Mathematik für Ökonomen: Ökonomische Anwendungen der linearen Algebra und Analysis mit Scilab

350 Pages·2009·4.47 MB·German

by  Wolfgang Kohn

Springer-Lehrbuch
· ¨
Wolfgang Kohn Riza Oztu¨rk
¨
Mathematik fu¨r Okonomen
¨
Okonomische Anwendungen
der linearen Algebra und Analysis
mit Scilab
123
Prof.Dr.WolfgangKohn
Prof.Dr.RizaO¨ztu¨rk
FachhochschuleBielefeld
FachbereichWirtschaftundGesundheit
Universita¨tsstraße25
33615Bielefeld
Deutschland
[email protected]
[email protected]
ISSN0937-7433
ISBN978-3-642-00947-1 e-ISBN978-3-642-00948-8
DOI10.1007/978-3-642-00948-8
SpringerHeidelbergDordrecht LondonNewYork
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MathematicsSubjectClassification(2000):9101,91B02,91B28,9701
(cid:2)c Springer-VerlagBerlinHeidelberg2009
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FürunsereFamilien
undunsereEltern
Vorwort
IndiesemBuchhabenwirmathematischeGrundlagenfürÖkonomenzusammenge-
fasst. FormaleDefinitionen,Beweise undmathematischeSätzebefindensichkaum
imText,wohingegeneineHerleitungvonFormelnofterfolgt,diehoffentlichzuih-
rembesserenVerständnisführen.InderAnwendungstehenbetriebswirtschaftliche
AspekteimZentrum.
Zeitgemäß werden aufwändigere Rechnungen mit einem Computerprogramm
durchgeführt. Das hier verwendete opensource Programm Scilab besitzt hervor-
ragendenumerischeEigenschaftenundermöglichtdieeinfacheUmsetzungderFor-
meln,insbesondereinderlinearenAlgebra.IndiesemProgrammkönnenauchVek-
torenoderMatrizenVariablensein.DiesisteingroßerVorteil,wennmandieRech-
nungen nachvollziehen möchte. An geeigneten Stellen im Text werden die Pro-
grammbefehlefür einzelne Berechnungenbeschrieben.Natürlich eignen sich auch
andereProgrammewiezumBeispielExcel,MapleoderMathematicafürdieBe-
rechnungen.Scilab(siehewww.scilab.org)stehtfürverschiedeneBetriebssy-
stemezurVerfügung.
TeilIenthälteinigeGrundlagenderMathematik,TeilIIführtindielineareAlge-
braundderenökonomischenAnwendungenein.InTeilIIIwirddieAnalysismitFi-
nanzmathematik,DifferentialrechnungundIntegralrechnungbehandelt.ImAnhang
(Teil IV) wird kurz das ProgrammScilab beschrieben.Ferner finden sich dortdie
LösungenzudenÜbungenausdenvorangegangenenKapiteln.
DieKapitel4bis10und11(mitEinschränkung)bildendasProgrammfüreinen
vierSemesterwochenstunden(SWS)umfassendenKursineinembetriebswirtschaft-
lich orientierten Bachelorstudiengang mit einem Arbeitsäquivalent von 5 europäi-
schen Arbeitspunkten (ECTS). Die Kapitel 3, 10 und 11 sind in Kombination mit
weiterführendenThemenfüreinenMasterstudienganggeeignet.
BesondererDankgebührtDiplom-VolkswirtinCocoRindt,Prof.Dr.RainerLenz
undDr.WolfgangRohde,diemitvielenKorrekturenundgutenVerbesserungenzum
GelingendesBuchesbeitrugen.
