Mathematik für Ingenieure: Verstehen – Rechnen – Anwenden: Band 2: Analysis in mehreren Variablen, Differenzialgleichungen, Optimierung

482 Pages·2017·30.12 MB·German

by  Laurenz Göllmann et al.

Laurenz Göllmann · Reinhold Hübl
Susan Pulham · Stefan Ritter
Henning Schon · Karlheinz Schüffl er
Ursula Voß · Georg Vossen
Mathematik für
Ingenieure: Verstehen ·
Rechnen · Anwenden
Band 2: Analysis in mehreren Variablen,
Diff erenzialgleichungen, Optimierung
Mathematik für Ingenieure: Verstehen – Rechnen – Anwenden
Laurenz Göllmann (cid:2) Reinhold Hübl (cid:2) Susan Pulham (cid:2)
Stefan Ritter (cid:2) Henning Schon (cid:2) Karlheinz Schüffler (cid:2)
Ursula Voß (cid:2) Georg Vossen
Mathematik für
Ingenieure: Verstehen
– Rechnen – Anwenden
Band 2: Analysis in mehreren Variablen,
Differenzialgleichungen, Optimierung
LaurenzGöllmann HenningSchon
FachbereichMaschinenbau FakultätMaschinenbau/Werkstofftechnik
FHMünster HochschuleAalen
Steinfurt,Deutschland Aalen,Deutschland
ReinholdHübl KarlheinzSchüffler
Informationstechnologie MaschinenbauundVerfahrenstechnik
DualeHochschuleBaden-Württemberg HochschuleNiederrhein
Mannheim,Deutschland Krefeld,Deutschland
SusanPulham UrsulaVoß
Wirtschaftswissenschaften FakultätVermessung,InformatikundMathematik
HochschulefürTechnikundWirtschaftdesSaarlan- HochschulefürTechnikStuttgart
des Stuttgart,Deutschland
Saarbrücken,Deutschland
GeorgVossen
StefanRitter MaschinenbauundVerfahrenstechnik
FakultätfürElektro-undInformationstechnik HochschuleNiederrhein
HochschuleKarlsruhe Krefeld,Deutschland
Karlsruhe,Deutschland
ISBN978-3-662-53864-7 ISBN978-3-662-53865-4(eBook)
DOI10.1007/978-3-662-53865-4
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Vorwort
... auf den ersten Blick
LiebeStudierende,
dieseszweibändigeLehrbuchisteineanwendungsorientierteEinführungindieTheorie,dieMethoden
unddiepraxisgerechteNutzungderMathematikindenIngenieursstudiengängenderHochschulenfür
angewandteWissenschaften.UnserBuchfolgtdemGrundsatz
So viel Theorie wie nötig – so viel Anwendungsbezugwie möglich
WirorientierenunsdabeiandemjenigenStoffumfang,derandenHochschulenfürangewandteWis-
senschaften in den technisch ausgerichteten Studiengängen in aller Regel vermittelt wird. Darüber
hinausstellenwirinteressiertenLeserneinzusätzlichesHintergrundwissenzurVerfügungundzeigen,
welcheweiteren vielversprechendenKonzepteundAnwendungensichergebenkönnen.UnserBuch
enthältdiePräsentation,vielfältigeAnwendungsbezügesowiedieVerankerungderLehrinhaltemittels
BeispielenundÜbungsaufgabenausfolgendenThemenbereichen:
Analysis
LineareAlgebra
Differenzialgleichungen
OptimierungundStatistik
EssetztzwardieschulischenGrundlagensowohlderAlgebraeinfacherGleichungenundUngleichun-
genalsauchdenvertrautenUmgangmitelementarenFunktionenvoraus,enthältabergleichwohleine
sehrausführlicheZusammenstellungalleressenziellenmathematischenVorkenntnisseinFormeines
eigeneneinführendenKapitels.
Die stofflicheBreite schließtdabeineben dem Bachelor-Grundlagenbereich auch signifikanteLehr-
undAnwendungsthemendesMasterbereichsein.
DieAutorensindProfessorinnenundProfessorenanHochschulenfürangewandteWissenschaften.
