Table Of ContentLeitfäden und Monographien der Informatik
Brauer: Automatentheorie
493 Seiten. Geb. DM 62,-
Dal Cin: Grundlagen der systemnahen Programmierung
221 Seiten. Kart. DM 36,-
Ehrich/GogolialLipeck: Algebraische Spezifikation abstrakter Datentypen
In Vorbereitung
Engeler/Läuchli: Berechnungstheorie für Informatiker
120 Seiten. Kart. DM 26,-
Hentschke: GrundzUge der Digitaltechnik
247 Seiten. Kart. DM 36,-
KiyeklSchwarz: Mathematik für Informatiker 1
307 Seiten. Kart. DM 39,BO
LoeckxlMehlhorn/Wilhelm: Grundlagen der Programmiersprachen
44B Seiten. Kart. DM 4B,-
Mehlhorn : Datenstrukturen und effiziente Algorithmen
Band 1: Sortieren und Suchen
2. Aufl. 317 Seiten. Geb. DM 49,BO
:Messe~hmidt: Linguistische Datenverarbeitung mit Comskee
207 Seiten. Kart. DM 36,-
Niemann/Bunke: Künstliche Intelligenz In Bild- und Sprachanalyse
256 Seiten. Kart. DM 3B,-
Pflug: Stochastische Modelle In der Informatik
272 Seiten. Kart. DM 39,BO
Post: Entwurf und Technologie hochintegrierter Schaltungen
247 Seiten. Kart. DM 3B,-
Rammig: Systematischer Entwurf digitaler Systeme
353 Seiten. Kart. DM 46,-
Richter: Betriebssysteme
2. Aufl. 303 Seiten. Kart. DM 39,BO
Richter: Prinzipien der Künstlichen Intelligenz
359 Seiten. Kart. DM 46,-
Weck: Prinzipien und Realisierung von Betriebssystemen
3. Aufl. 306 Seiten. Kart. DM 42,-
Wegener: Effiziente Algorithmen für grundlegende Funktionen
270 Seiten. Kart. DM 39,BO
Wirth: Algorithmen und Datenstrukturen
Pascal-Version
3. Aufl. 320 Seiten. Kart. DM 42,-
Wi rth: Algorithmen und Datenstrukturen mit Modula -2
4. Aufl. 299 Seiten. Kart. DM 42,-
Wojtkowiak: Test und Testbarkeit digitaler schaltungen
226 Seiten. Kart. DM 36,-
Preisänderungen vorbehalten
B. G. Teubner Stuttgart
Leitfäden und Monographien
der Informatik
K. Kiyek/F. Schwarz
Mathematik für Informatiker 1
Leitfäden und Monographien
der Informatik
Herausgegeben von
Prof. Dr. Hans-Jürgen Appelrath, Oldenburg
Prof. Dr. Volker Claus, Oldenburg
Prof. Dr. Günter Hotz, Saarbrücken
Prof. Dr. Klaus Waldschmidt, Frankfurt
Die Leitfäden und Monographien behandeln Themen aus der Theoreti
schen, Praktischen und Technischen Informatik entsprechend dem aktuel
len Stand der Wissenschaft. Besonderer Wert wird auf eine systematische
und fundierte Darstellung des jeweiligen Gebietes gelegt. Die Bücher die
ser Reihe sind einerseits als Grundlage und Ergänzung zu Vorlesungen der
Informatik und andererseits als Standardwerke für die selbständige Einar
beitung in umfassende Themenbereiche der Informatik konzipiert. Sie
sprechen vorwiegend Studierende und Lehrende in Informatik-Studien
gängen an Hochschulen an, dienen aber auch in Wirtschaft, Industrie und
Verwaltung tätigen Informatikern zur Fortbildung im Zuge der fortschrei
tenden Wissenschaft.
Mathematik für
Informatiker 1
Von Prof. Dr. rer. nato Karl-Heinz Kiyek
und Dr. rer. nato Friedrich Schwarz
Universität-Gesamthochschule Paderborn
EB
B. G. Teubner Stuttgart 1989
Prof. Dr. rer. nato Karl-Heinz Kiyek
Geboren 1936 in Berlin. Studium der Mathematik, Physik und Astronomie in
Würzburg. Promotion in Mathematik 1963 (Würzburg), Habilitation in
Mathematik 1969 (Saarbrücken), 1971 Professor an der Universität des Saar
landes. Seit 1973 Professor an der Universität-Gesamthochschule Pader
born.
