Table Of ContentAlbrecht Beutelspacher | Rainer Danckwerts
Gregor Nickel | Susanne Spies | Gabriele Wickel
Mathematik Neu Denken
Albrecht Beutelspacher | Rainer Danckwerts
Gregor Nickel | Susanne Spies | Gabriele Wickel
Mathematik
Neu Denken
Impulse für die Gymnasiallehrerbildung an Universitäten
3., aktualisierte Auflage
Mit 328 Abbildungen
STUDIUM
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der
Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über
<http://dnb.d-nb.de> abrufbar.
Prof. Dr. Dr. h. c. Albrecht Beutelspacher Prof. Dr. Rainer Danckwerts
Justus-Liebig-Universität Gießen Universität Siegen
Mathematisches Institut Department Mathematik
Arndtstraße 2 Didaktik der Mathematik
35392 Gießen Walter-Flex-Str. 3
57068 Siegen
[email protected]
[email protected]
Prof. Dr. Gregor Nickel Susanne Spies | Gabriele Wickel
Universität Siegen Universität Siegen
Department Mathematik Department Mathematik
Funktionalanalysis und Philosophie Didaktik, Philosophie und Geschichte
der Mathematik der Mathematik
Walter-Flex-Str. 3 Walter-Flex-Str. 3
57068 Siegen 57068 Siegen
[email protected] [email protected]
[email protected]
Das Projekt MATHEMATIK NEU DENKEN wurde von der Deutschen Telekom Stiftung unterstützt.
Dieses Buch fasst die Ergebnisse ausführlich und kommentiert zusammen.
1. Auflage 2011
Alle Rechte vorbehalten
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Barbara Gerlach
Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien.
Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media.
www.viewegteubner.de
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich ge schützt. Jede
Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Ur heber rechts ge set zes ist ohne
Zustimmung des Verlags unzuläs sig und straf bar. Das gilt ins be sondere für
Vervielfältigungen, Über setzun gen, Mikro verfil mungen und die Ein speiche rung
und Ver ar beitung in elek tro nischen Syste men.
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk
berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im
Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher
von jedermann benutzt werden dürften.
Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg
Druck und buchbinderische Verarbeitung: AZ Druck und Datentechnik, Berlin
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-1648-1
Vorwort
DiesesBuchmarkiertden(vorläufigen)AbschlussdesProjektsMathematikNeuDen-
ken,einesTandemprojektsandenUniversitätenGießenundSiegenzurNeuorientie-
rung der universitären Lehrerbildung im Fach Mathematik für das gymnasiale Lehr-
amt (Projektleitung: Prof. Dr. A. Beutelspacher (Gießen), Prof. Dr. R. Danckwerts,
Prof. Dr. G. Nickel (beide Siegen)). Im Buch spiegeln sich die Erfahrungen aus dem
mehrjährigen Pilotprojekt zur Erprobung der Neugestaltung des ersten Studienjahrs
ebensowiderwiedieprogrammatischeArbeitanEmpfehlungenzurNeuorientierung
dergesamtenuniversitärenPhase.
Die Universitätsleitungen und die beteiligten Fachbereiche haben die Durchführung
der Pilotphase ermöglicht und nach Kräften unterstützt. Diese Praxisphase wäre un-
denkbargewesenohnedieengagierteMitwirkungallerbeteiligtenwissenschaftlichen
und studentischen Mitarbeiter und der Studierenden an beiden Standorten. Ein be-
sondererDankgiltProf.Dr.W.Hein(UniversitätSiegen),derdieStartphasedesPro-
jektsmaßgeblichunterstütztunddieersteAnalysis-Vorlesungübernommenhat.
DieEmpfehlungenzurNeuorientierungderuniversitärenLehrerbildungimFachMathe-
matik für das gymnasiale Lehramt (vgl. Empfehlungen 2010), die konzeptionell eine
BasisdervorliegendenPublikationbilden,sind2009/10inintensivemAustauschmit
folgendenKolleginnenundKollegenausderMathematikundihrerDidaktikentstan-
den: Prof. Dr. L. Hefendehl-Hebeker (Universität Duisburg-Essen), Prof. Dr. J. Sjuts
(UniversitätOsnabrückundStudienseminarLeer),Prof.Dr.H.-O.Walther(Universi-
tätGießen)und(assoziiert)Prof.Dr.M.Neubrand(UniversitätOldenburg).Darüber
hinaushabenProf.Dr.B.Artmann(UniversitätGöttingen),Prof.Dr.T.Bauer(Univer-
sität Marburg) und Prof. Dr. N. Henze (Universität Karlsruhe) die Arbeit der Gruppe
durchihreExpertisebereichert.IndiesemSinnehabenalleGenanntenanTeilendie-
ses Buches mitgewirkt. Wir möchten allen für die produktive und inspirierende Zu-
sammenarbeitherzlichdanken.
