Table Of ContentPeter Hartmann
Mathematik fur Informatiker
Aus dem Programm _____________ _____
Mathematikjlnformatik
Diskrete Mathematik
von M. Aigner
Diskrete Mathematik fur Einsteiger
von A. Beutelspacher und M.-A. Zschiegner
Lineare Algebra
von A. Beutelspacher
Moderne Verfahren der Kryptographie
von A. Beutelspacher, J. Schwenk und K.-D. Wolfenstetter
Verschlusselungsalgorithmen
von G. Brands
Einfuhrung in die Computergraphik
von H.-J. Bungartz, M. Griebel und Ch. Zenger
Grundlegende Algorithmen
von V. Heun
Mathematik fur Informatiker
von P. Hartmann
Aigebraische Grundlagen der Informatik
von K.-U. Witt
Grundlagen der Theoretischen Informatik mit Anwendungen
von G. Vossen und K.-U. Witt
vieweg ________________- ---'
Peter Hartmann
Mathematik fiir
Informatiker
Ein praxisbezogenes Lehrbuch
~
vleweg
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Ein Titeldatensatz fur diese Publikation ist bei
der Deutschen Bibliothek erhiiltlich.
Prof. Dr. Peter Hartmann
Fachhochschule Landshut
Fachbereich Informatik
Am Lurzenhof 1
84036 Landshut
E-Mail: [email protected]
1. Auflage August 2002
Aile Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft, BraunschweiglWiesbaden, 2002
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Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
ISBN 978-3-528-03181-7 ISBN 978-3-322-91809-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-91809-3
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Vorwort
Informatik ist ein Kunstwort der deutschen Sprache, in dem die W orte Information und
Mathematik stecken. Die Mathematik ist eine wesentliche Wurzel der Informatik: In allen
ihren Bereichen werden immer wieder mathematische Methoden verwendet, mathemati
sche Vorgehensweisen sind typisch fUr die Arbeit des Informatikers. Ich glaube, dass der
engen Verzahnung der beiden Disziplinen in den Lehrbuchem bisher zu wenig Aufmerk
samkeit gewidmet wird.
Dieses Buch enthliIt die wesentlichen Gebiete der Mathematik, die flir das Verstandnis
der Informatik benOtigt werden. Dariiber hinaus stelle ich fiir die mathematischen
Techniken immer wieder konkrete Anwendungen in der Informatik vor. So wird etwa die
Logik zum Testen von Programmen verwendet, Methoden der linearen Algebra werden
in der Robotik und der graphischen Datenverarbeitung eingesetzt. Die Theorie algebrai
scher Strukturen erweist sich als nutzlich beim Hashing, in der Kryptographie und zur
Datensicherung. Die Differenzialrechnung wird benutzt um Interpolationskurven zu
berechnen, die Fourierentwicklung spielt eine wichtige Rolle bei der Datenkompression.
An vielen weiteren Stellen werden Verbindungen zwischen Mathematik und Informatik
aufgedeckt.
In der Darstellung geht es mir dabei nicht nur um die Ergebnisse, ein wichtiges Ziel ist
das Einuben mathematischer Methoden bei der Uisung von Problemen. Die Tlitigkeit des
Informatikers verlangt das gleiche analytische Herangehen an Aufgabenstellungen.
Das Buch ist in erster Linie fUr Studenten der Informatik an Fachhochschulen zur
Begleitung ihrer Mathematikvorlesungen gedacht. Die Darstellung ist praxisorientiert
und zeigt immer wieder auf, wie die Mathematik in der Informatik angewendet wird. Es
stellt daher auch eine sinn volle Erganzung der Mathematikausbildung von Informatikem
an Universitaten und technischen Hochschulen dar. Ich lege viel Wert auf die Motivation
der Ergebnisse, die Herleitungen sind ausfiihrlich, und so eignet sich das Buch gut zum
Selbststudium. Praktiker, die nach der Mathematik suchen, die ihren Anwendungen zu
Grunde liegt, k6nnen es zum Nachschlagen verwenden. Wie auch immer Sie das Buch
aber einsetzen, denken Sie daran: Genauso wie Sie eine Programmiersprache nicht durch
das Lesen der Syntax lemen k6nnen, ist es unm6glich Mathematik zu verstehen ohne mit
Papier und Bleistift zu arbeiten.
