Mathematik-Fundament für Studierende aller Fachrichtungen

783 Pages·2018·3.77 MB·German

by  Gert Höfner

Gert Höfner
Mathematik-Fundament
für Studierende
aller Fachrichtungen
Unter Mitwirkung von Natali Skark
Gert Höfner
Langenfeld, Deutschland
Erschienen 1991 im Fachbuchverlag Leipzig
ISBN 978-3-662-56530-8
ISBN 978-3-662-56531-5 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-56531-5
SpringerSpektrum
© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2018
Inhalt
1 Grundlagen der Mathematik................................. 1
1.1 Sprache und Arbeitsweise der Mathematik......................... 1
1.1.1 Variablen und Variablenbereiche........................... 1
1.1.2 Aussagen, Aussagefunktionen und Quantoren................ 2
1.1.3 Aufbau der Mathematik – mathematische Schlussweisen ...... 6
1.1.4 Relationen .............................................. 9
1.1.5 Modellbildung........................................... 10
1.2 Mengenlehre................................................... 11
1.2.1 Definition und Darstellung von Mengen..................... 11
1.2.2 Spezielle Mengen ........................................ 11
1.2.3 Mengenrelationen........................................ 13
1.2.4 Mengenoperationen ...................................... 13
1.2.5 Abbildung von Mengen................................... 19
1.2.6 Mächtigkeit von Mengen und geordneten Mengen ............ 21
2 Arithmetik – Rechenoperationen und zugehörige Zahlenbe-
reiche........................................................ 23
2.1 Natürliche Zahlen .............................................. 23
2.1.1 Begriff der natürlichen Zahlen ............................. 23
2.1.2 Ziffernsysteme........................................... 24
2.1.3 Rechnen mit natürlichen Zahlen (Zahlenstrahl) .............. 29
2.1.4 Teilbarkeitsregel ......................................... 32
2.1.5 Binomische Koeffizienten und binomischer Satz.............. 34
2.1.6 Prinzip der vollständigen Induktion ........................ 37
2.2 Menge der ganzen Zahlen ....................................... 39
2.2.1 Rechnen mit ganzen Zahlen (Zahlengerade) ................. 39
2.2.2 Rechnen mit Klammern .................................. 42
2.2.3 Absolute Beträge ........................................ 45
2.2.4 Summen- und Produktzeichen............................. 46
2.3 Menge der rationalen Zahlen..................................... 49
2.3.1 Zahlenkörper............................................ 49
2.3.2 Gleichheit rationaler Zahlen (Kürzen und Erweitern) ......... 51
2.3.3 Rechnen mit rationalen Zahlen ............................ 52
2.3.4 Dezimalbrüche .......................................... 56
2.3.5 Rundungsregeln ......................................... 59
2.4 Reelle Zahlen .................................................. 61
2.4.1 Begriff der reellen Zahlen ................................. 61
2.4.2 Rechenoperationen der dritten Stufe ....................... 64
2.5 Komplexe Zahlen............................................... 76
2.5.1 Definition und Darstellung................................ 76
2.5.2 Gauß’sche Zahlenebene und trigonometrische Darstellung
komplexer Zahlen........................................ 78
2.5.3 Rechenoperationen mit komplexen Zahlen und Exponenti-
aldarstellung ............................................ 80
2.5.4 Grafisches Rechnen mit komplexen Zahlen .................. 85
3 Analysis – Funktionen ....................................... 89
3.1 Definition der Funktion ......................................... 89
3.2 Darstellungen von Funktionen ................................... 90
3.3 Einteilung der Funktionen....................................... 96
3.4 Besondere Eigenschaften von Funktionen.......................... 98
3.5 Spezielle Funktionen............................................ 101
3.5.1 Lineare Funktionen ...................................... 101
3.5.2 Quadratische Funktionen ................................. 104
3.5.3 Potenzfunktionen ........................................ 107
3.5.4 Ganze rationale Funktionen (Hornerschema, Polynomdivision). 109
3.5.5 Gebrochenrationale Funktionen............................ 110
3.5.6 Umkehrfunktionen ....................................... 111
3.5.7 Wurzelfunktionen........................................ 112
3.5.8 Exponentialfunktionen ................................... 114
3.5.9 Logarithmenfunktionen................................... 115
3.5.10 Trigonometrische Funktionen.............................. 117
3.5.11 Arcusfunktionen......................................... 118
3.6 Funktionen mit mehreren unabhängigen Veränderlichen ............. 121
4 Algebra – Gleichungen und Ungleichungen................... 125
4.1 Terme und Begriffe bei Gleichungen und Ungleichungen............. 125
4.2 Einteilung der Gleichungen und Ungleichungen..................... 129
4.3 Lösung von speziellen Gleichungen und Ungleichungen .............. 130
4.3.1 Lineare Gleichungen und Ungleichungen .................... 130
