Table Of ContentMathematica10 3与数字化大学物理.pdf 1 2019/12/9 14:50:31
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Mathematica 10.3
与数字化大学物理
江俊勤著
4串智先点品
北京
内容简介
本书以通用软件 Ma也emati阳为平舍，精选了一批在传统大学物理学
教科书中无法深入讨论的重要问题，借助新版 Mathematica 强大的符号演
算和数值计算能力，以及杰出的数字绘图功能，图文并茂地展现了各个实
例的物理内涵.本书内容有电场、磁场、动力学微分方程的数值解与运动轨
迹、量子力学及附录读者通过对本书实例的模仿，可以学习物理问题数值
研究的基本方法，掌握Ma由回回U四各种重要命令和函数的使用技巧.
作为《基于Ma也回Illti目的数字化物理学>> (201当年)的全面升级版，
本书包含了作者最新的研究成果和心得，全部程序适合在Mathematica10.3
或相近版次(如 9.0版本、 10.4版本)中运行
本书可作为数字化物理学教材或计算物理参考书，也可供高校理工科
师生、科研人员及物理学爱好者学习参考.
图书在版编目 (CIP) 数据
M抽回国四10.3与数字化大学物m江俊勤著，一北京z 科学出版社，
2019.12
ISBN 978-7-03-063201-2
I ( M… 11. ①江… ill. ①物理学一数值计算一Ma由回国抽回软件
N.(!;泊4-39
中国版本图书馆CIP数据核宇(2019)第244663号
责任编辑:郭勇斌彭蜻埋/责任校对杜于昂
责任印制:张伟/封面设计:众轩企划
4串串盘JØ..拉出版
北京东黄城根jb街16号
邮政编码 1∞，717
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It.章申晶情彩色fp刷嘈F且骨髓官司 印刷
科学出版社发行各地新华书店经销
*
2019年12月第一版开本: 720Xl田o 1116
2019年12月第一次印刷印张， 25 插页， 4
宇数: 41归000
定价， 128 ∞元
(如有印装质量问题，我社负责调换〉
序
软件 Ma也ematica 的创始人 St叩henWolfra皿是一位物理学家， Ma由四llltica
软件是为了满足数理学科(特别是物理学)的需要而设计的，它不但具有强大的数
值计算能力、杰出的数字绘图功能和动画演播功能，而且拥有卓越的数理符号演
算能力，所以 Ma也ematica一直是物理学工作者喜爱的应用软件.
数字化物理的主要任务是利用现代电子计算机的快速计算和数字绘图等便利
条件，用图像或动画模拟物理学的基本原理、复杂的物理现象及多因素的相互作
用过程，把抽象的物理概念形象化、复杂的物理规律数字化.数字化成果可以充实
教学内容、提高课堂教学的效率和质量，更加有助于学生深入认识物理规律.具体
问题的数字化研究过程能够培养学生的科学探索精神，提高科研能力，特别是能
引导学生参与到具体物理实例的数字化研究过程之中一一首先提出初步方案和目
标、编写程序，然后经过反复调试与运行、改进研究方案和目标，最后得到正确
描述复杂物理规律的精美立体图或动画这样的实践活动能极太地激发学生的学
习积极性，培养学生的创新意识.目前，适合高校的数字化物理教材(特别是有深
度的专著)较少.鉴于此，作者在二十多年研究的基础上编写本书，以期起到抛砖
引玉的作用.
在太学物理学中，由于数学计算的复杂性和表达手段的限制，许多重要的物
理问题都无法在传统教科书中讲授，或者只能作简单的定性介绍而不能进行定量
的计算.在无法进行定量计算的情况下，人们(特别是作为初学者的大学生)是无法
全面理解相关问题的物理规律的;虽然有的问题得到了(广义的)解析解，但其结
果是用极其复杂的勒让德级数表示的，如果不能有效地将它数字化，仅凭烦琐复
杂的表达式，人们依然难以理解具体的物理规律.下面这些问题乍看似乎很简单，
其实它们都是在传统的大学物理学教科书中无法深入研究的典型例子z ①带电细
圆环电场的空间分布:②载流圆线圈磁场的空间分布:③弹簧摆和橡皮摆的轨迹:
④一维有限深势阱的能级和波函数.因此，设法将这些物理问题数字化，具有重
要的意义.
