Table Of ContentZiya ~anal
Mathematik fUrIngenieure
Meinen Kindem
liilideFehimeund Tarik Ulvi
Ziya Sanat
Mathematik
fur Ingenieure
Grundlagen, Anwendungen in Maple und C++
2., aktualisierte und erweiterte Auflage
STUDIUM
I I
VIEWEG+
TEUBNER
Biblicgratische Information der Deutschen Nationalbibliothek
DieDeutsche Naticnalbibliothekverzeichnet diesePublikation inder
DeutscnenNationalbibliogralie;oetaunertebibliografischeDaten sind imInternetuber
<http://dnb.d-nb.de>abrulbar.
Prof.Dr.-Ing.ZiyaSanallehrtMathematik, FEM,Baudynamik,Bauinformatik und Behalterbauander
Fakultat Bauingenieurwesen der HochschuleMiinchen.
Email: [email protected]
Internet:www.stahlbaustudium.de/02Isanaa.htm
1. Auflage 2004
2.,aktualisierte underweiterte Auflage2009
Aile Rechtevorbehalten
©Vieweg+Teubner IGWVFachverlageGmbH,Wiesbaden 2009
Lektorat:DipL-lng.RailHarms ISabine Koch
Vieweg+Teubner rstTeilder FachverlagsgruppeSpringer Science-Business Media.
www.viewegteubner.de
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Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung atsfrei zu betrachlen waren und daher
vonjedermann benutzt werden durften.
Umscblaggestaltung: KiinkelLopkaMedienentwicklung,Heidelberg
Druck unobuchbindenscheverarbeitung:STRAUSS GMBH,M6rlenbach
Gedruckt auf sauretreiern undchlorfrei gebleichlem Papier.
Printed inGermany
ISBN978-3-8348-0748-9
Vorwort
Gegcnubcr der 1. Auflagc hal das Such suhstanzicllc Andcrungen crfahrcn. Ocr bishcrigc
lnhalt wurdc vollstandig ubcrarbcitet und hinsichtlich seiner Eignung zum Sclbststudium noch
weber verbessen. Zumeincn hat die Anzahl der durchgercchncten Beispiele und dcrAufgabcn
mit Lcsungcn ganz stark zugenommen, ebcnso die Anzahl der Bilder und Skizzen. die Studie
rendcn helfensollen,Aufgabcnslel1ungen und ihrcLosungcn auch visuell zu verarbeitcn- ganz
nachder a1tbekannten Weisheit »ein Bild sagt mehralstausend worte« (hiereher:tausend For
meln!),ZUlU anderensind neueThemenaufgcnommenworden.limden BedUrfnissender Master
Studicngange Rcchnung zutragcn.Auch Anrcgungcnundkonstrukuve Kritikzur J.Aullagcaus
Kollcgcnkrciscn und aus den Reihcn der Studicrcndcn wurdcnsowcit wie moglich bcrilcksich
tigt und cingcarbcitct. Nicht zulctzt sind bckannt gcwordcnc Tipp- und Rechcnfehlcr korrigiert
worden.
Dcr Kcrngcdankc dcr Abhundlungsmcthodik hat sich nicht gcsndcrt. Nach wie vor stcht im
VordergrunddieZielsetzung.den Stoffmcgtichstnnschaulichund vcrstandlichzuvennittelnund
wocs nurgchtaufBcweisfuhrungen zu vcrzichtcn- csscidenn.derBeweisbcsitzteinenhohcn
didaktischcn Nutzen furdie Studierenden. Die blsbcrigcn sehr positivcn Reaktionenseitensdcr
Studiercndcn bestiitigen diesen Ansatz. Die Reihenfolge der behandelten Themen ist so aufge
baur.dassjedes Kapitcl-imRahmen des Mogfichen- dasn6tige Riistzeug fur dasnnchste darauf
fclgcndc Kapitel bcreit stellt. lnsofcrn kann voncincrn gm sichtbaren roten Faden gcsprochcn
werden.
Foigende KapitelsolliendenMathcmutikbcdarfcines Ilachelor-Studiums decken:
Grundwissen - Elementare Funktionen - Matrizen und lineare Gleiehungssysteme - vektorrech
nung - Elementare analytischeGeometric- Differentialreehnung- Differeruialrechnung fbr mul
tivariable Funktionen - Integralrcchnung -Gcwohnlichc Ditfcrcntialglcichungcn ~Stochastik.
