Table Of ContentLudwig Albert Bauer
Mathematik und Subjekt
Ludwig Alberl Bauer
Mathematik und Subiekt
line Studia iiber pidagogisch-didaktische
Grundkateg.rien und Lernprozesse i. Unterricht
Herausgegeben von Erich Ch. Willlllann
f[)'ll:\rJ DeutscherUniversitatsVerlag
~ GABLER ·VIEWEG 'WESTDEUTSCHER VERLAG
ClP-Titeloufnohme der Deutschen Bibliothek
Bauer, Ludwig Albert:
Mathematik und Subjekt : e.S tudie Ober pMag.-didakt.
Grundkategorien u. Lernprozesse im Unterricht I Ludwig
Albert Bauer. - Wiesbaden : Ct. Univ.-Verl., 1988
Zugl.: MOnchen, Univ., Habil.-Schr., 1987
Diese Arbeit wurde 1987 an der FakultAt fOr Psychologie und PAdagogik der Ludwig
Maximilians-UniversitAt MOnchen als Habilitationsschrift eingereicht.
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© Deutscher Universitots-Verlog GmbH, Wiesboden 1988
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ISBN 978-3-8244-2000-1 ISBN 978-3-322-90645-8 (eBook)
DOl 10.1007/978-3-322-90645-8
5
INHAlT
ElNlElTUNG 9
TEll I: MATHEMATIK UND ERZIEHUNG. THEORETISCHE POSITIONEN
UND EMPIRISCHE ANAlYSEN ZUM MATHEMATIKUNTERRICHT 24
1. Der Gegenstand Mathematik 26
1 • 1 • Prob1emaufriB 27
1.2. Linien in der historischen Entwicklung mathematischen
Denkens 31
1. 3. Aspekte, Dimensionen und Strukturmerkmale mathemati
schen Denkens 42
1.4. Zusammenfassung 51
2. Erzieherische Leitvorstellungen 54
2. 1 • Person und Individualitat 56
2.2. Person und Sozialitat 59
2.3. Person und Mundaneitat 61
2.4. Zusammenfassung 65
3. Der Gegenstand Mathematik im Aufgabenfeld der Erziehung 67
3.1. Zum Problem der erzieherischen Legitimation der Mathe
matik 68
3.1.1. Diskussion 68
3.1.2. Erzieherische Bedeutsamkeit der Mathematik 71
3.2. Zielvorstellungen fUr den Mathematikunterricht 81
3.2. 1. Kompetenz im Umgang mit Mathematik 82
3.2.2. Kognitive Abbi1dung der Mathematik 84
3.2.3. Subjektive Beziehung zur Mathematik 85
3.3. Zusammenfassung 88
4. Subjektive Reprasentation des Gegenstands Mathematik 91
4.1. Uber1egungen zur Methode der Untersuchung gegenstands
bezogener Subjektstrukturen 92
4.1.1. Kennzeichen traditione1ler empirischer Sozialforschung 92
4.1.2. Kritik und alternative Ansatze 94
4.1.3. Konkretisierung: Zur Untersuchung mathematikbezogener
Subjektstrukturen 98
4.2. Subjektive Kompetenz im Umgang mit Mathematik 105
4.2. 1. Empirische Untersuchungen zur mathematischen Kompetenz 105
6
4.2.2. Mathematikaufgaben a1s Indikatoren fUr mathematische
Kompetenz 107
4.2.3. Diskussion und Ausb1ick 109
4.3. Subjektive Abbi1dung der Mathematik 112
4.3.1. Subjektive Deutung mathematischer Gegenstande (spe-
zie11e Deutungen) 114
4.3.2. Subjektive Deutung der Mathematik (globa1e Deutungen) 118
4.3.3. Subjektive Sinnzuschreibungen zur Mathematik (globa1e
Deutungen) 128
4.3.4. Ausb1ick 143
4.4. Subjektive Beziehung zur Mathematik 144
4.4.1. Einste11ungen zur Mathematik 144
4.4.2. Entwick1ung subjektiver Beziehungen zur Mathematik 153
4.4.3. Diskussion und Ausb1ick 165
4.5. Zusammenfassung 168
5. Interesse a1s padagogisch-didaktische Grundkategorie 170
5.1. Begriff1iche Exp1ikation des Konstrukts Interesse 171
5.2. Mathematikspezifische Interpretation des Konstrukts
Interesse 180
5.2.1. Kognitive Auffassung des Interessengegenstands Ma-
thematik 180
5.2.2. Formen mathematikbezogener Ref1exion 182
5.3. Padagogisch-didaktische Bedeutung des Konstrukts
Interesse 186
5.3.1. Interesse und erzieherische Leitvorstellungen 186
5.3.2. Mathematikinteresse und die Zie1e mathematischer
Erziehung 189
5.4. Zusammenfassung 199
6. Prinzipien fur die schu1ische Vermittlung des Gegen
stands Mathematik 201
6.1. Gegenstandsorientierung 203
6. 1. 1. Exemplarische Reprasentation und Elementarisierung 203
