Mathematik der Quanteninformatik: Eine Einführung

360 Pages·2016·3.467 MB·German

by  Wolfgang Scherer (auth.)

Wolfgang Scherer
Mathematik der
Quanteninformatik
Eine Einführung
Mathematik der Quanteninformatik
Wolfgang Scherer
Mathematik der
Quanteninformatik
Eine Einführung
WolfgangScherer
KingstonUponThames,Großbritannien
ISBN978-3-662-49079-2 ISBN978-3-662-49080-8(eBook)
DOI10.1007/978-3-662-49080-8
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In memoriam
Elisabethet Heinz-Werner Scherer,
quidixit:Scio menihilscire.
Ypara Negri,Matthias ySebastian
Vorwort
DieVorgeschichtediesesBuchesbegannmiteinerEinführungsvorlesungzurQuan-
teninformatikim Jahre1998anderTUClausthal. Seitdem hatdieDigitalisierung
unserestäglichenLebensweiterrapideFahrtaufgenommenundistaufdembesten
Weg allumfassend zu werden. Enorme Datenmengen und deren Verarbeitung er-
fordernimmer neuereTechnologienmit immer größerenSpeicherkapazitäten und
immer effizienteren Algorithmen. Dabei schreitet die Miniaturisierung der Spei-
cherträger stetig voran. Folglich begann man sich bereits in den 80er-Jahren des
vergangenenJahrhundertszufragen,wieInformationmitatomarenBausteinenge-
speichert und verarbeitet werden kann. Solcherart Bausteine folgen den Gesetzen
der Quantenmechanik, und die Quanteninformatik entstand als ein Forschungs-
zweig, in dem Grundlagenfragenganznahebei potenziell revolutionärenAnwen-
dungenstehen.
In den darauf folgenden Dekaden wurde die diesbezügliche Theorie entwi-
ckelt.Eszeigtesich, dassdieSpeicherungundBearbeitungvonInformationnach
den Regeln der Quantenmechanik in der Tat neuartige und effizientere Methoden
als die bisherigen verspricht. Mithilfe des massiven Quantenparallelismus könn-
ten Faktorisierungs- und Suchalgorithmen mit einem Quantencomputer erheblich
beschleunigt werden. Außerdem erlauben quantenmechanische Phänomene neu-
artige Kryptografieprotokolle, deren Abhörsicherheit durch die Naturgesetze der
Quantenmechanikgarantiertwird.
DieTheoriederQuanteninformatikhatmittlerweileeinenfortgeschrittenenRei-
fegraderreicht.DabeiwirdvoneinerVielzahlmathematischerResultatehauptsäch-
lich aus Linearer Algebraund ZahlentheorieGebrauch gemacht. Dennoch gibt es
kaumumfassendeDarstellungen,diedieQuanteninformatikdurcheinestrengma-
thematischgeprägteBrillebetrachten.DiesesBuchmöchtedaetwasAbhilfeschaf-
fen. Ausgehend von den physikalischen Grundlagen wird hier alle für die Quan-
teninformatik erforderliche Mathematik eingeführt und erklärt. Die wesentlichen
Aspekteder Quanteninformatikwerden mathematisch formuliert. Alle gemachten
AussagenwerdenauchimBuchbewiesen.Insofernkanndermathematischgeneig-
teLeserhiereinenumfassendenEinblickindieMathematikderQuanteninformatik
bekommen,ohnedasBuchausderHandzulegen.
VII
VIII Vorwort
Derzeit wird mit Nachdruck an verschiedenen möglichen physikalischen Rea-
lisierungen eines Quantencomputers gearbeitet. Nach der Lektüre dieses Buches
solltendieLeserinnenundLeseraufeineerfolgreichephysikalischeImplementie-
rung eines Quantencomputersbestens vorbereitet sein. Aber vielleicht können sie
jaalsFolgederLektüreselbstauchnochzurTheoriebeitragen.
Danksagungen Auf dem Weg hierher haben mich viele Menschen und etliche
Institutioneninmeinerwissenschaftlichen LeidenschaftundNeugierbegleitet,er-
muntertundgefördert.IhnenallengiltmeinaufrichtigerDank.