DasgesamteProjektwurdevonderDeutschenTelekomStiftungingroßzügigsterWei-
segefördert.WirdankendemVorsitzendenderStiftung,HerrnDr.KlausKinkel,dass
erdasProjektinitiiertundwährenddergesamtenLaufzeitmitgroßempersönlichen
Einsatzbegleitethat.
GießenundSiegen
imAugust2011
AlbrechtBeutelspacher
RainerDanckwerts
GregorNickel
SusanneSpies
GabrieleWickel
Inhalt
1 MathematiklehrerbildungNeuDenken! 1
2 AusgangslageundZiele 5
2.1 EmpirischeBefunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Desiderate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 DenAnfangandersmachen!–Projekterfahrungen 21
3.1 Schul-undBerufsfeldbezugvonAnfangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 HistorischeundmathematikphilosophischeElemente . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 MethodischeNeuorientierunginderPraxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 IdeenundMaterialienzueinerSchulanalysisvomhöherenStandpunkt 31
4.1 ErstesBeispiel:DerAbleitungsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 ZweitesBeispiel:DerThemenkreisExtremwertprobleme . . . . . . . . . . . 41
4.3 DrittesBeispiel:DieVollständigkeitderreellenZahlen . . . . . . . . . . . . 45
4.4 Epilog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 Analysis–HistorischeundphilosophischeAspekte 51
5.1 BeispielefürAufgabenzumhistorischenoderphilosophischenKontext . . 52
5.2 InfinitesimalmathematikinAntikeundMittelalter . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 DieGenesedesBegriffsdergleichmäßigenKonvergenz . . . . . . . . . . . . 74
5.4 DieMengenlehreGeorgCANTORs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6 IdeenundMaterialienzurAnalytischenGeometrieundLinearenAlgebra 91
6.1 KlassischeThemenanderspräsentieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2 Inhaltereflektierenundvernetzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.3 Software-PraktikumzurAnalytischenGeometrieundLinearenAlgebra . . . 104
viii Inhalt
7 ElementareGeometrieundAlgebra 111
7.1 ElementareGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.2 ElementareAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8 MethodenNeuDenken 149
8.1 DieuniversitäreLernumgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.2 KooperativeÜbungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.3 ArbeiteninPräsenzübungsphasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.4 ErweiterungderuniversitärenLernumgebung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.5 NeuorientierungderLeistungsbeurteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9 ErfolgederProjektidee 175
9.1 ExterneEvaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.2 InterneDokumentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
10 DasvolleStudiumimBlick–Empfehlungen 187
10.1ÜbergreifendeZiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
10.2ElementeeinesidealtypischenStudienplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10.3Zusammenfassung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Ausblick 207
Materialien 209
Literatur 213
1 Mathematiklehrerbildung Neu
Denken!
Mathematik gehört zu den Schlüsseltechnologien unserer hoch technisierten Gesell-
schaft. Ob es um die Optimierung von Transportsystemen, um Wahlprognosen, Mo-
delle für den Klimawandel oder Fragen der Datensicherheit geht, bei allen Anwen-
dungenist–auchjenseitsdesbürgerlichenRechnens–hochentwickelteMathematik
imSpiel.
Mathematik war aber auch bereits seit Beginn der Kulturgeschichte eine Weise des
Weltverstehens. Ohne mathematische Begriffe und Methoden wäre etwa die Ent-
wicklung der Astronomie, des Kalenderrechnens oder der Landvermessung nicht
vorstellbar.
In der griechischen Antike hat die Mathematik ihren Status als einzigartige Wissen-
schafterhalten.DamalsvollzogsicheinQualitätssprungvonempirischgestützterEr-
kenntnis zum Anspruch rein theoretischer Begründung. Damit war die Mathematik
alsargumentativeWissenschaftetabliert.
Beide Wesenszüge – Mathematik als Schlüsseltechnologie und als Kulturgut – sind
in der Öffentlichkeit kaum präsent. Erfolge der Mathematik werden entweder über-
haupt nicht wahrgenommen oder „dem Computer“ zugeschrieben. Mehr noch: Man
kannsogarmitBeifallrechnen,wennmanöffentlichbekennt,vonMathematiknichts
zuverstehenund„inMatheimmerschlecht“gewesenzusein.
NunwirdmathematischeBildung–imUnterschiedzuanderenFächernwieSprachen,
Musik, Kunst oder Sport – fast ausschließlich über schulischen Unterricht vermittelt.
