Table Of ContentProf. Dr Gerhard Berendt
Prof. Dr Evelyn Weimar-Wood~
Freie LJnl\ersitiil Berlin
Fachbereich Mathematik
Arnimallee 1 - 6
1000 Berlin 33
Da~ vorliegende Werk \\urde sorgfiiltig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren. Herausgeber und Verlag
für die Richtigkeit von Angaben. Him\ei~~n und Ratschliigen sO\\ie für eventuelle Druckfehler keine Haftung.
1. Auflage 1983
2. . bearbeitete Auflage 1990
Lektorat. Walter Greulich
Herstellerische Betreuung: Dipl.-Ing. (FH) Hans ]örg Maier
Cl P-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek:
Berendl. Gerhard: Mathematik für Physiker Gerhard Berendt. bel) n Weimar. - Weinheirn: VCH.
NE: Weimar. belyn:
Bd. 1 Analysis und lineare Algebra. - 2. . bearb. Aufl. - 1990.
ISBN 3-527-2g077-4
( VCH Verlagsgesellschaft mbH. 0-6940 Weinheim (Federal Repuhlic of German) I. 1990
Gedruckt auf siiurefreiem Papier
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Cambridge CB 11HZ (England)
USA und Canada VCH. Suite 909. 220 East 23rd Street. Ne\\ York. NY 10010-4606 (LSAI
ISBN 3-527-2g0n-4
Vo rwort zur zweiten Auflage
Das zwei bändige Werk "Mathematik für Physiker" wurde in der zweiten
Auflage von den Druckfehlern und inhaltlichen Mängeln befreit, die den
Autoren bis zum Zeitpunkt der Neuauflage bekannt wurden. Darüber
hinaus wurden an zwei Stellen kleine Ergänzungen eingefügt, nämlich
in Kapitel 2 des ersten Bandes ein Abschnitt über das "klassische" Lö
sungsverfahren für lineare Gleichungen, den Gaußsehen Algorithmus in
seiner einfachsten Form und in Kapitel 3 des gleichen Bandes ein kurzer
Abriß der Trapezregel als einem der ältesten Verfahren zur numerischen
Integration. Auf weitergehende Änderungen wurde angesichts der un
veränderten Zielsetzung des Werkes bewußt verzichtet.
Da die Elimination von Druckfehlern und die Verbesserung von For
mulierungen Teile eines kontinuierlichen dynamischen Prozesses sind,
würden sich der Verlag und die Verfasser über Bemerkungen zu Fehlern
lind Vorschläge zur Verbesserung der Darstellung nach wie vor freuen.
Berlin. im Sommer 1989
Gerhard Berendt
Evelyn Weimar-Woods
Vo rwort zur ersten Auflage
Seit mehr als 10 Jahren wird an der Freien Universität Berlin ein speziel
ler Mathematikkurs für Physiker und Studierende anderer Nebenfächer
angeboten. Er umfaßt zur Zeit 6 Semesterwochenstunden (SWS) Vor
lesung plus 6 SWS Übungen in den ersten beiden Semestern und 2 SWS
Vorlesung plus 2 SWS Übungen in den bei den folgenden Semestern. An
der Einführung, Gestaltung und Durchführung dieses Kurses waren und
sind wir intensiv beteiligt. Dieser Band "Mathematik für Physiker
Analysis und Lineare Algebra" behandelt ausführlich den Stoff der
ersten bei den Semester. Als Grundlage dienten die Vorlesungsmanu
skripte von E. W.
Fragt man Physiker und Mathematiker, wie eine "Mathematik für Phy
siker" aussehen soll, so reicht die Skala der Antworten von einer Art
Rezeptsammlung, die in knapper und einsatzbereiter Form das notwen
dige Handwerkszeug bereitstellt, bis hin zu einer mathematisch strengen
und modernen Darstellung, die sich von einer "Mathematik für Mathe
matiker" höchstens durch einige Auslassungen und Ergänzungen unter
scheidet.
Wir haben uns daher bemüht, einen - wie wir hoffen brauchbaren
Komprorniß zu finden, ohne jedoch auf mathematische Strenge mehr
als unbedingt erforderlich zu verzichten. Mathematische Begriffe und
Inhalt
Vorbereitung, Zahlen ................................ .
