Table Of ContentWilhelm Merz
Peter Knabner
Mathematik für Ingenieure
und Naturwissenschaftler
(cid:2)
Lineare Algebra und Analysis in
Springer-Lehrbuch
·
Wilhelm Merz Peter Knabner
Mathematik
für Ingenieure
und Naturwissenschaftler
R
Lineare Algebra und Analysis in
WilhelmMerz
PeterKnabner
UniversitätErlangen-Nürnberg
DepartmentMathematik
LehrstuhlAngewandteMathematik1
Erlangen
Deutschland
ISSN0937-7433
ISBN978-3-642-29979-7 ISBN978-3-642-29980-3(eBook)
DOI10.1007/978-3-642-29980-3
MathematicsSubjectClassification(2010):15A03,15A06,15A18,26A06,26A24,26A42
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SpringerSpektrum
(cid:2)c Springer-VerlagBerlinHeidelberg2013
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Vorwort
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Erlangen, August 2012
vi
GeDANKEn zur Entstehung und Struktur
MathematischeMethodengehörenseitjeherzumWerkzeugkasteneinesjeden
Ingenieurs.GeradeimZeitalterdes rechnergestütztenEntwurfs,beidemim-
mer mehr reale Experimente durch„virtuelle“ Experimente auf dem Compu-
terersetztwerden,istihreBedeutungenormgestiegen,wobeinebendieklas-
sischenanalytischenMethodenverstärktnumerischeMethodenalsGrundlage
technischer Simulation treten.
Angesichts der großenStofffülle ist es verführerischsich dem Gebiet in Form
von„Kochrezepten“nähernzuwollen.DagegensindwirderMeinung,dassein
erfolgreicherEinsatzmathematischerMethodennuraufeinemgrundlegenden
VerständnisihrerHerleitungundZusammenhängeberuhenkann.Insofernist
dervorliegendeTextbeiallerBemühungumVerständlichkeitauchvoneinem
Anspruch an Genauigkeit getragen.
So werden die meisten Aussagen bewiesen oder zumindest in Form von Be-
weisideenverständlichgemacht.DamiteignetsichdiesesLehrbuch,überden
Kreis der Studierenden der Ingenieurwissenschaftenhinaus, auch für Studie-
rende naturwissenschaftlicher Fächer oder eines Lehramtsstudienganges mit
Mathematik. Auch für Studierende von Mathematikstudiengängen ist der
hier gewählte, und äußerst beispielbetonte Zugang überaus nützlich.
Der vorgelegte Band umfasst den Stoff, wie er allgemein in den ersten bei-
den Semestern in einer Ausbildung für Ingenieurstudierende gelehrt wird.
Ein weiterer Band für die nächsten Semester wird in Kürze folgen. Darüber-
hinaus ist ein Lösungsbuch geplant, das weitere Aufgaben und insbesondere
Musterlösungen enthält. Im Rahmen der E-Book-Version der angesproche-
nenBändeistaneineneuartigePräsentationvonAufgabenlösungeninForm
von Videos gedacht. Die Aufgaben, die sich passgenau an jeden Abschnitt
anschließen,sind größtenteilsder umfangreichenlokalenAufgabensammlung
entnommen,einigeAufgabenstammenausderAufgabendatenbankderTech-
nischenUniversitätDarmstadtodersindausanderenLehrbüchernentliehen.
Der letztere Fall ist entsprechend zitiert. Sollte im Lauf der Jahre die Her-
kunft einer Aufgabe „vergessen“ worden sein, bitten wir um entsprechende
Hinweise.
Wir danken der Firma Beratung & Coaching Anja Keitel für pfiffige Ideen,
insbesonderefürdie Idee,dieLösungenvonAufgabeninderE-Book-Version
per Video zu präsentieren. Danke sagen wir Herrn Ralf Gerstenlauer von
der Firma audiomotion für die Produktion und Realsierung dieser Videos.
DankenwollenwirauchHerrnDipl.-Math.FlorianFrankfürseinewertvollen
Ratschläge und Hilfeleistungen zum Textverabeitungssystem LATEX. Ebenso
gebührtderLektorinFrauTatjanaStrasservomSpringer-VerlagunserDank
für das Korrekturlesendes Manuskriptes zu diesem Buch.
vii
Die Lehre der Mathematik für Studierende der Ingenieurwissenschaften hat
eine lange Tradition an der Friedrich-Alexander-UniversitätErlangen-Nürn-
berg, der »Technischen Universität Nordbayerns«. Mit der Gründung der
TechnischenFakultätindenspäten1960erJahrenentstandenzweiLehrstühle
in Angewandter Mathematik, deren Hauptlehraufgabe in diesem Unterricht
bestand. Diese Basis hat sich seitdem nur leicht verbreitert. Aufgrund die-
ser an anderen Orten unüblichen Konzentration auf wenige große Gruppen
ist hier im Laufe der Jahre eine erhebliche Expertise entstanden. Hier sind
insbesondere die Professoren Hans Grabmüller und Hans Strauß zu nennen
sowieauchder Akademische DirektorPeter Mirschundder früh verstorbene
OberratHorstLetz.DieAutorenstehenaufdenSchulterndieservierDozen-
ten der ersten Generation:
Die hier dargestellte Stoffauswahl und -anordnung und auch weite Teile der
Darstellung wurde von diesen entwickelt und auch die Aufgabensammlung,
aus der hier reichlich geschöpft wird, entstand schon zu großen Teilen. Die-
ses damals eher ungewöhnliche Lehrkonzept wurde in Form von erst hand-
schriftlichen,dannmit LATEXgeschriebenenSkripten dokumentiert,und fand
soseineVerbreitungbeiStudierendenundDozentenauchweitüberErlangen
hinaus.