FilrcinMaster-Studiumsind folgcndc Kapitcl vorgeschcn:
Eigenwenaufgaben-LosungvonnichtlincarenGlcichungcn-LosungsvcrfuhrcnfurlineareGlci
chungssystcmc - Numerische Losung von Differentialgleichungen - Fouricr-Rcihcn - Panielle
Differentialgleichungen - Kornplexc Zahlen -Mathematik mit Maple.
Mildcm nunmchrvorliegendenInhaltsolltediesesBuchdieMatbemank-Ausblldung inInge
nteurstudiengangender Fachhochschulen sowohlimBacheJor-Studiengang als auchimMuster
Studiengangweitgchcnd abdccken.Zweifelsohnesind verschledene Verbcsserungenundweitere
Erganzungcn ntoglich und wohl auch wunschcnswcrt. FUrjedc Anregung und Kritik.die einen
Beitrag dazu leistct.fuhu sichder Autor zuDank vcrprlicbtct.
Munchen.April 2009 Ziya$mwl
Inhaltsverzeichnis
1 Grundwissen I
1.1 Absolutwen I
1.2 Potenzen und wurzetn . I
1.3 Summation.Produkt und Fakultar 3
1.4 Miuelwert einerZahlcnreihc . 8
1.5 Logarithmus . 9
1.6 Absolutcr und Rclativcr Fchlcr . II
1.7 WinkclmaBc:Grad lind Radiant 12
1.8 Zusatzlichc Bcispiclc 13
1.9 Aufgabcn . IS
2 Elementare Funktionen 23
2.1 Polynomfunktionen . 23
2.2 Potenz-und Wurzelfunktionen 26
2.3 Exponcntialfunktion . 27
2.4 Logarithrnus-Funktioncn . 29
2.5 Trigouornctrische Funktionen . 35
2.6 Hyperbclfunktionen . 39
2.7 Arkusfunktioncn .. 40
2.8 Kegclschnill-Funktionen 42
2.9 Explizitc und implizitc Funktionen 45
2.10 FunktioneninPararneterdarstel1ung 46
2.11 Wcitcrc Funktionen . 48
2.12 Symmetric und Srctigkcit vonFunktioncn 49
2.13 ZusatzlichcBcispiclc 51
2.14 Aufgabcn . 52
3 l\Iatrizen und Iineare Gtekhungssysteme 55
3.1 EinlUhrung . 55
3.2 Definitionen fur Matrizcn . 57
3.3 Addition und SubtraktionvonMatrizen 62
3.4 Transposition von Matrizen . 63
3.5 Matrix-Multiplikation .. . 65
3.6 LincarcGleichungssyteme 72
3.7 Lincarc Abhangigkcit . 83
3.8 Dctcrminanrcn . 85
3.9 Invcrucrung vonMatrizcn 95
3.10 Zusatzlichc Bcispiclc 10(J
3.11 Aufgabcn . . . 1119
VIII lnhahsverzeichnis
4 Vektorrechnung II"
4.1 Einfuhrung . 119
4.2 Lincarc Operationcn vonVektoren . 121
4.3 Lineare Abhangigkcit von Vektoren 123
4.4 3D-Vektor in Matrixschrcibwcisc . 124
4.5 3D-Vektor indcr Schreibweise mit Basisvektcren 127
4.6 Skalarprodukt . 129
4.7 Kreuzprodukt .. 133
4.8 AnwcndungcnindcrMechanik . 137
4.9 AnwendungcndcrVcktorrcchnung indcranalytischcnGeometric 140
4.JO Zusatzfichc Beispicle 152
4.11 Aufgabcn . 171
5 EtementareanetyttscheOeometrle 175
5.1 Koordinatensystcmc . 175
5.2 Koordiuatemransformauoninder xy-Ebene 180
5.3 Abstandzwischen zweiPunkten 185
5.4 Geradeninder .rj-Ebcne 186
5.5 ZusatzlichcBcispiclc 198
5.6 Aufgahcn . .... 203
6 I>ifTerentialrechnllng 20S
6.1 DefinitionderAblcitung .205
6.2 Ableitungsregeln . 209
6.3 Hoherc Ableitungen . 216
