Mathematik 1: Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge

633 Pages·2008·54.07 MB·German

by  Prof. Dr. Albert Fetzer

Springer-Lehrbuch
Albert Fetzer · Heiner Fränkel
Mathematik 1
Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche
Studiengänge
Mit Beiträgen von
Akad. Dir. Dr. rer. nat. Dietrich Feldmann
Prof. Dr. rer. nat. Albert Fetzer
Prof. Dr. rer. nat. Heiner Fränkel
Prof. Dipl.-Math. Horst Schwarz†
Prof. Dr. rer. nat. Werner Spatzek
Prof. Dr. rer. nat. Siegfried Stief
10.,bearbeiteteAuflage
Mit316Abbildungen
123
Prof.Dr.AlbertFetzer ProfessorDr.HeinerFränkel
HochschuleAalen HochschuleUlm
Beethovenstraße1 Prittwitzstraße10
73430Aalen 89075Ulm
[email protected] [email protected]
ISBN 978-3-540-68923-2 e-ISBN 978-3-540-68929-4
DOI 10.1007/978-3-540-68929-4
Springer-LehrbuchISSN0937-7433
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GedrucktaufsäurefreiemPapier
987654321
springer.de
Vorwort zur zehnten Auflage
Seit dreißig Jahren verwenden Studenten und Lehrkräfte der technischen Hochschulen unser
Mathematikwerk gerne als Arbeitsmittel, sodass es nun mit leichten Korrekturen versehen in
zehnterAuflageerscheinenkann.WirdankenunserenLesernfürihrInteresse,fürihrenpositiven
ZuspruchundfreuenunsweiterhinüberVerbesserungsvorschläge.
Aalen,UlmimSommer2008 AlbertFetzer
HeinerFränkel
Vorwort zur vierten Auflage
SeitfastzwanzigJahrenwirddasvorliegendeMathematikwerkvonStudentenundDozentenan
Fachhochschulenund Technischen Hochschulen verwendetund hat sich sowohl als Lehr- und
LernmittelwieauchalsautodidaktischesHilfsmitteläußerstgutbewährt.
Neue Aufgabengebieteund Anforderungender betreffendenBildungseinrichtungenhaben nun
jedocheinevollständigeÜberarbeitungnotwendigerscheinenlassen. DamitwirdderEntwick-
lungimBereichvonComputer-undKommunikationstechnikRechnunggetragen.Berücksichtigt
wirdauch,daßderComputereinsatzneueArbeitsmethodenundAlgorithmenermöglicht.
DieAufnahmeneuerStoffgebietemachteeinestraffereDarstellungeinigerKapitelerforderlich.
DieInhaltewurdennunmehraufzweiBändeverteilt.
FolgendeThemenwurdenzusätzlichaufgenommen:
(cid:129) GeometrischeTransformationenund KoordinatentransformationenimR2 undR3
(cid:129) EigenwertevonMatrizen
(cid:129) ProblematikderRundungsfehlerbeinumerischenVerfahren
(cid:129) QR-Algorithmus
(cid:129) KubischeSplines
(cid:129) Fourier-Transformation
(cid:129) LineareDifferentialgleichungenderOrdnung nmitkonstantenKoeffizienten
(cid:129) NumerischeVerfahrenfürAnfangswertaufgaben
InhaltdiesesBandes
1 Mengen,reelleZahlen
2 Funktionen
3 ZahlenfolgenundGrenzwerte
4 GrenzwertevonFunktionen;Stetigkeit
5 KomplexeZahlen
VI VorwortzurviertenAuflage
6 LineareGleichungssysteme,Matrizen, Determinanten
7 Vektoren undihre Anwendungen
8 Differentialrechnung
9 Integralrechnung
Die Abschnitte 1 und 2 enthalten Grundbegriffe, die zum VersHindnis der folgenden Kapitel
unerHiBlichsind. DieAbschnitte 3und4bereitendieDifferential-und Integralrechnungvor.
