Mathematik für Fachschulen Technik

477 Pages·1988·12.618 MB·German

by  Heinz Rapp (auth.), Kurt Mayer (eds.)

Heinz Rapp
Mathematik fur
Fachschulen Technik
Heinz Rapp
Mathematik
fur
Fachschulen Technik
3., Uberarbeitete Auflage
Unter Mitarbeit von Dieter Jonda
Herausgegeben von Kurt Mayer
Friedr. Vieweg & Sohn BraunschweiglWiesbaden
1. Auflage 1983
2., berichtigte Auflage 1987
3., uberarbeitete Auflage 1988
Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Verlagsgruppe Bertelsmann.
Aile Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1988
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Umschlaggestaltung: Hanswerner Klein, Leverkusen
Satz: Vieweg, Wiesbaden
Buchbinderische Verarbeitung: W. Langelliddecke, Braunschweig
ISBN-13: 978-3-528-24214-5 e-ISBN-I3: 978-3-322-90094-4
DOl: 10. I 007/978-3-322-90094-4
v
Vorwort
Mit diesem neuen Werk wird ein Lehrbuch der Mathematik vorgestellt, das ganz auf die
Belange der Praxis abgestimmt ist.
In haltlich umfafH es den gesamten Lehrstoff der Mathematik der Fachschulen fiir Tech
nik, ist aber in seinen wesentlichen Ziigen so gehalten, da~ einer Verwendung in anderen
Schularten, die zu einem mittleren Bildungsabschlu~ (Fachschulreife) fiihren, nichts im
Wege steht.
Der didaktische Leitgedanke war, grundlegende Kenntnisse anwendungsorientiert zu ver
mitteln, ohne dabei die angemessene begriffliche und mathematische Sorgfalt au~er acht
zu lassen.
Dabei wurde eine geeignete Auswahl mathematisch-technischer Aufgaben getroffen, die
speziell fiir Fachschulen von Bedeutung sind. Bewu~t wurde auf Aufgaben aus Physik und
angewandten Gebieten verzichtet, die durch ausfiihrliche Sachklarungen den mathemati
schen Sachverhalt iiberwuchern wiirden.
Die knappe Darstellung und die konsequente Zweispaltigkeit der Buchseiten, bei denen
der erklarende Text der praktischen Ausfiihrung mathematischer Berechnungen gegen
iibergestellt ist, erleichtert das schnelle und griindliche Einarbeiten in das Stoffgebiet.
Viele Aufgabenbeispiele mit Losungsgang erlauben es dem Benutzer, sein Konnen und
Wissen selbst zu iiberpriifen und geben damit einen Anreiz, auch die schwierigeren An
wendungsaufgaben anzugehen. In besonderer Weise eignet sich deshalb das Buch auch
zum Selbststudium.
Heinz Rapp
Bad Cannstatt, im Juni 1983
VI I nhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Teil I: Algebra
Mathematische 8egriffe und Schreibweisen ....................... .
1.1 Zahlen ., ......................................... .
1.1.1 Zahlendarstellung auf der Zahlengeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Mengen.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Aufzahlende Mengenschreibweise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Beschreibende Mengenschreibweise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Mengendiagramme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Beziehungen zwischen Mengen (Mengenrelationen) . . . . . . . . . . 5
1.2.5 Mengenverkniipfungen (Mengenoperationen) . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.6 Gesetze der Mengenverkniipfung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Symbole fiir Relationen und I ntervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13
1.4 Symbole der Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13
1.5 Terme ............................................. 14
2 Rechnen mit Termen ...................................... 14
2.1 Addition .......................................... 14
2.1.1 Addition positiver Zahlen .......................... 14
2.1.2 Addition negativer Zahlen .......................... 16
2.1.3 Addition positiver und negativer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . .. 16
2.2 Subtraktion ........................................ 17
2.3 Rechnen mit Klammerausdriicken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19
2.4 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23
2.4.1 Grundgesetze der Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23
2.4.2 Produkte mit negativen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24
2.4.3 Multiplikation mit Null (Nullprodukt) .................. 26
2.4.4 Multiplikation mit Summentermen (Distributivges.) ......... 26
2.4.5 Multiplikation mit gleichen Summentermen (Binomische For-
meln) ....................................... 28
2.5 Division ........................................... 30
2.5.1 Rationale Zahlen ................................ 30
2.5.2 Erweitern von Bruchtermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32
2.5.3 Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen ............. 33
2.5.4 Kiirzen von Bruchtermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34