Während andernorts im Laufe der Zeit hervorragende Lehrbücher für Inge-
nieurmathematik entstanden, ist dies in Erlangen weitestgehend versäumt
worden. Der vorgelegte Band und seine Nachfolger sollen diese Lücke schlie-
ßen und sind der genannten ersten Generation von Mathematikdozenten ge-
widmet.
Erlangen, August 2012 W. Merz, P. Knabner
Inhaltsverzeichnis
1 Reelle Zahlen............................................. 1
1.1 Grundlagen aus der Logik ............................... 1
1.2 Aus der Mengenlehre ................................... 6
1.3 Abbildungen........................................... 14
1.4 Der Weg von N nach R.................................. 20
1.5 Arithmetische Eigenschaften in R......................... 24
1.6 Ordnungsaxiome und Ungleichungen ...................... 33
1.7 Vollständige Induktion .................................. 45
1.8 Vollständigkeitsaxiom................................... 55
1.9 Noble Zahlen .......................................... 59
1.10 Maschinenzahlen ....................................... 64
2 Komplexe Zahlen und Polynome.......................... 77
2.1 Mathematische Motivation und Definition ................. 77
2.2 Elementare Rechenoperationen in C ...................... 81
2.3 Polardarstellung komplexer Zahlen........................ 87
2.3.1 Praktische Anwendung der komplexen Zahlen........ 101
2.4 Polynome ............................................. 105
2.5 Nullstellen und Zerlegung von Polynomen ................. 114
2.6 Polynominterpolation ................................... 124
ix
x Inhaltsverzeichnis
3 Zahlenfolgen und -reihen ................................. 137
3.1 Grenzwerte von Zahlenfolgen............................. 137
3.2 Grenzwertsätze und Teilfolgen ........................... 148
3.3 Konvergenzkriterienfür Zahlenreihen ..................... 159
3.4 Produktreihen ......................................... 178
4 Lineare Algebra – Vektoren und Matrizen ................ 187
4.1 Lineare Gleichungssysteme............................... 187
4.2 Vektorrechnung und der Begriff des Vektorraums ........... 206
4.3 Untervektorräume ...................................... 214
4.4 Linearkombination...................................... 220
4.5 Dimension und Basis.................................... 231
4.6 Affine Unterräume (Untermannigfaltigkeiten) .............. 241
4.7 Skalarprodukte in Rn: Winkel und Längen................. 248
4.8 Orthogonalkomplementeund geometrische Anwendungen.... 259
4.9 Lineare Abbildungen, Kern und Bild...................... 272
4.10 Das Matrizenprodukt ................................... 289
4.11 Das Tensorprodukt und Anwendungen .................... 295
4.12 Die inverse Matrix...................................... 304
4.13 Spezielle Matrizen ...................................... 310
4.14 Lineare Ausgleichsprobleme.............................. 325
4.15 Determinanten ......................................... 327
4.16 Determinanten zur Volumenberechnung ................... 340
4.17 Determinanten und die Cramersche Regel ................ 345
4.18 Das Vektorprodukt ..................................... 352
4.19 Das Eigenwertproblem .................................. 360
5 Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen ........... 387
5.1 Elementare Funktionen.................................. 388
5.2 Grenzwerte von Funktionen einer reellen Veränderlichen..... 401
Inhaltsverzeichnis xi
5.3 Uneigentliche Grenzwerte von Funktionen einer reellen
Veränderlichen ......................................... 416
5.4 Stetigkeit von Funktionen einer reellen Veränderlichen....... 422
5.5 Eigenschaften stetiger Funktionen ........................ 434
5.6 Monotone Funktionen, Umkehrfunktionen ................. 445
5.7 Umkehrung der Exponentialfunktion – Logarithmus......... 453
5.8 Umkehrung der x-Potenzen – n-te Wurzeln ................ 459
5.9 Umkehrung der Winkelfunktionen – zyklometrische
Funktionen ........................................... 461
5.10 Umkehrung der Hyperbelfunktionen – Area–Funktionen ..... 471
6 Differentialrechnung in R ................................. 481
6.1 Der Ableitungsbegriff ................................... 481
6.2 Ableitungen elementarer Funktionen ...................... 487
6.3 Ableitungsregeln ....................................... 490
6.4 Ableitungen komplexwertiger Funktionen.................. 503
6.5 Höhere Ableitungen..................................... 507
6.6 Ableitungen von vektorwertigenFunktionen................ 509
6.7 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung................ 522
6.8 Die Regeln von L’Hospital ............................. 532
6.9 Der Satz von Taylor................................... 541
6.10 Extremwerte, Kurvendiskussion .......................... 550
6.11 Nullstellen und Fixpunkte ............................... 562
6.12 Numerische Differentiation............................... 577
7 Integration von Funktionen in R .......................... 583
7.1 Stammfunktionen und Integration ........................ 583
7.2 Integrationsregeln ...................................... 591
7.3 Das Riemann–Integral.................................. 618
7.4 Uneigentliche Integrale .................................. 639
7.5 Das Integralvergleichskriteriumvon Cauchy............... 646