Die Abschnitte 5, 6 und 7konnen in beliebiger Reihenfolge (auch parallel zum Analysis-Kurs)
erarbeitet werden. Dabei wird den Wunschen der Kollegen Rechnung getragen, die technische
Facher lehren und Kenntnisse, z.B. uber komplexe Zahlen, bereits im ersten Studiensemester
voraussetzenmussen.
Abschnitt 7 wird erganzt durch geometrische Transformationen und Koordinatentransforma
tionen, die z.B. in der Computergrafik eine zentrale Rolle spielen. AuBerdem werden die
EigenwertevonMatrizenbehandeltsowiederQR-Algorithmus,derbeischlechtkonditionierten
Gleichungssystemenoft bessere Ergebnisseerzielt als der ubliche (auch modifizierte)GauBsche
Algorithmus.
InAbschnitt8wirddieDifferentialrechnungbehandelt.DabeiwurdederklassischeWeggewahlt,
namlichausgehendvondemanschaulichenProblem,dieTangenteaneinemPunkteinerKurve
zudefinieren.AnschlieBenderfolgtdieabstrakteDefinitionderAbleitungmitdemHinweis,daB
diese Abstraktion mehrere physikalische oder technische Interpretationen zulaBt. Alsdann
werdenzur bequemenHandhabungRechenregeln(ein Kalkul)hergeleitet. Besonderseingegan
genwirdaufdieeinseitigenAbleitungen,dadieinderPraxisauftretendenFunktionenoftStellen
aufweisen,indenennureinseitigeAbleitungenexistieren.Erinnertseiz.B.andieBetragsfunktion.
ZumweiterenAufbauderDifferentialrechnungundzurHerleitungz.B.derTaylorschenFormel,
derRegelnvon Bernoulli-del'HospitalsowiederKurvendiskussionwirdderMittelwertsatzder
Differentialrechnungbenotigt.
Abschnitt9befaBtsichmitderIntegralrechnung.AusgehendvonderBerechnungdesFlachenin
halts wird das bestimmte Integral als Grenzwert der Riemannschen Zwischensummedefiniert.
DerHauptsatzderDifferential-undIntegralrechnungstelltdanneinenZusammenhangzwischen
diesenTeilgebietender Mathematik her. Damiterhalt man einen Kalkul zur Berechnungeines
bestimmtenIntegrals,namlich uberdas Aufsuchenvon Stammfunktionen. Durch die uneigent
lichenIntegralewirdderBegriffIntegrierbarkeiterweitert,wodurchauchneueFunktionen,z.B.
die Gamma-Funktion,definiertwerdenkonnen.
InhaltdeszweitenBandes
Anwendung der Differential- und Integralrechnung, Reihen, Funktionen mehrerer Variablen,
komplexwertige Funktionen,gewohnlicheDifferentialgleichungen.
Eine Vielzahl von Beispielen und Abbildungen veranschaulichen und vertiefen auch in diesen
beiden Banden den Stoff. Zahlreiche Aufgaben mit Losungen zujedem Kapitel erleichtern das
Selbststudiurn.
WirdankendemVDI-Verlagfur dieguteZusammenarbeit.
Dusseldorf, Marz 1995 AlbertFetzer
HeinerFrankel
Auszug aus dem Vorwort zur ersten Auflage
Zielgruppen
Das dreibandige Werk richtet sich hauptsachlich an Studenten und Dozenten der technischen
FachrichtungenanFachhochschulen.AuchStudentenanUniversitatenundTechnischenHoch
schulenkonnenes wahrendihrermathematischenGrundausbildungmitErfolgverwenden. Die
Darstellungdes ausgewahlten Stoffesistso ausfiihrlich,daBes sichzumSelbststudiumeignet.
Vorkenntnisse
Der Leser sollte mit der Bruch-, Potenz, Wurzel- und Logarithmenrechnung, der elementaren
Geometriesowie mit der Trigonometrievertraut sein; dennoch werden diese Themen teilweise
angesprochen.
