Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

326 Pages·2010·4.42 MB·German

by  Thorsten Pampel (auth.)

Springer-Lehrbuch
Thorsten Pampel
Mathematik fu¨r
Wirtschaftswissenschaftler
123
Dr.ThorstenPampel
Universita¨tBielefeld
Fakultät für Wirtschaftswissenschaften
Universita¨tsstraße25
33615 Bielefeld
Germany
[email protected]
ISSN0937-7433
ISBN978-3-642-04489-2 e-ISBN978-3-642-04490-8
DOI10.1007/978-3-642-04490-8
SpringerHeidelbergDordrechtLondonNewYork
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(cid:2)c Springer-VerlagBerlinHeidelberg2010
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Vorwort
IndenWirtschaftswissenschaften–sowohlinBWLalsauchinVWL–wirdheut-
zutagemehrMathematikverwendet,alsvieleStudierendeerwarten.Bereitsinden
erstenSemesterndesBachelorstudiumswerdenmathematischeMethodengenutzt.
Funktionseigenschaftenwerdenuntersucht,umMarktgleichgewichtezubestimmen
oder Entscheidungprobleme zu formulieren und zu lösen. Lineare Gleichungssys-
temewerdenbeiderinnerbetrieblichenLeistungsverrechnungoderbeieinerInput-
Output-Analyseaufgestelltundgelöst.ImweiterenStudienverlauftretenEigenwer-
teundEigenvektorenauf,beispielsweisebeiderAnalysezeitlicherEntwicklungen
inWachstumsmodellen.
DiesesLehrbuchrichtetsichanStudierendederWirtschaftswissenschaftenund
vermittelt das notwendige mathematische Handwerkszeug für das gesamte Stu-
dium, auch wenn die entsprechenden Vorlesungen typischerweise am Anfang des
Studiumsvorgesehensind.FüreinerfolgreichesStudiumistesvonAnfanganer-
forderlich, mathematische Techniken zu beherrschen und korrekt anzuwenden. Im
weiteren Studienverlauf – bei Seminar-, Bachelor- oder Masterarbeit – ist es auch
notwendig,selbstständigmathematischeInhaltezuerarbeitenundzuformulieren.
In den ersten Teilen des Buches werden kontinuierlich, aufeinander aufbauend,
die mathematischen Konzepte und Methoden eingeführt. Deren korrekte Verwen-
dungwirdanBeispielenverdeutlichtunddurchAbbildungenillustriert.Beweise–
oftalsBeweisskizze–werdengeführt,wennsiekonstruktivsind,zuweiterführen-
denMethodenüberleitenoderdadurchdasVerständnisderAussagenvertieftwird.
Ansonstenwirdfürdiejenigen,diedieDetailsnachvollziehenwollen,aufentspre-
chendemathematischeLiteraturverwiesen.ImabstrakterenletztenTeilwerdenver-
mehrtBeweiseangegeben,dahierdurchdasVerständnisfürdieBegriffeverbessert
wird.
DiemeistenKapitelwerdendurcheinenAbschnittmiteinerökonomischenAn-
wendung ergänzt. Begriffe und Ergebnisse des jeweiligen Kapitels werden hierbei
direktverwendet.
Dieses Lehrbuch ist anhand meiner Vorlesungsskripten zu den Basisveranstal-
tungenMathematikfürWirtschaftswissenschaftlerIundII–dieichmehrfachseit
demSommersemester2003anderUniversitätBielefeldgehaltenhabe–entstanden.
v
vi Vorwort
Ich danke allen Kollegen, Tutoren und Studierenden für Kommentare und An-
regungen.MeinenbesondererDankgiltClaus-JochenHaake,MarkHahmeierund
AndreasSzczutkowskifürdiekontinuierlicheWeiterentwicklungundVerbesserung
dervorlesungsbegeleitendenMaterialien,wannimmersiedieVorlesungengehalten
haben. Oliver Claas danke ich für seine intensive Unterstützung bei der Korrektur
desManuskripts.
Bielefeld,imSeptember2009 ThorstenPampel
Inhaltsverzeichnis
WarumbenötigenWirtschaftswissenschaftlerMathematik?............. 1
TeilI MathematischeGrundlagen
1 Zahlen,Mengen,Abbildungen................................... 5
1.1 DieZahlensysteme ......................................... 5
1.2 Mengen................................................... 8
1.3 Abbildungen .............................................. 12
1.4 VariablenundGleichungen .................................. 15
1.5 Rechenregeln.............................................. 18
1.6 BinomischeFormeln........................................ 21
1.7 PotenzenundWurzeln ...................................... 25
1.8 UngleichungenundBeträge.................................. 28
1.9 Anwendung:DasGütermarktgleichgewicht..................... 30
2 MathematischeVorgehensweise.................................. 35
2.1 MathematischeLogik ....................................... 35
2.2 Definition,Satz,Lemma,Korollar............................. 37
2.3 DermathematischeBeweis .................................. 38
TeilII FolgenundReihen
3 Folgen ........................................................ 43
3.1 Zinsrechnung.............................................. 43
3.2 Folgen.................................................... 45
3.3 GrenzwertevonFolgen...................................... 48
3.4 Anwendung:DasSolow-Modell .............................. 52
4 Reihen ........................................................ 55
4.1 Reihen.................................................... 55
4.2 DieExponentialfunktion..................................... 58
4.3 Anwendung:DiskontierterNutzen ............................ 61
vii
viii Inhaltsverzeichnis
TeilIII Differential-undIntegralrechnung
5 EindimensionaleFunktionen .................................... 65
5.1 EigenschaftenvonreellwertigenFunktionen .................... 65
5.2 ZusammengesetzteFunktionen ............................... 70
5.3 SpezielleFunktionen........................................ 73
6 GrenzwerteundStetigkeit ...................................... 81
6.1 DefinitionenvonGrenzwertenundStetigkeit ................... 81