6.1.2. Heuristik und Genese 206
6.1.3. Beziehungshaltigkeit 209
6.1.4. Offenheit 212
6.1.5. Gegenstandsreflexion 213
6.2. Subjektorientierung 216
6.2.1. Zuganglichkeit und Durchschaubarkeit 216
6.2.2. Individualisierung und Differenzierung 219
7
6.2.3. Kommunikation und Sozialisierung 222
6.2.4. Emotionalitat 225
6.2.5. Motivation 228
6.2.6. Sinnorientierung 231
6.2.7. Lebensbezogenheit 235
6.2.8. Autonomie 241
6.2.9. Selbstreflexion 247
6.3. Problematisierung 249
6.4. Zusammenfassung 252
TElL II: MATHEMATIKUNTERRICHT UND INTERESSE. DIDAKTISCHE RE-
FLEXION UNO EMPIRISCHE EVALUATION ZU EINEM UNTERRICHTSPROJEKT 255
7. ProblemaufriB 255
7.1. Entfaltung der Ausgangslage 256
7.2. Chronologie unterrichtlicher Ereignisse 258
7.3. Prazisierung der Ziele 263
7.4. Ausblick 267
8. Formen der Evaluation 268
8.1. Operationalisierung 270
8.2. Datenerhebung 276
8.3. Auswertung 289
9. Gegenstandliche Strukturen und padagogisch-didaktische
Bedeutsamkeiten 294
9.1. Ergebnisse und Befunde 295
9.1.1. Oas Gegenstandsfeld Mathematik 296
9.1.2. Das Gegenstandsfeld Weltraum 299
9.1.3. Weitere gegenstandliche Aspekte und Oimensionen 301
9.1.4. Zusammenfassende Ubersicht 302
9.2. Interpretation 305
9.2.1. Zur padagogischen Bedeutsamkeit des Gegenstandsfelds
Weltraum 305
9.2.2. Zur mathematikdidaktischen Bedeutsamkeit des Unter-
richtsprojekts 310
9.3. Zusammenfassung 318
10. Didaktisch-methodische Aspekte 320
10.1. Antezedente Bedingungen 322
10.2. Entstehungsphase 327
10.2.1. Didaktische Intentionen und Prinzipien 328
10.2.2. Subjektive Anmutungs- und Erlebensqualitaten 335
8
10.3. Entscheidungsprozesse 345
10.3.1. Grundsatzliche Entscheidung fUr ein Projekt 346
10.3.2. Entscheidungen zur Projektplanung 351
10.3.3. Entscheidungen zur Zensierung der Projektarbeit 355
10.4. Arbeitsphase 362
10.4.1. Intentionale Konzeption 362
10.4.2. Prinzipien der Gegenstandsorientierung 363
10.4.3. Prinzipien der Subjektorientierung 367
10.4.4. SchUlerberichte aus freier Projektarbeit 371
10.5. Projektabbruch 374
10.6. Zusammenfassung 380
11. Subjektbezogene Kategorien 384
11.1. Subjektive Kompetenz 385
11.2. Subjektive Gegenstandsauffassung 387
11.3. Subjektive Beziehung zu den Projektgegenstanden 391
11.3.1. Subjektive Interessenlage 391
11.3.2. Verhaltens- und handlungsbezogene Indikatoren fUr
Interessenqualitaten 393
11.3.3. Selbstmitteilungen der SchUler Uber ihre Beziehung
zu den Projektgegenstanden 396
11.4. Subjektive Beziehung zu den Evaluationsinstrumenten 411
11.5. Einzelfallstudien 415
11.5.1. IN 415
11.5.2. EO 419
11.5.3. RE 422
11.5.4. JO 425
11.6. Zusammenfassung 428
12. Oiskussion 430
12.1. Individuelle Interessenlage und Interessenstruktur 431
12.2. °Oidaktisch-methodische Vollzugsformen 440
12.3. Curriculare Aspekte und systembezogene Schwierigkeiten 449
12.3.1. Versuch einer Situationsbeschreibung 449
12.3.2. Auswirkungen und Folgen 452
12.3.3. Konsequenzen und Forderungen 454
12.4. Forschungsmethodische Probleme 461
12.5. Zusammenfassung 469
SCHLUSS 472
LITERATUR
477
ANHANG 497
9
EINLEITtN;
a) Mathematik und Bi1dung:
Wenn im offent1ichen Leben von den Aufgaben moderner Erziehung die
Rede ist, hort man haufig die Forderung, junge Menschen mUBten heutzu
tage vor a11em in die Welt der Naturwissenschaften und der Technik
eingefUhrt werden. Das Verstandnis dieser Welt sei fUr das Leben in
unserer rationa1isierten und technisierten Ku1tur unumgang1ich. A1s
einen Sch1Usse1, der den Zugang zu Technik und Wissenschaft offnet,
betrachtet man dabei die Mathematik. Die jungen Menschen zu 1ehren,
mit Mathematik umzugehen und sich in ihr zurechtzufinden, dies sei
daher eine zentra1e erzieherische Aufgabe.