作为数字化物理或者计算物理的基础教材，本书的选题原则是既能展示数值
计算的特色和优势，又不会因算法过于复杂而淹没物理内涵.作者经过反复尝试
与取舍，精选了一批在力学、电磁学和量子力学等传统教科书中无法深入讨论的
• 11 • Ma也E四面c.l0.3与数字化大学物理
重要问题，借助 Mathematica 强大的符号运算和数值计算能力，以及杰出的数字
绘图功能，图文并茂地展现了各个实例的物理内涵和韵味全书共有 25 个专题，
包含40 多个实例，大多数问题源自经典教材的重要知识点，其中一部分还是物理
教学研究期刊的热点问题.
本书以 Ma也ematica 10.3为平台，分四章、按专题展开.
第 1 章电场，从简单的点电荷系统入手，首先介绍 Mathematica 10.3工作窗
口的基本功能和简单绘图命令的使用，对于这些有解析解的简单问题，
Ma:血ematica 的优越性已经得到了初步的显示:然后逐步向复杂系统推进，带电细
圆环电场的雪间分布、均匀带电薄圆盘电场的雪间分布、带电导体薄圆盘电场的
空间分布......问题越来越复杂， Mathematica 的魅力也越来越充分地展现出来到
了1.4 节讨论带电薄圆盘(圆环片)电场的雪间分布问题时，彻底地抛弃了传统电
动力学教科书中复杂的勒让德级数表示法，通过 Mathematica 轻松地用形象化的
图像表示了电势、电场强度的大小和方向，令人惊喜的是数字图像还直观地展示
了导体圆盘为等势面与电荷密度分布函数两者之间的微妙关系.
本章的亮点是巧妙利用 Ma也.ema面回内设的椭圆积分，它们作为一种常用的
特殊函数不但具有特别宽广的定义域，而且可以像初等函数一样进行包括微积分
在内的各种运算和数字绘图，这为本书电磁场的数字化提供了方便.
第 2 章磁场，首先讨论一系列重要磁场的空间分布，分别是载流圆线圈的磁
场、亥姆霍兹线圈的磁场、有限长圆柱形螺线管的磁场、椭球形线圈的磁场:然
后研究有限长密绕线圈的自感、充放电圆平行板电容器极板电流的磁场和考虑边
缘效应的全电流磁场等.这些都是传统教科书中无法深入讨论的重要问题.利用
Ma:血ematica强大的符号运算能力和杰出的数字绘图功能，对这些重要的磁场进行
数字化研究具有积极的教学和学术意义本章的最太亮点是用作者首创的"数字
绘图法"研究磁场的均匀性.
第 3 章研究动力学微分方程的数值解与运动轨迹，既有相对简单的香蕉球的
运动和弹簧摆，又有复杂的磁约束问题一一电子在一对同向载流圆线圈的磁场中
往返运动，这是数值积分和微分方程组数值解法有机结合的范例，特别是对地球
静止轨道卫星的数值模拟结果会让读者感到一些意外和惊喜.
第4章介绍 Mathematica在量子力学中的简单应用，首先模拟电子单缝和圆孔
衍射条纹的形成过程(波粒二象性的模拟) ，接着讨论一维有限深多势阱和工维量
子围栏的数值解、电子概率角分布和电子云的绘制，这些讨论对于量子力学的基本
概念和基本方法的教学都是有帮助的:最后研究电磁场中氢原子高激发态能级分
裂的全自动快速计算，这是符号运算与方阵本征问题数值解法巧妙结合的范例本
章的亮点有z ①通过模拟单缝或圆孔衍射的动态过程说明电子的波粒二象性:
②通过一维有限深多势阱中电子的能级分裂直观地展示了能带形成的机理:③电
序 • 111 •
磁场中氢原子高激发态能级分裂的全自动快速计算.
在对以上物理问题进行研究的同时，作者也力求通过各个实例向读者介绍数
字化物理的基本方法、程序设计的基本思想及 Ma也ematica 中一些重要命令和函
数的使用技巧(有些技巧在现有文献资料中尚未见有相关介绍，属于首例).本书
给出各个问题的主要程序，它们不但适合在 Ma由ematica 10.3 版本中运行，也适
合在相近版次(如 9.0版本、 10.4版本)的Mathematica 中运行.对于那些只需做少
量修改就可以得到的程序，则留给读者来完成.有兴趣的读者可以先模仿已经给
出的程序，完成本书中未给出的程序(可以只完成感兴趣的部分) ，或者做一做每
章后面的习题:积累足够的经验之后，可以提出新的物理问题并独立进行数字化
研究，当然也可以对书中的实例进行改进或补充.
