Mathematica 5. Самоучитель

581 Pages·32.191 MB·Russian

by  Шмидский Я.К.

Я.К. Шмидский
АЦАЛЕКМЛСА
Москва • Санкт-Петербург • Киев
2004
ББК 32.973.26-018.2.75
UI73Z
УДК 681.3.07
Компьютерное издательство “Диалектика!’
Зав. редакцией Л.В. Слепцов
По общим вопросам обращайтесь в издательство “Диалектика” по адресу:
[e-mail], http://www.dialektika.com
Шмидский, Я. К.
Ш37 Mathematica 5. Самоучитель.: - М.: Издательский дом “Вильямс”, 2004. - 592 с.: ил.
ISBN 5-8459-0678-4 (рус.)
Эта книга — самоучитель и практическое руководство по новейшей версии пакета
компьютерной алгебры Mathematica 5. В ней доступно и подробно рассмотрены примеры
решения всех типовых задач основных разделов элементарной и высшей математики —
арифметики, алгебры, геометрии, математического анализа и теории дифференциальных
уравнений. Подробно рассмотрено построение графиков функций в декартовой и поляр­
ной системах координат. Для функций двух переменных описано построение поверхно­
стей, контурных графиков, линий уровня и графиков плотности. Даны примеры решения
типовых задач математического анализа — нахождение пределов, производных и инте­
гралов. Обсуждаются также мультимедийные средства системы Mathematica — обработка
звука и изображений, в частности мультипликация. В заключительной главе обсуждает­
ся новый вид науки — наука о сложном — и поведение клеточных автоматов. Предвари­
тельное знакомство читателя с компьютерной алгеброй не предполагается.
ББК 32.973.26-018.2.75
Вес названия программных продуктов являются зарегистрированными торговыми марками соот­
ветствующих фирм.
Никакая часть настоящего издания пи в каких целях нс может быть воспроизведена в какой бы то
ни было форме и какими бы то пи было средствами, будь то электронные или механические, включая
фотокопирование и запись на магнитный носитель, если на это пет письменного разрешения издательст­
ва “Диалектика”
Copyright © 2004 by Dialcktika Computer Publishing.
All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form.
ISBN 5-8459-0678-4 (pyc.) © Компьютерное изд-во “Диалектика”, 2004
Оглавление
Благодарности 12
Введение 14
Глава 1. Исторический обзор и первое знакомство 20
Глава 2. Первое знакомство — калькулятор 34
Глава 3. Числа, их представление и операции над ними 57
Глава 4. Арифметика: разложение целых чисел на простые множители 114
Глава 5. Арифметика: простые числа 136
Глава 6. Арифметика: наибольший общий делитель
и наименьшее общее кратное 167
Глава 7. Модулярная арифметика: деление с остатком, вычеты,
сравнения и китайскаят еорема об остатках 186
Глава 8. Числовые функции 215
Глава 9. Мультимедиа: геометрия, графика, кино, звук 241
Глава 10. Алгебра и анализ 333
Глава 11. За гранью простого 369
Приложение А. Ответы и решения задач 388
Приложение Б. Таблицы 410
Предметный указатель 572
Содержание
Благодарности
Введение
Комментарий к рисункам на обложке книги
Глава 1. Исторический обзор и первое знакомство
Что такое компьютерная алгебра
История компьютерных вычислений и возникновение
компьютерной алгебры
Отличия систем компьютерной алгебры от традиционных систем
программирования
Как начать
Mathematica — лучшая современная интегрированная система
компьютерной алгебры
Что такое система Mathematica
Концепция системы Mathematica
Применение системы Mathematica
Кто использует систему Mathematica
Развитие системы Mathematica
Расширение системы Mathematica
Описание некоторых стандартных пакетов Mathematica
Новое в версии Mathematica 5
Резюме
Задачи
Глава 2. Первое знакомство — калькулятор
Знакомство с системой Mathematica
Арифметические действия над числами
Функции
Блокнот и меню
Алгебраические преобразования
Построение графиков
Построение графиков функций одной переменной
Построение графиков функций двух переменных
Анализ
Дифференцирование
Интегрирование
Суммы
Разложение в ряд Тейлора
Вычисление пределов
Списки и линейная алгебра
Списки
Векторы
Матрицы
Уравнения
Экстремумы функций
Линейное программирование
Резюме
Задачи
Глава 3. Числа, их представление и операции над ними 57
Что такое число 57
Представление вещественных чисел систематическими дробями: функция N.
