante Konzepte. Die letzten
20 Jahre weisen diesbezüglich auf eine sehr dynamische Entwicklung hin.
So bereicherten die Entwicklung neuer Lehr-Lern-Konzepte, mathematik-
didaktische Untersuchungen zu individuellen Lernbiografien von Kindern,
zur Entwicklung spezieller arithmetischer, sachrechnerischer oder geomet-
rischer Kompetenzen wie auch zur Nutzung von Anschauungsmitteln nach-
haltig unser Wissen über das kindliche Lernen von Mathematik. Vergleich-
bares gilt für pädagogisch-psychologische Forschungen zu typprägenden
intrapersonalen und interpersonalen Katalysatoren, für neuere Erkenntnisse
der Hirnforschung zu angeborenen Potenzialen und deren Stellenwert für
die gesamte individuelle Entwicklung eines Menschen, weiterhin für jünge-
re Untersuchungsergebnisse zur Entwicklung mathematischer Kompetenzen
im Kindergartenalter oder für Erkenntnisse der emotionalen Intelligenzfor-
schung zur Bedeutung von Intuitionen, von Unbewusstem sowie von Emotio-
nen beim Problemlösen. Ebenso bewirken schulpolitische Initiativen, wie in
jüngerer Vergangenheit die Festlegung von Bildungsstandards, und zahlreiche
innovative Aktivitäten engagierter Lehrerinnen und Lehrer in der Schulpra-
xis, dass bestehende mathematikdidaktische Positionen und Konzepte ständig
überprüft, verbessert, erweitert oder neu bestimmt werden.
Das komplexe Bedingungsgefüge für das kindliche Lernen von Mathematik
zu kennen und dieses Wissen in konkreten Unterrichtssituationen adäquat zu
nutzen, ist zweifellos ein sehr hoher Anspruch für jede Lehrperson. Hiervon
ausgehend besteht das Hauptanliegen des vorliegenden Buches darin, interes-
sierten Studierenden, Lehrerinnen und Lehrern auf der Basis des gegenwär-
tigen Wissensstandes einen Überblick über wesentliche inhaltliche Aspekte
und Zusammenhänge beim Planen, Organisieren, Begleiten und Analysieren
kindlichen Lernens von Mathematik zu geben. Dabei bemühe ich mich, der
angesprochenen hohen Komplexität und der wissenschaftlichen Dynamik zu
genügen. Gleichwohl ist mir bewusst, dass dieser Anspruch jeweils nur un-
zureichend erfüllt werden kann, weil zum einen eine fundierte Darstellung
einzelner Themen, wie etwa von Besonderheiten mathematisch begabter Kin-
der oder Erläuterungen verschiedener wissenschaftlicher Entwicklungen und
konkurrierender Ansätze zu einer konkreten Lernthematik, den Umfang des
Buches »sprengen« würden. Zum anderen können die Inhalte dieses Buches
natürlich nur eine Momentaufnahme sein, die den aktuell bekannten Er-
kenntnisstand überblicksartig wiedergibt. Die Darstellungen in den einzelnen
Buchkapiteln sind somit notwendigerweise Vereinfachungen und Beschrän-
kungen auf wesentliche Sachzusammenhänge. Konkrete Unterrichts- bzw.
Lernbeispiele dienen der »Verlebendigung« theoretischer Positionen. Dass ich
VII
Vorwort
dabei vorrangig Beispiele aus Schulbuchreihen verwendete, für die ich selbst
als Autor tätig bin, ist lediglich der hierfür unproblematischen Abdruckge-
nehmigung geschuldet. Unbestritten enthalten viele andere aktuelle Lehrwer-
ke vergleichbar geeignete Unterrichtsbeispiele und -empfehlungen. Fragen am
Ende jedes Kapitels in den grau unterlegten Kästchen können zum vertiefen-
den Nach- und Weiterdenken sowie zum Entwickeln eigener Positionen an-
regen.
Entsprechend der traditionellen und gegenwärtig nach wie vor dominieren-
den schulischen Organisationsstruktur in Deutschland beschränken sich die
Ausführungen zu verschiedenen Aspekten kindlichen Lernens von Mathema-
tik auf den Mathematikunterricht der Grundschule, wobei hiermit die Klas-
senstufen 1 bis 4 gemeint sind. Bei der Auswahl der Themen und der inhalt-
lichen Strukturierung des Buches orientierte ich mich an meinen Skripten zu
einer Vorlesung, die unter dem gleichnamigen Titel regelmäßig am Institut
für Didaktik der Mathematik und der Informatik an der Universität Münster
angeboten wird. Die Kapitel habe ich zwar als aufeinander aufbauende und re-
lativ abgeschlossene Themenkomplexe konzipiert, dennoch ist es – in Abhän-
gigkeit von der jeweiligen Nutzung – problemlos möglich, jeweils bestimmte
Inhalte auszuwählen oder andere zu vernachlässigen wie auch einzelne Kapi-
tel in der Reihenfolge zu tauschen.