2.5.5 Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen . . . . . . . . . . .. 35
2.5.5.1 Vorzeichenregeln bei negativen Briichen . . . . . . . . . .. 35
2.5.5.2 Die Null in Divisionsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36
2.5.5.3 Multiplizieren von Bruchtermen ................ 37
2.5.5.4 Dividieren von Bruchtermen .................. 38
I nhaltsverzeichnis V II
3 Lineare Gleichungen und Ungleichungen ......................... 41
3.1 Aqu ivalenz von Aussageformen ........................... 41
3.2 Losungsverfahren fur lineare Gleichungen ............ . . . . . . . .. 42
3.2.1 Einfache lineare Gleichungen ........................ 44
3.3 Bruchgleichungen .................................... 46
3.4 Gleichungen mit Formvariablen (Formeln) .................... 50
3.5 Lineare Ungleichungen ................................. 55
3.5.1 Begriffskliirung ................................. 55
3.5.2 Aquivalenzumformungen bei Ungleichungen . . . . . . . . . . . . .. 55
3.5.3 Einfache Ungleichungsformen ....................... 57
3.5.4 Bruchungleichungen ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58
3.6 Textliche Gleichungen ................................. 63
3.6.1 Allgemeine textliche Gleichungen ..................... 63
3.6.2 Mischungsaufgaben .............................. 66
3.6.3 Bewegungsaufgaben .............................. 69
3.6.4 Behiilteraufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73
3.6.5 Arbeitsaufgaben ................................ 75
4 Funktionen des 1. Grades ................................... 78
4.1 Der Funktionsbegriff .................................. 78
4.2 Darstellung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79
4.3 Funktionsdarstellung im Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80
4.3.1 Das rechtwinklige Koordinatensystem .................. 80
4.3.2 Das Polarkoordinatensystem ........................ 81
4.4 Funktionsdarstellung von Geraden ......................... 83
4.5 Die lineare Funktion x ..... mx ............................. 84
4.6 Die Funktion 1. Grades mit der Funktionsgleichung y = mx +b (Haupt-
form der Geradengl.) .................................. 86
4.7 Andere Formen der Geradengleichung ....................... 88
4.7.1 Punkt-Steigungs-Form ............................ 88
4.7.2 Zwei-Punkte-Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 88
4.7.3 Achsenabschnittsform ............................ 89
4.7.4 Hesse-Form der Geradengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90
4.8 Winkel zwischen Geraden ............................... 94
4.8.1 Winkel zwischen Gerade und x-Achse (Steigung und Steigungs-
winkel) ...................................... 94
4.8.2 Schnittwinkel zweier Geraden ....................... 95
4.9 Orthogonalitiit bei Geraden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96
4.10 Graphische Darstell ung linearer Zusammenhiinge. . . . . . . . . . . . . . . .. 99
5 Lineare Gleichungssysteme mit mehreren Variablen .................. 102
5.1 Graphisches Losungsverfahren bei Gleichungen mit zwei Variablen .... 102
5.2 Rechnerische Losungsverfahren bei Gleichungen mit zwei Variablen ... 104
5.2.1 Das Gleichsetzungsverfahren ........................ 104
5.2.2 Das Einsetzungsverfahren .......................... 104
5.2.3 Das Additionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 105
5.2.4 Gleichungssysteme mit Bruchtermen ................... 109
5.3 Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen ... . . . . . . . . . . . . . .. 111
VIII I nhaltsverzeichnis
5.4 Textaufgaben mit zwei Variablen .......................... 114
5.4.1 M ischungsaufgaben .............................. 114
5.4.2 Bewegungsaufgaben .............................. 115
5.4.3 Behiilteraufgaben ..................... . . . . . . . . . .. 116
5.4.4 Vermischte Aufgaben ............................. 118
6 Lineare Ungleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 123
7 Lineares Optimieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 125
8 Potenzen .............................................. 134
8.1 Potenzbegriff ....................................... 134
8.2 Potenzrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 135
8.2.1 Addition und Subtraktion von Potenzen ................ 135
8.2.2 Multiplikation von Potenzen ........................ 135
8.2.2.1 Potenzen mit gleicher Basis ................... 135
8.2.2.2 Potenzen mit gleichem Exponenten . . . . . . . . . . . . .. 136
8.2.3 Division von Potenzen ............................ 136
8.2.3.1 Potenzen mit gleicher Basis ................... 136
8.2.3.2 Potenzen mit gleichem Exponenten . . . . . . . . . . . . .. 137
8.2.4 Potenzieren von Potenzen .......................... 138
