Mathematik für die berufliche Oberschule

403 Pages·2015·5.47 MB·German

by  Walter Schneider (auth.)

Walter Schneider
Mathematik für
die Berufliche
Oberschule
Springer-Lehrbuch
Walter Schneider
Mathematik für die
berufliche Oberschule
WalterSchneider
BeruflicheOberschulePassau
Passau,Deutschland
ISSN0937-7433
ISBN978-3-662-45226-4 ISBN978-3-662-45227-1(eBook)
DOI10.1007/978-3-662-45227-1
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Vorwort
DiesesMathematiklehrbuchistausderIdeeentstanden,diegesamteMathematikderBe-
ruflichen Oberschule (FOS/BOS) in Bayern für die Ausbildungsrichtungen Technik (T)
und Nichttechnik (NT) der Jahrgangsstufen 11–13 kompakt in einem Band zusammen-
zufassen. DamitdecktdiesesBuchdieBereiche:Analysis, AnalytischeGeometriesowie
WahrscheinlichkeitstheorieabundkanndaherauchanGymnasienverwendetwerden.
Ichgebezu,dassdieStoffbündelungfürbeideAusbildungsrichtungennichtimmerein-
fachwar,insbesonderebedingtdurchdieunterschiedlicheinhaltlicheTiefefürTechniker
und Nichttechniker. Alle Inhalte dieses Buches werden daher nur im Technikzweig ein-
schließlichder13.Jahrgangsstufegelehrt.FürdiezweijährigeFOSbzw.einjährigeBOS
müsseneinzelneAbstrichegemachtwerden,dieichkurzskizzierenmöchte.
(cid:2) TeilI Analysis: InderNT12 wirdman imWesentlichen nurmitPolynomenkonfron-
tiert,wasz.T.beträchtlicheAuswirkungenaufdieDifferenzial-undIntegralrechnung
hat,damanindiesemFallmitwenigeneinfachenRegelnauskommt.InderT12wird
lediglichaufArkusfunktionen,spezielleIntegrationstechnikensowieDifferenzialglei-
chungenverzichtet.Dies ist analogzurNT13,wo jedochzusätzlich trigonometrische
Funktionenfehlen.
(cid:2) Teil II Analytische Geometrie: Dieser Teil wird – mit Ausnahme der linearen Glei-
chungssysteme–nurinderT12alsauchinderNT13gelehrt.DasThemaderProdukte
vonVektorenmitdenentsprechendenAuswirkungenaufdasKapitelderGeradenund
EbenenfehltjedochinderNT13.
(cid:2) TeilIIIWahrscheinlichkeitstheorie:DieserTeilwirdnurinderT13sowieinderNT12
gelehrt.DieThemenTestenundKombinatoriksindjedochinderNT12etwas„abge-
speckt“,undesfehltdasThemaderNormalverteilung.
DurcheinenvomAufbauherhochschulüblichenMathematikstil:Definition–Satz–Be-
weismöchteichdenLeseraufdieHochschulmathematikeinstimmen.Dabeigeheichmit
formalenBeweisenehersparsamum,undversuchestattdessenmeistanschaulichzuargu-
mentieren.DieDefinitionenundSätzesindineinerverständlichenSprachegehaltenund
sind eigens grafisch hervorgehoben. Sollten mathematisch exakte Formulierungen nicht
immer eingehalten werden, so ist dies unter dem Aspekt der „Schülerfreundlichkeit“zu
V
VI Vorwort
sehen. Meist ausführlich durchgerechnete Beispielaufgaben dienen zum Stoffverständ-
nis und zur eigenen Leistungskontrolle. Dabei wurde die Anzahl der Beispiele bewusst
in einem vernünftigen Rahmen gehalten, um das Buch nicht zu einer Aufgabensamm-
lung werden zu lassen. Dabei denke ich gerne an die Bemerkung meines ehemaligen
Mathematikprofessors:„ManhateinenSatzerstdannverstanden,wennmanseinenBe-
weis verstanden hat.“ Darum wäre auch meine Bitte, sich nicht nur an den Beispielen
zu orientieren (was erfahrungsgemäß leider allzu oft passiert), sondern erst in aller Ru-
he die Definitionen und Sätze zu durchdringen. Die Aufgaben sollten dann im Prinzip
einSelbstläufer(Wunschdenken!)sein,wobeiichnatürlichkeinesfallsdieBedeutungvon
Übungsaufgabenanzweifle.