Für die Fertigstellung dieses Buches führte ich zu allen Kapitelthemen wei-
tergehende Literaturrecherchen durch und berücksichtigte viele Anregungen
von Kolleginnen und Kollegen. Somit ist das vorliegende Buch keinesfalls al-
lein das Werk des Autors und mein herzlicher Dank gilt allen für die zahlrei-
chen kritisch-konstruktiven Hinweise und für konkrete Ergänzungen.
Friedhelm Käpnick
Münster, im Dezember 2012
IX
Inhaltsverzeichnis
1 Funktionen, Ziele und Inhalte des
Grundschulmathematikunterrichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Zielfestlegungen für den Grundschulmathematikunterricht
im Wandel der Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Aktuelle Zielfestlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Hauptinhalte des Grundschulmathematikunterrichts im Überblick . . . . . . . 13
2 Bildungsstandards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Funktionen der Bildungsstandards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Allgemeine Kompetenzen als zentraler Bestandteil der
Bildungsstandards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Anforderungsbereiche der Bildungsstandards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Gefahren und Grenzen von Bildungsstandards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Lernkonzepte für den Grundschulmathematikunterricht . . . . . . . . . . 29
3.1 Ein Lernthema – zwei verschiedene Umsetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Die »traditionelle Rechendidaktik« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Das Konzept des aktiv-entdeckenden Lernens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Der Ansatz des schriftlich-reflektierenden Mathematiklernens . . . . . . . . . . . . 39
3.5 Der Ansatz des interaktiv argumentierenden Mathematiklernens . . . . . . . . . 41
3.6 Weitere Lernkonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Mathematikdidaktische Prinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1 Mathematikdidaktische Prinzipien und ihre generelle
Bedeutung für die Lehrertätigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Mathematikdidaktische Prinzipien auf der Basis der Theorien
von Piaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Mathematikdidaktische Prinzipien auf der Basis der Theorien
von Bruner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4 Mathematikdidaktische Prinzipien auf der Basis der Theorie
von Wygotski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.5 Weitere mathematikdidaktische Prinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.6 Z ur Kritik an mathematikdidaktischen Prinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5 Gestaltung des mathematischen Anfangsunterrichts . . . . . . . . . . . . . . 63
5.1 B esonderheiten des Schulanfangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2 M athematische Vorkenntnisse von Schulanfängern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3 S ubjektive Zahlauffassungen von Kindern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
X Inhaltsverzeichnis
5.4 Didaktisch-methodische Orientierungen für den
mathematischen Anfangsunterricht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6 Erwerb mathematischer Sach- und Methodenkompetenzen . . . . . 85
6.1 Aneignung mathematischer Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2 Erwerb von Methodenkompetenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3 Lerntechniken für die Strukturierung und Vernetzung von Wissen . . . . . . . 100
6.4 Erwerb von Kompetenzen im Begründen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7 Mathematische Problemlöseprozesse von Grundschulkindern . . . . 109
7.1 Besonderheiten einer mathematischen Problemaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.2 Lernpotenziale des Problemlösens im Mathematikunterricht . . . . . . . . . . . . 112
7.3 Grundschulkinder als gute Problemlöser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.4 Stufenmodelle für Problemlöseprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.5 Klassifikation von Problemlösestilen bei Grundschulkindern . . . . . . . . . . . . 119
7.6 Anforderungen an den Einsatz mathematischer Problemaufgaben . . . . . . 124
8 Üben im Mathematikunterricht der Grundschule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.1 Üben – ein Hauptbestandteil jeglichen Mathematikunterrichts . . . . . . . . . . 130
8.2 Klassische Übungsformen des Mathematikunterrichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.3 Übungsformen auf der Basis des Konzepts vom aktiv-
entdeckenden Lernen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.4 Spezielle Formen kindorientierenden Übens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9 Anschauungsmittel für den Arithmetikunterricht der
Grundschule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.1 Generelle Bedeutung von Anschauungsmitteln für kindliches
Lernen von Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.2 Vor- und Nachteile verschiedener Anschauungsmittel für den
Arithmetikunterricht der Grundschule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.3 Grundorientierungen für den Umgang mit Anschauungsmitteln . . . . . . . . . 172
10 Lernspiele im Grundschulmathematikunterricht . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.1 Generelle Zusammenhänge zwischen Spielen
und mathematischem Tätigsein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
10.2 Wechselbeziehungen zwischen der Entwicklung von Spiel-
und Lerntätigkeit im Grundschulalter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
10.3 Typische Spielformen im Grundschulmathematikunterricht . . . . . . . . . . . . . 182
10.4 Anforderungen an Spiele im Grundschulmathematikunterricht . . . . . . . . . . 185
11 Differenzierendes Lernen im Grundschulmathematikunterricht . . 187
11.1 Ein Unterrichtsbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
11.2 Differenzierendes Lernen – eine alte und hochaktuelle Herausforderung 189
