Table Of ContentФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Н.А. ШЕСТАКОВ
Расчеты процессов обработки
металлов давлением в Mathcad
(решение задач энергетическим методом)
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов по
университетскому политехническому образованию в качестве
учебного пособия для студентов высших учебных заведений обу-
чающихся по направлению 150200 "Машиностроительные тех-
нологии и оборудование" специальности 150201 "Машины и тех-
нология обработки металлов давлением", а также бакалавров
техники и технологии направления 150400 "Технологические ма-
шины и оборудование".
Москва 2008
УДК 621.83
ББК 34.623
Рецензенты:
А.М. Дмитриев, д.т.н., профессор, чл.-корр. АН РФ, заведующий кафедрой
"Технологии обработки давлением" МГТУ им. Н.Э. Баумана
Н.Ф. Шпунькин, к.т.н., профессор, заведующий кафедрой "Кузовострое-
ние и обработка давлением" МГТУ "МАМИ"
Шестаков Н.А. Расчеты процессов обработки металлов давлением в
Mathcad (решение задач энергетическим методом). Учебное пособие. – М.:
МГИУ. – 2008. – 333 с., ил.
Учебное пособие содержит изложение теоретических положений и
примеров решения задач по расчету силовых и кинематических парамет-
ров процессов обработки металлов давлением энергетическим методом, а
также снабжено методическими указаниями по применению энергетиче-
ского метода и набором индивидуальных заданий для курсовых работ по
дисциплине "Теория обработки металлов давлением". В учебном пособии
все расчеты, связанные с применением энергетического метода, проведены
в вычислительном пакете Mathcad. Дано решение широкого круга задач
выдавливания и штамповки. Кроме этого, возможности Mathcad иллю-
стрируются на ряде других задач, встречающихся в практических расчетах
процессов обработки давлением. Приведены примеры расчета использо-
ванного ресурса пластичности по скалярным и тензорному критериям, да-
но решение оптимизационных задач, связанных с раскроем пруткового и
листового материала, задач выбора оптимальной программы выпуска по-
ковок, а также приведен справочный материал (перечень встроенных опе-
раторов и функций, команд меню Mathcad и др.).
Учебное пособие предназначено для студентов вузов обучающихся по
направлению 150200 "Машиностроительные технологии и оборудование"
специальности 150201 "Машины и технология обработки металлов давле-
нием", бакалавров техники и технологии направления 150400 "Технологи-
ческие машины и оборудование", а также может быть использовано в ин-
женерной практике при проектировании процессов обработки металлов
давлением и аспирантами.
УДК 621.83
ISBN 978-5-2760-1519-4 © Н.А. Шестаков, 2008
© МГИУ, 2008
3
СОДЕРЖАНИЕ
стр
ВВЕДEНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБРАБОТКИ
МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ
1.1. Уравнения для напряжений, деформаций и связи между ни-
ми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2. Граничные условия для напряжений и перемещений. . . . . . . . 16
1.3. Кинематически возможные перемещения и статически допу-
стимые напряжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4. Работа пластической деформации и законы сохранения
энергии при ОМД . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5. Аппроксимация кривых упрочнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6. Экстремальные принципы для кинематически возможных
перемещений и статически допустимых напряжений . . . . . . . . . .. 22
1.7.Линеаризация формулы интенсивности деформаций . . . .. . . 23
1.8. Задание на выполнение индивидуальных расчетно-
практических работ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9. Пример расчета двухэтапного процесса деформации . . . . . . 28
1.9.1. Расчет деформаций за первый этап деформации . . . . 28
1.9.2. Расчет скоростей деформации на первом этапе . . . . . 29
1.9.3. Расчет деформаций и размеров заготовки после второ-
го этапа деформирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.9.4. Построение и анализ траектории деформаций. . . . . . . 31
1.9.5. Расчет угла излома траектории деформации. . . . . . . . 32
1.9.6. Пример расчета деформированного состояния при
кручении. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 33
1.9.7. Расчет энергосиловых параметров деформации. .. . . . 34
1.10. Критерии предельных состояний при ОМД . . . . . . . . . . . . . 36
1.10.1. Виды предельных состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36
1.10.2. Феноменологические модели прогнозирования
предельных состояний при объемной и листовой штампов- 38
ке .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.3. Методика построения диаграмм пластичности . . .. 43
1.10.4. Алгоритм расчета достижения предельных состоя-
47
ний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. ВЕРХНЯЯ ОЦЕНКА НАГРУЗОК В ПРОЦЕССАХ ОМД
2.1. Исходные допущения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2. Осадка цилиндрических заготовок (первое приближение) . . 55
2.3. Осадка цилиндрических заготовок (второе приближение) . . . 58
2.4. Открытая прошивка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 64
