Mathematik mit DERIVE - Fachbereich Mathematik

403 Pages·2003·2.92 MB·German

Wolfram Koepf
Adi Ben-Israel
Robert P. Gilbert
Mathematik
mit
DERIVE
vieweg
Computeralgebra
V
Vorwort
Anl¨aßlicheinesForschungsaufenthalts1988/1989vonBobGilbert(UniversityofDe-
laware, USA) am Fachbereich Mathematik der Freien Universit¨at Berlin wurde ich
durch ihn auf die Verwendung symbolischer Mathematikprogramme, und zwar des
Computeralgebrasystems Macsyma, in der mathematischen Forschung aufmerk-
sam gemacht. Von diesem Zeitpunkt an kam ich von dem Gedanken der Benutzung
solcher Programme in der mathematischen Lehre nicht mehr los.
Die Miniaturisierung in der Computertechnologie hatte derartige Programme nun
auf kleinsten Rechnern verfu¨gbar gemacht, und ich war sicher, daß dies die Praxis
von Mathematikerinnen und Mathematikern sowie Mathematikanwendern in der
nahen Zukunft radikal ver¨andern wird. Anstatt schwierige Integrale von Hand aus-
zurechnen–mitderGefahr,sichinlangwierigenTeilschrittenzuverrechnen–,wird
z.B. der zuku¨nftige Bauingenieur versuchen, das betreffende Integral zun¨achst mit
einem Mathematikprogramm zu l¨osen. Nur, wenn er hiermit scheitert, wird er zur
bew¨ahrten Handberechnung u¨bergehen. Wir wollen nicht verhehlen, daß auch dies
eine nicht zu untersch¨atzende Gefahr birgt, n¨amlich die, Ergebnissen von Mathe-
matikprogrammen unbegrenzt Vertrauen zu schenken. Genauso, wie man ein von
HandberechnetesResultat durch Kontrollrechnungen so lange u¨berpru¨fenmuß, bis
man sich des Ergebnisses sicher ist, muß man die Ergebnisse, die ein Mathematik-
progamm erzeugt, einer sorgf¨altigen U¨berpru¨fung unterziehen.
Wenn aber solche Programme sowohl in der Forschung als auch in der Praxis von
Bedeutung sind, sollten sie in der mathematischen Lehre ebenfalls eine Rolle spie-
len.WeildiePraxisderArbeitmiteinemMathematikprogrammeinerentsprechen-
den Schulung bedarf, muß diese in die Mathematikausbildung integriert werden.
Dabei kann die Benutzung eines Mathematikprogramms in der mathematischen
Lehre gleichzeitig ein großartiges Hilfsmittel sein. Wir beschlossen, gemeinsam ein
Mathematik-Lehrbuch unter Verwendung eines Computeralgebrasystems zu schrei-
ben. Zu dieser Zeit kam gerade das Mathematikprogamm Derive auf den Markt,
undwirwarensofortsicher,daßdiesdasrichtigeHilfsmittelfu¨runserenZweckdar-
stellt.
Derivevereinigtgraphische F¨ahigkeiten,die derBearbeitungmitPapierundBlei-
stiftg¨anzlichversagtbleiben,mitnumerischenundsymbolischenRechenf¨ahigkeiten,
die h¨aufig u¨ber die M¨oglichkeiten einer Handberechnung hinausgehen, und ist da-
bei kinderleicht zu bedienen. Man soll nun andererseits nicht glauben, daß Schu¨le-
rinnen und Schu¨ler bzw. Studentinnen und Studenten bei der Arbeit mit einem
Mathematikprogramm gar nichts mehr selbst rechnen mu¨ssen. Ganz im Gegenteil
wird man einem Mathematikprogramm oft nur dann die erhoffte Information ent-
locken k¨onnen, wenn man u¨ber m¨ogliche Umformungsmethoden und -mechanismen
genauestens Bescheid weiß. In der Tat bedeutet der Einsatz von Derive fu¨r die
Ausbildung, daß man sich mehr auf die zugrundeliegenden mathematischen Kon-
VI 0 Vorwort
zepte konzentrierenkannund sollte. Eine reinmechanische Benutzung vonDerive
ist jedenfalls nicht zu empfehlen.