In den drei Teilen des Buches behandle ich diskrete Mathematik und lineare Algebra, die
Analysis und schlieBlich die Grundzuge von Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik.
Der numerischen Mathematik habe ich keinen eigenen Abschnitt gewidmet, die wichtigs
ten numerischen Verfahren werden jedoch jeweils an der Stelle vorgestellt, an der die
dazugehOrige Theorie entwickeIt wird. Innerhalb eines Kapitels sind die Definitionen und
Slitze fortlaufend durchnummeriert, eine zweite fortlaufende Nummerierung in runden
Klammem erhalten Formeln, auf die spliter Bezug genommen wird.
Jedes Kapitel enthlilt Ubungsaufgaben, teils zum Rechnen auf Papier, teils zum Pro
grammieren, die der Vertiefung des vorgestellten Stoffes dienen, und auch eine Lernkon
trolle darstellen sollen. Die Aufgaben sind gr6Btenteils nicht allzu schwer; wenn Sie das
entsprech~nde Kapitel durchgearbeitet haben, sollten Sie in der Lage sein, die meisten der
VI
dazugehOrigen Aufgaben zu lOsen. Auf der Webseite www.th-landshut.de/publications/mfi
finden Sie L6sungsvorschliige zu den Aufgaben.
Meinen Kollegen am Fachbereich Informatik der Fachhochschule Landshut habe ich
immer wieder Abschnitte des Buches zur kritischen Durchsicht gegeben. Ich bedanke
mich bei ihnen, vor allem bei Ludwig Griebl, der groBe Teile sorgfliltig gelesen hat und
mir mit vielen Tipps geholfen hat. Auch bei meiner Familie bedanke ich mich sehr
herzlich: Renate und Felix haben mir den Freiraum geschaffen, ohne den ich dieses
Vorhaben nicht hiitte durchfUhren k6nnen.
SchlieBlich, nicht zuletzt, gilt mein Dank allen Studentinnen und Studenten, die durch
ihre Mitarbeit, ihre Fragen und Diskussionen in vielen Unterrichtsveranstaltungen der
letzten Jahre den Inhalt des vorliegenden Buches wesentlich beeinflusst haben.
Lemen klappt am besten, wenn es Freude macht. Dieses Buch solI Ihnen helfen, die
Mathematik in ihrem Studium nicht nur als notwendiges Obel zu sehen. Ich wiinsche mir,
dass Sie herausfinden, dass die Mathematik fUr Sie ntitzlich ist, und dass sie gelegentlich
auch spaS machen kann.
Ich freue mich tiber Ihre Rtickmeldungen zu diesem Buch. Bitte schreiben Sie mir,
welche Informatikbeztige Ihnen fehlen, und auch was Sie fUr tiberfltissig halten. Teilen
Sie mir vor allem entdeckte Fehler mit, auf der Seite www.th-Iandshut.de/publications/mfi
werde ich eine Liste der Korrekturen ver6ffentlichen.