Zwar haben sich in den letzten Jahren immer mehr populäre Formate wie Bücher,
Filme, Ausstellungen und Wettbewerbe entwickelt, aber dennoch findet fast das ge-
samtemathematischeLerneninderSchulestatt.
DamitspielendieLehrerinnenundLehrerdieentscheidendeRollebeiderVermittlung
vonMathematik!
Die Frage nach der Qualität des Mathematikunterrichts geriet schlagartig ins Zen-
trum des öffentlichen Interesses, als ab Mitte der 1990er Jahre die Ergebnisse der
internationalenVergleichsstudienTIMSSundPISAbekanntwurden,beidenendeut-
sche Schülerinnen und Schüler nur mittelmäßig abgeschnitten hatten. Die TIMSS-
StudiegabAnlass,denetabliertenMathematikunterrichtzuüberdenken.Dieswurde
schon damals von den einschlägigen Fachverbänden klar benannt (vgl. DMV, GDM
und MNU 1997, S. 12): Es zeigte sich, dass in Deutschland viel Wert gelegt wurde
aufdasroutinemäßige,oftschematischeLöseninnermathematischerStandardaufga-
ben, dagegen fanden das selbstständige Problemlösen, das verstehensorientierte Ar-
gumentieren und der verständige Umgang mit mathematikhaltigen Situationen aus
A. Beutelspacher et al., Mathematik Neu Denken, DOI 10.1007/978-3-8348-8250-9_1,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
2 1 MathematiklehrerbildungNeuDenken!
derLebensweltvielzuwenigBeachtung.DurchdienachfolgendenPISA-Studienwur-
dedieserBefundweitgehendbestätigt,underist–trotzbeachtlicherAnstrengungen
undErfolgezurWeiterentwicklungdesMathematikunterrichts–inderGrundtendenz
bisheuteaktuell.
Demgegenüber hat guter Mathematikunterricht vor allem drei Dinge im Blick: Er
ist verstehens- und vorstellungsorientiert (in Abgrenzung zur mechanischen Beherr-
schung von Rechenverfahren), er fördert den „mathematischen Blick“ auf die Welt
(komplementär zu einer rein innermathematischen Perspektive), und er schafft pro-
duktiveLernumgebungenzureigenaktivenKonstruktiondesWissens(imUnterschied
zurreinenInstruktiondurchdieLehrperson).
EinsolcherMathematikunterrichtbrauchtLehrerinnenundLehrer,dieeinepositive,
aktiveBeziehungzurMathematikhaben.DiesschließtdenErwerbeinesgültigenBil-
des der Wissenschaft Mathematik ein. Darüber hinaus sollen sie den Bildungswert
derMathematikermessen,mitSchulmathematikkompetentumgehenundmathema-
tischeLernprozesseunterstützenkönnen.
EineguteLehrerbildungmussdiesesAnforderungsprofilimBlickhabenunddenStu-
dierendenentsprechendeAngebotemachen.DasberührtinersterLiniedieuniversi-
tärePhasederAusbildung,indereingrundsätzlichesUmdenkennotwendigist.Hier
liegtderDreh-undAngelpunkt.
DerneuralgischeBereichistdasStudiumfürdasgymnasialeLehramt.Dortgelingtes
traditionellkaum,dieKluftzwischenderWissenschaftMathematikunddemBerufs-
bild des Mathematiklehrers zu überbrücken. Dies führt in der Regel dazu, dass die
angehendenLehrerinnenundLehrersichnurschwachmitihremFachidentifizieren.
Lehramtsstudierende sind mit ihrem Studium deutlich unzufriedener als reine Fach-
studierende, und sie fühlen sich schlecht vorbereitet auf ihren Beruf. Trotz großer
AnstrengungbeiStudierendenwieDozentenbleibthäufigEnttäuschungzurück.Ob-
jektivistdieSituationunbefriedigend.
WirsehenÄnderungsbedarfsowohlaufderSeitederStudieninhaltealsauchbeiden
Lehr-undLernformen.DiessindunseredreiKernthesenfüreineNeuorientierungder
universitärenLehrerbildungimFachMathematikfürdasgymnasialeLehramt:
Erstens:ZumFach. AngehendeMathematiklehrerinnenund-lehrerfürdasGymna-
sium müssen während des Studiums eine aktive Beziehung zur Mathematik als Wis-
senschaft in Theorie und Anwendung sowie als Kulturgut entwickeln, um das Fach
im Mathematikunterricht und darüber hinaus souverän vertreten zu können. Dazu
gehörtzunächsteinesolidefachmathematischeGrundbildung.Darüberhinausmuss
die Fachmathematik nach unserer Auffassung eine starke elementarmathematische
Komponenteenthalten,dienachMöglichkeitanschulmathematischeErfahrungenan-
knüpftundauchwissenschaftlichesArbeiten„imKleinen“ermöglicht.Danebenmuss
es verbindliche Veranstaltungen zur historisch-genetischen oder philosophischen Re-
flexionüberMathematikgeben.UndschließlichmussdiefachmathematischeAusbil-
dungErfahrungenmiteiner„SchulmathematikvomhöherenStandpunkt“alsSchnitt-
stellezwischenFachwissenschaftundFachdidaktikermöglichen.