... auf den zweiten Blick
LiebeLeser,StudierendeundLehrende,
wennSiediesesBuchüberMathematikinHändenhalten,sohabenSieschoneinen–vielleichtden
wichtigsten – Schritt getan, Wissenschaft und Technik, Theorie und Praxis erobern und verstehen
lernenzuwollen.
V
VI Vorwort
Verstehen lernen?
WirerlebeninderheutigenZeitgewaltigeexpansiveEntwicklungen–aufdenFeldernderTechnologi-
enebensowieinbeinaheallenBereichendesBildungswesens.UndfolgerichtigfälltderBlickfürdas
Ganzeimmerschwerer,undebensokonsequenterweiseerblühteineschierunermesslicheLandschaft
spezialisierterGattungenanWissensgebietenmitsamtderenkaumnochüberschaubarenAnwendungs-
verästelungen.
WirsehendiesbereitsbeieinemkurzenBlickindieCurriculaunsererStudienpläne:Warbeispiels-
weise das klassische Fach „Maschinenbau“ ehedem eine kreuzbrave Wissenschaft beinahe allerorts
einheitlicherinhaltlicherAusgestaltung,sozeigtderFächerkatalogzusammenmitberuflichintendier-
tenZielendiesesFacheseineüberbordendeFülleanMöglichkeiten,Angeboten,Studienformatenund
vielemmehr–manchmalsogarbereitsinnerhalbeinereinzigenHochschule.
UndgäbeesumdiesenPluralismusnichteinegemeinsameKlammer,sowärenLernende–wieaber
sicherauchLehrende–dieserscheinbarenUferlosigkeitbeinahehilflosausgeliefert.Gibtesdenneine
solcheKlammer?
Die Mathematik isteine solche Klammer – aber nur dann, wenn sowohl ihre
Inhalte wie auch ihre Methoden und demzufolge auch ihr Gebrauch
hinreichend verstanden sind
Hierbei kommtes ganzentscheidenddarauf an,was wir unter„Mathematik“überhauptverstehen–
undbedauerlicherweiseliegtgeradehierindasProblem:TraumatischeErlebnissemitnierichtigver-
standenenp-q-Formeln,defizitärerUmgangmiteinfachstenBinömchenundeineunglaublicheTreue
zudenbizarrstenElementarfehlern–vornehmlichdeseinfachenBruchrechnens–lassenEntdeckun-
genindieSchönheitenundindenNutzenmathematischerTheorieinweiteFernerücken.
SoisteinSpannungsdreieck
Verstehen
Mathematik
Anwenden Rechnen
entstanden,demalleProzessesowohldesLernensalsauchdesLehrensinäußerstsensiblerWeiseaus-
gesetztsind.UnddiefolgendendreiFragenbeschreibensehrprägnantdaskausaleWechselspieldieser
drei Kompetenzen– wobeidieaffirmativen Antworten nichtnurnach unsereneigenen Erfahrungen
offenkundigsind:
Ist es nicht so, dass die Anwendung einer Formel oder eines Rechenverfahrens, denen ein Ver-
stehen nievorausgegangenist, in nichtwenigen Fällen zu einem Resultatführt, welches mit der
ursprünglichenAufgabereingarnichtsmehrzutunhat?
Und ist es nicht so, dass so manche sicher gut verstandene Formel zu keinem Nutzen fähig ist,
wennwederRoutineimKalkülnocheinGefühlfürzielführendeMethodenerarbeitetwurden?
Undistesfernernichtauchso,dassdasofteheralsmühevollangeseheneVerstehenwolleneines
mathematischenKontexteserstdurchdieVielfaltseinerAnwendungsmöglichkeitenbelohntwird–
wieauchumgekehrtjenenurdannsicherschließen,wenndieKraftderAbstraktionwirkenkann?
In diesem Dreieck hängt in der Tat alles mit allem zusammen – und konsequenterweise hat unser
BuchdieseÜberzeugungmiteinfließenlassen!DaherbegegnetmanbeweisendenArgumentationen
ebensowievielfältigenAngebotennützlichermathematischerAnwendungen,aberauchzahlreichen
MöglichkeitendesübendenRechnens.