IchbekamvonderAlexandervonHumboldt-StiftungeinForschungsstipendium fu¨r
einen Forschungsaufenthalt an der University of Delaware/USA zur Verfu¨gung ge-
stellt, wo ich zusammen mit Bob Gilbert und Adi Ben-Israel (Rutgers-University,
USA) an der Einbindung von Derive in die Mathematikausbildung arbeitete. Fer-
ner wurde in den Jahren 1990–1992 von der FNK (St¨andige Kommission fu¨r For-
schungundwissenschaftlichenNachwuchs)derFUBerlinmeindiesbezu¨glichesFor-
schungsprojekt Symbolische Programmierung gef¨ordert.
NachmeinemForschungsaufenthaltindenVereinigtenStaatenbegannich,imRah-
men der Analysis-Vorlesungen am Fachbereich Mathematik der Freien Universit¨at
Berlinmeine ErfahrungenindiePraxisumzusetzen.AusdieserVorlesungsaktivit¨at
ist das vorliegende Buch entstanden.
In erster Linie ist das Buch also fu¨r Mathematikstudenten an deutschen Hochschu-
lengedacht.DasBucherm¨oglichtes,denkanonischenStoffdurchzunehmenundden
StudentinnenundStudentengleichzeitigdieintelligenteBenutzungvonDerivebei-
zubringen.DabeiwurdedieBenutzungvonDerivenichtzumSelbstzweck,sondern
als didaktisches Hilfsmittel eingesetzt. Wirklich rechenintensive Problemstellungen
sind dann nicht von vornherein aussichtslos.
Die folgende Vorgehensweise hat sich als gu¨nstig herausgestellt: Unsere Studentin-
nenundStudentenhabenindererstenSemesterwocheunterAnleitungdenAnhang
u¨ber Derive (Kapitel 13) selbst¨andig durchgearbeitet. Dies gab ihnen genu¨gend
Kenntnisse u¨ber die Benutzung von Derive, um in der Folge U¨bungsaufgaben mit
Deriveerfolgreichbearbeitenzuk¨onnen.InderRegelwareineder5w¨ochentlichen
U¨bungsaufgaben zur expliziten Benutzung von Derive gedacht. Zur Behandlung
der U¨bungsaufgaben standen unseren Studentinnen und Studenten die PCs des
Computer-Labors am Fachbereich Mathematik zur Verfu¨gung.
Die im Buch integrierten Derive-Sitzungen habe ich als Dozent mit Derive vor-
gefu¨hrt. Dazu genu¨gen im Prinzip Folien mit der Bildschirminformation von De-
rive.Besseristnatu¨rlicheinLCD-Display-Bildschirm, mitdemsichmitHilfeeines
Overheadprojektors der Computerbildschirm an die Wand werfen l¨aßt. Mit dieser
Ausru¨stung k¨onnen die Derive-Sitzungen direkt vorgefu¨hrt werden.
Im u¨brigen stellte sich heraus, daß nur sehr wenige Studentinnen und Studenten
noch keine Beru¨hrung mit Computerprogrammen gehabt hatten und daß den mei-
sten die Arbeit mit Derive leicht fiel.
GleichzeitigmitunserenBemu¨hungen,dieBenutzungvonDeriveoderanderenMa-
thematikprogrammen fu¨r den Mathematikunterricht auszuloten, wurde diese Fra-
gestellung auch in folgenden Zusammenh¨angen untersucht:
In der Zeitschrift Didaktik der Mathematik und auch in weiteren didaktikori-
•
entierten Zeitschriften wird dieses Thema seit einiger Zeit ausgiebig er¨ortert.
VII
Man siehe dazu z.B. die auf S. 376 zitierten Arbeiten [Engel], [Sch¨onwald],
[KB], [Scheu], [Koepf1], [Koepf2], [Koepf3], [Koepf4] und [Treiber].