6.4 Ablcitung implizitcrFunktionen 216
6.5 Ablcitunglcgurithmischcr Funktioncn 217
6.6 Ablcitung von Parumctcrfunktioncn . 218
6.7 Entwicklung vonFunktioncn in Potenzreihcn 219
6.8 LinearisicrungeinerFunktion 222
6.9 Regel von I'Hospital 224
6.10 Krummungsradiuseincr Kurvc 225
6.11 LokaleExtrcrnwcrtc eincrFunktion 227
6.12 Newton-Verfuhren furNutlsretlenbestimmung 230
6.13 Zusatzlichc Bcispielc 235
6.14 Tcchnische Anwendungen 245
6.15 Aufgabcn . 256
7 Ditferentiatrechnung fiir muhivariable Funktlonen 263
7.1 Einleitung . 263
7.2 Panielle Abtcitung einerFunktionvonzwei Variablen. 266
7.3 Particllc Ablcuung cinerFunktion von II unabhangigcnVariablcn 271
7.4 Dastotalc Differential . 274
7.5 lmplizite Ableitung . 281
7.6 Skalarfelder,Skalarfunktioncn 285
lnhultsverzeichnis IX
7.7 Gradient . . 286
7.8 Richtungsableitung . .291
7.9 Nivcuulinienund Nivcuuflachcn . 294
7.10 ExtrcmwcrtcvonFunktioncnmchrcrcr Variablcn . 300
7.11 Zusatzlichc Bcispiclc . · 305
7.12 Technischc Anwendungsbcispiele . 324
7.13 Aufgabcn . . .. .. . 329
8 Intcgratrechnung 335
8.1 Unbcstimmtes Integral . 336
8.2 BcsummtcsIntegral . · 342
8.3 Numerische Integration · 347
8,4 Geometrische Auwenduugender Intcgralrechnung .356
8.5 Technische AnwcndungenderIntegralrccbnung . 369
8.6 Zusatzlichc Bcispiclc · 378
8.7 Aufgabcn . · 398
9 Oewohntlche Dtnerennatgfetchungen 403
9.1 Einfuhrung . . 403
9.2 Definitionen furDifferentialgleichungen . 406
9.3 Lcsung cincrDilTerentialglcichung . . 409
9,4 Allgemeine.spczicllc und parnkularc Losung . 41I
9.5 Losungsstrarcgie flirein physikalischcs Problem . · 413
9.6 Diffcrcnnalgfcichungcn I. Ordnung . . 414
9.7 Zusatzlichc Bcispiclc fur lineareDGLn I.Ordnung · 433
9.8 Lineare Dtfferenrlalgleichungen 2.Ordnung ... . . 453
9.9 Zusatzlichc Bcispiclc fur lincarc DGLn 2.Ordnung . 466
9.10 Anwcndungsbeispielc ausdcr Strukturdynamik . 470
9.11 weitere technische Auwendungsbeispiele · 482
9.12 Aufgabcn . . 489
10 Stuchastik 493
10.1 Deskriptive Statistik . . 494
10.2 Elemenrare Wahrschcinlichkeirsthcoric . . 504
10.3 ZufaJlsvariabJc . . · 513
10,4 Verteilungsfunktion F(x) . · 515
10.5 Dichtcfunktion J(x) . .516
10.6 Mabzahlcneincr stctig vertetltcnZufallsvariable . · 518
10.7 Normalvcrtcilung . . .520
10.8 Weitere Verteilungen · 525
10.9 Zusarzliche Beispiclc . 527
10.10 Aufgabcn . · 531
II Elgenwertaufgaben 533
IJ.I EinfLihrung · 533
X lnhahsverzeichnis
1.2 Spezicllc und allgemeine Eigcnwcrtaufgabc · 534
1.3 Losungdcr spczicllcn Eigcnwcrtaufgubc . . · 536
1.4 Losung dcr allgcmcincn Eigcnwcrtaufgabc . 540
1.5 Zusiitzliche Bcispielc · 543
1.6 Aufgabcn . · 545
1.7 KenngroueneincrMatrix und Eigenwerte . · 547