In privaten, inoffizie11en Gesprachen geben jedoch andererseits viele
Leute, oft die gleichen, we1che in offizie11en Ver1autbarungen die
Bedeutung von Mathematik und Naturwissenschaft betonen, offen und
unumwunden zu, sie se1ber hatten in ihrer eigenen Schu1zeit im Fach
Mathematik nur durchschnitt1iche oder gar mange1hafte Leistungen er
bracht, und die Mathematik hatte ihnen se1bst eigent1ich wenig bedeu
tet. Oft hat man auch Erk1arungen fUr diese Situation parat. Sie stUt
zen sich meist auf die These, "Mathematik zu treiben, sie zu verstehen
oder gar zu vermehren, sei die Ange1egenheit einer Minderheit von
Menschen, die mit einer Spezia1begabung ausgestattet seien. Ich
habe nie etwas richtig verstanden, ist das Bekenntnis vie1er Leute,
die 13 Jahre lang - von den Zeugnisnoten her sogar mit Erfo1g - Mathe
matikunterricht genossen haben" (Winter 1986, S. 2). Wahrend es a1s
ungebi1det und daher a1s pein1ich gilt, Kafka nicht ge1esen zu haben
oder Rechtschreibfeh1er zu machen oder nicht zu wissen, wer die Oper
Cosi fan tutte geschrieben hat oder nicht eng1isch sprechen zu konnen,
werden mathematische oder naturwissenschaft1iche Unwissenheiten frei
zugegeben und to1eriert, oft sogar in kokettierender Weise a1s Kava-
1iersde1ikte prasentiert und ausgezeichnet (vg1. mit Winter 1986,
S. 3: Wagenschein 1965, S. 443).
Offensicht1ich ist also das Verha1tnis der Menschen zum Fach Mathema
tik ambivalent, gespa1ten, vie11eicht muB man sogar sagen: gestort.
Objektiv-offizie11e Bedeutungszuweisungen einerseits und subjektiv-in
offizie11e Wertschatzungen andererseits k1affen auseinander. Man stuft
10
die Mathematik als fUr moderne Technik und Naturwissenschaft hochbe
deutsam ein. gleichzeitig aber auch als Geheimwissenschaft fUr wenige
Spezialbegabte. Dieses Bild von Mathematik ist eng verbunden mit einer
Auffassung und Vorstellung dessen, was man Bildung bzw. Gebildetsein
nennt. Bildung assoziiert man offensichtlich mit sprachlichen, kUnst
lerischen und geisteswissenschaftlichen Disziplinen. Mathematik dage
gen wird kaum als wichtiger Teil menschlicher Kultur akzeptiert. Ma
thematisches nicht als unverzichtbarer Teil menschlicher Bildung ge
schatzt (vgl. Winter 1986, S. 3).
Ein Blick in die Vergangenheit zeigt, daB es Zeiten gab, in denen das
Verhaltnis der Menschen zu Mathematik und Bildung anders geartet war.
1m Zeitalter der HochblUte griechischer Kultur etwa wurden Erziehung
und Bildung im Umgang mit den sieben zweckfreien KUnsten realisiert.
mit dem sprachlichen Trivium Grammatik, Rhetorik, Dialektik, und dem
mathematisch orientierten Quadrivium Arithmetik, Geometrie, Astrono
mie, Musik. wobei beide Bereiche nicht beziehungslos nebeneinander
standen, sondern eng verbunden und in einem einheitlichen, philoso
phisch durchdrungenen Menschen- und Weltbild zusammengefaBt waren. Der
Mathematik kam in diesem Weltbild ein besonders hoher Stellenwert zu.
Niemand galt bei den Griechen als gebildet, der nicht der Mathematik
machtig war. Jahrhundertelang was das griechische Bildungsideal fUr
die Welt der abendlandischen Kultur bestimmend und pragend.