4.3.2 Systeme von linearen Gleichungen und Ungleichungen ........ 147
4.3.3 Quadratische Gleichungen und Ungleichungen ............... 161
4.3.4 Polynomgleichungen ..................................... 169
4.3.5 Wurzelgleichungen ....................................... 177
4.3.6 Transzendente Gleichungen ............................... 179
5 Geometrie ................................................... 187
5.1 Planimetrie.................................................... 187
5.1.1 Begriffe und geometrische Grundelemente................... 187
5.1.2 Geraden, Strecken und Winkel ............................ 189
5.1.3 Symmetrie.............................................. 198
5.1.4 Geometrische Grundkonstruktionen ........................ 201
5.1.5 Vielecke ................................................ 204
5.1.6 Kreise.................................................. 220
5.1.7 Projektionen ............................................ 226
5.1.8 Planimetrische Berechnungen.............................. 227
5.2 Stereometrie................................................... 234
5.2.1 Grundbegriffe und Volumenmessung ....................... 234
5.2.2 Einteilung der Körper .................................... 236
5.2.3 Berechnung von prismatischen Körpern..................... 237
5.2.4 Berechnung von pyramidenförmigen Körpern................ 243
5.2.5 Polyeder................................................ 253
5.2.6 Kugel und Kugelteile..................................... 256
5.3 Trigonometrie ................................................. 260
5.3.1 Winkelmessung.......................................... 260
5.3.2 Polarkoordinaten ........................................ 262
5.3.3 Winkelfunktionen........................................ 267
5.3.4 Zusammenhänge zwischen den Winkelfunktionen ............ 270
5.3.5 WertederWinkelfunktionenfürWinkelkleinernullundgrößer
als 2π .................................................. 272
5.3.6 Trigonometrische Berechnungsformeln ...................... 273
5.3.7 Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck ................... 275
5.3.8 Berechnungen am schiefwinkligen Dreieck................... 280
5.4 AnalytischeGeometriederEbene(Koordinatengeometrie,Kegelschnitte)289
5.4.1 GrundlagenderanalytischenGeometrieundKoordinatensysteme289
5.4.2 Strecken und Geraden.................................... 294
5.4.3 Kreis................................................... 306
5.4.4 Kegelschnitte............................................ 312
5.5 Darstellende Geometrie ......................................... 318
5.5.1 Projektionsverfahren ..................................... 318
5.5.2 Senkrechte Parallelprojektion.............................. 319
5.5.3 Schräge Parallelprojektion ................................ 330
5.5.4 Axonometrie ............................................ 332
6 Folgen und endliche Reihen .................................. 335
6.1 Grundbegriffe.................................................. 335
6.2 Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen ...................... 338
6.3 Endliche arithmetische und geometrische Partialsummenfolgen ....... 340
6.4 Zinseszinsrechnung, Wachstumsgeschwindigkeit und Rentenrechnung.. 345
7 Infinitesimalrechnung ........................................ 353
7.1 Grenzwert und Stetigkeit........................................ 353
7.1.1 Grenzwert von Zahlenfolgen............................... 353
7.1.2 Grenzwert von Funktionen................................ 359
7.1.3 Stetigkeit von Funktionen................................. 365
7.2 Differenzialrechnung ............................................ 366
7.2.1 Differenzenquotient ...................................... 366
7.2.2 Ableitungsregeln für elementare Funktionen................. 372
7.2.3 Höhere Ableitungen...................................... 376
7.2.4 Bestimmungder AbleitungenganzrationalerFunktionen nach
dem Hornerschema....................................... 377
7.2.5 Differenzial und Differenzialquotient (Fehlerrechnung) ........ 378
7.2.6 Weitere Ableitungsregeln ................................. 381
7.2.7 Zusammenfassung der Ableitungsregeln..................... 387
7.2.8 Grafische Differenziation.................................. 391
7.2.9 Sätze zur Differenzialrechnung............................. 392
7.2.10 Anwendung der Differenzialrechnung ....................... 393
7.2.11 Iterationen.............................................. 405
7.2.12 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen ........... 408
7.3 Integralrechnung ............................................... 414
7.3.1 Unbestimmte Integrale und Grundintegrale ................. 414
7.3.2 Integrationsregeln........................................ 415
7.3.3 Integrationsverfahren..................................... 418
7.3.4 Bestimmte Integrale...................................... 425
7.3.5 Anwendung der Integralrechnung .......................... 427
7.3.6 Numerische Integration................................... 456
