Mathematik

1623 Pages·2015·6.66 MB·German

by  Tilo Arens

Tilo Arens
Frank Hettlich
Christian Karpfi nger
Ulrich Kockelkorn
Klaus Lichtenegger
Hellmuth Stachel
MMaatthheemmaattiikk
3. Aufl age
Mathematik
(cid:2) (cid:2)
Tilo Arens Frank Hettlich
(cid:2) (cid:2)
Christian Karpfinger Ulrich Kockelkorn
(cid:2)
Klaus Lichtenegger Hellmuth Stachel
Mathematik
3. Auflage
TiloArens UlrichKockelkorn
Karlsruhe,Deutschland Berlin,Deutschland
FrankHettlich KlausLichtenegger
Karlsruhe,Deutschland Graz/Wieselburg,Österreich
ChristianKarpfinger HellmuthStachel
München,Deutschland Wien,Österreich
ISBN978-3-642-44918-5 ISBN978-3-642-44919-2(eBook)
DOI10.1007/978-3-642-44919-2
DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;detaillierte
bibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar.
SpringerSpektrum
©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2008,2011,2015
DasWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlichgeschützt.JedeVerwertung,dienichtausdrücklich
vomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags.Dasgiltinsbesonderefür
Vervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,MikroverfilmungenunddieEinspeicherungundVerarbeitung
inelektronischenSystemen.
DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerkberechtigtauch
ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und
Markenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermannbenutztwerdendürften.
DerVerlag,dieAutorenunddieHerausgebergehendavonaus,dassdieAngabenundInformationenindiesem
WerkzumZeitpunktderVeröffentlichungvollständigundkorrektsind.WederderVerlagnochdieAutorenoder
dieHerausgeberübernehmen,ausdrücklichoderimplizit,GewährfürdenInhaltdesWerkes,etwaigeFehleroder
Äußerungen.
PlanungundLektorat:Dr.AndreasRüdinger,BiancaAlton
Grafiken:ThomasEppunddieAutoren
Einbandentwurf:deblik,Berlin
Einbandabbildung:©JosLeys
GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier.
Springer-Verlag GmbH Berlin Heidelberg ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media
(www.springer.com)
Vorwort
Vorwort zur 3. Auflage
NichtinersterLiniedasGewichtdesgedrucktenBuchs,sonderndieverstärkteNutzungelektronischer
MedienunterdenStudierendengabdemVerlagundunsdenAnlass,eineneuedritteAuflageunseres
LehrbuchsMathematikinAngriffzunehmen.JetzterscheintunserWerkalsoauchalsE-Book.Ganz
ohneModifikationengegenüberder2.Auflagewardiesnichtzuhaben.Aberwirglaubenmitdemnun
vorliegendenKonzeptsowohldenLeserinnen undLesern desgedrucktenWerksals auch denender
diversenelektronischenFormatediemathematischenInhalteweiterhinindervonunsbeabsichtigten
ansprechendenundanregendenWeisebereitstellenzukönnen.
Für die vielen konstruktivenAnmerkungenund Anregungenvon Leserinnen und Lesern der vorhe-
rigen Auflagen sind wir sehr dankbar und haben die Gelegenheit genutzt, die dabei aufgefallenen
KorrektureneinzuarbeitenundFormulierungenabzurunden.Darüberhinaussindaneinigenwenigen
Stellen Ergänzungenvorgenommenworden.So ist gleich im ersten Kapitel eineÜbersichtzur Mo-
dellbildunghinzugekommen,einem Thema, das sicherlich für die meisten Studierenden im Verlauf
des Studiumsan beträchtlicher Relevanz gewinnenwird. Dazu passendist in Kap. 24 eineBox zur
Fehler-undSensitivitätsanalyseeingefügtworden.
Wirwünschenuns,dasswirIhneninsbesonderedurchdieneuenelektronischenFormatemitunserem
Werk eine hilfreiche Quelle und motivierende Grundlage zum Lernen von Mathematik zur Verfü-
gungstellen. Darüber hinausnutzen wir dieGelegenheit, dem Verlag undallen, die ihrKnow-How
eingebracht haben, ganzherzlich zu danken für die gelungene,nichtimmer unproblematischeFull-
Text-XML-AuszeichnungunseresLehrbuchs,dieGrundlagesowohlfürdasgedruckteBuchwieauch
fürdieverschiedenendigitalenAusgabeformendieserAuflageist.
Heidelberg,2015 TiloArens,FrankHettlich,ChristianKarpfinger,
UlrichKockelkorn,KlausLichtenegger,HellmuthStachel
Vorwort zur 2. Auflage
EinsehrpositivesEchohatunsgezeigt,dassunserLehrbuchfürvieleStudierendeundInteressiertedie
sinnvolleHilfebietet,diewirerreichenwollten.DahersindzwarkeineprinzipiellenÄnderungener-
forderlichgeworden,abermitderzweitenAuflagewerdennuneinigeinhaltlicheAspekteabgerundet.