2.5. Закрытая прошивка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.6. Осадка кольцевых заготовок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.7. Осадка короткого параллелепипеда. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 76
4
2.8. Определение полей напряжений, соответствующих кинема-
тически допустимым полям перемещений (сравнение с резуль-
татами решения задач ОМД "инженерным" методом[14]). . . . . . . 79
3. ВЕРХНЯЯ ОЦЕНКА НАГРУЗОК В ПРОЦЕССАХ ОМД
ПУТЁМ МОДЕЛИРОВАНИЯ ОЧАГА ДЕФОРМАЦИИ
ЖЁСТКИМИ НЕДЕФОРМИРУЕМЫМИ БЛОКАМИ
3.1. Исходные предпосылки и основные расчетные уравнения . 81
3.2. Основные правила построения кинематически возможных
полей скоростей и годографа скоростей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3. Применение метода верхней оценки для решения техно-
логических задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3.1. Плоское прямое выдавливание. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 91
3.3.2. Оптимизация геометрии инструмента при выдавлива-
нии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.3.3. Особенности решения задач ОМД методом верхней
оценки при выдавливании в несколько полостей. . . . 95
3.3.4. Деформация на поверхностях разрыва скорости . … . 96
4. РАСЧЕТЫ В MATHCAD 98
4.1. Примеры расчета силы деформации в Mathcad и сопоставле-
ние с результатами приближенных решений. . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1.1. Осадка короткого параллелепипеда. . . . . . . . . . . . . . . . .. 99
4.2.2. Осадка цилиндра. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 108
4.2.3. Открытая прошивка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2.4. Закрытая прошивка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 113
4.2.5. Осадка кольцевых заготовок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2. Решение уравнений в среде Mathcad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.1. Решение квадратного уравнения . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 122
4.2.2. Решение уравнений с одним неизвестным. . . . . . . . . . . . 123
4.2.3. Решение системы линейных уравнений. . . . . . . . . . . . . . 124
4.2.4. Решение нелинейной системы уравнений. . . . . . . . . . . . 124
4.2.5. Влияние предопределенной переменной TOL на ре-
зультаты решения уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.2.6. Расчет параметров эмпирической формулы (аппрокси-
мация кривой упрочнения). . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. 128
4.2.7. Исследование функций на экстремум (определение оп-
тимального угла конуса матрицы при вытяжке цилин-
дрической детали) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.3. Решение дифференциальных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.3.1. Вычислительный блок Given-Odesolve . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.3.2. Функции rkfixed, rkadapt . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 140
4.4. Программирование в Mathcad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.4.1. Операторы программирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.4.2. Примеры программирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.5. Векторы и матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 152
5
4.5.1. Создание векторов и матриц. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.5.2. Действия с векторами и матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.6. Исследование распределения накопленной деформации ме-
тодом координатных сеток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 158
4.6.1. Разновидности метода координатных сеток . . . . . . . . 158
4.6.2. Методика создания файла данных и исследование рас-
пределения накопленной деформации методом Э. Зибеля . . . . . . 162
4.7. Аппроксимация и интерполяция расчетных и экспери-
ментальных данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.7.1. Линейная интерполяция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.7.2. Кубическая сплайн-интерполяция . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
47.3. Двухмерная сплайн-интерполяция и аппроксимация . . . 172
4.7.4. Применение функций регрессии для аппроксимации и
интерполяции расчетных и экспериментальных данных 174
4.8. Расчет ресурса пластичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 176
4.8.1. Расчет ресурса пластичности по скалярным критериям .. 176
4.8.2. Расчет ресурса пластичности по тензорному критерию
(расчеты процессов двухэтапной деформации . . . . . . . . . . 185
Приложения к главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.9. Приложение 1. Команды главного меню Mathcad. . . . . . . . .. 195
4.10. Приложение 2. Встроенные операторы.. . . .. . . . . . . . . . . . . 204
4.11. Приложение 3. Предопределенные и системные перемен-
ные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4.12. Приложение 4. Встроенные функции Mathcad (). . . . . . . . . . 209
5. КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ОСВОЕНИЮ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ
МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОМД
5.1. Общие рекомендации к выполнению курсовой работы . .. . . . 228