In diesem Zusammenhang verweise ich auch auf den Anhang, in dem ein Auszug
aus den diesjährigen Prüfungsaufgaben in Bayern für Technik und Nichttechnik (Jahr-
gangsstufen12und13)zusammengestelltsind.Geradefürdiejenigen,dieeinenWechsel
ihrerAusbildungsrichtunginsAugefassen(z.B.BeginneinestechnischenStudiumsnach
abgeschlossenerFachoberschuleZweigWirtschaftoderauchGymnasium),gibtderVer-
gleichvonPrüfungenAufschlussdarüber,inwelchenBereichenevtl.Defizitevorhanden
sind.
Viele Grafiken (insbesondere die Funktionen in der Analysis) wurden in Geogebra,
einer beliebten Software an Schulen, erstellt. Da dieses frei verfügbare Programm bei
etwasanspruchsvollerenProblemstellungenanseineGrenzenstößt,kannichjedemStu-
dierwilligenfolgende,anHochschulenüblicheMathematiksoftware(auchalsStudenten-
versionen für den „kleinen Geldbeutel“erschwinglich) empfehlen:Maple, Mathematica
(Computer-Algebra-Systeme, die v.a. in der reinen Mathematik verwendet werden) so-
wie Matlab (numerisches Mathematikprogramm, das v.a. für angehendeIngenieuredas
Standardtoolist).
Auch wenn der Titel des Buchesvorrangig Schüler an beruflichen Oberschulen bzw.
Gymnasien und deren Lehrer anspricht, so darf der Leserkreis keineswegs darauf be-
schränkt werden. Gerade auch für Berufstätige, die ihre (evtl. länger zurückliegende)
Schulmathematikauffrischenbzw.erweiternmöchtenoderauchfürStudienanfängerzum
Studieneinstiegbzw.alsBegleitlektürefürbestimmteVorlesungen,findetindiesemBuch
einenwertvollenBegleiter.NichtzuletztdientdiesesLehrbuchauchProfessorenundLeh-
rendenanHochschulenalskleineHilfestellungfürdieVerzahnungzwischenSchul-und
Hochschulmathematik. Gerade auch für die in letzter Zeit immer populärer werdenden
BrückenkursekanndiesesBuchwertvolleImpulsegeben.
MeinDankgiltderangenehmenundkonstruktivenZusammenarbeitmitdemSpringer
Verlag,allenvoranHerrnDr.HeineundFrauDr.Denkert,diemirbeiderKonzeptionund
derdidaktischenUmsetzungdiesesBucheswertvollzurSeitestanden.MögediesesBuch
einerbreitenLeserschaftvielFreudebereiten!