Das ¨osterreichische Unterrichtsministerium hat eine Lizenz von Derive fu¨r
• O¨sterreichs Gymnasien erworben, s. [Kutzler].
Daher m¨ochten wir die Lektu¨re und den Einsatz dieses Buchs auch folgendem Per-
sonenkreis w¨armstens ans Herz legen:
Gymnasiallehrerinnen und -lehrer, die in ihrem Unterricht mit Derive arbei-
•
ten wollen und das Buch dazu als zus¨atzliches Unterrichtsmaterial verwen-
den, werden vielf¨altige Anregungen fu¨r die Anwendung von Derive sch¨opfen
k¨onnen.WirempfehlendieVorstellungzumStoffpassenderDerive-Sitzungen
zusammen mit der Bearbeitung der mit dem Symbol 3 versehenen U¨bungs-
aufgaben. Einige davon verbinden in ausgezeichneter Weise mathematische
Wissensvermittlung mit dem Einsatz von Derive.
Besonders interessierte Schu¨lerinnen und Schu¨ler der gymnasialen Oberstufe
•
k¨onnen mit Hilfe von Derive auch ein wenig Luft in der (noch) h¨oheren Ma-
thematik schnuppern, und sie werden sogleich ausgebildet in der Benutzung
eines Mathematikprogramms, das vielleicht in Ku¨rze bereits die Taschenrech-
ner abl¨osen wird. Bereits jetzt gibt es Derive im Westentaschenformat, s.
[Kutzler].
Schließlich bietet sich das Buch fu¨r die Benutzung in der Mathematikausbil-
•
dung an Fachhochschulen an. Gerade hier, wo es auf eine praxisnahe Ausbil-
dungankommt,kommtmananMathematikprogrammenindernahenZukunft
nicht vorbei.
ZwaristdasGesamtniveaudesBuchssowohlfu¨rGymnasienalsauchfu¨rFachhoch-
schulen ohne Zweifel zu hoch, wenn man aber die Beweise wegl¨aßt bzw. verku¨rzt
und sich auf die Benutzung von Derive konzentriert, kann das Buch gute Hilfe
leisten.
Hier seien einige Beispiele m¨oglicher Unterrichtsprojekte aufgefu¨hrt, bei denen die
Benutzung von Derive sehr hilfreich sein kann:
Primzahlen, s. 13 sowie [Scheu].
• §
Definition des Integrals, s. Kapitel 7–8 sowie [KB].
•
Definition von e, s. 4.2 und 5.2.
• § §
Newtonverfahren, s. 10.5 sowie [Treiber].
• §
Iteration und Chaos, s. 10.6 und [Zeitler].
• §
Reihenkonvergenz, s. 4.4, 11.3, 12.3 sowie [Koepf4].
• § § §
Lagrange-Interpolation, s. 3.4 und 12.4 sowie [Koepf3].
• § §
Rekursionsformeln fu¨r Integrale durch partielle Integration, s. 11.4.
• §
VIII 0 Vorwort
Nun ein paar Worte zur Gestaltung des vorliegenden Buchs:
Fu¨r Dezimaldarstellungen verwenden wir den Dezimalpunkt statt des Dezi-
•
malkommas,zumeinen,umeinemitTaschenrechner-oderComputerausgaben
vertr¨agliche Darstellung zu gew¨ahrleisten, zum anderen, um Verwechslungen
bei Vektoren vorzubeugen.
Die Graphiken wurden mit dem Computeralgebrasystem Mathematica er-
•
zeugtunddiegeneriertenPostScript-Versionenwurdennocheinerprogram-
miertechnischen Verfeinerung unterzogen.
U¨bungsaufgaben, die besonders wichtig fu¨r das Verst¨andnis des behandelten
•
Stoffssindundimweiterenverwendetwerden,solltenvonjeder/mLernenden
bearbeitet werden und sind durch das Symbol gekennzeichnet.