GanzherzlichdankeichauchdemTeamvomSpringer-Verlag,dasmichimletz-
tenJahrdesProjektsgeduldigundhilfreichunterstützthat.
Am allermeisten danke ich meiner Familie, Maria-Eugenia, Matthias und Se-
bastian, die über all die Jahre meine oft gedankliche und physische Abwesenheit
hingenommen haben, aber dennoch immerzu den nötigen Rückhalt geboten und
denEnthusiasmusmitmirgeteilthaben.EinbesondererDankgebührtdabeiSebas-
tianfürseinakribischesKorrekturlesendesManuskripts.SeineDurchsichthatviele
Fehlerbehoben,undseineVorschlägehabenanetlichenStellendieDarstellungge-
nauer, stringenter und klarer gemacht. Die Diskussionen mit ihm waren nicht nur
sehrhilfreich,sondernhabenauchvielSpaßgemacht.Aberselbstseindetailliertes
RedigierenwirdsichernichtalleUnzulänglichkeitendesManuskriptsausgebügelt
haben.DiesesindnatürlichimmernochvomAutorverursacht.
KingstonUponThames,imNovember2015 WolfgangScherer
Symbolverzeichnis
WD definierendeGleichheit,d.h.ina WDb wirdadurchb definiert
N dieMengedernatürlichenZahlen1;2;3;:::
P dieMengederPrimzahlenf2;3;5;7;11;:::g(cid:2)N
N dieMengedernatürlichenZahleninklusivederNull0;1;2;3;:::
0
Z dieMengederganzenZahlen0;˙1;˙2;˙3;:::
Q die Menge der rationalen Zahlen q mit q 2 Z;p 2 N; Q be-
p C
zeichnetdiepositivenrationalenZahlen
R dieMengederreellenZahlen;R bezeichnetdiepositivenreellen
C
Zahlen
C dieMengederkomplexenZahlenaCibmita;b 2Rundi2 D(cid:3)1
jzj BetragderkomplexenZahlz D aCib mita;b 2 R,d.h.jzj D
p p
zzN D a2Cb2
z diekomplexkonjugiertederkomplexenZahlz DaCibmita;b 2
R,d.h.z Da(cid:3)ib
a VektorinRn,meistfürdenFallnD3
a(cid:4)b SkalarproduktderVektorena;b2Rn
p
jaj NormdesVektorsa2Rn,d.h.jajD a(cid:4)a
H Hilbert-Raum,d.h.einkomplexerVektorraummiteinemSkalar-
produkt,dasdieNorminduziert
‘H Qbit-Hilbert-Raum,d.h.derHilbert-Raum‘H'C2
j i „Ket“-SchreibweisefüreinenVektorineinemHilbert-Raum
h j „Bra“-Schreibweise für einen Vektor im Dualraum zu einem
Hilbert-Raum
h'j i SkalarproduktderVektorenj'i;j i2Hp
jj jj NormdesVektorsj i2H,d.h.jj jjD h j i
ı Kronecker-Delta
xy
(
1; fallsx Dy
ı D
xy
0; sonst
IX
X Symbolverzeichnis
1 der Identitätsoperatoroder Einheitsmatrix, d.h. 1 D füralle
2 H. Für speziell ausgezeichnete HA schreiben wir zur Ver-
deutlichungfürdenIdentitätsoperatorauch1A,undfürHD‘H˝n
schreibenwirfürdenIdentitätsoperatorauch1˝n
A(cid:5) der zu A adjungierteOperator,d.h. h'jA i D hA(cid:5)'j ifüralle
'; 2H
ŒA;B(cid:2) derKommutatorderOperatorenA;B,d.h.ŒA;B(cid:2)WDAB (cid:3)BA
j'i˝j i TensorproduktzweierVektoren
‘H˝n n-fachesTensorproduktdesQbit-Hilbert-Raums‘H
Br dieMengederVektorenv 2V mitjjvjj D r,d.h.die„Kugelmit
V
Radiusr“imnormiertenVektorraumV.ZumBeispielbezeichnet
B1 dieEinheitsvektorenimR3
R3
jxi PElement der Rechenbasis in ‘H˝n; für jedes x 2 N0 mit x D
n(cid:3)1x 2j <2n undx 2f0;1ggegebendurch
jD0 j j
O0
jxiWDjxin WD jx iDjx i˝(cid:4)(cid:4)(cid:4)˝jx iDjx :::x i
j n(cid:3)1 0 n(cid:3)1 0
jDn(cid:3)1
:A VerneinungderAussageA
buc derganzeAnteileinerZahlu2R,d.h.