Vorwort VII
UndüberhauptstellensichbeiderEntstehungeinesstudienbegleitendenBuchesersteinmalfolgende
grundsätzlicheFragen–undzwarsowohlfürdieAutorenalsauchfürdieadressiertenUser,alsofür
allediejenigen,diesichmitdenfachlichenInhaltenvertrautmachenmöchtenrespektivemüssenund
diefolglichdasBuchverwendenkönnten:
1. WozueinBuch?
2. WozueinBuchüberMathematik?
3. WozugeradediesesBuchüberMathematik?
DieersteFrage,warummanüberhaupteinBuch–alsoeinenfortlaufendenTextingedruckteroderin
elektronischerForm–verwendensoll,stelltsichdabeibeinaheausschließlichbedingtdurchdieAll-
gegenwärtigkeitdesInternets.DasanallenOrtenwiezuallenZeitenomnipräsenteInternethatunsere
Lesegewohnheitenund–vorallem(!)–dieArtundWeise,wiewirInformationensuchen,verändert–
ja:radikalverändert.DiedortigeVerfügbarkeitvonInformationenallerArtführtbeispielsweisedazu,
dassmandieseingenauderFormhabenmöchte,diemanglaubt,unmittelbarzubenötigen.Undinal-
lerRegelbekommtmandiesdannauchpostwendend.AlsowarumdanndocheinBuch?Dazugibtes
glücklicherweisegleichmehrereAntworten,vondenenwirdiezweisignifikantestennennenwollen:
WeildasBucheinThemadidaktischentwickelnkann:EsführtdenLernendenüberdieStufen
– MotivationundEröffnungdesProblemfeldes,
– begrifflicheundfaktischeDarlegungen:dieTheorie,
– ganzbewusstgewählteBeispielezuganzbewusstausgesuchtenAnwendungenund
– AnleitungenundEinübungzurselbstständigenNutzunginderrealenAnforderung
zudenZieleneinernachhaltigenKenntnisdesbetrachtetenThemenkomplexesundeinessicheren
UmgangsmitseinenLerninhaltenindenrelevantenAnwendungen.
Weildas Buchein Themageschlossenvorstellen kann.So haben wirstets dafürSorgegetragen,
unsereBeiträgedemsubtilvernetztenSystemgrundsätzlicherFragenzuöffnen,wieetwadiesen:
– Wofängtmanan?
– FürwenistdasBuchgedacht?
– WelcheVerstehens-undFertigungsvoraussetzungensindgegeben?
– WassinddieZiele?UndwiegestaltetsichdemnachdieStoffauswahl?
– WelcheAnwendungen,Beispiele,AufgabensamtpassenderLernkontrollesindangestrebt?
– WelchegestalterischenDarstellungenundwelcheAnsprachensindzielführend?
UndgenaudiesistnämlicheincharakteristischesUnterscheidungsmerkmal:DieFrage,woeinThe-
mabeginntundbeiwelchemderabermillionenfachmöglichenLinksdesInternetseinWissenhierüber
endet,glicheeinemLotteriespielmitHalbwertszeitendesvorübergehendenWissensbesitzesweitun-
terhalbeinerklausurrelevantenNotwendigkeit–vonernsthaftenStudienzielenweitentfernt.
DaherhabenwirunskonsequenterweiseintensivmitdenFragenauseinandergesetzt,fürwendasBuch
gedachtist,welcheVoraussetzungendieLesermitbringenundwelcheZielesieverfolgen.Auchdie
Stoffauswahl und die gestalterische Darstellung orientieren sich daran. Auch soll erwähnt werden,
dasswirhierunter„Buch“gleichzeitigseineklassischeFormwieauchdiemittlerweileüblicheelek-
tronischeFormverstehen;letzterewirdauchimvorliegendenFallangeboten.
DerzweitenFragebegegnenwirgarnichtsoselten.Wiehäufigistnämlichzuhören:
Mathematik–dassinddochFormelnundendloseZahlenkolonnen!
IstinderMathematiknichtschonallesherausgefunden,spricherforscht?