7.3.7 Grafische Integration..................................... 465
7.4 Differenzialgleichungen (DGL) ................................... 468
7.4.1 Begriff der DGL ......................................... 468
7.4.2 Einteilung der DGL...................................... 469
7.4.3 Trennung der Variablen .................................. 469
7.4.4 Inhomogene DGL 1.Ordnung ............................. 471
7.4.5 Lineare homogene DGL mit konstanten Koeffizienten......... 473
7.4.6 Lineare inhomogene DGL mit konstanten Koeffizienten ....... 475
7.4.7 Aufstellen von DGL...................................... 478
7.5 Zusammenfassung .............................................. 478
8 Lineare Algebra.............................................. 481
8.1 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten..................... 481
8.1.1 Zweireihige Determinante................................. 482
8.1.2 Dreireihige Determinante ................................. 484
8.1.3 Determinantengesetze für n-reihige Determinanten ........... 486
8.1.4 Lösbarkeitskriterien n > 3 ............................... 487
8.1.5 Homogene Gleichungssysteme ............................. 489
8.1.6 Inhomogene Gleichungssysteme............................ 491
9 Vektorrechnung und vektorielle Geometrie................... 493
9.1 Grundbegriffe.................................................. 493
9.2 Operationen mit Vektoren....................................... 495
9.2.1 Addition und Subtraktion von Vektoren .................... 495
9.2.2 Skalare Multiplikation.................................... 497
9.3 Basis, Koordinaten und Ortsvektoren ............................. 499
9.4 Rechnen mit Vektoren in Komponentendarstellung ................. 502
9.5 Vektorraum ................................................... 504
9.6 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren............................. 505
9.7 Produkte mit Vektoren ......................................... 506
9.7.1 Skalarprodukt........................................... 506
9.7.2 Vektorprodukt .......................................... 509
9.7.3 Spatprodukt ............................................ 512
9.8 Vektorielle Geometrie........................................... 513
9.8.1 Koordinatensystem ...................................... 513
9.8.2 Punkte und Geraden im R2 und R3 ........................ 516
9.8.3 Länge einer Strecke und Winkel im R3 ..................... 518
9.8.4 Teilverhältnis ........................................... 520
9.8.5 Geradengleichungen...................................... 521
9.8.6 Anstieg................................................. 529
9.8.7 Hesse’sche Normalform ................................... 529
9.8.8 Zwei Geraden ........................................... 531
9.8.9 Flächeninhalt ........................................... 537
9.8.10 Ebenen................................................. 539
9.8.11 Mehrere Ebenen......................................... 544
9.8.12 Winkel ................................................. 550
9.8.13 Parallelität.............................................. 552
9.8.14 Orthogonalität .......................................... 555
9.8.15 Abstand................................................ 558
10 Matrizen..................................................... 567
10.1 Matrizenbegriff – Typ einer Matrix ............................... 567
10.2 Spezielle Matrizen.............................................. 569
10.3 Relationen zwischen Matrizen.................................... 571
10.4 Addition von Matrizen und Multiplikation mit einer skalaren Größe .. 573
10.5 Multiplikation von Matrizen und Schema von Falk ................. 574
10.6 Inversion von Matrizen und Austauschverfahren.................... 580
10.7 Matrizengleichungen............................................ 585
10.8 Beispiele für Anwendungen der Matrizenrechnung .................. 588
10.8.1 BeispielefürAnwendungenderMatrizenrechnunginderWirt-
schaft .................................................. 588
10.8.2 Lineare Optimierung ..................................... 593
10.8.3 Transportoptimierung .................................... 606
11 Stochastik ................................................... 615
11.1 Kombinatorik.................................................. 615
11.1.1 Einführung ............................................. 615
11.1.2 Permutationen .......................................... 616
11.1.3 Variationen ............................................. 617
11.1.4 Kombinationen .......................................... 620
11.1.5 Entscheidungsalgorithmus ................................ 622
11.2 Zufällige Ereignisse und Begriffe.................................. 624
11.2.1 Kolmogoroff–AxiomealsGrundlagederWahrscheinlichkeits-
definition ............................................... 626
11.2.2 Definitionen der Wahrscheinlichkeit ........................ 631
11.3 Wahrscheinlichkeitssätze ........................................ 635