Dr. rer. nat. Friedrich Schwarz
Geboren 1937 in Hartmanitz. Studium der Mathematik, Physik und Astrono
mie in Würzburg. Promotion in Mathematik 1966 (Würzburg), von 1965 bis
1974 Assistent und Akademischer Rat (Universität Saarbrücken). Seit 1974
Akademischer überrat an der Universität-Gesamthochschule Paderborn.
CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Kiyek. Karl-Heinz:
Mathematik für Informatiker / von Karl-Heinz Kiyek U.
Friedrich Schwarz. - Stuttgart : Teubner.
(Leitfllden und Monographien der Informatik)
NE: Schwarz, Friedrich:
1(1989)
ISBN 978-3-519-02277-0 ISBN 978-3-322-93079-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-93079-8
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jeder Verwertung außer
halb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig
und strafbar. Das gilt besonders für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und
die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
© B. G. Teubner Stuttgart 1989
Gesamtherstellung: Zechnersche Buchdruckerei GmbH, Speyer
Umschlaggestaltung: M. Koch. Reutlingen
Vorwort
Die beiden Bände "Mathematik für Informatiker", deren ersten wir hiermit vor
legen, beruhen auf einem viersemestrigen Vorlesungskurs, den die beiden Verfasser
in den letzten Jahren an der Universität Paderbom gehalten haben. Die Schwie
rigkeiten einer solchen Vorlesung liegen auf der Hand: Einerseits kann und darf auf
mathematische Exaktheit nicht verzichtet werden, andererseits passen -auch wegen
der Kürze der zur Verfügung stehenden Zeit -zu komplexe mathematische Begriffe
und langwierige Beweise nicht in eine solche Vorlesung. Bei der Planung dieser Vor
lesung versuchten wir, soweit dies möglich war, den algorithmischen Standpunkt in
den Vordergrund zu stellen. Bei den Beweisen wurde, wann immer dies möglich war,
einer konstruktiven Version der Vorzug gegeben. So enthält dieses Buch manche
Details, die üblicherweise in den Rahmen einer Numerikvorlesung fallen.
Nach dem einleitenden Kapitell behandelt Kapitel 2 die Grundlagen der Ma
trizenrechnungj die Kapitel 3 -6 stellen Hilfsmittel aus der Analysis bereit. Kapitel
2 und Kapitel 3 - 6 sind voneinander unabhängig und können auch in umgekehrter
Reihenfolge studiert werden.
Zur Zitierweise: Innerhalb eines Kapitels werden die einzelnen Abschnitte in
der Form (1.1) zitiert, Formelnummern in der Form (1.1.1). Verweise auf andere
Kapitel geschehen in der Form 1(1.1).
Am Schluß werden die Lehrbücher aufgeführt, auf die im Text hingewiesen
wird. Außerdem werden einige Lehrbücher angegeben, die den Stoff dieses Bandes
vertiefen.
Die beiden ersten Kapitel beruhen im wesentlichen auf einer von Dr. W. Trinks
angefertigten Vorlesungsausarbeitung. Er erstellte auch die Programme für den
Gaußalgorithmus und die LR-Zerlegungj viele Details gehen auf seine Anregungen
zurück. Große Hilfe erfuhren wir während der Vorlesungen von Dr. M. Micus
und Dr. W. Micusj sie unterstützten uns auch beim Lesen der Korrekturen. Die
Zeichnungen wurden von W. Kemper erstelltj bei der 'lEXnischen Durchführung
stand uns o. Kluge mit Rat und Tat zur Seite. Ihnen danken wir. Unser besonderer
Dank gebührt Frau W. Böhmer, die das Manuskript in TROFF und U-TEYC erstellt
hat.