◦
Besonders schwierige oder technische U¨bungsaufgaben sind mit einem Stern
•
(?) gekennzeichnet. Sie sind nur beim Einsatz des Buchs an Hochschulen ge-
dacht.
U¨bungsaufgaben, die fu¨r Handberechnung zu langwierig erscheinen, tragen
• das Symbol 3 und sollten mit Derive bearbeitet werden. Wir ermuntern
ausdru¨cklich, auch andere U¨bungsaufgaben – sofern nicht explizit anders ge-
fordert – unter Zuhilfenahme von Derive zu l¨osen. Auch – oder gerade –,
wenn die L¨osung mit Derive nicht immer auf Anhieb gelingen wird, ist der
Lerneffekt groß: Bei der Bearbeitung jeder U¨bungsaufgabe lernt der Schu¨ler
oder Student sowohl einen mathematischen Sachverhalt als auch etwas Neues
zur Bedienung von Derive dazu.
Englische U¨bersetzungen wichtiger mathematischer Fachausdru¨cke sind als
•
Fußnoten angegeben, da Fachliteratur heutzutage meist auch von deutschen
Autoren auf Englisch geschrieben wird.
Gleichungen,aufdieverwiesenwird,sinddurchnumeriertundrechts miteiner
•
Gleichungsnummer versehen. Tritt eine Gleichungsnummer links auf, so han-
delt es sich um eine Gleichung, die bereits fru¨her vorkam und zur Erinnerung
noch einmal aufgeschrieben wurde.
DasEndevonBeispielen,Definitionenusw.wirddurchdas -Zeichenangege-
• 4
ben,fallsesnichtmitdemBeginneinesneuenBeispiels,einerneuenDefinition
usw.zusammenf¨allt.DasEndeeinesBeweisesistdurchdas2-Zeichengekenn-
zeichnet.
Die Ausgaben von Derive sind teilweise versionsabh¨angig und ebenso von
•
einigenEinstellungenabh¨angig.IndiesemLichtmu¨ssendieangegebenenAus-
gaben betrachtet werden. Sie k¨onnen nicht unbedingt genau so reproduziert
werden. Ich verwendete grunds¨atzlich die Standardeinstellung bei der Version
2.54, sofern nicht anders angegeben.
IX
Gegen U¨berweisung von 20, DM (Wolfram Koepf, Postbank Berlin, Bank-
• −
leitzahl10010010,Kontonummer402621-109,Verwendungszweck:Derive-
Diskette, 360 kB, 1.2 MB oder 3.5 Zoll, mit vollst¨andiger Adresse) kann beim
Autor eine Diskette bestellt werden, die alle Derive-Sitzungen sowie die mit
Derive bearbeiteten U¨bungsaufgaben enth¨alt.
Ich m¨ochte mich an dieser Stelle bei allen recht herzlich bedanken, die bei der
Durchfu¨hrung des vorliegenden Buchprojekts mitgewirkt bzw. sie erm¨oglicht ha-
ben. Insbesondere bedanke ich mich bei der Alexander von Humboldt-Stiftung fu¨r
daszurVerfu¨gunggestellteFeodor-Lynen-Forschungsstipendium, beiderFUBerlin
fu¨r die F¨orderung meines Forschungsprojekts Symbolische Programmierung sowie
beimFachbereichMathematikderFreienUniversit¨atBerlinfu¨rdieZuweisungeines
Forschungstutors.
Bei der Erstellung des Index haben Sven Guckes und Rolf Krause geholfen, und
Gregor St¨olting sowie Dr. J¨org Witte haben Korrektur gelesen.
Berlin, am 8. Juni 1993 Wolfram Koepf
DeriveR ist ein eingetragenes Warenzeichen von Soft Warehouse, Inc.”
(cid:13) ”
MacsymaR ist ein eingetragenes Warenzeichen von Macsyma Inc.”
(cid:13) ”
MathematicaR isteineingetragenesWarenzeichenvon WolframResearch,Inc.”
(cid:13) ”
PostScriptR ist ein eingetragenes Warenzeichen von Adobe Systems, Inc.”