Mit dem Aufschwung der Wissenschaften in der Neuzeit und der damit
verbundenen ungeheuren Vermehrung des Wissens Uber die Welt kommt es,
zunachst kaum spUrbar, aber im Lauf der weiteren Entwicklung sich
immer scharfer abzeichnend, zu einem Auseinanderbrechen des einheitli
chen, alle Phanomene umfassenden und sie deutenden Weltbildes. Die
Zeit, in der man alles lernen und verstehen kann, geht zu Ende. Bil
dung als universales Wissen Uber die Welt scheint nicht mehr moglich.
Die Gegenstands- und Weltbeziehungen gestalten sich derart komplex und
kompliziert, daB die Menschen in ihrem Denken und Handeln Schwerpunkte
bilden und s1ch spezialis1eren mUssen. Die menschliche Kultur disso
ziiert in zwei Teilkulturen, die sich auseinanderentwickeln und autar
kisieren (siehe z.B. Snow 1965; Papert 1982, S. 65; Fischer/Malle
1985, S. 259). Geisteswissenschaf ten und Naturwissenschaften, Sprache
und mathematische Logik, Mythos und Logos, intuitive Phantasie und
rationales, empirische Erfahrungen verarbeitendes Denken, Kreativitat
und Systematik - dies sind Kategorien, Kriterien und Schlagworter, mit
denen das Profil der beiden Teilkulturen jeweils dualisierend umrissen
11
werden kann. Hinzu kommt, daB man den beiden Bereichen auch verschie
dene Aufgaben und Funktionen zuweist, Funktionen, die frUher stets
zusammen gedacht und zusammen praktiziert wurden. Die mathematisch-na
turwissenschaft1iche Ku1tur zie1t auf technisch-wissenschaft1ichen
Fortschritt. Sie sichert industrie11-materie11e Produktion und damit
das auBere Woh1 der Menschen. Den Sprachen und den Geisteswissenschaf
ten fa11t die Aufgabe der inte11ektue11en und mora1ischen Bi1dung der
Menschen zu. Dieser Trend findet in der humanistischen Bi1dungs1ehre
Humbo1dtscher Pragung seinen Ausdruck, vie11eicht in dieser Form nicht
beabsichtigt, in der Praxis aber haufig so wirkend. Ober viele Genera
tionen hinweg werden die jungen Leute am humanistischen Gymnasium vor
a11em im Umgang mit der Muttersprache, mit Geschichte, mit den a1ten
Sprachen Griechisch und Latein erzogen und gebi1det. 1m Laufe der
weiteren Entwick1ung verschieben sich a11erdings die Gewichte und
Schwerpunkte. Die Rationa1isierung, Technisierung und Verwissenschaft-
1ichung der Welt schreitet voran und besch1eunigt sich. Die Bedeutung
der sprach1ich-geisteswissenschaft1ichen Diszip1inen beginnt b1asser
zu werden, die der mathematisch-naturwissenschaft1ichen dagegen star
ker hervorzutreten. Mathematisch-naturwissenschaft1iche Kompetenz und
Inte11igenz sind auf dem Vormarsch. Sie ge1ten a1s Garanten fUr tech
nisch-industrie11en Fortschritt. Einer Einschatzung des Ku1turphi10so
phen Moscovici zufo1ge befinden wir uns heute in einer zweiten Phase
der mensch1ichen Phy10genese. Die erste Phase war seiner Auffassung
nach dadurch gekennzeichnet, daB der Mensch die Sprache entwicke1t und
sich mit ihr in sein Menschentum bewegt hat. Die zweite Phase der
Phy10genese scheint dadurch gepragt zu sein, daB sich der Mensch wei
terentwicke1t, indem er sich der Mathematik bedient. "Die Rolle, die
der Mathematik zukommt, wird man eines Tages vie11eicht mit der Aus
brei tung der Schrift verg1eichen, wenn nicht gar mit der Ausbreitung
der mensch1ichen Sprache Uberhaupt" (Moscovici 1982, S. 15).
Wenn nun aber diese Ober1egungen richtig sind, wenn einerseits die
ehema1s bi1dungsre1evanten sprach- und geisteswissenschaft1ichen Dis
zip1inen an Bedeutung ver1ieren und wenn andererseits die mathema
ti~naturwissenschaft1ichen Diszip1inen in unserer modernen, techni
sierten Welt unentbehr1ich geworden sind, dann mUBten heute umso mehr
auch Mathematik und Naturwissenschaften ihren Beitrag zur person1ichen
Bi1dung der Menschen 1eisten. Insbesondere: Wenn in unserer Welt Hand-
1ungs- und Interaktionsbeziehungen immer mehr durch mathematisch in
terpretierbare Instrumente ersetzt werden, dann mUBte sich eigent1ich