6.2 ZwischenwertsatzundExtremwertsatz......................... 89
6.3 Anwendung:FixpunkteimSolow-Modell ...................... 91
7 Differentiation................................................. 93
7.1 DieAbleitung ............................................. 93
7.2 Ableitungsregeln ........................................... 97
7.3 AbleitungenhöhererOrdnung ................................ 99
7.4 AbleitungenundFunktionseigenschaften.......................100
7.5 ExtremaundWendepunkte ..................................101
7.6 Kurvendiskussion ..........................................104
7.7 Anwendung:Gewinnmaximierung ............................108
8 AnwendungenderDifferentialrechnung ..........................113
8.1 DasNewton-Verfahren ......................................113
8.2 RegelvonL’Hospital .......................................115
8.3 Taylor-Entwicklung.........................................117
8.4 Elastizitäten ...............................................120
9 Integralrechnung ..............................................123
9.1 DasRiemann-Integral.......................................123
9.2 DasunbestimmteIntegral....................................126
9.3 DasbestimmteIntegral......................................129
TeilIV LineareGleichungssysteme
10 VektorenimRn ................................................135
10.1 AdditionundSkalarmultiplikation ............................135
10.2 LinearkombinationenundlineareUnabhängigkeit ...............139
10.3 DasSkalarproduktundOrthogonalität .........................143
10.4 Anwendung:DasHaushaltsbudget ............................149
11 Matrizen ......................................................151
11.1 MatrizenadditionundSkalarmultiplikation .....................151
11.2 DieMatrixmultiplikation ....................................153
11.3 SpezielleMatrizen..........................................154
11.4 LineareAbbildungenundMatrizen............................157
11.5 Anwendung:InterneLeistungsverrechnung.....................161
Inhaltsverzeichnis ix
12 GaußschesEliminationsverfahren................................165
12.1 HomogeneGleichungssysteme ...............................166
12.2 BestimmungvonBildundKern ..............................172
12.3 DerMatrixrang ............................................173
12.4 InhomogeneGleichungssysteme ..............................175
12.5 DieinverseMatrix..........................................178
12.6 Anwendung:Input-Output-Analyse ...........................181
13 DieDeterminante ..............................................185
13.1 DefinitionundEigenschaften.................................185
13.2 BerechnungderDeterminante ................................188
13.3 CramerscheRegel ..........................................191
13.4 BestimmungderinversenMatrix..............................192
13.5 Definitheit ................................................193
13.6 Anwendung:DieMethodederkleinstenQuadrate ...............195
TeilV MehrdimensionaleDifferentialrechnung
14 MehrdimensionaleFunktionen ..................................201
14.1 MengenundFunktionenimRn ...............................201
14.2 StetigkeitmehrdimensionalerFunktionen ......................210
14.3 Anwendung:LösbarkeitdesNutzenmaximierungsproblems .......213
15 MehrdimensionaleDifferentiation ...............................215
15.1 PartielleAbleitungen .......................................215
15.2 OptimierungohneNebenbedingungen .........................224
15.3 DerUmhüllungssatz ........................................226
15.4 PartielleElastizität .........................................228
15.5 IsoquantenundimpliziteFunktionen ..........................228
15.6 Anwendung:Portfolio-Entscheidung ..........................232
16 OptimierungunterNebenbedingungen ...........................235
16.1 DieKuhn-Tucker-Methode ..................................235
16.2 DieLagrange-Methode......................................240
16.3 Anwendung:Nutzenmaximierung.............................245
x Inhaltsverzeichnis
TeilVI LineareAlgebra
17 VektorräumeundlineareAbbildungen ...........................257
17.1 KomplexeZahlen ..........................................257
17.2 DerVektorraum............................................260
17.3 BeschreibungvonVektorräumen..............................264
17.4 DarstellunglinearerAbbildungen .............................270
18 EigenwerteundNormalformen ..................................279
18.1 EigenwerteundEigenvektoren ...............................279
18.2 ReelleEigenwerte ..........................................286
18.3 KomplexeEigenwertereellerAbbildungen .....................287
18.4 DieJordanscheNormalform .................................288
18.5 SymmetrischeMatrizen .....................................289
18.6 LineareDifferenzengleichungen ..............................291
18.7 Anwendung:Konjunkturzyklen...............................292
Formelsammlung...................................................297
Literatur ..........................................................311
WeitereLehrbücher,Aufgaben-undFormelsammlungen ..............311
Literaturverzeichnis .............................................312
Sachverzeichnis ....................................................315