bucWDmaxfz 2Zjz (cid:6)ug
amodn derRestvona2ZnachderDivisiondurchn2N,d.h.
j k
a
amodnWDa(cid:3) n
n
2 2
˚ binäreAdditiona ˚b WDaCb mod 2
˚ faktorweise Binäraddition; für Vektoren der Rechenbasis
jxi;jyi2‘H˝ndefiniertdurch
ˇ (cid:2)
O0 ˇ
ˇ 2
jx˚yiWD ˇxj ˚yj
jDn(cid:3)1
ggT.a1;:::;an/ Pder größte gemeinsame Teiler für ai 2 Z;i D 1;:::;n mit
n ja j¤0,d.h.
iD1 i
ggT.a ;:::;a /WDmaxfk 2Nj8a 9b 2ZWa Dkb g
1 n i i i i
kgV.a1;:::;an/ Qdas kleinste gemeinsameVielfache fürai 2 Z;i D 1;:::;n mit
n ja j¤0,d.h.
iD1 i
kgV.a ;:::;a /WDminfk 2Nj8a Wa jkg
1 n i i
Symbolverzeichnis XI
P.n/Q dieMengederPrimzahleninderPrimfaktorzerlegungvonn
nD p(cid:3)p die Primfaktorzerlegung von n 2 N, wobei die Exponenten von
p2P Primzahlen p 2 P, die kein Primfaktor sind, gleich null gesetzt
werden, d.h. etwa (cid:3) D 0, falls p … P.n/. Für a 2 Znf0g
p
definieren wQir die Primfaktorzerlegung für jaj 2 N und setzen
a Dsign.a/ p2P.jaj/pjajp
(cid:4).n/ Euler-Funktion
(cid:4) WN (cid:3)!N
n 7(cid:3)!(cid:4).n/WDAnzahlallerr 2N,1(cid:6)r <n,
diemitnteilerfremdsind,d.h.
ggT.n;r/D1erfüllen
ord .b/ dieOrdnungvonb moduloN definiertfürb;N 2 N mitderEi-
N
genschaftggT.b;N/D1als
ord .b/WDminfn2Njbn mod N D1g
N
ajb ateiltb,d.h.esgibteinz 2Zfürdasgiltb Daz
a−b ateiltbnicht,d.h.fürallez 2Zgiltb ¤za
id die Identitätsabbildungauf der MengeA, d.h. id W A ! A mit
A A
id .a/Da
A
o.(cid:4)/ daskleineLandau-Symbol,definierthierfürFunktionenaufN im
Limitn!1als
f.n/2o.g.n//für.n!1/
W, 8"2R ;9M 2N W 8n>M Wjf.n/j(cid:6)"jg.n/j
C
O.(cid:4)/ dasgroßeLandau-Symbol,definierthierfürFunktionenaufN im
Limitn!1als
f.n/2O.g.n//für.n!1/
W, 9C 2R;M 2N8n>M Wjf.n/j(cid:6)C jg.n/j
Abkürzungsverzeichnis
ONB stehtalsAbkürzungfürOrthonormalbasis,diemaximaleMengelinearun-
abhängiger Einheitsvektoren in einem Vektorraum mit Skalarprodukt, die
paarweiseorthogonalsind.
EPR Einstein-Podolsky-Rosen, drei Autoren eines Artikels [1] aus dem Jahre
1935, in dem kontraintuitive Effekte der Quantenmechanik als Argument
fürdieUnvollständigkeitderselbenangführtwerden.
CHSH Clauser-Horne-Shimony-Holt,vierAutoreneinerin[2]gezeigtenVerallge-
meinerungderBell’schenUngleichung.