SelbstverständlichwurdenalleaufgefallenenErratadererstenAuflagekorrigiertundgegebenenfalls
missverständlicheFormulierungenüberarbeitet.
Eine Neuerung ist das Symbolverzeichnis,zusammengestelltzur schnelleren Orientierung. Darüber
hinauskonnteneinigeThemensowieeinigeÜbungsaufgabenzusätzlichaufgenommenwerdenohne
die Seitenzahl spürbar zu erhöhen. Es wird zum Beispiel nun der Begriff der Abzählbarkeit erläu-
tert. Auch das häufig genutzte QR-Verfahren zur Bestimmung von Eigenwerten wird behandelt. In
einerneuenVertiefungwirddieDimensionsanalysedermathematischenModellierungangesprochen.
DarüberhinaussindeinigeÜbersichtenetwazuQuadrikenneuhinzugekommen.
AufderWebsitestehtweiterhinergänzendesMaterialwieLösungenundBonusmaterialfreizugäng-
lichzurVerfügung.DasArbeitsbuchmitdengedrucktenAufgabenundLösungenerscheintineiner
V
VI Vorwort
zweiten Auflage, ebenso die DVD für Dozenten. Die Kurzzusammenfassung Mathematik zum Mit-
nehmen und das Buch Ergänzungen und Vertiefungen, also das gedruckte Bonusmaterial, bleiben
unverändertnutzbar.
MitderverbessertenzweitenAuflagemöchtenwirIhnenweiterhineinLehrbuchzurVerfügungstel-
len,dasnebenderVermittlungvonWissenauchIhreFreudeanderMathematikundIhreMotivation
zumLernenfördernmöchte.FürdievielennützlichenHinweiseundAnregungenzurerstenAuflage
sind wir allen Lesern und Dozenten sehr dankbar. Die gewissenhafte Zusammenstellung und Auf-
arbeitung dieser Anmerkungen durch den Verlag hat es ermöglicht, mit der zweiten Auflage einen
systematisch korrigierten und überarbeiteten Text anzubieten. Dafür danken wir Autoren den enga-
giertenMitarbeiterndesVerlagssehr.
Heidelberg,2011 TiloArens,FrankHettlich,ChristianKarpfinger,
UlrichKockelkorn,KlausLichtenegger,HellmuthStachel
Vorwort zur 1. Auflage
SechsAutorenmitunterschiedlichenErfahrungen,einengagierterVerlagunddasehrgeizigeProjekt
einneuartigesMathematiklehrbuchzuschreiben–dasallesdeutetauflangwierigeDiskussionenhin.
Aber schon früh in der Entstehungsphase dieses Werks stellte sich heraus, dass sich das Team bei
wesentlichenInhaltenschnelleinigenkonnteundsichgegenseitigsinnvollergänzte.DerLeitgedanke,
denStoffverständlich,motivierendundeinprägsamzuvermitteln,standdabeistetsimVordergrund.
UnserAugenmerkgaltvorallemdengrundlegendenKonzepten,dieausderAnwendungvonMathe-
matikinNatur-undIngenieurwissenschaftennichtwegzudenkensind.
WirAutorenhabendieArbeitamBuchalssehrbereicherndempfundenundhoffen,Ihneneinwenig
vondieserIntentionmitzugeben,sodassIhrInteresseundvielleichtsogarIhreBegeisterungfürMa-
thematikaufkeimenkönnen.DiesesWerkmöchteIhnennebendemmathematischtechnischenWissen
auchdieBedeutungvonMathematikfürIhrFachdeutlichmachen.ErstmiteinergewissenÜbersicht
über die mathematischen Grundlagen können Sie das nötige Vertrauen in Ihr eigenes Arbeiten mit
mathematischenMethodenbekommen.
WirwünschenIhnenvielFreudeundErfolgmitdiesemBuchundinIhremStudium.
SelbstverständlichenstehteinsoumfangreichesWerknichtohneAustauschmitanderen.Denvielen
Kollegen,dieunsdurchihreArbeitenunddurchGesprächeIdeenmitaufdenWeggegebenhaben,sind
wirdankbar.InsbesonderedieBemerkungenundAnregungenvonStdRP.Feldner,Dipl.Math.techn.
