Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Das ECOMath-Handbuch

1116 Pages·2012·12.65 MB·German

by  Hans M. Dietz (auth.)

Springer-Lehrbuch
Hans M. Dietz

Mathematik für
Wirtschaftswissenschaftler
Das Math-Handbuch
2. Aufl age
Hans M. Dietz
Institut für Mathematik
Universität Paderborn
Paderborn, Deutschland

Die erste Aufl age erschien als zweibändiges Werk unter dem Titel ECOMath1. Mathematik für
Wirtschaft swissenschaft ler, ISBN 978-3-540-89051-5, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 und
ECOMath 2. Mathematik für Wirtschaft swissenschaft ler, ISBN 978-3-642-04463-2, Springer-Verlag
Berlin Heidelberg 2010.
ISSN 0937-7433
ISBN 978-3-642-29984-1 ISBN 978-3-642-29985-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-29985-8
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Mathematics Subject Classifi cation : 00A06, 91-01, 91B02
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Vorwort
Die modernen Wirtschaftswissenschaftenbedienen sich in bisher nicht ge-
kanntemMaßemathematischerMethoden–unddiesmitsteigenderTendenz.
Entsprechendwachsendie Ansprücheandie mathematischenKenntnisseund
FertigkeitenderStudierenden.DasECOMath-HandbuchrichtetsichanStudie-
rende der Wirtschaftswissenschaften und verwandter Studiengänge und will
Ihnen eine verläßliche Hilfe bieten, diesen wachsenden Ansprüchen gerecht
zu werden. Es vermittelt mathematische Kenntnisse, die für ein erfolgreiches
Bachelor- und Masterstudium unerlässlich sind.
Thematisch umfasst das Buch den Stoff der Vorlesungen “Mathematik für
Wirtschaftswissenschaftler I und II”, die ich bereits seit mehreren Jahren an
der Universität Paderborn anbiete. Es kann somit unmittelbar als Begleit-
lektüre zu diesen Kursen dienen, eignet sich jedoch ebenso als Referenz- und
Nachschlagewerk für das gesamte Studium. Inhaltlich werden vor allem Me-
thoden der eindimensionalen reellen Analysis sowie der linearen Algebra mit
ökonomischen Anwendungen abgedeckt. Reelle Funktionen, Differential- und
Integralrechnung,Extremwertprobleme,MatrizenundVektoren,lineareGlei-
chungssysteme sowie Grundlagen der linearen Optimierung werden ausführ-
lich, verständlich und mit vielen Abbildungen, Beispielen und Übungsaufga-
ben erläutert. Für das Verständnis werden lediglich die grundlegendsten ma-
thematischen Vorkenntnisse vorausgesetzt; alles darüber hinaus Nötige wird
im Text selbst eingeführt.
Für Studierende angewandterDisziplinen ist es oft eine besondere Herausfor-
derung, die Sprache und Symbolik der Mathematik zu verstehen. Deswegen
wurde das ECOMath-Handbuch als bearbeitete und zusammenfassende Neu-
auflage der beiden VorgängerbändeECOMath 1 und ECOMath 2 erstmals um
eine systematische Einführung in das Thema “Mathematik lesen” erweitert,
der ein eigenes Grundlagenkapitel gewidmet wird. Damit verbindet sich die
Hoffnung,dassAufbau,SpracheundSymbolikmathematikhaltigerTextedem
Leserbaldsogutvertrautseinwerden,dassdieLektüredesBuchesihmwirk-
lich Freude bereitet.
VI Vorwort
Soweit diese Hoffnung sich erfüllen wird, ist das nicht zuletzt der Unterstüt-
zung durch meine Mitarbeiterinnen und Studierenden Janna Rohde, Nadja
Maraun,Irina Miller und KerstinAulbert zu verdanken,deren kritische Aus-
einandersetzung mit dem Manuskript während der Arbeit an diesem Hand-
buch wesentlich zu vielfältigen Verbesserungen beitrug. Äußerst wertvoll war
gleichfalls der Beitrag von Nadja Maraun zur der Manuskriptgestaltung mit-
tels LATEX. Ihnen allen danke ich an dieser Stelle sehr herzlich. Gern bekräf-
tige ich zudem meinen herzlichen Dank an Kristin und Ellen Borgmeier, Su-
sanne Kunz, Claudia Lemke, Mariam Majidi, Nadja Maraun, Irina Miller,
Eva Münkhoff, Anna Peters, Sabrina Rösner, Tanja Sauermann, Christoph
Schwetka und Trân Vân Nuong, deren wertvolle Beiträge zum Gelingen der
Bände ECOMath 1 und 2 auch in das vorliegende Handbuch eingingen. Mein
Dank gilt ebenfalls Herrn Clemens Heine für die reibungslose Zusammenar-
beit mit dem Springer-Verlag.
Paderborn, im Juli 2012 Hans M. Dietz
Inhaltsverzeichnis
I Vorkenntnisse und Grundlagen 1
0 Grundlagen 3
0.1 “Das Notwendigste zuerst” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.2 Grundlagen logischen Schließens . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.3 Mengen und Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . 29
0.4 Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
0.5 Ungleichungen und Beträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
0.6 Potenzen und Potenzgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
0.7 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1 Mathematik “lesen” 113
1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1.2 Besonderheiten mathematischer Texte . . . . . . . . . . . . 114
1.3 Der rote Faden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1.4 Eine Strategie des mathematischen Lesens . . . . . . . . . . 125
1.5 Ein Lesebeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
1.6 Eine Bilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
1.7 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
1.8 Ein Plädoyer für das Gedächtnis . . . . . . . . . . . . . . . 143
2 Relationen 145
2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.2 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.3 Spezielle Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
2.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3 Abbildungen 153
3.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.2 Komposition von Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . 155
VIII INHALTSVERZEICHNIS
3.3 Bild und Urbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.4 Eineindeutigkeit und Umkehrabbildung . . . . . . . . . . . 158
3.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
II Analysis im 1 163
(cid:0)
4 Wissenswertes über die Menge 1 reeller Zahlen 165
(cid:0)
4.1 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.2 Schranken und Grenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.3 als metrischer Raum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
(cid:0)