Und von grauer Theorie ist die Rede. Wäre das Erstere der Fall, dann wäre die Mathematik keine
Wissenschaft;wäredasLetzterederFall,ergäbensichletztendlichauchkeineAnwendungenmehrzu
denwachsendenForschungsthemenausTechnik,TheorieundPraxis.DennzuallenZeitenwarenjene
derunablässiginspirierendeMotorundpermanenteAnspornzurImplantierungundErforschungneu-
erMethoden,neuerBegriffeundneuerZusammenhänge–kurz:neuermathematischerTheorien.So
wäredermittlerweileriesigeBereichdernumerischenRechenverfahren(Numerik)ohnedieinspirie-
rendenAnforderungenausdendiversenIngenieurwissenschaftenkaumdenkbar.EinanderesBeispiel
– aus den Tiefen scheinbar weit entrückter Mathematik – mag die Minimalflächentheorie sein. Ein
Ausgangsproblem,entstandenauskindlichenSpielenmitSeifenblasen:
SpanneineinegeschlosseneDrahtschlaufeeineFlächeein,diediesenDrahtalsRandhatundderenFlächeninhalt
minimalgegenüberdenjenigenalleranderenFlächenist,welchediesenDrahtebenfallszumRandhaben(Plateau-
Problem)
VIII Vorwort
führte über eine Vielzahl grundsätzlicher Fragestellungen (gibt es überhaupt solche Lösungen, gibt
esnureine,gibtesviele–undwennja:wannundwieberechnetmansie,wieverhaltensiesichbei
StörungdergeometrischenParameter...)simultanzuvielenneuartigenmathematischenForschungs-
zweigen,dieihrerseitsübervieleJahrzehntefruchtbareErgebnissevielfältigsterArterbrachten–dabei
zunächst scheinbar nur innermathematisch. Mittlerweile sind diese Theorie und ihre Anwendungen
jedoch in Statik, Bauphysik,ja sogar bei den Konstruktionselementender Ingenieure bestens ange-
kommen–Endeoffen.
UnddieUmkehrungdiesesZusammenhangsistsichernichtwenigerbedeutsam:
Nur wer eine Theorie in ihren wichtigsten Ideen kennt, kann sie auch
erfolgreich in der Praxis anwenden
Und diese Feststellung gilt sowohl für die möglicherweise entlegen erscheinende wissenschaftliche
„Forschungsmathematik“wieauchfüreineineinerfachlichenVielfaltwiederIngenieurwissenschaft
eingegliederten „Dienstleistungsmathematik“. Sicher finden wir ähnliche Zusammenhänge auch in
anderenKernbereichenderIngenieurwissenschaftenwieetwaPhysik,TechnischeMechanikundElek-
trotechnik.UndjeexpansiverdiePalettederAnwendungsformenist,umsonötigeristgeradehierdie
KenntnisumdasGemeinsameunddasPrinzipielle,ausdenendannderReichtumderMethodenerst
erkennbarwird.
Indem wir uns schließlich der dritten Frage zuwenden, kommen wir auch zu einer näheren Be-
schreibungdesvorliegendenProjektes:EntstandenistdasBuchausderIdee,möglichstdichtanden
(fach)hochschulischenAnforderungeneinstudienbegleitendesLehrbuchanzubieten,welchesdiezen-
tralenfachlichenTeildisziplinendererstenStudiensemesterunterdenAspekten
einertechnisch-anwendungsorientiertenIngenieurausbildungund
einersowohlleideruneinheitlichenalsauchoftsehrlückenhaftenVorkenntnissituationderStudie-
rendeninderStudieneingangsphase
zusammenbringt.DazuhatsicheinAutorenteamgefunden,dessenMitgliederanverschiedenenund
teilssehrunterschiedlichorientiertenHochschulortenalsProfessorinnenundProfessorenwirkenund
nunihreindiversenFH-IngenieurstudiengängengewonnenenLehrerfahrungenmiteinbringen.
UnsereBeiträgesindzwarsorgfältigaufeinanderabgestimmt–dennochsindeinigeÜberschneidun-
gendurchausmöglich.Diesgeschiehtauchganzbewusst,dainunterschiedlichenZusammenhängen
auchunterschiedlicheBeschreibungeneinesansichfestenAspektsdurchausbereicherndwirken.Im
Übrigen wollen wir nicht durch ein zu häufiges Verweisen zu entlegenen anderen Buchseiten den
LeseflussunddadurchauchdenVerständnisflussempfindsamstören.