Neukirchen,imDezember2014 WalterSchneider
Inhaltsverzeichnis
TeilI Analysis
1 Mengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Grundbegriffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Mengenverknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Natürliche,ganzeundrationaleZahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 ReelleZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 ElementareRechentechnikeninderMengederreellenZahlen. . . . . . . . 13
2.1 Zusammenfassen,FaktorisierenundBinomischeFormeln . . . . . . . . . 13
2.2 Bruchterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Quadratwurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Potenzenundn-teWurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 GleichungenundUngleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 DerFunktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 DefinitionundBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 EigenschaftenreellerFunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1 SchnittpunktemitKoordinatenachsen . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.2 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.4 Beschränktheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 TransformationundVerknüpfungvonFunktionen . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.1 TransformationvonFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.2 Summe,Differenz,Produkt,QuotientvonFunktionen . . . . . . . 34
3.3.3 VerkettungvonFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 DieUmkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
VII
VIII Inhaltsverzeichnis
4 ElementareFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1 LineareFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 QuadratischeFunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 GanzrationaleFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4 Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5 AbschnittweisedefinierteFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.6 Gebrochen-rationaleFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.7 Exponential-undLogarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.7.1 AllgemeineExponential-undLogarithmusfunktionen . . . . . . . 71
4.7.2 NatürlicheExponential-undLogarithmusfunktion . . . . . . . . . 73
4.8 TrigonometrischeFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.9 Arkusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5 GrenzwerteundStetigkeitvonFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1 GrenzwerteinerFunktionfürx !˙1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 GrenzwerteinerFunktionfürx !x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
0
5.3 StetigkeitvonFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3.1 LokaleStetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3.2 GlobaleStetigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3.3 Stetigkeitssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6 Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.1 DieAbleitungeinerFunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.1.1 Differenzen-undDifferenzialquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.1.2 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.1.3 DieAbleitungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2 Ableitungsregeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.3 SätzederDifferenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.3.1 Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.3.2 RegelnvonL’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3.3 AbleitungderUmkehrfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.4 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.4.1 Monotonieverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.4.2 Krümmungsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.4.3 Extrema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.4.4 Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.4.5 AblaufeinerKurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.4.6 AufstellenvonFunktionstermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.5 AnwendungeninNatur,TechnikundWirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.5.1 Optimierungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.5.2 Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Inhaltsverzeichnis IX
7 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.1 DasunbestimmteIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.1.1 DerBegriffderStammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.1.2 IntegraleelementarerFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.1.3 ElementareRechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.2 DasbestimmteIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.2.1 DieRiemannscheSumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.2.2 Integralfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.2.3 Flächenberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.2.4 UneigentlicheIntegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.3 Integrationstechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.3.1 PartielleIntegration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.3.2 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.3.3 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.4 ErgänzendeAnwendungenderIntegralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.4.1 Rotationsvolumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.4.2 AnwendungeninPhysikundTechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8 GewöhnlicheDifferenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.1 EinführendesBeispiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.2 Grundbegriffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.3 SeparierbareDGL1.Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.4 LineareDGL1.Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
TeilII LineareAlgebraundAnalytischeGeometrie
9 LineareGleichungssysteme(LGS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.1 Einführung:(2(cid:3)2)-und(3(cid:3)3)-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.2 DerMatrixbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
9.3 DerGauß-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.4 ÜberbestimmteundunterbestimmteSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.5 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9.6 AnwendungenlinearerGleichungssysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
10 VektorenimR2undR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
10.1 Grundbegriffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
10.2 ElementareRechenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
10.2.1 AdditionundSubtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
10.2.2 MultiplikationmitSkalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
10.3 LineareAbhängigkeitvonVektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
10.4 BasisundDimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
X Inhaltsverzeichnis
10.5 Teilverhältnisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
10.6 ProduktevonVektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
10.6.1 DasSkalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
10.6.2 DasVektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
11 GeradenundEbenenimR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
11.1 GeradenimR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
11.2 EbenenimR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
11.3 UntersuchungvonLagebeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
11.3.1 LagebeziehungzweierGeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
11.3.2 LagebeziehungzwischenGeradeundEbene . . . . . . . . . . . . . 258
11.3.3 LagebeziehungzweierEbenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
11.3.4 LagebeziehungdreierEbenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
11.4 Geraden-undEbenenscharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
11.5 Abstandsberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
11.6 ProjektionundSpiegelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
TeilIII Wahrscheinlichkeitstheorie
12 ZufallsexperimenteundEreignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
12.1 Zufallsexperimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
12.2 Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
12.3 VerknüpfungvonEreignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
13 Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
13.1 AbsoluteundrelativeHäufigkeiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
13.2 AxiomatischeDefinitionderWahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . 287
13.3 Laplace-Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
13.4 BaumdiagrammundPfadregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
13.5 BedingteWahrscheinlichkeitundUnabhängigkeitvonEreignissen . . . . 297
13.6 Bernoulli-Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
14 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
14.1 DasallgemeineZählprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
14.2 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
14.3 Variationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
14.4 Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
15 ZufallsvariablenundVerteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
15.1 DerBegriffderZufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
15.2 DieWahrscheinlichkeitsverteilungvonZufallsvariablen . . . . . . . . . . 327