Bielefeld,Mai2009 WolfgangKohnundRizaÖztürk
Inhaltsverzeichnis
TeilI Grundlagen
1 ZahlenmengenundeinigemathematischeSymbole ................. 3
1.1 Vorbemerkung ............................................ 3
1.2 Zahlenmengen ............................................ 4
1.3 Summenzeichen........................................... 5
1.4 Produktzeichen............................................ 8
1.5 AnwendunginScilab ...................................... 9
1.6 Fazit..................................................... 10
2 BesonderemathematischeFunktionen ............................ 11
2.1 Vorbemerkung ............................................ 11
2.2 Betragsfunktion ........................................... 12
2.3 Ganzzahlfunktion.......................................... 12
2.4 PotenzenundWurzeln...................................... 13
2.5 Exponentialfunktionen ..................................... 15
2.6 Logarithmen.............................................. 18
2.7 AnwendunginScilab ...................................... 21
2.8 Fazit..................................................... 21
3 Kombinatorik.................................................. 23
3.1 Vorbemerkung ............................................ 23
3.2 FakultätundBinomialkoeffizient............................. 24
3.2.1 Fakultät .......................................... 24
3.2.2 Binomialkoeffizient ................................ 24
3.2.3 DefinitiondesBinomialkoeffizienteninScilab.......... 26
3.3 Permutation............................................... 26
3.3.1 PermutationohneWiederholung...................... 26
3.3.2 PermutationmitWiederholung ....................... 27
3.4 Variation ................................................. 28
3.4.1 VariationohneWiederholung ........................ 28
X Inhaltsverzeichnis
3.4.2 VariationmitWiederholung.......................... 29
3.5 Kombination.............................................. 29
3.5.1 KombinationohneWiederholung ..................... 30
3.5.2 KombinationmitWiederholung ...................... 30
3.6 Fazit..................................................... 33
TeilII LineareAlgebra
4 Vektoren....................................................... 37
4.1 Vorbemerkung ............................................ 37
4.2 EigenschaftenvonVektoren ................................. 38
4.3 OperationenmitVektoren................................... 39
4.3.1 Addition(Subtraktion)vonVektoren .................. 40
4.3.2 SkalaresVielfacheseinesVektors..................... 40
4.4 GeometrischeDarstellungvonVektoren....................... 40
4.5 LinearkombinationenundlineareAbhängigkeitvonVektoren..... 41
4.6 LinearunabhängigeVektorenundBasisvektoren................ 42
4.7 Skalarprodukt(inneresProdukt).............................. 44
4.8 AnwendungvonScilab..................................... 47
4.9 Fazit..................................................... 48
5 Matrizen ...................................................... 49
5.1 Vorbemerkung ............................................ 49
5.2 EinfacheMatrizen ......................................... 49
5.3 SpezielleMatrizen......................................... 50
5.4 OperationenmitMatrizen................................... 51
5.4.1 Addition(Subtraktion)vonMatrizen .................. 51
5.4.2 MultiplikationeinerMatrixmiteinemskalarenFaktor ... 52
5.4.3 MultiplikationvonMatrizen ......................... 52
5.5 ÖkonomischeAnwendung .................................. 53
5.6 AnwendungvonScilab..................................... 57
5.7 Fazit..................................................... 58
6 LineareGleichungssysteme ...................................... 59
6.1 Vorbemerkung ............................................ 59
6.2 InhomogenelineareGleichungssysteme ....................... 60
6.2.1 LösungeinesinhomogenenGleichungssystems ......... 61
6.2.2 LinearabhängigeGleichungenimGleichungssystem .... 63
6.2.3 LöseneinesGleichungssystemsmitdemGauß-Algorithmus 65
6.2.4 LöseneinesGleichungssystemsmitScilab............. 70
6.3 RangeinerMatrix ......................................... 71
6.4 InverseeinerMatrix........................................ 73
6.5 ÖkonomischeAnwendung:Input-Output-Analyse .............. 75
6.6 DeterminanteeinerMatrix .................................. 84
Inhaltsverzeichnis XI
6.6.1 BerechnungvonDeterminanten ...................... 85
6.6.2 EinigeEigenschaftenvonDeterminanten .............. 89
6.6.3 BerechnungvonDeterminanteninScilab.............. 89
6.7 HomogeneGleichungssysteme............................... 89
6.7.1 Eigenwerte........................................ 90
6.7.2 Eigenvektoren ..................................... 91
6.7.3 EinigeEigenschaftenvonEigenwerten ................ 91