3
Zweitens: Zur Fachdidaktik. Die fachdidaktische Ausbildung widmet sich primär
der Aufgabe, wie mathematische Inhalte im Unterricht zugänglich gemacht werden.
DamithatdiestoffdidaktischeDurchdringungderLernbereichebesonderesGewicht.
GleichzeitigsetztdiefachdidaktischeKomponenteeinenstarkenAkzentaufdieSchü-
lerperspektiveundumfasstauchbildungstheoretischeAspekte.
FachdidaktischeReflexionmussvermehrtaufdasVerständnisfürdasmathematische
DenkenvonKindernundJugendlichengerichtetsein,undsiemussverstärktdasdif-
ferenzierteundindividualisierteDiagnostizierenundFördernimBlickhaben.
Drittens:ZurMethodik. Methodischkommtesdaraufan,FormendesLehrensund
Lernens zu etablieren, die die Studierenden in der eigenaktiven Konstruktion ihres
Wissensnachhaltigunterstützen.DaMathematiklernenauchbedeutet,nebenderei-
genen Auseinandersetzung mit dem Thema die Möglichkeit des Austausches mit an-
derenzuhaben,sindauchgeeigneteFormenfürdasgemeinsameLernenanzustreben.
VordemHintergrunddieserDesideratebegann2005einmehrjährigerModellversuch
andenUniversitätenGießenundSiegen,derzunächstaufeineNeuorientierungdes
ersten Studienjahres zielte. Ziel des Pilotprojekts war eine Professionalisierung des
Lehramtsstudiums, die in der Wissenschaft wie in der Perspektive des Berufsfeldes
gleichermaßenverankertist.Lehramtsstudierendesolltenfrüherfahren,wasdasWe-
senunddenBildungswertderMathematikausmacht.
Bereits während der Laufzeit wurden Projektidee und Erfahrungen breit kommuni-
ziert. Inzwischen hat sich die bundesweite Diskussion intensiviert und zu Stellung-
nahmen und Empfehlungen der einschlägigen Fachverbände geführt sowie weitere
Forschungs- und Entwicklungsprojekte an verschiedenen Universitäten angestoßen.
Wirfreuenuns,dassunserProjekteinesogroßeResonanzhervorgerufenhat.
Das vorliegende Buch zum Projekt Mathematik Neu Denken besteht aus drei unter-
schiedlichenTeilen:DenAuftaktbildeteineBeschreibungvonAusgangslageundPro-
jektideeinKapitel2.DieDarstellungderpraktischenUmsetzungdieserIdeeimRah-
mendesPilotprojektsandenUniversitätenGießenundSiegenfolgtinKapitel3.
DerzweiteTeilenthälteineumfangreicheSammlungvoninderPraxiserprobtenund
hierkommentiertenVeranstaltungsmaterialien,dieanderblauenHinterlegungzuer-
kennen sind. Die ausgewählten Aufgabenbeispiele, Exkurse und Vorlesungsauschnit-
te zu den Projektveranstaltungen Schulanalysis vom höheren Standpunkt (Kapitel 4),
AnalysisI/II(Kapitel5)undAnalytischeGeometrieundLineareAlgebra(Kapitel6)so-
wie Vorschläge einer möglichen Ausgestaltung der Themenbereiche Elementare Geo-
metrie und Elementare Algebra (Kapitel 7) konkretisieren die Projektidee inhaltlich
und lassen sie plastisch werden. Die Materialien bieten die Möglichkeit, die fachin-
haltliche Neuorientierung zu erleben, und sollen dazu einladen, die Beispiele in der
LehrezunutzenundetwainbereitsbestehendeVeranstaltungskonzeptezuintegrie-
ren.DiesgiltebenfallsfürdieerprobtenNeuerungenbeidenLehr-undLernformen.
Eine Diskussion vielfältiger Möglichkeiten zur methodischen Öffnung mit Beispiel-
materialien aus der Projektpraxis folgt in Kapitel 8. Der dritte Teil fasst die Ergeb-
nisseundPerspektivenvonMathematikNeuDenkenzusammen.InKapitel9werden