Paderbom, im Mai 1989
K.Kiyek F.Schwarz
Inhaltsverzeichnis
Kapitel I: Grundbegriffe 1
§1 Mengen 1
§2 Abbildungen 7
§3 Grundbegriffe der Algebra 11
§4 Vollständige Induktion; Anfänge der Kombinatorik 21
§5 Elementare Zahlentheorie 34
§6 Die komplexen Zahlen 45
§7 Potenzreihenringe 47
§8 Polynomringe 58
Kapitel 11: Lineare Algebra 72
§1 Das Rechnen mit Matrizen 72
§2 Der Gaußche Algorithmus 79
§3 Lineare Gleichungssysteme I 90
§4 Unterräume 97
§5 Lineare Gleichungssysteme 11 104
§6 Numerische Aspekte bei linearen Gleichungssystemen 110
§7 Lineare Geometrie 122
§8 Determinanten 132
Kapitel 111: Folgen und Reihen 1
§1 Folgen 147
§2 Reihen 158
§3 Potenzreihen 171
Kapitel IV: Stetige Funktionen 181
§1 Grenzwerte von Funktionen 181
§2 Stetige Funktionen 193
§3 Die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion 198
§4 Die trigonometrischen Funktionen 203
Kapitel V: Differentialrechnung 209
§1 Die Ableitung 209
§2 Höhere Ableitungen und Taylor-Reihen 221
§3 Taylor-Reihen für elementare Funktionen 230
§4 Berechnung von Nullstellen 237
Kapitel VI: Integralrechnung 247
§1 Stammfunktionen 247
§2 Die Stammfunktionen rationaler Funktionen 253
§3 Das bestimmte Integral 257
§4 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 263
§5 Uneigentliche Integrale 270
§6 Berechnung von 'Ir 286
Literaturverzeichnis 291
Namen- und Sachverzeichnis 292
Inhalt des zweiten Bandes
KapVII Numerik
KapVIII Eigenwerte
KapIX Differential-und Differenzengleichungen
KapX Lineares Optimieren
Kap XI Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
KapXII Vektorräume und lineare Abbildungen
KapXIII Grundbegriffe der Algebra
KapXIV Zahlentheorie
KapXV Polynomringe und Körpertheorie
Kapitel I: Grundbegriffe
§1 Mengen
(1.0) In den ersten bei den Paragraphen werden vom Standpunkt der naiven Men
genlehre aus die Begriffe Menge und Abbildung und damit zusammenhängende
weitere Begriffe erläutert. Die Sprechweise der naiven Mengenlehre wird im ganzen
Buch benutzt werden.
(1.1) Unter einer Menge M versteht man eine Zusammenfassung von Objekten.
Gehört ein Objekt x zur Menge M, so schreibt man x e M und sagt: "x ist ein
Element von M", "x liegt in M", usW.j gehört ein Objekt y nicht zur Menge M,
so schreibt man y rt. M und sagt: "y ist nicht Element von M" oder "y liegt nicht
inM".
(1.2) (1) Man kann eine Menge dadurch beschreiben, daß man alle ihre Elemente
angibt. Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge des Anschreibens anj man darf
auch ein Element mehrmals anschreiben.
Beispiel: Die Menge, deren Elemente die Zahlen 1, 4, 8 und 9 sind, schreibt
man so auf:
M = {1,4,8,9} = {1,9,8,4} = {1,1,9,4,1,8,9}.
(2) Man kann eine Menge dadurch beschreiben, daß man charakterisierende Eigen
schaften ihrer Elemente angibt, zum Beispiel
IN {1,2,3,4, ... } = {x I x ist eine nJl.türliche Zahl},
~ { ... , -3, -2, -1,0,1,2,3, ... } = {x I x ist eine ganze Zahl},
Q = {x I x ist eine rationale Zahl} ,
rn. {x I x ist eine reelle Zahl} ,
INo = {0,1,2,3, ... }
{x I x ist Null oder eine natürliche Zahl}
= {x I x e ~ und x ;::: O}
= {xe~lx;:::O},
{1,3,5, 7, 9, ll} = {x e IN I x:5 12, x ungerade}.
(3) Die Menge, die kein Element enthält, wird die leere Menge genanntj sie wird
mit 0 bezeichnet.
(1.3) DEFINITION: Es seien M und N Mengen.