UnserBuchhuldigt–wieschonganzzuAnfangbesondersherausgestellt–demGrundsatz
So viel Theorie wie nötig – so viel Anwendungsbezugwie möglich
Dabei gehtes zweifellos überein wie auch immerdefiniertes Minimalangebothinaus,sodassinter-
essierteBlicke„hinterdieKulissen“ebensobefriedigtwerdenkönnenwiediejenigennachweiteren
vielversprechendenKonzeptenundAnwendungen.Gleichwohlsind–wieüberall–Grenzengezogen,
undnichtjedeswünschenswerteWissensgebietkonnteeinbezogenwerden:So istetwadiegesamte
KomplexeFunktionslehre–einMeisterstückderMathematikundengverzahntmitletztlichbeinahe
allenphysikalischenGleichungenundPrinzipien–leidernichtimCurriculumdiesesBuchesenthal-
ten, sehen wir von dem gleichwohl sehr weitreichenden Kalkül mit komplexenGrößen und Zahlen
einmalab.Undes istauch nurein schwacherTrost, dass manihrinden fachhochschul-orientierten
Bachelorstudiengängenauchnuräußerstseltenbegegnet.
Diesem Grundsatzfolgend zeigtdas Buch viele– sehrviele – Verbindungenzu Anwendungenauf,
wiesieimspäterenStudiumodersogarimBerufsalltagvorkommenkönnen.EinzweiterGrundsatz
kommthinzu
Vorwort IX
Mathematik lässt sich nur dann anwenden, wenn sie auch verstanden ist,
und Mathematik kann besonders dann verstanden werden, wenn sie geübt
wird
Aus diesemGrund findetderLeser Aufgabenam Endejeden Kapitels. Wirermuntern aufgrundin-
tensiver,langjährigerErfahrungennachdrücklichdazu,sichgerneundbeständigdemmitunternicht
mühelosenTestderBearbeitungdergegebenenProblemezustellen.SelbstständigeBearbeitungder
Aufgabenundüben,übenundnochmalsüben:GenaudiesistdieerfolgreicheMethodeeinesnachhal-
tigenLernens.DasgiltinsbesondereindenPhasenderPrüfungsvorbereitungen.Undwas dasÜben
betrifft:WerPianistwerdenmöchte,abernieübt,bleibtewigeinDilettant–mozartscheAusnahmen
sindnichtsohäufig...UndistnichtgeradeauchderSportdasParadebeispieldieserMaxime?
Da, woanalytischeVorgehensweisenanihreGrenzen stoßen,erklären wir diegrundlegendenIdeen
numerischerVerfahrenunddenEinsatzvonMATLAB.
Schließlichhoffenwir,dassauchstilistischeElementewie
dieWahlkurzerAbschnitte,diesichklareinemThemawidmenundeinenKerngedankenbehan-
delnunddieauchbiszueinemgewissenGradunabhängiggelesenwerdenkönnen,
derEinsatzfarblich abgesetzterBeispiele, AnwendungsbeispielesowieeinigerHintergründe,die
esdemLeserermöglichen,entwedernurdasProcederederRechenvorgängezuerlernenoderganz
nachInteresseoderNotwendigkeitauchderenVerankerungenzustudierenund
einansprechendesfarblichesLayout
zumerfolgreichenStudierenderInhalteunseresBuchesführen.UndgenaudiesenErfolgwünschen
wirallunserenLeserinnenundLesern–wobeiwiralsErfolgnichtnurdascurriculareReüssierendes
Studiumsmeinen;vielmehrsehenwirdiesesalsErfolg, wennunserBuchdazubeiträgt,dieMathe-
matikalssubstanziellenBestandteilderIngenieurwissenschaftenbeimLeserverankertzuwissen.