1.1 Vorbereitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 .1.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Die Menge fN der natürlichen Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Abbildungen........................................ 7
1.1.4 Relationen .......................................... 8
1.1.5 Ungleichungen....................................... 9
1.1.6 Beweismethoden ..................................... 10
1.2 Reelle Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14
1.2.1 Natürliche (positive ganze) Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14
1.2.2 Negative ganze Zahlen, Null. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15
1.2.3 Rationale Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17
1.2.4 Reelle Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20
1.2.5 Potenzen, \Vurzeln, Logarithmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28
1.3 Die Topologie der Menge IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
1.3.1 Einige topologische Grundbegriffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
1.3.2 Topologische Eigenschaften der Menge IR . . . . . . . . . . . . . . .. 35
1.4 Folgen und Reihen ................................... 37
1.4.1 Folgen reeller Zahlen ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38
1.4.2 Unendliche Reihen ................................... 42
1.5 Komplexe Zahlen .................................... 48
2 Vektorräume endlicher Dimension ..................... . 51
2.1 Vektoren im 51
2.2 Vektorräume endlicher Dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59
2.3 Lineare Abbildungen ................................. 71
2.4 A1atrizen, Determinanten, Lineare Gleichungssysteme . . . .. 85
2.4.1 Matrizen ........................................... , 85
2.4.2 Determinanten....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96
2.4.3 Lineare Gleichungssysteme ............................ 107
3 Analysis einer reellen Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 116
3.1 Funktionen. Stetigkeit. Funktionen-, insbesondere Potenzreihen 116
3.1.1 Funktionen .......................................... 116
3.1.2 Stetigkeit ............................................ 120
3.1.3 Potenzreihen ......................................... 130
3.2 Differentiation ....................................... 141
3.2.1 Die Ableitung von Funktionen ........................... 141
3.2.2 Differentiation von Funktionen-, speziell Potenzreihen ....... 152
3.2.3 Ableitungen höherer Ordnung. Taylorreihen .............. , 154
3.3 Integration .......................................... 163
3.3.1 Definition des bestimmten Riemann-Integrals .............. 163
VIII Inhalt
3.3.2 Das Lebesgue-Integral 168
3.3.3 Eigenschaften des bestimmten Riemann-Integrals ........ , 171
3.3.4 Das unbestimmte Riemann-Integral. Der Hauptsatz der
Integralrechnung ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 174
3.3.5 Spezielle Integrationsmethoden ......................... 179
3.3.6 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 184
4 Analysis mehrerer reellen Veränderlicher. Vektoranalysis . .. 189
4.1 Topologie des [Rn n > 1 ............................. 189
4.2 f: [Rn --10 fR n > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 192
4.2.1 Stetigkeit ........................................... 193
4.2.2 Partielle Ableitungen ................................. 195
4.2.3 Extremwerte ........................................ 209
4.2.4 Integration .......................................... 215
4.3 f: fR --10 [Rn n > 1 ................................... 225
4.3.1 Kurven ............................................. 225
4.3.2 Kurvenintegrale (Linienintegrale) ....................... 227
4.3.3 Vektorfunktionen .................................... 237
4.4 f: [Rn --10 [Rn n > 1 .................................. 241
4.4.1 Gebietstransformationen. Funktionaldeterminante ........ 241
4.4.2 Vektorfelder. Gradient, Divergenz, Rotation ............. 248
4.4.3 Krummlinige orthogonale Koordinaten ................. , 257
4.4.4 Integralsätze ........................................ 268
5 Euklidische und unitäre Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 289
5.1 Vektorräume mit Skalarprodukt ........................ 289
5.1.1 Funktionenräume .................................... 289
5.1.2 Skalarprodukt ....................................... 293
5.1.3 Orthogonale Polynomsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 299
5.2 Approximation in euklidischen (unitären) Räumen ........ 302
5.2.1 Vollständige Funktionensysteme ........................ 302
5.2.2 Distributionen. Diracsche 8-Funktion ................... 310
5.2.3 Vollständigkeit der orthogonalen Polynomsysteme ........ 319
5.3 Fourierreihen. Fourierintegral .......................... 324
5.3.1 Fourierreihen ....................................... 324
5.3.2 Fourierintegral ...................................... 334
5.4 Lineare Operatoren in euklidischen (unitären) Räumen . . . .. 341
5.4.1 Symmetrische (hermitische) Matrizen .................... 342
5.4.2 Orthogonale (unitäre) Transformationen ................ 347
5.4.3 Tensoren ........................................... 355
5.4.4 Eigenwerte. Eigenvektoren. Diagonalisierung ............. 365
Zitate .............................................. 381
Register ............................................ 383