4.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5 Folgen, Reihen, Konvergenz 177
5.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.2 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6 Reelle Funktionen einer Variablen - Grundlagen 203
6.1 Motivation und Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6.2 Der Katalog von Grundfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 212
6.3 Weitere nützliche Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6.4 Mittelbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.5 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
6.6 Manipulationen des Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.7 Einfache Operationen mit reellen Funktionen . . . . . . . . 235
6.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
7 Beschränkte Funktionen 241
7.1 Motivation und Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
7.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8 Stetige Funktionen 247
8.1 Motivation und Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
8.2 Das Reservoir stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 250
8.3 Einige Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
8.4 Ergänzungen: Grenzwerte und Asymptoten . . . . . . . . . 254
8.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9 Differenzierbare Funktionen 257
9.1 Der Ableitungsbegriff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
9.2 Technik der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
INHALTSVERZEICHNIS IX
9.3 Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9.4 Einige nützliche Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
9.5 Satz von Taylor und die Taylorformel. . . . . . . . . . . . . 293
9.6 Elastizitäten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
9.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
10 Monotone Funktionen 309
10.1 Motivation und Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
10.2 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
10.3 Erste Anwendungen und Ergänzungen . . . . . . . . . . . . 310
10.4 Monotonieeigenschaften der Grundfunktionen . . . . . . . . 313
10.5 Erhaltungseigenschaften monotoner Funktionen . . . . . . . 315
10.6 Monotonie und Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
10.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
11 Konvexe Funktionen 329
11.1 Motivation und Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
11.2 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
11.3 Erste Anwendungen und Ergänzungen . . . . . . . . . . . . 333
11.4 Konvexität und Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
11.5 Krümmungseigenschaften der Grundfunktionen . . . . . . . 340
11.6 Erhaltungseigenschaften konvexer Funktionen . . . . . . . . 343
11.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
12 Extremwertprobleme 357
12.1 Ökonomische Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
12.2 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
12.3 Zur Existenz globaler Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . 363
12.4 Extremwertbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
12.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
13 Integralrechnung 393
13.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
13.2 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
13.3 Unbestimmte Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
13.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
14 Reelle Funktionen in der Ökonomie 423
14.1 Wünschenswerte Eigenschaften ökonomischer Funktionen . 423
14.2 “Mehr” über Kostenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 443
14.3 Fahrstrahlanalyse von Kostenfunktionen . . . . . . . . . . . 451
14.4 Kosten, Erlös, Gewinn und Angebot . . . . . . . . . . . . . 467
X INHALTSVERZEICHNIS
14.5 Preisvariation und Angebot auf einem Polypolmarkt . . . . 483
14.6 Marktgleichgewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
14.7 Konsumenten- und Produzentenrente . . . . . . . . . . . . . 503
14.8 Einige Funktionenklassen mit “ökonomischer Eignung” . . . 508
III Lineare Algebra 513
15 Matrizen 515
15.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
15.2 Ökonomische Problembeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . 516
15.3 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
15.4 Einfache Rechenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
15.5 Multiplikation von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
15.6 Das Rechnen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
15.7 Vergleich von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
15.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
16 Modellierungs- und Problembeispiele 593
16.1 Was ist mathematische Modellierung? . . . . . . . . . . . . 593
16.2 Verflechtungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
16.3 Das 1-Schritt-Verflechtungsmodell . . . . . . . . . . . . . . 595
16.4 Einfache Mehrschrittmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 601
16.5 Mehrschrittmodelle mit Sprüngen . . . . . . . . . . . . . . 609
16.6 Komplexe Verflechtungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . 613
16.7 Probleme mit Rückflüssen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
16.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
17 Vektoren 633
17.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
17.2 Die “Länge” von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641
17.3 Geradengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642
17.4 Ebenengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656
17.5 Das Skalarprodukt im n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663
(cid:0)
17.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677
18 Lineare Räume 681
18.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681
18.2 Der Begriff des linearen Raumes . . . . . . . . . . . . . . . 681
18.3 Linearkombinationenund Basen . . . . . . . . . . . . . . . 686
18.4 Basiswechsel und Austauschverfahren . . . . . . . . . . . . 708
18.5 Lineare Teilräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728