1.8 Numerische Methoden fiirEigenwertaufgabcn . · 552
1.9 Mises-lterationsverfahren(Power-Methode) . . · 553
1.10 Inverse Iteration (Modifizienes Mises-Iterationsverfahren] . 560
1.11 Inverse Iteration beiSchwingungsproblemen . 564-
1.12 Inverse Iteration bciStabilitatsaufgabcu · 571
1.13 Zusatzlichc Bcispic!c . · 573
1.14 Aufgabcn . · 576
12 Losungvonnichtlinearen Gleichungen 579
12.1 Regula Falsi . 579
12.2 Fixpunkt-lteratiou . . · 583
12.3 Zusatzfiche Beispiele · 587
12.4 Aufgabcn . .590
13 Losungsvertahren fUr ttneare Gldchungssysteme 591
13.1 Ltl-Paktonsierung . · 591
13.2 Cholesky-Verfahren . · 597
13.3 Gauss-Scidcl-vcrfahrcn . . 599
13.4 Zusatzlichc Beispiclc . 603
13.5 Aufgabcn . . 604
14 Numerische Losung von Dtnerenttatgleichungen 605
14.1 Diffcrentialgleichungen 1.Ordnung .605
14.2 Zusatzfiche Beispiefe .609
14.3 Aufgaben . . 612
15 Fourier-Reihen 613
15.1 EinfLihrung · 613
15.2 Fourier-Reihcn . · 615
15.3 Fourier-Rcihengerader und ungcrudcrFunktioncn . · 625
15.4 Fourier-Reiheeiner bcrcichsweisc dcfinicrtcnFunktion · 628
15.5 Aufgabcn . · 632
16 Parfielle DiITerentialgleichungen 635
16.1 Einfuhrung . · 635
16.2 Bicgcschwingungcncines Balkens · 635
16.3 Axialschwingungeneincs Stabs . .644
16.4 Schwingungcncines SeilsodcrcinerSuite . 649
16.5 Plunenbicgung · 653
16.6 Aufgabcn . .654
lnhultsverzeichnis XI
17 Komplexe Zahlen 657
17.1 Einfllhrung . 657
17.2 Algebraische Operattonen mitkomplexen Zahlen: . . 661
17.3 Aufgabcn . . 663
18 Mathematik mit Maple 665
18.1 EinlUhrung inMaple . 666
18.2 Elemcmar-Mathcmatik . . 673
18.3 LincarcAlgebra . . . 676
18.4 Vcktorrechnung . . . . . . 679
18.5 Differentiulrechnung . . . 681
18.6 DifTerentialrcchnungfurmultivariableFunktionen . 685
18.7 Intcgrulrcchnung . . 688
18.8 Gcwohnlichc Diffcrcntiulglcichungen . 690
18.9 Eigenwerte . . . . . . . . 692
18.10 NichtlinearcGlcichungen . . 699
18.11LinearcGfcichungssystcrnc . 700
18.12 0ifTerentialglcichungen . . . 702
18.13 Fourier-Reihen . . . . . . . . 704
18.14 Panielle Differcntialglcichungen . . 705
19 Mathematik mit C++ 707
19.1 EinlUhrung .... . 707
19.2 DcrC++ Compiler . 708
19.3 Ableitungeiner Funktion . 709
19.4 Newton-Verfahrcn . . 710
19.5 Lincare Algebra . . . 710
19.6 lmcgrelrcchnung . . 712
19.7 Fuute-Elcrnente-Mcthodc - FEM . 712
Anhang 717
A Ausgewahlte Fnrmeln und Beziehungen 719
A.I Trigonometrische Funktioncn . . 719
A.2 Arkusfunktioncn . 721
A.3 Hypcrbclfunktionen . . 721
AA Ablcitungcnclcmentarcr Funktioncn . 722
A.5 Unbestimmte Integrale . . . 723
A.6 Einigcbcstimmte Integrale . . 731
A.7 vcrschtcdcncAusdrucke . 732
A.S Vcrtcilungsfunktion dcr Normalvertcilung . 733
A.9 Verschicdcne KcnstanrenundSyrnbole . . 738
Literaturverzeichnis 739