A. Helfrich-Schkarbanenko, Prof. Dr. A. Kirsch, Dr. M. Kohls, T. Knott, Dipl.Math. A. Lechleiter,
Dr.H.Schon,Dr.K.-D.Reinsch,Dipl.Math.techn.S.Ritterbuschwarenhilfreich.EinguterTeilder
AbbildungenistmitOpenGeometryerstellt.WirdankenHerrnProf.GeorgGlaeserfürseineUnter-
stützung.UnserDankgiltauchFrauMonikaBehrens,fürdieEingabevonTeilendesManuskriptsin
LATEX, und Herrn Thomas Epp für dieUmsetzung vonTexten in LATEX unddie Ausarbeitungvieler
Bilder.DassorgsameRedigierenderTextedurchHerrnMartinRadkewarunseinegroßeHilfe.Ganz
besondersbedanken wir uns für die von beeindruckenderSachkenntnisgetragene, konstruktiveund
ideenreicheZusammenarbeitmitHerrnDr.AndreasRüdingerundseinerKolleginFrauBiancaAlton
vomVerlagSpektrumAkademischerVerlag.
Heidelberg,2008 TiloArens,FrankHettlich,ChristianKarpfinger,
UlrichKockelkorn,KlausLichtenegger,HellmuthStachel
Bemerkungen für Dozenten
DasvorliegendeWerkverfolgtzweiZiele.ZumeinenbieteteseineumfassendeDarstellungvonMa-
thematik, wie sie in den ersten Semestern an Hochschulen in nicht mathematischen Studiengängen
unterrichtetwird.AndererseitsermöglichteseinenEinstiegundÜbersichtinBereichederMathema-
tik,diejenachSpezialisierungdemAnwendervonmathematischenKonzepteninhöherenSemestern
oderinderberuflichenPraxisbegegnen.InhaltlichgehenwiralsoineinigenKapitelnüberdashinaus,
was etwaineinemKurszurHöherenMathematikbehandeltwerdenkann.DanebenderModellbil-
dungsowohlnumerischealsauchstatistischeFragestellungenkontinuierlichanBedeutunggewinnen,
bleibtdasBuchauchnachderGrundausbildungeinverlässlicherBegleiterinStudiumundBeruf.
Die Erfahrung zeigt, dass ein relativ formal orientierter Schreibstil häufig abschreckend wirkt auf
Leser,dieMathematiknichtimHauptfachstudieren.DeswegenhabenwirdieklassischeStrukturvon
Definition,SatzundBeweisaufgebrochen.DabeiwirdnichtaufExaktheitverzichtet,diewiralsein
zentralesLernzielvonMathematikanSchulenundHochschulensehen.
Das Werk erhebt nicht den Anspruch, beweisvollständig zu sein. Herleitungen können aber einen
wichtigen Beitrag zum Verständnis von Aussagen leisten. Daher haben wir überall dort, wo es uns
inhaltlich geboten erscheint, Beweise vollständig präsentiert. Sind eine Vielzahl beweistechnischer
Schritteauszuführen,verzichtenwiraufdiekompletteFormulierung.IndiesenFällenverweisenwir
aufentsprechendeLiteraturoderverlagerndieAusführungenindasBonusmaterial,dasaufderWeb-
sitezumBuch(matheweb)zufindenist.
SpeziellzurStoffauswahlundPräsentationdesMaterialsmöchtenwirexemplarischeinpaarDiskus-
sionendesAutorenteamsunddesVerlagsandieserStelleherausgreifen.
KomplexeZahlenwerdenentgegenandererZugängemitandenAnfanggestelltundindenfolgenden
Abschnittenimmerwiederaufgegriffen. Diesbewirkt,dasssichderLeserim LaufederZeitan den
UmgangmitkomplexenGrößen gewöhnt.Das hatsich in unseren Lehrveranstaltungenbewährt, da
komplexe Zahlen üblicherweise in den Schulen nicht behandelt, aber später als selbstverständlich
vorausgesetztwerden.AußerdemergibtsichdieMöglichkeit,Potenzreihenunddiedarausdefinierten
elementarenFunktionenfrühzeitigmitkomplexenArgumenteneinzuführen.
An vielen Stellen wird versucht, Zugänge zu den Begriffen aufzuzeigen, die den Leser nicht mit
zusätzlichen, später nicht benötigten Konzepten überfrachten. Wir verzichten etwa auf eine .";ı/-
DefinitionderStetigkeitundstützendenBegriffallein aufFolgen,dieschonausnumerischerSicht
für dieAnwendungenzentralsind.Aus demselbenGrundhabenwir unsbeiderIntegrationstheorie
fürdasLebesgue-Integralentschieden.DiesvermeidetspäterdieoftzubeobachtendeVerunsicherung,
die beianwendungsrelevantenThemen wie der Fouriertheorieoderder schwachen Behandlungvon
Differenzialgleichungenaufkommt.