Stoffauswahl
Den Autoren war klar, daB die Mathematikfiir die oben angesprochenen Zielgruppen(bis auf
einzelneAusnahmen)immernurHilfswissenschaftseinkann.Siebemiihtensich,dieStoffauswahl
aufgrundderErfordernissederverschiedenenStudiengangeandentechnischenFachrichtungen
der Fachhochschulen vorzunehmen. Die Fragestellung war also: Welche Themen sind fiir die
technischenStudiengangewichtig?
Gehtmanz.B.davonaus,daBdieStudentenamEndedermathematischenGrundausbildungin
derLageseinsollen,eineDifferentialgleichungaufstellenundlosenzukonnenoderdieFourier
reiheeinerFunktionzubestimmen,soimplizierendieseZieleeineausfiihrlicheBehandlungder
Differential-undIntegralrechnung. DadieAbleitungunddas bestimmteIntegraldurch Grenz
werte definiert werden, ergibt sich daraus als ein Groblernziel der Begriffdes Grenzwertes; er
erweist sich sogar als einer der wichtigsten Begriffe der anwendungsorientierten Mathematik.
Dieses Thema wird deshalb besonders ausfiihrlich dargestellt. Dabei werden verschiedene
Grenzwerte (z.B. von Zahlenfolgen, Funktionen usw.) auf einheitliche Weise mit Hilfe des
Umgebungsbegriffesdefiniert.
Darstellung
BesondererWert wurde aufeine weitgehendexakte und doch anschauliche Darstellunggelegt.
Das erfordert, einerseits Beweise mathematischer Satze nicht fortzulassen und andererseits sie
durch Beispiele und Zusatzbemerkungenzu erhellen. Da die Beweiseeiniger Satzejedochiiber
den Rahmen dieses Buches hinausgehen, wurde in solchen Fallen der Beweis ersetzt durch
zusatzliche Gegenbeispiele,diedieBedeutungderVoraussetzungenerkennenlassen.
IndenNaturwissenschaftentretenObjekteauf,diedurchMaBzahlenundEinheitenbeschrieben
werden:EineStreckederLange27cm,einWiirfelmitdemVolumen27cm3 eineSchwingungmit
,
der Periode 27s und der Amplitude 3cm. Die Worte »Lange«, »Volumen«, »Periode« u.a.
werden andererseits auch innerhalb der Mathematik in ahnlichem Zusammenhangverwendet,
hierallerdingslediglichdurchZahlenbeschrieben: DasIntervall [-7,20J hatdieLange27,der
durch die Punktmenge {(x,y,z)IO~x~ 3 und 0~y~3 und -1 ~z~2} definierte Wiirfel
2n
hat das Volumen (den Inhalt) 27, die durch f(x) = 3·cos-x definierte Funktion f hat die
27
VIII VorwortzurerstenAuflage
Periode27 unddieAmplitude 3. Innerhalbder Mathematikistes dahernichtsinnvoll, von der
MaBzahlder Langedes Intervalls [- 7,20J usw. zusprechen. Wendetmandie Mathematikauf
dieNaturwissenschaftenan, sofuhrt manz.B.einKoordinatensystemimgegebenenKarperein
undzwarzweckmaBigso, daB die MaBzahlen,die den Karper beschreiben,gleichjenenZahlen
sind, dieihninnerhalbder Mathematik beschreiben.
Hinweisefor denBenutzer
DieStrukturierungisteinwertvollesdidaktischesHilfsmittel,aufdasdieAutorengernezuruck
gegriffenhaben.
DieHauptabschnittewerdenmiteinstelligen,dieTeilabschnittemitzweistelligenNummernusw.
versehen.AmEndeeinesjedenTeilabschnittesfindetderLeserausgewahlteAufgaben(schwierige
AufgabensindmiteinemSterngekennzeichnet),anHandderererprufenkann,oberdasLernziel
erreichthat.ZurKontrollesinddieLosungenmitLasungsganginknapperFormimAnhangzu
finden.