作为作者 2015 年出版的《基于 Ma也ematica 的数字化物理学》的全面升级版，
本书包含了作者最近三年多来的研究成果和心得，主要有如下 7个方面E
(1)有限长带电直线的电势、电场强度的空间分布和电场线的绘制3
(2)密绕椭球形线圈的磁场分布及自感系数的计算:
(3)疏绕椭球形线圈的磁场分布、均匀性分析及椭球形区域均匀磁场的设计z
(4)轴对称磁矢势的空间分布与磁感线图的绘制(包括亥姆霍兹线圈、共轴多
线圈、有限长密绕圆柱形螺线管和密绕椭球形线圈);
。)质子和电子在地磁场中的运动 反射与捕获;
(6)刚体平面平行运动的实例分析 均质棒斜靠在碗缘上:
(7)一维有限深多势阱中电子能级和波函数的数字化研究，能带形成机理的直
观展示.
本书的编写和出版得到了广东省高等学校专业综合改革试点项目、广东第二
师范学院教改项目的资助及科学出版社的支持，兄弟院校的同行和朋友们也为本
书提出许多有益建议，作者在此一并致以衷心感谢!
限于作者的学识，书中难免会有疏漏之处，欢迎读者批评指正.
江俊勤
2019年9月 15 日于广州
目录
序
第 1章电场…
1.1点电荷系统电势和电场强度的雪间分布·
1.1.1 一对点电荷电场的数字化、 Ma也emati四10.3窗口功能简介........................1
1.1.2 点电荷与接地导体球………………………………………………………..12
1.2 带电细圆环电势和电场强度的空间分布..........................................17
1.2.1 叠加原理、椭圆积分表示法… ..................................................17
1.2.2 解拉普拉斯方程、勒让德多项式展开法 ............................................27
1.3两个不同电势半球面产生的电场.................…................…….........37
1.4带电薄圆盘(圆环片)和充放电圆平行板电容器的电场 ...................45
1.4.1 均匀带电薄圆盘和薄圆环片… ..................................................46
1.4.2 带电导体薄圆盘 … ..............................................................52
1.4.3 充-放电圆平行板电容器 .............................................................55
1.5 用叠加原理直接计算导体球感应电荷的电场…….......…….................60
1.6 带电旋转椭球的电势和电场强度… ................................. … ..65
1.6.1 均匀带电椭球…...................................................................e
1.6.2 带电导体椭球.......................….........…...................................67
1.7 有限长带电直线的电势、电场强度和电场线的绘制…….......…...........69
1.7.1 电势和电场强度的积分表达式......................................................'70
… ................................. … ..70
1.7.2 均匀带电有限长直线的电场分布
1.7.3 有限长带电直导线的电场分布......................................................'77
练习一…….......….........….........................….........….........…..........80
参考文献…….......….........….........….........….........…........…….........82
第2章磁场.........................................................................… ..83
2.1几个简单而重要的磁场… ............................................. … ..83
2.1.1 单个载流圆线圈磁场的空间分布 … ................................. … ..83
2.1.2 一对同向载流圆线圆的磁场、用数字绘图法研究磁场的均匀性… … … ..87
.vi. Ma'也回国岳阳10.3与数字化大学物理
2.1.3
一对反向载流圆线圈一一磁阱.......................................................94
2.1.4 三相交流电导线外部磁场的分布及其周期性变化、动画制作…..................95
2.2 有限长圆柱形螺线管磁场的空间分布… ....................................100
2.2.1 … 101
有限长密绕圆柱形螺线管.................................................
2.2.2 有限长疏绕圆柱形螺线管、磁场均匀性的图像分析..........................… 107
2.3 椭球形线圈磁场的空间分布…….......….........….........….........…… 113
2.3.1 … ............................................................114
密绕精球形线圈
2.3.2 疏绕精球形线圈及其磁场均匀性的图像分析… ..................... … 120
2.3.3
椭球形区域均匀磁场的设计..........................…..........................133
2.4轴对称磁矢势的空间分布与磁感线图的绘lIítJ.................….........…..136
2.4.1
单个圆线圈..............…........................................................137
2.4.2 ................................................142
亥姆霍兹线圈和共轴多线圈…
2.4.3 … 145
有限长密绕圆柱形螺线管.................................................
2.4.4密绕精球形线圈 ....................................................................147
2.5有限长密绕螺线管(线圈)的自感系数…….......….........….........… 151
2.5.1 … 151
圆柱形螺线管..............................................................