5.2. Методические рекомендации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.3. Содержание курсовой работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.4. Исследование энергосиловых и кинематических параметров
процесса прямого выдавливания в условиях плоской деформа-
ции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5.4.1. Расчет удельной силы деформации. . . . . . . . . . . . . . . . .. 232
5.4.2. Расчет траекторий движения частиц металла в очаге
пластической деформации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.4.3. Исследование деформированного состояния металла по
объему очага деформации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.4.4. Исследование распределения напряжения текучести по
поперечному сечению прессизделия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
5.4.5. Анализ возможных путей уточнения решения. . . . . . . .. 248
5.5. Исследование энергосиловых и кинематических параметров
процесса прямого выдавливания в условиях осесимметричной
деформации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
5.5.1. Расчет силы и работы деформации. . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6
5.5.2. Исследование кинематических параметров процесса . . 255
5.5.3. Исследование распределения накопленной дефор-
мации и напряжения текучести по поперечному сечению
прессизделия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
5.6. Исследование энергосиловых параметров процесса штам-
повки в открытых штампах стержневых поковок (удлиненных в
плане) … … . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
5.7. Исследование энергосиловых параметров процесса штам-
повки в открытых штампах при осесимметричной деформации
(поковок круглых в плане) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
5.8. Сжатие слоя между коническими поверхностями . . . . . . . . . 292
5.8. Выдавливание через коническую матрицу . . . . . . . . . . . . . . .. 297
Приложения к главе 5… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Приложение 1. Варианты схем выдавливания и штамповки. . . . . 301
Приложение 2. Исходные данные к вариантам схем выдавлива-
ния иштамповки… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . … . . . . . . . 305
Приложение 3. Механические свойства сталей… . . . . . . . . . . . . . 306
Приложение 4. Пример оформления титульного листа… . . . . . . . 306
6. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В
КУЗНЕЧНО-ШТАМПОВОЧНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ . . . . . . . . . . 308
6.1. Формулировка основной задачи линейного программи-
рования . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
6.2. Геометрический метод решения задач линейного програм-
мирования . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
6.3. Оптимизация производственной программы кузнечно-
штамповочного цеха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
6.4. Оптимизация технологических параметров горячей штам-
повки …….. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
6.5. Задачи на раскрой . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
6.5.1. Раскрой прутков на заготовки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
6.5.2. Раскрой на комплекты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
6.5.3. Оптимизация раскроя листа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
6.6. Задача о компьютерах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
7
ВВЕДЕНИЕ
В основу настоящего учебного пособия положены учебные
пособия "Энергетические методы решения задач обработки ме-
таллов давлением" от 1998 года и "Расчеты процессов обработки
металлов давлением в среде Mathcad", выпущенное в 2000 году.
Энергетический метод расчёта процессов ОМД основан на при-
менении экстремальных принципов теории пластичности. Экс-
тремальные принципы позволяют оценивать силу деформации
"сверху" и "снизу", причем открывают путь прямого построения
решений, минуя интегрирование дифференциальных уравнений
равновесия. Это важно, т.к. задачи обработки металлов давле-
нием приводят в большинстве случаев к нелинейным дифферен-
циальным уравнениям. Более того, использование экстремаль-
ного принципа минимальности действительного поля перемеще-
ний (скоростей перемещений) позволяет решить такие задачи,
которые другими способами решить невозможно. Примерами та-
ких задач служат процессы ОМД, сопровождающиеся течением
металла в две или несколько полостей (простейшая из таких за-
дач – осадка кольцевой заготовки). При этом открывается воз-
можность кроме силы и работы деформации произвести оценку
деформированного состояния заготовок после формоизменения.
В пособии излагаются теоретические основы и практика
применения одного экстремального принципа – принципа,
утверждающего минимальные свойства действительных переме-
щений (скоростей перемещений) в отличие от кинематически
возможных. Эта ветвь энергетического метода позволяет произ-
водить верхнюю оценку нагрузок, необходимых для начала пла-
стического течения. Ограничение содержания настоящего учеб-
ного пособия изложением энергетического метода в такой поста-
новке связано с тем, что нижние оценки в практике расчетов про-
цессов ОМД не получили распространения. Нижние оценки ра-
циональнее применять в расчетах конструкций на прочность, т.к.