(cid:13) ”
MS-DosR ist ein eingetragenes Warenzeichen von Microsoft Corp.”
(cid:13) ”
PC-DosR ist ein eingetragenes Warenzeichen von IBM Corp.”
(cid:13) ”
X
Inhaltsverzeichnis
1 Mengen und Zahlen 1
1.1 Mengen und Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Natu¨rliche Zahlen und vollst¨andige Induktion . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Variablen, Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Zwei fundamentale Eigenschaften der reellen Zahlen . . . . . . . . . 27
1.6 Die komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7 Abz¨ahlbare und u¨berabz¨ahlbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Der Euklidische Raum 38
2.1 Der zweidimensionale euklidische Raum . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2 Die Gaußsche Zahlenebene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Funktionen und Graphen 45
3.1 Reelle Funktionen und ihre Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Lineare Funktionen und Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Reelle Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Polynominterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 Rationale Funktionen im Reellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Rationale Funktionen im Komplexen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.7 Umkehrfunktionen und algebraische Funktionen . . . . . . . . . . . . 74
4 Folgen, Konvergenz und Grenzwerte 81
4.1 Konvergenz reeller Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Fundamentale Konvergenzs¨atze fu¨r Folgen . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4 Konvergenzkriterien fu¨r Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5 Die elementaren transzendenten Funktionen 118
5.1 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.2 Die Exponential-, Sinus- und Kosinusreihe . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3 Eigenschaften der Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.4 Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . 128
5.5 Die komplexe Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.6 Die hyperbolischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6 Stetige Funktionen 142
6.1 Grenzwerte und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.2 Einseitige Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3 Fundamentale Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . 159
6.4 Uneigentliche Grenzwerte und Grenzwerte fu¨r x . . . . . . . 168
→±∞
6.5 Umkehrfunktionen der elementaren Funktionen . . . . . . . . . . . . 174
XI
7 Das Riemann-Integral 187
7.1 Riemann-Integrierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.2 Integrale und Fl¨acheninhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.3 Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8 Numerische Integration 218
8.1 Wozu numerische Integration? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.2 Das Trapezverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.3 Die Simpsonsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9 Differentiation 228
9.1 Das Tangentenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9.2 Die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.3 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.4 H¨ohere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
9.5 Lokale Eigenschaften differenzierbarer Funktionen. . . . . . . . . . . 247
9.6 Die Kettenregel und implizite Differentiation . . . . . . . . . . . . . 249
10 Globale Eigenschaften differenzierbarer Funktionen 259
10.1 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . 259
10.2 Globale Extremwerte und Monotonieeigenschaften . . . . . . . . . . 262
10.3 Konvexit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
10.4 Die Regel von de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
10.5 Das Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
10.6 Chaos in der Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
11 Integrationstechniken 287
11.1 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . 287
11.2 Integration rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
11.3 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
11.4 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
11.5 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
11.6 Volumen- und Ober߬achenberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . 320
12 Gleichm¨aßige Konvergenz und Potenzreihen 328
12.1 Gleichm¨aßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
12.2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
12.3 Taylorapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
12.4 Lagrange-Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
13 Anhang: Einfu¨hrung in Derive 359
Literatur 376
Symbolverzeichnis 378
Griechische Buchstaben 380
Derive Stichwortverzeichnis 381
Stichwortverzeichnis 383
1
1 Mengen und Zahlen
1.1 Mengen und Aussagen
InderMathematikspielendieZahleneinewichtigeRolle.ZahlenwerdenzuMengen
zusammengefaßt.Sosprichtmanz.B.vonderMengederreellenZahlen,diein 1.3
§
betrachtet wird.
Eine Menge1 A ist eine Zusammenfassung von Objekten,die die Elemente von A
genannt werden. Wir schreiben
A= a,b,c,... .