Разрядность и точность вещественных чисел: функции Precision и Accuracy 59
Разрядность и точность при выполнении операций над числами 61
Отбрасывание малых вещественных чисел: функция Chop 62
Целая и дробная части вещественного числа 63
Целая часть вещественного числа: функции Floor и IntegerPart 63
Дробная часть вещественного числа: функция Fractional Part 64
Приближение вещественных чисел рациональными: функция Rationalize 79
Позиционные системы счисления 80
Преобразование в десятичную систему счисления 80
Преобразование из десятичной системы счисления в недесятичную 80
Число как последовательность (список) цифр 81
Экспоненциальное представление чисел: функция MantissaExponent 92
Модуль (абсолютная величина) числа: функция Abs 93
Знак числа: функция Sign 93
Числитель и знаменатель числа: функции Numerator и Denominator 93
Цепные дроби 94
Представление числа непрерывной дробью: функция ContinuedFraction 94
Преобразование непрерывной дроби в число: функция
FrorhContinuedFraction 111
Комплексные числа 112
Мнимая единица 112
Вещественная часть комплексного числа: функция Re 112
Мнимая часть комплексного числа: функция Im 112
Аргумент комплексного числа: функция Arg ИЗ
Сопряженное комплексное число: функция Conjugate 113
Резюме ИЗ
Задачи ИЗ
Глава 4. Арифметика: разложение целых чисел на простые множители 114
Факторизация целых чисел с помощью функции Factorlnteger 114
Факторизация чисел Мерсенна 114
Факторизация чисел вида 2"+1 119
Факторизация чисел вида 2п—1 119
Факторизация чисел, десятичная запись которых состоит из п единиц 120
Факторизация чисел вида 10"+1 120
Факторизация чисел Фибоначчи 121
Факторизация дробей 121
Факторизация гауссовых чисел 125
Факторизация очень больших чисел 126
Факторизация факториалов 127
Функция FactorlntegerECM: попытка факторизации больших
чисел Мерсенна 129
Резюме 135
Задачи 135
Содержание 7
Глава 5. Арифметика: простые числа 136
Тест на простоту 136
Функция PrimeQ 137
Множество простых чисел Primes и предикат х е Primes 140
Доказательство (или опровержение) простоты заданного числа 140
Функции PreviousPrime и NextPrime и случайные простые числа 141
Наибольшее простое число, меньшее п, — PreviousPrime[n] 141
Наименьшее простое число, большее л, — NextPrimefn] 142
Случайное простое число в заданном интервале — Random[Prime, {n, т}] 142
Пифагоровы треугольники, у которых длины двух сторон
выражаются простыми числами 143
Таблицы простых чисел 144
Функция Prime[n] — л-е простое число 144
Поиск отрезков натурального ряда, состоящих только из составных чисел 145
Близнецы 156
Простые числа, близкие к числам определенного вида 157
Число простых чисел, не превосходящих х (функция PrimePi[x]) 159
Количество простых чисел на открытом слева отрезке (д, Ь) 165
Резюме 165
Задачи 166
Глава 6. Арифметика: наибольший общий делитель
и наименьшее общее кратное 167
Наибольший общий делитель 167
Наибольший общий делитель — функция GCD 167
Линейное представление наибольшего общего делителя — функция
ExtendedGCD 172
Наименьшее общее кратное — функция LCM 183
Резюме 185
Задачи 185
Глава 7. Модулярная арифметика: деление с остатком, вычеты,
сравнения и китайская теорема об остатках 186
Деление с остатком 187
Частное при делении с остатком — функция Quotient 187
Остаток от деления — функция Mod 188
Возведение в степень в модулярной арифметике — функция PowerMod 191
Китайская теорема об остатках — функция Chinese Remainder 193
Корни в системе остаточных классов 194
Квадратный корень по модулю — функции SqrtMod и SqrtModList 194
Первообразные корни по модулю п 196
Критерии простоты чисел специального вида 198
Простые числа Мерсенна, тест Люка-Лемера 198
Простые числа вида к • 2" +1 201
Резюме 213
Задачи 214
8 Содержание
Глава 8. Числовые функции 215
Функция Эйлера — EulerPhi 215
Функция Кармайкла Х(т) — CarmichaelLambda 221
Функция Мебиуса р(/я) — MoebiusMu 222
Функции, связанные с делителями, — Divisors и DivisorSigma 223
Число делителей т(п) 223
Сумма делителей с(п) 231
Резюме 240
Задачи 240
Глава 9. Мультимедиа: геометрия, графика, кино, звук 241
Введение, или основные графические примитивы 242
Графические примитивы и их отображение на экране 243
Графические директивы 246
Аналитическая геометрия на плоскости, или 20-графика 250
Графические примитивы 250
Вычерчивание графиков 260
Несколько графиков на одном чертеже — функция GraphicsArray 305
Аналитическая геометрия в пространстве, или ЗО-графика 310
Графические примитивы и опции трехмерной графики 310
Вычерчивание графиков 319
Другие миры — другие измерения 328
Четвертое измерение — время. Движущиеся картинки — кино 328
Еще одно измерение — звук 330
Резюме 331
Задачи 331
Глава 10. Алгебра и анализ 333
Алгебра 333
Замена выражений в формулах 333
Многочлены 339
Поле рациональных дробей 342
Линейная алгебра 344