8.2.5 Erweiterung des Potenzbegriffs auf Potenzen mit ganzen negati-
ven Hochzahlen, auf aO und a1 .............•....••••• 138
8.3 Besondere Potenzen (Zehnerpotenzen) ...................... 141
8.4 Potenzen von B inomen ................................. 143
9 Potenzfunktionen ........................................ 146
9.1 Die Funktionx ..... xn (nEINI ............................. 147
9.1.1 Achsensymmetrische Parabeln (n gerade) ................ 147
9.1.2 Punktsymmetrische Parabeln (n ungerade) ............... 147
9.2 Die Funktionen xr.x-n (n E IN) .......................... 148
9.2.1 Punktsymmetrische Hyperbeln (n ungerade) .............. 148
9.2.2 Achsensymmetrische Hyperbeln (n gerade) ............... 148
10 Wurzeln ............................................... 149
10.1 Wurzelbegriff ....................................... 149
10.1.1 Ouadratwurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 149
10.1.1.1 Der Wurzelwert als positive Zahl . . . . . . . . . . . . . . .. 150
10.1.1.2 Wurzeln als irrationale Zahlen ................. 150
10.1.2 Der Allgemeine Wurzelbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 152
10.2 Rechnen mit Wurzeltermen .............................. 156
11 Ouadratische Gleichungen ................................... 160
11.1 Rechnerische L6sung quadratischer Gleichungen ................ 161
11.1.1 Reinquadratische G leichungen ....................... 161
11.1.2 Gemischtquadratische Gleichungen ohne Absolutglied (Defekt-
quadratische Gleichungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 163
11.1.3 Gemischtquadratische Gleichungen .................... 163
11.1.4 Koeffizientenregel von Vieta ........................ 166
11.1.5 BiquadratischeGleichungen ......................... 170
11.2 Ouadratische Gleichungssysteme mit mehreren Gleichungsvariablen 170
11.3 Textaussagen, die auf quadratische Gleichungen fiihren . . . . . . . . . . .. 173
I nhaltsverzeichnis IX
12 Ouadratische Funktionen 177
12.1 Die allgemeine quadratische Funktion xt-ax2 + bx + c und ihre graphische
Darstellung ....................................... " 178
12.2 Die Scheitelform der quadratischen Funktionsgleichung ........... 181
12.3 Graphische L6sung quadratischer Gleichungen ................. 185
13 Wurzelfunktionen ........................................ 187
13.1 Quadratwurzelfunktionen ............................... 187
13.2 Wurzelfunktionen h6herer Ordnung ........................ 191
14 Wurzelgleichungen ........................................ 193
14.1 Wurzelgleichungen mit einer Varia bien (Quadratwurzelgleichungen) ... 193
14.2 Wurzelgleichungen mit zwei Variablen ....................... 198
15 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 200
15.1 Die allgemein Exponentialfunktion ......................... 200
15.2 Die e·Funktion ...................................... 204
16 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 208
16.1 Logarithmenbegriff ................................... 208
16.2 Logarithmensysteme .................................. 210
16.2.1 Zehnerlogarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 210
16.2.2 Naturliche Logarithmen ........................... 211
16.3 Das Rechnen mit Logarithmen ............................ 213
16.3.1 Logarithmengesetze .............................. 213
16.3.2 Logarithmische Berechnung von Termen ................ 215
17 Logarithmusfunktionen .................................... 217
17.1 Die allgemeine Logarithmusfunktion ........................ 217
17.2 Die naturliche Logarithmusfunktion ........................ 219
18 Exponentialgleichungen .................................... 220
19 Kreisgleichungen ......................................... 225
19.1 M ittelpunktgleichung eines Kreises ......................... 225
19.2 Allgemeine Kreisgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 226
19.3 KreisundGerade ..................................... 228
20 Das Dualsystem .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 231
20.1 Umwandlung von Dezimalzahlen in Dualzahlen ................. 232
20.2 Rechnen mit Dualzahlen ................................ 233
20.3 Das Dezimal-Dual-System (BCD-Code) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 235
21 Schaltalgebra ........................................... 236
21.1 Grundfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 236
21.2 Rechengesetze der Schaltalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 238
21.3 Darstellung von Verknupfungsgliedern im Signalschaltplan . . . . . . . . .. 241
x
I nhaltsverzeichnis
Teil II: Geometrie
Mathematische Abkiirzungen und Bezeichnungen 246