Definitionen sind eingerahmt, wichtige Formeln grau unterlegt, Satze eingerahmt und grau
unterlegt. DasEndedes Beweiseseines Satzesistdurcheinendicken Punktgekennzeichnet.
OftwerdenDefinitionenundSatzedurchanschlieBendeBemerkungenerlautert,odereswirdauf
Besonderheitenhingewiesen.
Hannover,August 1978 AlbertFetzcr
HeinerFrankel
Inhalt
1 Mengen, reelle Zahlen . . . . . . . . . .
1.1 Begriffe und Sprechweisen . . . . .
1.2 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Die Menge der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Grundgesetze derAddition und der Multiplikation . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Grundgesetze der Anordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 Eigenschaften der Vollstandigkeit . . . . . . . . . . . . . . 12
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Vollstandige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1 Summenschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2 Vollstandige Induktion bei Summenformeln . . 15
1.4.3 Vollstandige Induktion bei Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.4 BinomischerSatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Einige spezielle Funktionen 28
2.1.2 Umkehrfunktion und Verkettung von Funktionen . . . . . . . 30
Aufgaben . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.1 Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.2 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4 Potenzfunktionen . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5 Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . .. 58
2.5.1 Sinusfunktionund Kosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5.2 Tangensfunktion und Kotangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5.3 Arcus-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
X Inhalt
3 Zahlenfolgenund Grenzwerte . . . . . . 70
3.1 Definition und Eigenschaften von Folgen .... 70
Aufgaben . 74
3.2 Konvergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2.1 Grenzwert einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2.2 Rechnen mit Grenzwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3 Monotone und beschdinkte Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.3.1 Konvergenzkriteriummonotoner Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.3.2 Die EulerscheZahle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.4 Die e- und die In-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.1 Grenzwert von f flir x-+00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2 Grenzwert von f flir x-+Xo . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.2.1 Definitiondes Grenzwertes vonf ftir x-+Xo . . . . . . . . . . . . . . 118
4.2.2 Einseitige Grenzwerte; Uneigentliche Grenzwerte . . . . . . . . . . . 125
4.2.3 Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.3 Stetigeund unstetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.3.1 Definitionder Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.3.2 Klassifikation von Unstetigkeitsstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.3.3 Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.4 Allgemeine Exponential- und Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . 156
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.5 Die hyperbolischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen . . . . . . . 161
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.6 Spezielle Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5 Die komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.1 Definition der Menge C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.2 TrigonometrischeDarstellungkomplexerZahlen 183
Aufgaben . 187
Inhalt XI
5.3 Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.1 LineareGleichungssysteme;das GauBscheEliminationsverfahren . . . . . . . . 199
6.1.1 Vorbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 199
6.1.2 Das GauBsche Eliminationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.2 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.2.2 Addition und Multiplikation von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . 208
6.2.3 Die Inverse einer Matrix. 216
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . 218
6.3 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.3.1 Definition der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.3.2 Eigenschaften der Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
6.3.3 Berechnung der Inversen einer reguHiren Matrix. . . . . . . . . . . . . 228
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.4 Lineare Gleichungssysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 233
6.4.1 Allgemeines iiber die Losungen von Gleichungssystemen . . . . . . . . . 233
6.4.2 Quadratische, lineare Systeme mit reguUiren Matrizen . . . . . . . . . . . 237
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7 Vektoren und ihre Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
7.1 Vektoroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.1.1 Vektoraddition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.1.2 ProdukteinesVektorsmiteinerreellenZahl . . 250
7.1.3 DasSkalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
7.1.4 Das vektorielle Produkt . . . . . . . . . . . . . . . 259
7.1.5 Das Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
7.2 Vektorrechnung unter Verwendung eines Koordinatensystems . . . . . . . . . 267
7.2.1 Lineare Abhangigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 267
7.2.2 Komponentenschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 270
7.2.3 Anwendung in der Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 279
7.2.4 Mehrfachprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
7.3 Geometrische und Koordinaten-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . 294
7.3.1 Geometrische 3D-Transformationen .... ~ . . . . . . . . . . . . . 295
7.3.2 Koordinatentransformationen . . 305
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309