{ }
Ist a ein Element von A, schreiben wir a A. Eine Menge A heißt Teilmenge2 der
∈
Menge B, wenn alle x A auch Elemente von B sind. Wir schreiben dann A B
∈ ⊂
oder B A. Die Vereinigung3
⊃
A B := x x Aoderx B
∪ { | ∈ ∈ }
von A und B enth¨alt sowohl die Elemente von A als auch die von B. Das Symbol
:= bedeutet hier ist definiert durch. Außerdem bezeichnet
A B := x x Aundx B
∩ { | ∈ ∈ }
den Durchschnitt4 von A und B, und
A B := x x Aundx B
\ { | ∈ 6∈ }
steht fu¨r die Mengendifferenz. Dabei bedeutet x B, daß x kein Element von B
6∈
ist. Man beachte, daß B keine Teilmenge von A sein muß. Durch
:=
∅ {}
stellen wir die leere Menge5 dar, die keine Elemente enth¨alt. Ist der Durchschnitt
zweier Mengen A und B leer (A B = ), d.h. besitzen sie keine gemeinsamen
∩ ∅
Elemente, werden A und B disjunkt genannt.
Fu¨r die beiden Mengen A := a,b,c,d,e und B := a,c,e,g z.B. gilt weder
{ } { }
A B noch B A. Es gelten jedoch die Beziehungen A B = a,b,c,d,e,g ,
⊂ ⊂ ∪ { }
A B = a,c,e , A B = b,d und schließlich B A= g .
∩ { } \ { } \ { }
1Englisch:set
2Englisch:subset
3Sprich:DieMengeallerx,fu¨rdiex Aoderx B gilt.Englisch:union
4Englisch:intersection ∈ ∈
5Englisch:emptyset
2 1 Mengen und Zahlen
Sind zwei Aussagen S und T ¨aquivalent (gleichwertig, S genau dann, wenn T),
dann schreiben wir S T. Beispielsweise gilt
⇔
A=B (x A x B)
⇐⇒ ∈ ⇔ ∈
oder
x A B (x A oder x B).
∈ ∪ ⇐⇒ ∈ ∈
Wenn die Aussage S die Aussage T impliziert (T folgt aus S), so schreiben wir
S T. Beispielsweise gilt
⇒
A B (x A x B).
⊂ ⇐⇒ ∈ ⇒ ∈
In der modernen Mathematik werden neue wahre Aussagen mit Hilfe von Impli-
kationen (Folgerungen) aus alten abgeleitet. Deshalb ben¨otigt man eine bestimmte
Anzahl einfacher Regeln, die als wahr angenommen werden. Diese Regeln werden
Axiome genannt. Die Axiome fu¨r die Menge der reellen Zahlen umfassen 13 Regeln
fu¨r diese. Die meisten werden der Leserin und dem Leser sehr bekannt vorkommen.
Diese Regeln werden in 1.3 eingefu¨hrt.
§
U¨bungsaufgaben
1.1 IneinerU¨bungsgruppe mit 21Studentengibt es8Raucher, 14Studententrin-
ken manchmal Alkohol, und 5 Studenten tun beides. Wieviele Studenten trinken
nicht und sind Nichtraucher?
1.2 Angenommen A := 1,2,...,10 , B := x xistgerade , C := 2,4,6,8,10
{ } { | } { }
und D := 1,3,5,7,9 .
{ }
(a) Gib alle m¨oglichen Mengen an, die man aus A, B, C und D mit , und
∪ ∩ \
bilden kann.
(b) Ist eine der Mengen eine Teilmenge einer anderen?
(c) Welche Mengen sind disjunkt?
1.2 Natu¨rliche Zahlen und vollst¨andige Induktion
Mit IN bezeichnen wir die Menge der natu¨rlichen Zahlen oder der nichtnegativen
0
ganzen Zahlen
IN := 0,1,2,3,4,... .
0
{ }
Wir nehmen an, daß Leserinnen und Leser mit den Operationen der Addition (+)
und der Multiplikation (, ) auf IN vertraut sind.
0
·×
Definition 1.1 (Induktionsprinzip) Jedoch wollen wir auf folgende bemerkens-
werte Eigenschaft von IN n¨aher eingehen:
0