именно в этом случае необходимо знание наименьших нагрузок,
при которых конструкция перестает быть работоспособной. При
ОМД необходимо знание гарантированных нагрузок, которые
приводят к пластическому течению металла, т.е. необходима их
верхняя оценка. Основным учебником для студентов ВТУЗов по
специальности 150201 (1204) является книга "Теория обработки
8
металлов давлением" М.В.Сторожева, Е.А.Попова [1]. Однако в
этом учебнике экстремальные принципы не отражены в связи с
изложением энергетических методов.
Известны две модификации энергетического метода. Первая
из них основана на моделировании течения металла в очаге де-
формации при помощи непрерывно деформируемых областей
(блоков), как правило, прямоугольной формы. Вторая – основана
на моделировании течения металла в очаге деформации при по-
мощи жестких (недеформируемых), как правило, треугольных
областей (блоков). В дальнейшем, для краткости, первую моди-
фикацию будем называть энергетическим методом решения задач
ОМД, а вторую – методом верхней оценки, хотя и та, и другая
модификации в результате решения дают верхнюю оценку силы
и работы деформации в рамках энергетического метода. В учеб-
ной и научной литературе различные модификации энер-
гетического метода называют методом баланса работ, методом
верхней оценки [1], вариационным методом [2]. Во всех назван-
ных выше методах для расчета необходимых для пластического
течения нагрузок, а также деформаций, возникающих в процессе
формоизменения заготовок, используется уравнение, опреде-
ляющее равенство работы, производимой ползуном, суммарной
работе всех внутренних и внешних сил, приложенных к де-
формируемой заготовке.
Метод верхней оценки применяется для анализа процессов
плоской деформации и часто бывает полезным для экспресс-
оценки энергосиловых параметров. Это обусловлено простотой
применения такого способа решения задач ОМД. Однако энерге-
тический метод более универсален. Он позволяет решать как
плоские, так и осесимметричные задачи и отличается более высо-
кой точностью. При этом применение энергетического метода
связано с большей трудоёмкостью исполнения.
Применение энергетического метода в настоящем учебном
пособии проиллюстрировано на задачах об осадке цилиндра,
кольцевой заготовки, короткого параллелепипеда, закрытой и от-
крытой прошивке, открытой штамповке, выдавливание через ко-
ническую матрицу, сжатии слоя между коническими поверхно-
стями и других актуальных задачах. В учебнике [1] некоторые из
этих задач рассмотрены, но решение проведено комбинацией ме-
9
тодов, известных под названием инженерного и баланса работ. В
связи с этим студентами трудно усваивается логика решения и
своевременность принятия тех или иных гипотез и предпо-
ложений, упрощающих исходную систему уравнений пластиче-
ского течения.
В энергетическом методе ключевое значение имеет подход к
выбору подходящих функций, описывающих кинематически
возможные перемещения (скорости перемещений). Поэтому ав-
тор большое внимание уделяет выработке соображений, которые
могут быть положены в основу для конструирования соотноше-
ний для описания подходящих функций, а также стремится пока-
зать эволюцию уточнения решения и последовательность приня-
тия упрощающих предположений и их обоснования. Это в свою
очередь подчеркивает природу подходящих функций и тот факт,
что кинематически возможные перемещения частиц металла в
редких случаях (но строго определенных) могут быть действи-
тельными, т.е. в принципе они не реальные, а всего лишь кине-
матически возможные. Однако достигаемая на их основе точ-
ность решений вполне удовлетворительна, а получаемая погреш-
ность сопоставима с погрешностью, вносимой такими не учиты-
ваемыми в теоретических решениях факторами, как разброс ме-
ханических свойств металла, допускаемый по ГОСТ, колебания
температуры заготовки в процессе штамповки, влияющие на со-
противление деформации, и т.д.
В предлагаемом учебном пособии, по мнению автора, уда-
лось преодолеть еще одну трудность усвоения энергетического
метода, связанную с тем, что имеющиеся решения задач ОМД по
определению сил деформирования, перемещений и деформаций в
очаге деформации не доведены до замкнутых решений в конеч-
ных формулах. Как правило, для определения этих величин нуж-
ны численные расчеты. С целью получения аналитических реше-
ний в пособии подробно рассмотрены приемы приведения слож-
ных подынтегральных выражений к более простым, но прибли-
женным выражениям, интегрирование которых возможно в эле-
ментарных функциях. Это достигается путем использования тео-
ремы о среднем значении интеграла и различных линеаризаций
выражений для интенсивности деформации.