(1) Ist jedes Element von M auch Element von N, so schreibt man M C N oder
=
N :::> M und sagt: "M ist eine Teilmenge von N". [Dabei darf auch M N sein.]
(2) Wenn M keine Teilmenge von N ist [d.h. wenn es (mindestens) ein xe M gibt
mit x rt. N], so schreibt man M rt N .
(3) Wenn Meine Teilmenge von N ist und wenn M I- N ist, so schreibt man
M $i N und sagt: "M ist eine echte Teilmenge von N".
2 Grundbegriffe
(1.4) BEISPIELE: (1) Für jede Menge M gilt 0 C Mund M C M.
(2) Sind Mund N Mengen und gilt M c N und N C M, so ist M = N.
(3) Die Menge {x E 'lJ, 12 teilt x} aller geraden ganzen Zahlen ist eine echte Teil
menge von 'Jl,.
(4) Es gilt IN ~ INo und INo ~ 'Jl, und 'lJ, ~ Q. Man schreibt kurz:
(5) Es gilt Q = {x E IR 1 es existieren a E 'Jl" bEIN mit x = alb} C IR. Es gilt
sogar Q ~ IR.
Beweis: Zuerst wird gezeigt, daß die reelle Zahl V2 irrational ist, d.h. daß V2 ct. Q
[V2
gilt. ist die positive reelle Zahl, deren Quadrat 2 ist. Zu jeder reellen Zahl
x ;::: 0 gibt es eine eindeutig bestimmte Quadratwurzel Vx E IR, d.h. eine eindeutig
bestimmte reelle Zahl;::: 0, deren Quadrat gleich x ist. Dies wird später mit Mitteln
der Analysis in aller Strenge bewiesen werden, vgl. 111(1.18).]
Annahme: Es gilt V2 E Q. Dann gibt es a E 'lJ, und bEIN mit V2 = alb. Sind a
und b beide gerade, so kann man im Bruch alb mit 2 kürzen. Dies kann man solange
tun, bis man im Zähler oder im Nenner bei einer ungeraden Zahl angekommen ist.
Man erhält also Zahlen ao E 'Jl, und bo EIN, von denen mindestens eine ungerade
ist, mit V2 = aolbo. Dann gilt 2 = (V2)2 = a5lb~, also a~ = 2b~, und daher ist a~
gerade. Weil das Qua:drat einer ungeraden ganzen Zahl stets ungerade ist, ist daher
ao gerade, d.h. es existiert ein al E 'Jl, mit ao = 2al' Dann gilt 2b~ = (2ad2 = 4ai
und daher b~ = 2ai. Also ist b~ gerade, und wie eben folgt: bo ist gerade. Damit ist
gezeigt, daß ao und bo beide gerade sind. Dies steht aber im Widerspruch zu der
Tatsache, daß nach Voraussetzung (mindestens) eine der Zahlen ao und bo ungerade
ist. Daher muß die Annahme V2 E Q falsch sein, und es ist gezeigt, daß V2 ct. Q
ist. Es gilt also Q C IR und V2 E IR, V2 ct. Q, d.h. es ist Q ~ IR.
(1.5) BEMERKUNG: Der Beweis in (1.4)(5) ist ein "indirekter Beweis". Ein solcher
Beweis verläuft so: Man nimmt an, daß das logische Gegenteil der Behauptung
richtig ist. [Die Behauptung in (1.4)(5) heißt V2 ct. Q; das logische Gegenteil davon
ist die Aussage V2 E Q.] Dann folgert man aus dieser Annahme einen Widerspruch
gegen eine Aussage, deren Richtigkeit bekannt ist [in (1.4)(5) gegen die Tatsache,
daß ao oder bo ungerade ist ].
(1.6) BEZEICHNUNG: Es sei M eine Menge. Die Menge
P(M) := {A 1 A C M}
aller Teilmengen von M heißt die Potenzmenge von M.
(1.7) BEISPIELE: (1) Es ist P(0) = {0}; P(0) besteht also aus einem Element.
(2) Für M = {I} gilt P(M) = {0,{1}} = {0,M}.
(3) Für M = {I, 2, 3} gilt
P(M) = {0, {I}, {2}, {3} , {I, 2}, {1,3}, {2, 3}, {I, 2, 3} }.