Landshut, im Juli 2002,
Peter Hartmann
Inhaltsverzeichnis
Teil I: Diskrete Mathematik und Iineare Algebra 5
1 Mengen und Abbildungen 6
1.1 Mengenlehre 6
1.2 Relationen 13
1.3 Abbildungen 16
1.4 Ubungsaufgaben 24
2 Logik 25
2.1 Aussagen und Aussagevariablen 25
2.2 Beweisprinzipien 33
2.3 Die Pradikatenlogik 36
2.4 Logik und Testen von Programmen 39
2.5 Ubungsaufgaben 43
3 Natiirliche Zahlen, vollstandige Induktion, Rekursion 44
3.1 Die Axiome der nattirlichen Zahlen 44
3.2 Die vollstandige Induktion 45
3.3 Rekursive Funktionen 50
3.4 Ubungsaufgaben 55
4 Etwas Zahlentheorie und Kryptographie 56
4.1 Kombinatorik 56
4.2 Teilbarkeit und Euklid'scher Algorithmus 61
4.3 Restklassen 66
4.4 Hashing 69
4.5 Kryptographie 72
4.6 Ubungsaufgaben 78
5 Algebraische Strukturen 79
5.1 Gruppen 80
5.2 Ringe 83
5.3 Korper 86
5.4 Polynomdivision 91
5.5 Homomorphismen 97
5.6 Ubungsaufgaben 100
6 Vektorraume 101
6.1 Die Vektorraume ll~.z, ~3 und ~n. 101
6.2 Vektorraume 104
6.3 Lineare Abbildungen 107
6.4 Lineare Unabhangigkeit 111
6.5 Basis und Dimension von Vektorraumen 113
6.6 Koordinaten und lineare Abbildungen 117
6.7 Ubungsaufgaben 123
2
7 Matrizen 124
7.1 Matrizen und lineare Abbildungen im ffi.2 124
7.2 Matrizen und lineare Abbildungen von K"~K"' 130
7.3 Der Rang einer Matrix 136
7.4 Ubungsaufgaben 140
8 Gau8'scher Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 142
8.1 Der GauB'sche Algorithmus 142
8.2 Berechnung der Inversen einer Matrix 146
8.3 Lineare Gleichungssysteme 148
8.4 Probleme numerischer Berechnungen 154
8.5 Ubungsaufgaben 159
9 Eigenwerte, Eigenvektoren und Basistransformationen 160
9.1 Determinanten 160
9.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 167
9.3 Basistransformationen 174
9.4 Ubungsaufgaben 182
10 Skalarprodukt und orthogonale Abbildungen 183
10.1 Skalarprodukt 183
10.2 Orthogonale Abbildungen 188
10.3 Homogene Koordinaten 193
10.4 Ubungsaufgaben 201
11 Graphentheorie 202
11.1 Grundbegriffe der Graphentheorie 202
11.2 B1tume 206
11.3 Durchlaufen von Graphen 215
11.4 Ubungsaufgaben 219
Teil II: Analysis 221
12 Die reellen Zahlen 222
12.1 Die Axiome der reellen Zahlen 222
12.2 Topologie 227
12.3 Ubungsaufgaben 232
13 Folgen und Reihen 233
13.1 Zahlenfolgen 233
13.2 Reihen 243
13.3 Darstellung reeller Zahlen in Zahlensystemen 248
13.4 Ubungsaufgaben 254
14 Stetige Funktionen 255
14.1 Stetigkeit 255
14.2 Elementare Funktionen 261
14.3 Eigenschaften stetiger Funktionen 268
14.4 Ubungsaufgaben 277
3
15 DitTerenzialrechnung 278
15.1 Differenzierbare Funktionen 278
15.2 Anwendungen der Differenzialrechnung 288
15.3 Potenzreihen 299
15.4 Taylorreihen 303
15.5 Differenzialrechnung von Funktionen mehrerer Veranderlicher 309
15.6 Ubungsaufgaben 314
16 Integralrechnung 316
16.1 Das Integral stiickweise stetiger Funktionen 316
16.2 Integralanwendungen 329
16.3 Fourierreihen 334
16.4 Ubungsaufgaben 342
17 DitTerenzialgleichungen 343
17 .1 Was sind Differenzialgleichungen? 343
17.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung 347
17.3 Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung 351
17.4 Numerische L6sung von Differenzialgleichungen 357
17.5 Ubungsaufgaben 361
Teil III: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 363
18 Wahrscheinlichkeitsraume 364
18.1 Fragestellungen der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 364
18.2 Der Wahrscheinlichkeitsbegriff 369
18.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und unabhangige Ereignisse 375
18.4 Umenexperimente 382
18.5 Ubungsaufgaben 385
19 Zufallsvariable 386
19.1 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen 386
19.2 Erwartungswert und Varianz von Zufallsvariablen 394
19.3 Ubungsaufgaben 401
20 Wichtige Verteilungen 402
20.1 Diskrete Verteilungen 402
20.2 Die Poisson-Verteilung und der Poisson-Prozess 407
20.3 Stetige Verteilungen, die Normalverteilung 413
20.4 Ubungsaufgaben 424
21 Statistische Verfahren 425
21.1 Parameterschatzung 425
21.2 Konfidenzintervalle 430
21.3 Hypothesentest 436
21.4 Ubungsaufgaben 447
22 Anhang 448
Die Standardnormalverteilung 448
Literaturverzeichnis 449
Index 451
5
Teil I
Diskrete Mathematik uDd IiDeare Algebra