......................................................... … 158
2.5.2 椭球形线圈…
2.6 充-放电圆平行板电容器的磁场.................….........…..................163
2.6.1
极板电流磁场的积分表达式 .......................................................le
2.6.2 极板电流磁场的数值结果…..........................….........….........…..168
2.6.3 忽略边缘效应的全电流磁场与位移电流磁场… ..................... … 170
2.6.4考虑边缘效应的全电流磁场与位移电流磁场… ..................... … 173
练习二…….......….........….........….........….........…........................176
参考文献…….......….........….........….........….........….........……......177
第3章动力学微分方程的数值解与运动轨迹........................................1~
3.1 弹道轨迹与弧线足球…….......….........….........….........….........… 179
3.1.1 空气阻力与弹道轨迹 … ............................................. … 179
3.1.2 最佳初射角与射击固定目标… ................................................1~
3.1.3
足球的旋转与弧线球……....................................................…..188
3.2 弹性力作用下的质点(组)……......…….......….........….........…… 193
3.2.1 ................................. … 193
忽略空气阻力的弹簧摆与橡皮筋摆…
… ................................. … 197
3.2.2 有空气阻力的弹簧摆与橡皮筋摆
3.2.3
弹簧连接的多体系统…............................................................198
3.3 高速带电粒子在正交均匀电磁场中运动…….......……·………........…204
目录 • VlI •
3.3.1
运动微分方程的推导........….............................................…….204
3.3.2 微分方程的数值解与运动轨迹..............….........…........................205
3.3.3 ......................................................... … 207
相图与周期…
3.4电子在一对同向载流圆线圈磁场中的运动、磁镜............................216
3.4.1
壁间磁场的表达式与运动微分方程................................….........….217
3.4.2 运动微分方程的数值解与电子的运动轨迹………………………………….218
3.4.3 ......................................................... … 227
速度与相图…
3.5万有引力与人造地球卫星................................................. … 232
3.5.1 232
拉格朗日量和运动微分方程…....................................................
3.5.2 周期、近〈远)地距离、运动轨迹...................................…..........234
3.5.3偏离平方反比引力产生的影响 进动.................…..................…..239
3.5.4地球自转一一离心力和科里奥利力的作用 ........................................244
3.5.5地球静止轨道卫星一一凛移、调整和同步........................................252
3.6 质子和电子在地球磁场中的运动一一反射与捕获…….......….........…268
3.6.1
地磁场、带电粒子的运动微分方程…………………………………………268
… ............................................................270
3.6.2 质子的运动轨迹
3.6.3 … ............................................................276
电子的运动轨迹
3.7 刚体平面平行运动的实例分析一一均质棒斜靠在碗缘上…….......……278
3.7.1
一道传统的力学问题及其思考.......................…...........................278
3.7.2 动力学微分方程..............................................................……279
3.7.3 ................................. … 279
无摩擦力条件下均质棒的运动规律…
3.7.4有摩擦力条件下均质棒的运动规律与平衡位置.......................... … 284
练习三…….......….........….........….........….........…........................287
参考文献…….......….........….........….........….........….........……......288
第4章量子力学 ............................................................................289
4.1 波粒二象性的模拟…….......….........….........….........….........……289
4.1.1 电子单缝衍射及gif格式动画文件的制作….......................... … 290
4.1.2 … 292
电子圆孔衍射..............................................................
4.2
Schrödünger方程的解和束缚定态.........….........….........….........…294
4.2.1
一维有限深多势阱与能带的形成机理………………………………………295
4.2.2 量子围栏 ............................................................................315
....................................331
4.3氢原子本征态的概率角分布和电子云…
4.3.1
氢原子本征态的电子概率角分布........….........…...........................332
4.3.2 氢原子本征态的电子云…………………………………………………….336
• v1ll • Ma也E四面c.l0.3与数字化大学物理
4.4氢原子叠加态的概率分布.................….................……….......…..340
4.4.1
叠加态的电子概率角分布…..................................................…..340
4.4.2 … ............................................................343
叠加态的电子云
… 348
4.5电场中的氢原子.............................................................
4.5.1
均匀电场中的氢原子........….............................................…….348
4.5.2
几种能量的数量级比较…………………………………………………….357
4.6 同向均匀电场和磁场中的氢原子、偶然简并......................... … 359
4.7 较强磁场中的氢原子及微扰法的适用条件… ..................... … 367
练习四….......................................................................…...........379
参考文献……......…….......….........….........….................................380
附录 Mathematica若干重要命令及其功能简介… ..................... … 381
A.1 表达式的展开与化筒.........….........….........….........….........…… 381
........................................................................382
A.2 循环命令…
........................................................................382
A.3 数值积分…
A.4椭圆积分 ..............................................................................383
A.5 微分方程.........…........…….......….........….........……….......…..384
A.5.1 常微分方程的解析解……………………………………………………… 385
A.5.2 … ............................................. … 386
常微分方程的数值解
… ................................................387
A.6 方阵的特征值和特征向量
彩图