Анализ 345
Пределы 345
Дифференцирование 346
Ряды 346
Исследование функций и построение графиков 348
Интегрирование 351
Векторный анализ 353
Дифференциальные уравнения 358
Поля направлений для дифференциальных уравнений и изоклины 358
Нахождение решений дифференциальных уравнений 360
Системы дифференциальных уравнений 364
Резюме 367
Задачи 368
Содержание 9
Глава 11. За гранью простого 369
Новый вид науки 369
Теория универсальности, или насколько сложным может быть поведение
простой динамической системы 370
Клеточные автоматы 380
Ресурсы по системе Mathematica 383
Резюме 387
Задачи 387
Приложение А. Ответы и решения задач 388
Глава 1 “Исторический обзор и первое знакомство” 388
Глава 2 “Первое знакомство — калькулятор” 390
Глава 3 “Числа, их представление и операции над ними” 392
Глава 4 “Арифметика: разложение целых чисел на простые множители” 393
Глава 5 “Арифметика: простые числа” 393
Глава 6 “Арифметика: наибольший общий делитель
и наименьшее общее кратное” 397
Глава 7 “Модулярная арифметика: деление с остатком, вычеты,
сравнения и китайская теорема об остатках” 397
Глава 8 “Числовые функции” 398
Глава 9 “Мультимедиа: геометрия, графика, кино, звук” 399
Глава 10 “Алгебра и анализ” 406
Глава 11 “За гранью простого” 409
Приложение Б. Таблицы 410
Предметный указатель 572
10
Содержание
Посвящение
Светлой памяти моего отца
Шмидского Константина Яковлевича посвящается
Благодарности
Когда эта книга выйдет, мне будет 52 года. Я принимал участие в самых разных
проектах — начиная от весьма “технических” (вроде создания компиляторов, опера­
ционных систем и систем автоматизации технологических процессов), предназначен­
ных для того, чтобы исключить участие в том или ином технологическом процессе, до
вполне “гуманитарных”, в которых разнообразные “железки” играли лишь вспомога­
тельную роль. (К категории таких “гуманитарных” проектов я отношу и написание
книг вроде этой.) Но чтобы создавать программы, которые облегчают людям жизнь,
мне пришлось стать математиком, разобраться в компьютерах и научиться писать
программы. И для этого мне понадобились книги, компьютеры и программы, напи­
санные другими людьми. Поэтому я хочу выразить огромную признательность авторам
всех книг, по которым я учился математике, программированию и другим наукам, —
без этих книг я не мог бы разобраться в математике, компьютерах и программирова­
нии. Но, к сожалению, едва ли это осуществимо. Если бы я рискнул перечислить
всех, получился бы довольно длинный перечень авторов книг по математике и ком­
пьютерам, издававшихся в издательствах — советских, зарубежных и постсоветских.
Наверное, еще длиннее выглядел бы список разработчиков компьютеров и про­
грамм, которые мне помогали реализовывать самые разнообразные проекты — как
“технические”, так и “гуманитарные” Но даже изучить все эти книги, разобраться
в компьютерах и создать несколько интерпретаторов, компиляторов и операцион­
ных систем — еще совсем не значит уметь донести свои знания студентам и читате­
лям. Овладеть всеми необходимыми знаниями и навыками мне помогали многие лю­
ди. Всем им моя глубокая благодарность. Я помню всех, но перечислить могу лишь
немногих. Выражаю свою сердечную благодарность:
Виктору Николаевичу Штонде — за неоценимую поддержку и постоянную помощь
при написании данной книги. Часто именно он находил нужную информацию, на­
правлял процесс написания книги и был первым ее внимательным читателем и кри­
тиком. Без его помощи данная книга не была бы написана.
Сергею Николаевичу Тригубу — за то, что научил меня тонкостям технологии редак­
тирования книг, за советы, постоянную помощь, поддержку и программы, которые
ему пришлось написать для меня, а также за бесконечное терпение, когда у меня что-
то не получалось и ему приходилось объяснять все снова и снова. Если бы не его по­
мощь, эта книга никогда бы не была написана.
Вадиму Владимировичу Александрову — за неоценимую помощь и поддержку в на­
писании и редактировании книг. Часто именно он находил решения проблем еше до
их возникновения. Если бы не его помощь, эта книга никогда бы не была написана.
Владимиру Яковлевичу Грицкову — за плодотворные обсуждения концепций аппа­
ратно-программной реализации языков высокого уровня (в большинстве своем это
были входные языки систем компьютерной алгебры) и операционных систем для
процессоров, на которых реализовывались концепции параллельного программирова­
ния и системы компьютерной алгебры. В совместной работе по реализации таких
проектов он постоянно оказывал неоценимую помощь и поддержку, а также учил ме­
ня работать за пультами машин второго и третьего поколений и хладнокровно, без
паники, разбираться в бесконечных дампах, выдаваемых в ночные смены этими
монстрами, и находить ошибки аппаратуры. К счастью, благодаря выработанным