2 Grundbegriffe der Geometrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 246
2.1 Linien............................................. 247
2.2 Geometrische Grundfiguren ............................. , 247
3 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 249
3.1 WinkelmaBe ........................................ 249
3.2 Winkelarten ........................................ 251
3.3 Winkel am Dreieck .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 252
4 Geometrische Konstruktionen 256
4.1 Geometrische Ortslinien ................................ 256
4.1.1 Definition .................................... 256
4.1.2 Arten von Ortslinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 256
4.2 Besondere Dreiecke - Symmetrische Dreiecke ................. 260
4.3 Kongruenz bei Dreiecken ............................... 262
4.4 Grundkonstruktionen von Dreiecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 264
4.5 Besondere Linien und Punkte im Dreieck ..................... 268
5 Dreieckskonstruktionen .................................... 278
6 Flachensatze am rechtwinkligen Dreieck ......................... 286
6.1 Satz des Pythagoras ................................... 286
6.2 Kathetensatz (Euklid) ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 297
6.3 H6hensatz ......................................... 299
7 Gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke 303
7.1 Berechnung des gleichschenkligen Dreiecks ................... . 303
7.2 Berechnung des gleichseitigen Dreiecks ..................... . 304
8 Ahnlichkeit und Strahlensatze ............................... . 310
8.1 Strahlensatze ............................. '. . . . . . . . .. 310
8.2 Streckenteilung und Mittelwerte ........................... 318
8.3 Stetige Teilung (Goldener Schnitt) ......................... 321
9 Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck ...................... 326
9.1 Seitenverhaltnisse als Winkelfunktionen ...................... 326
9.2 Definitionen der Winkelfunktionen ......................... 327
9.3 Langen-und Winkelberechnungen am rechtwinkligen Dreieck ....... 327
9.3.1 Die Sinusfunktion ............................... 327
9.3.2 Die Kosinusfunktion ............................. 329
9.3.3 Die Tangens- und Kotangensfunktion .................. 332
9.4 Zusammenhang zwischen den Winkelfunktionen ................ 340
9.5 Winkelfunktionen beliebiger Winkel ........................ 344
9.6 Die Graphen der Winkelfunktionen ......................... 350
9.6.1 Die Schaubilder der Sinus- und Kosinusfunktion ........... 351
9.6.2 Die allgemeine Sinusfunktion und ihre graphische Darstellung .. 352
9.6.3 Die Schaubilder der Tangens- und Kotangensfunktion . . . . . . .. 355
I nhaltsverzeichnis XI
10 Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 357
10.1 Sinussatz .......................................... 357
10.2 Kosinussatz ........................................ 365
10.3 F liichenberechnung des schiefwinkligen Dreiecks ................ 378
11 Summen- und Differenzgleichungen von Winkelfunktionen (Additionstheo-
reme) ................................................ 380
11.1 Funktionen von Winkelvielfachen und Winkelteilen .............. 382
11.2 Gleichungen mit Winkelfunktionen (Goniometrische Gleichungen) .... 383
12 Fliichenberechnung ....................................... 388
12.1 GeradlinigbegrenzteFliichen ............................. 388
12.2 Kreisfbrmig begrenzte Flachen ............................ 392
13 Korperberechnung ........................................ 401
13.1 Prismatische Kbrper ................................... 401
13.2 Pyramidenfbrmige und kegelfbrmige Kbrper ................... 408
13.2.1 Pyramide und Pyramidenstumpf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 408
13.2.2 Kegel und Kegelstumpf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 409
13.3 Kugelfbrm ige Kbrper .................................. 414
13.3.1 Vollkugel ..................................... 414
13.3.2 Kugelteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 417
13.3.2.1 Kugelabschnitt (Kugelsegment) ................ 417
13.3.2.2 Kugelschicht ............................. 419
13.3.2.3 Kugelausschnitt (Kugelsektor) ................. 421
13.4 Sch iefe Kbrper ...................................... 426
13.4.1 Satz des Cavalieri ................................ 426
13.4.2 Simpsonsche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 428
13.5 Oberflachen und Volumina von Rotationskbrpern (Guldinsche Regel) .. 430
Losungen Teill ............................................. 434
Losungen Teil II ............................................ 451
Sachwortverzeichnis ......................................... , 465