EineSchwierigkeitderMathematikausbildungindenAnwendungsfächernbestehtinderAbstimmung
mitanderenVorlesungenderGrundausbildung.IndiesenVorlesungenwerdenmathematischeTech-
nikenangewandt,dieindenVeranstaltungenzurMathematiknochnichteingeführtsind.Diesistein
grundsätzliches Problem, das sich nicht immer vermeiden lässt. Klassische Beispiele sind mehrdi-
mensionaleIntegrationundgewöhnlicheDifferenzialgleichungen.Beiletzteren habenwirunsdafür
entschieden, die notwendigen Lösungstechniken früh zu bringen, sobald die entsprechenden Mittel
derAnalysisbereitstehen.DiesgeschiehtamEndedeszweitenTeilsdesBuchs.Andererseitsstehen
zudiesemZeitpunktdieBegriffederlinearenAlgebra,diefürdieLösbarkeitstheoriebenötigtwerden,
nochnichtzurVerfügung.SoenthältdasKap.13dieLösungstechniken,diefürdasVerständnisder
Anwendungenbenötigtwerden – dievollständigeTheorieliefert das Kap.28nach.Auchwennwir
VII
VIII BemerkungenfürDozenten
lieberaufeinensolchenSpagatverzichtethätten,erscheinterausderSichtderStudierendensinnvoll
undmotivierend.
Diese Aspekte sollen Ihnen einen kurzen Eindruck geben von den vielen Überlegungen, die in das
didaktischeDesigneingeflossensind.AusunsereneigenenErfahrungenalsDozentenwissenwir,wie
dankbarsinnvolleSkizzenundBilderindenVorlesungenundÜbungenaufgenommenwerden.Daher
findenSieaufderzumBucherhältlichenDVDalleBilderdesBuchszusammengestellt,sodassdiese
von Ihnen eingesetzt werden können. Außerdem stellen wir Ihnen die Aufgaben und Lösungen in
FormdesLATEX-QuellcodeszurVerfügung.
WirAutorenundderVerlaghabenindenletztenJahrenvielZeitundEnergieinvestiert,umfürStu-
dierendeundDozenteneinWerkzuerstellen,dasdieLehrebestmöglichunterstützt.Wirwürdenuns
sehrfreuen,wennSiedasBucheinsetzenundIhrenStudierendenempfehlen.FürKritik,Kommentare
undAnmerkungensindwirjederzeitdankbar.
Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth
Stachel
Inhaltsverzeichnis
TeilI EinführungundGrundlagen
1 Mathematik–WissenschaftundWerkzeug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 ÜberdiesesLehrbuch,MathematikerundMathematik . . . . . . . . . . . 4
1.2 MathematikfürIngenieureundNaturwissenschaftler . . . . . . . . . . . . 8
1.3 DiedidaktischenElementediesesBuches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 RatschlägezumStudiumderHöherenMathematik . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Logik,Mengen,Abbildungen–dieSprachederMathematik . . . . . . . . . . . 15
2.1 EinebeweisendeWissenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 GrundbegriffederAussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Definition,Satz,Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 ElementareMengenlehre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7 MächtigkeitvonMengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
AntwortenderSelbstfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Rechentechniken–dieWerkzeugederMathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1 Terme,BrücheundPotenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 GleichungenundUngleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 VonBetragundAbschätzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4 SummenundProdukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5 DievollständigeInduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
AntwortenderSelbstfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4 ElementareFunktionen–BausteinederAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.1 ReellwertigeFunktioneneinerVeränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
IX
X Inhaltsverzeichnis
4.3 DieExponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.4 TrigonometrischeFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
AntwortenderSelbstfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5 KomplexeZahlen–RechnenmitimaginärenGrößen . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.1 DieMengederkomplexenZahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.2 GeometrischeDarstellungderkomplexenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.3 MengenundTransformationeninderkomplexenEbene . . . . . . . . . . 153
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
AntwortenderSelbstfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
TeilII AnalysiseinerreellenVariablen
6 Folgen–derWeginsUnendliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1 DerBegriffeinerFolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.2 ElementareEigenschaftenvonZahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.3 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.4 *TeilfolgenundHäufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.5 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
AntwortenderSelbstfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7 StetigeFunktionen–kleineUrsachenhabenkleineWirkungen . . . . . . . . . 195
7.1 ZurDefinitionvonFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.2 BeschränkteundmonotoneFunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.3 DieUmkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.4 GrenzwertefürFunktionenunddieStetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.5 KompakteMengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.6 Sätzeüberreellwertige,stetigeFunktionenmitkompaktem
Definitionsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
AntwortenderSelbstfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8 Reihen–SummierenbiszumLetzten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.1 DieIdeederReihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.2 KriterienfürKonvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243