11.3.1 Laplace-Verteilungen ..................................... 635
11.3.2 Additionssatz ........................................... 637
11.3.3 Multiplikationssatz ...................................... 637
11.3.4 Additionssatz und Multiplikationssatz als Pfadregel .......... 639
11.3.5 Technische Anwendung der beiden elementaren Wahrschein-
lichkeitssätze............................................ 643
11.3.6 Wahrscheinlichkeit von n Versuchen........................ 646
11.4 Unbedingte und bedingte Wahrscheinlichkeiten..................... 647
11.4.1 Abhängige und unabhängige Ereignisse ..................... 647
11.4.2 Wahrscheinlichkeit von unabhängigen Ereignissen – Zusam-
menfassung ............................................. 648
11.4.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit............................... 650
11.4.4 Allgemeiner Multiplikationssatz ........................... 650
11.4.5 Totale Wahrscheinlichkeit................................. 652
11.4.6 Satz von Bayes .......................................... 653
11.5 Verteilungsfunktionen, Erwartungswert, Varianz.................... 655
11.5.1 Diskrete und stetige Zufallsgrößen ......................... 655
11.5.2 Verteilungsfunktionen,Erwartungswert,Varianz(Standardab-
weichung)............................................... 657
11.5.3 Ungleichung von Tschebyscheff ............................ 661
11.6 Spezielle Verteilungsfunktionen .................................. 662
11.6.1 Bernoulli-Verteilung (Binomialverteilung)................... 662
11.6.2 Poisson-Verteilung (S.D.Poisson 1781–1840) ................ 665
11.6.3 Normalverteilung (Gauß-Verteilung)........................ 669
11.6.4 Geometrische Verteilung.................................. 678
11.6.5 Hypergeometrische Verteilung ............................. 680
12 Statistik ..................................................... 683
12.1 Beschreibende Statistik (deskriptive Statistik) ..................... 683
12.1.1 Skalierung – Urliste – Primärliste – Klasseneinteilung ........ 683
12.1.2 Absolute und relative Häufigkeit, kumulierte Häufigkeiten,
grafische Darstellungen ................................... 686
12.1.3 Mittelwerte ............................................. 688
12.1.4 Streuungsmaße .......................................... 696
12.1.5 Lineare Korrelation und Regression ........................ 700
12.1.6 Trendrechnung .......................................... 710
12.2 Bewertende (schließende) Statistik (Inferenzstatistik) ............... 717
12.2.1 Alternativtest ........................................... 717
12.2.2 Fehlermöglichkeiten beim Alternativtest .................... 718
12.2.3 Entscheidungsregel – Binomialverteilung.................... 720
12.2.4 Einseitiger und zweiseitiger Signifikanztest – Binomialverteilung723
12.2.5 NullhypotheseundRisikobeimSignifikanztest–Binomialver-
teilung ................................................. 729
12.2.6 Gütefunktion eines statistischen Tests – Binomialverteilung ... 732
12.2.7 Signifikanztest bei großem Stichprobenumfang – Normalver-
teilung – Gauß-Verteilung................................. 736
12.2.8 Stichprobenmittel als Prüfvariable – Normalverteilung –
Gauß-Verteilung ......................................... 740
12.2.9 Signifikanztest für den Erwartungswert bei bekannter Stan-
dardabweichung und bei unbekannter Standardabweichung –
Normalverteilung ........................................ 741
12.2.10Minimierung der Konsequenzen durch Fehlentscheidungen –
Binomialverteilung....................................... 749
12.2.11Vertrauensintervall für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit.... 751
12.2.12Vertrauensintervall für einen unbekannten Erwartungswert.... 753
12.2.13Spezielle Testverfahren ................................... 754
13 Tabellen ..................................................... 773
Vorwort
Gewidmet in väterlicher Liebe meiner Tochter Franziska
DiesesWerkwendetsichanAnwenderderMathematik,deneneineFormelsamm-
lung zu knapp und ein Lehrbuch zu ausführlich ist. Es bietet zu wichtigen ma-
thematischenGrundlagenthemenFormelnundKontextmitErklärungenundAn-
wendungsbeispielen.
AndieserStellemöchteichmichbeiHerrnDr.AndreasRüdingerundFrauAlton
für die großartige Unterstützung bei der Herausgabe des Buches und bei Frau
Natali Skark von der TH Köln für die Anfertigung des Manuskripts und der Ab-
bildungen bedanken.
Gert Höfner
In der Mathematik verwendete Zeichen
1. Allgemeine Zeichen
Zeichen Verwendung Leseweise
= Gleichungen gleich
(cid:2)= Ungleichungen ungleich
∼ proportional
≈ näherungsweisegleich
=ˆ entspricht
< Ungleichungen kleinerals
> Ungleichungen größerals
(cid:2)oder≤ Ungleichungen kleineralsodergleich
(cid:3)oder≥ Ungleichungen größeralsodergleich
+ Additions-,Vorzeichen plus
− Subtraktions-,Vorzeichen minus
· Multiplikationszeichen mal
:,–,/ Divisionszeichen geteiltdurch
1
%= Prozent Prozent
100
1
(cid:2)= Promille
1000
... z.B.unendlicheFolgen undsoweiter
() z.B.Terme offene/geschlossenerunde
Klammer