AlsErgebnisistnuneinzweibändigesLehrbuchzumThema„MathematikfürIngenieure“entstanden,
welchesfolgendeninhaltlichenAufbaubesitzt:
InhaltBand1
TeilI:Grundlagen(StefanRitter/HenningSchon/UrsulaVoß)
Dieser Teil stellt die grundlegenden Werkzeuge und Begriffe zusammen, die in den nachfolgenden
Kapitelnbenötigtwerden:
GrundlegendeRechentechnikenunddasLösenvonGleichungen
ElementareFunktionen
KomplexeZahlen
TeilII:AnalysisineinerVariablen(LaurenzGöllmann)
DieserTeilwidmetsichderAnalysisderFunktioneneinerreellenVariablenundenthältdiezentrale
PalettederklassischenFunktionslehre:
FolgenundReihen
Konvergenz–Stetigkeit–Differenzierbarkeit
Differenzialrechnung
Integralrechnung
TeilIII:LineareAlgebra(ReinholdHübl)
In diesem Teil werden die wichtigsten Konzepte der linearen Algebra über einen geometrisch mo-
tivierten Zugang entwickelt und mit Blick auf eine anwendungsbezogene Nähe zur Mechanik und
Physikvorgestellt.BehandeltwerdenfolgendeThemen:
VektorrechnungundanalytischeGeometrie
MatrixkalkülmitDeterminantenundlineareGleichungssysteme
LineareAbbildungenundEigenwerte
X Vorwort
TeilIV:Statistik(SusanPulham)
Dieser Teil entwickelt Themen der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnungaus praktischen Auf-
gabenstellungen heraus und bietet sich damit ganz besonders gut zum Eigenstudium an. Behandelt
werden:
Ein-undzweidimensionaledeskriptiveStatistik
Wahrscheinlichkeitsrechnung
InduktiveStatistik,statistischeSchätzverfahrenundHypothesentests
Aufgaben,TabellenundeineÜbersichtüberdiewichtigstenstatistischenVerteilungenrundendiesen
Themenkomplex,derletztlichauchzuökonomischenZusammenhängenführt,ab.
InhaltBand2
TeilI:AnalysisinmehrerenVariablen(StefanRitter/HenningSchon)
DieserTeilwidmetsichderAnalysisvonFunktionenvonmehrerenVariablenundbehandeltfolgende
Themen:
DifferenzialrechnungfürFunktionenvonmehrerenVariablen
IntegralrechnungfürFunktionenvonmehrerenVariablen
Kurven
FlächenundFlächenintegral
IntegralsätzeundVektoranalysis
Somit enthält dieser Text eine nahezu komplette Darlegung der multidimensionalen Analysis, die
einenzentralenAspektderanwendungsbezogenenIngenieurmathematikdarstelltunddiemathemati-
scheGrundlagefürwichtigeThemenderIngenieurwissenschaftenwieStrömungslehre,Thermodyna-
mikundElektrodynamikbildet.
TeilII:Differenzialgleichungen(UrsulaVoß)
DifferenzialgleichungentreteninvielenpraktischenAnwendungenauf,wobeiderModellierungauch
dasÄnderungsverhaltengesuchterFunktionenberücksichtigtwerdenmuss.Behandeltwerdenindie-
semTeil:
GewöhnlicheDifferenzialgleichungen
PartielleDifferenzialgleichungen
Ein eigenes Kapitel (entstanden in Zusammenarbeit mit L. Göllmann) widmet sich der Laplace-
TransformationundihrerAnwendungaufDifferenzialgleichungen.
Während sich die gewöhnlichen Differenzialgleichungen recht umfassend darstellen lassen, können
imRahmendiesesBuchespartielleDifferenzialgleichungennureinführendbehandeltwerden.
TeilIII:Optimierung(GeorgVossen)
MitdiesemTeilliefertunserBucheinendeutlichenBeitragzurnumerischenMathematikundführtuns
gleichzeitiginAnwendungsbereiche,denenmanauchinaufbauendenMasterstudiengängenbegegnet:
WasistOptimierung?
LinearereelleundganzzahligeOptimierung
NichtlineareOptimierungundSensitivitätsanalysen
IterativenumerischeVerfahren
Mittels dieserStationen führtdieser Teil in ein hochaktuellesGebietvielfältiger Anwendungenein,
wobeiauchhierähnlichzurStatistikeinbedeutenderBezugzuökonomischenAspektenerreichtwird.
WirdankendemSpringer-VerlagfürdieHerausgabediesesLehrbuches;besondererDankgilthierbei
ClemensHeineundDr.AndreasRüdingersowieBiancaAlton(alleSpringer)fürihregeduldigeund
ausgezeichneteBeratungundBegleitungzurKonzeptiondiesesWerkes.UnserenLesernmöchtenwir
fürweitereAnregungenundWünschedanken.Esfreutuns,wennunserBuchzumErfolgbeitragen
sollte–esfreutunssogarnochmehr,wennausderLektüreauchFreudeanderMathematikerwächst.
ImJuni2017 FürdasAutorenteam
KarlheinzSchüffler