6.7.4 ÄhnlicheMatrizen ................................. 92
6.7.5 BerechnungvonEigenwertenundEigenvektorenmit
Scilab............................................ 93
6.8 Fazit..................................................... 94
7 LineareOptimierung ........................................... 95
7.1 Vorbemerkung ............................................ 95
7.2 FormulierungderGrundaufgabe ............................. 96
7.3 GrafischeMaximierung..................................... 99
7.4 Matrix-FormulierungderlinearenOptimierung................. 99
7.5 Simplex-MethodefürdieMaximierung ....................... 101
7.6 InterpretationdesSimplex-Endtableaus ....................... 105
7.7 SonderfälleimSimplex-Algorithmus ......................... 105
7.7.1 UnbeschränkteLösung.............................. 105
7.7.2 MehrdeutigeLösung................................ 105
7.7.3 Degeneration...................................... 106
7.8 ErweiterungendesSimplex-Algorithmus ...................... 107
7.8.1 BerücksichtigungvonGrößer-gleich-Beschränkungen.... 107
7.8.2 BerücksichtigungvonGleichungen ................... 109
7.9 EinMinimierungsproblem .................................. 111
7.10 GrafischeMinimierung ..................................... 112
7.11 Simplex-MethodefürdieMinimierung........................ 112
7.12 DualitätstheoremderlinearenOptimierung .................... 115
7.13 LineareOptimierungmitScilab ............................. 116
7.14 Fazit..................................................... 117
TeilIII Analysis
8 FunktionenmiteinerVariablen .................................. 121
8.1 Vorbemerkung ............................................ 121
8.2 Funktionsbegriff........................................... 122
8.3 RationaleFunktionen....................................... 125
8.3.1 PartialdivisionundLinearfaktorzerlegung.............. 127
8.3.2 Regulafalsi ....................................... 128
8.3.3 NullstellenberechnungmitScilab..................... 131
8.4 Gebrochen-rationaleFunktionen ............................. 132
8.5 Folgen ................................................... 135
XII Inhaltsverzeichnis
8.5.1 ArithmetischeFolge ................................ 136
8.5.2 GeometrischeFolge ................................ 136
8.6 Reihen................................................... 137
8.6.1 ArithmetischeReihe................................ 137
8.6.2 GeometrischeReihe ................................ 139
8.7 Fazit..................................................... 140
9 GrundlagenderFinanzmathematik .............................. 141
9.1 Vorbemerkung ............................................ 142
9.2 Tageszählkonventionen ..................................... 143
9.3 LineareZinsrechnung ...................................... 144
9.4 ExponentielleVerzinsung ................................... 144
9.4.1 NachschüssigeexponentielleVerzinsung............... 145
9.4.2 VorschüssigeexponentielleVerzinsung ................ 146
9.4.3 GemischteVerzinsung .............................. 148
9.4.4 UnterjährigeperiodischeVerzinsung .................. 148
9.5 Rentenrechnung........................................... 153
9.5.1 RatenzahlungenbeilinearerVerzinsung................ 154
9.5.2 VorschüssigeRentebeiexponentiellerVerzinsung....... 154
9.5.3 RenditeberechnunginScilab ........................ 159
9.5.4 NachschüssigeRentebeiexponentiellerVerzinsung ..... 159
9.6 BesondereRenten ......................................... 167
9.6.1 WachsendeRente .................................. 167
9.6.2 EwigeRente ...................................... 168
9.7 Kurs-undRenditeberechnungeinesWertpapiers................ 169
9.7.1 Kursberechnung ................................... 169
9.7.2 Renditeberechnung................................. 173
9.7.3 Zinsstruktur ....................................... 175
9.7.4 Barwertberechnungbeinicht-flacherZinsstruktur ....... 176
9.7.5 Duration.......................................... 180
9.8 Annuitätenrechnung........................................ 184
9.8.1 Annuität.......................................... 184
9.8.2 Restschuld ........................................ 186
9.8.3 Tilgungsrate....................................... 186
9.8.4 Tilgungsplan ...................................... 187
9.8.5 AnfänglicherTilgungssatz........................... 188
9.8.6 EffektiverKreditzinssatz ............................ 190
9.8.7 MittlereKreditlaufzeit .............................. 196
9.9 Investitionsrechnung ....................................... 199
9.9.1 Kapitalwertmethode ................................ 199
9.9.2 MethodedesinternenZinssatzes...................... 201
9.9.3 ProblemederInvestitionsrechnung.................... 202
9.10 Fazit..................................................... 206