Table Of ContentФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Н.А. Берков
Н.Н. Елисеева
Математический практикум с применением пакета Mathcad
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Москва 2006
1
УДК 681.3.06
ББК 22.19
Берков Н.А., Елисеева Н.Н. Применением пакета Mathcad:
Математический практикум. – М: МГИУ, 2006. –135 с.
Учебное пособие предназначено для студентов высших тех-
нических учебных заведений и соответствует Государственному
образовательному стандарту.
В пособии подробно описываются возможности математиче-
ского пакета Mathcad для решения различных математических
задач. Приведено большое количество примеров аналитического
и численного решения математических задач. По каждой приве-
денной в пособии теме предложено 30 вариантов заданий для са-
мостоятельной работы.
Может быть полезно аспирантам, преподавателям, инжене-
рам и научным работникам, применяющим Mathcad.
Рецензенты:
д.ф-м.н., проф. Р.А. Васин, Зав. лаб. 206 Института механики
МГУ
к.п.н., доц. А.И. Архангельский, Доц. каф. Общей и прикладной
математики МГИУ
Редактор
Подписано в печать Сдано в производство
Формат бумаги 60 x 90/16 Бум. множит.
Усл. печ. л. Уч.-изд. л. Тем. план 1999 г., № 1-13
Тираж 500 Заказ
РИЦ МГИУ , 109280, Москва, Автозаводская, 16
ISBN © Н.А. Берков, 2006
© Н.Н. Елисеева, 2006
© МГИУ, 2006
2
Оглавление
Оглавление.................................................................................3
1. Введение в Mathcad...............................................................5
1.1. Интерфейс Mathcad.........................................................7
1.1.1. Главное меню Mathcad...........................................8
1.1.2. Панели инструментов.............................................9
2. Задачи элементарной математики..............................12
2.1. Преобразование алгебраических выражений ..............12
2.2. Построение графиков функций.....................................20
2.3. Решение алгебраических уравнений и систем.............28
3. Задачи линейной алгебры..................................................37
3.1. Основные сведения о матричных операциях...............37
3.2. Решение типовых задач по линейной алгебре..............41
4. Задачи математического анализа.....................................50
4.1. Вычисление пределов числовых последовательностей и
функций .........................................................................................50
4.2. Исследование сходимости и вычисление сумм рядов .54
4.3. Дифференцирование функций одной переменной........61
4.4. Интегрирование функции одной переменной ..............64
4.4.1. Неопределенные интегралы ...................................64
4.4.2. Определенные интегралы.......................................66
5. Решение обыкновенных................................................69
дифференциальных уравнений ............................................69
5.1. Решение задачи Коши....................................................69
5.1.1. Решение задачи Коши методом Эйлера................70
5.1.2. Решение задачи Коши методом Рунге–Кутта
второго порядка........................................................................71
5.1.3. Решение задачи Коши методом Рунге–Кутта
четвертого порядка...................................................................72
3
5.1.4. Решение задачи Коши при помощи встроенных
функций.....................................................................................77
5.2. Решение краевой задачи ................................................84
6. Теории вероятностей и математическая статистика...93
6.1. Дискретные случайные величины .................................94
6.2. Непрерывная случайная величина...............................109
7. Программирование в Mathcad........................................118
Заключение.............................................................................131
Предметный указатель.........................................................132
Список литературы...............................................................135
4
1. Введение в Mathcad
Mathcad является универсальным математическим пакетом,
позволяющим решать большое количество сложных задач без ис-
пользования программирования.
Пакет Mathcad разработан с учетом интересов простого поль-
зователя. Реализован интуитивно понятный интерфейс, основной
упор сделан на наглядность и простоту работы со средой. Разра-
ботчики сделали все возможное, чтобы пользователь не чувство-
вал себя брошенным в чуждую и враждебную среду. Для работы
с Mathcad достаточно базовых навыков пользователя. Работа в
Mathcad немногим сложнее работы в таких приложениях, как
Word и «Калькулятор», и, пожалуй, даже проще работы в Excel.
Основным преимуществом Mathcad являются:
• широкие возможности;
• простота и удобство эксплуатации;
• легкость и наглядность программирования задач.
В Mathcad реализован принцип: «Что видишь – то и получа-
ешь». Сложные математические формулы записываются без ис-
пользования всяческих галочек и звездочек вместо возведения в
степень и умножения.
Mathcad работает как интерпретатор. Все совершенные поль-
зователем ошибки немедленно помечаются. В любой момент
можно проверить значение конкретного параметра.
Пакет Mathcad создавался как мощный научный калькулятор,
позволяющий легко справляться с вычислением сложных формул
и функций, решением алгебраических уравнений, упрощением
алгебраических уравнений, решением дифференциальных урав-
нений, анализом функций, построением их графиков, поиском
экстремумов, численным и аналитическим дифференцированием
и интегрированием и тому подобного.
Первые версии Mathcad появились еще задолго до появления
Windows, но широкого распространения они не получили. Это
связано с отсутствием графического интерфейса в этих версиях и
малой мощности компьютеров. Набор математических формул
был достаточно запутанным и утомительным занятием, посколь-
ку требовалось знать десятки клавиатурных комбинаций. Чтобы
5
прочувствовать, как сложно приходилось тогдашним пользовате-
лям, можно и сейчас отключить мышку и попробовать управ-
ляться с любым приложением, используя только клавиатуру.
В начале 1990х годов, с распространением Windows, про-
изошло второе рождение Mathcad. Для работы в Windows 3 была
разработана очередная версия программы Mathcad 3.0. Mathcad
3.0 был уже вполне доступен для эксплуатации не только про-
граммистами, но и обычными пользователями. С тех пор про-
грамма непрерывно дорабатывается, отшлифовывается и допол-
няется новыми функциями и возможностями, разрабатываются
более удобные функции и вычислительные блоки.
На текущий момент Mathcad способен:
• использоваться как обычный калькулятор для простых вы-
числений;
• вычислять символьные выражения;
• упрощать символьные выражения;
• использоваться для вычисления интегралов и производных
функций;
• решать системы линейных алгебраических уравнений, ра-
ботать с матрицами и определителями;
• решать нелинейные алгебраические уравнения;
• решать системы нелинейных алгебраических уравнений;
• строить графики как в декартовых, так и в полярных коор-
динатах, различные диаграммы и гистограммы;
• создавать программы с разветвляющимися и циклически-
ми алгоритмами, используя свой собственный язык про-
граммирования;
• решать дифференциальные уравнения;
• решать задачи теории вероятности и математической ста-
тистики;
• осуществлять обмен информацией с другими приложения-
ми операционной системы Windows, такими, как Excel или
Mathlab;
• создавать документы, которые хорошо выглядят в отчетах.
Увы, к бочке меда прилагается и ложка дегтя. К сожалению,
имеющаяся сейчас в наличии версия Mathcad пока еще должным
образом не русифицирована. В современных версиях языка Math-
6
cad имеется достаточно подробная и удобная справочная инфор-
мация, но она написана только на английском языке. По счастью,
основные функции реализованы в виде интуитивно понятных
иконок. Тем не менее, для пользователей не знакомых или знако-
мых посредственно с английским языком, это несомненно за-
трудняет работу. Будем надеяться, что в следующих версиях
Mathcad появится полноценная русифицированная справочная
информация.
1.1. Интерфейс Mathcad
Для запуска Mathcad необходимо либо щелкнуть на соответ-
ствующей пиктограмме на рабочем столе, либо в меню Пуск зай-
ти в MathSoft Apps и там выбрать Mathcad.
После запуска программы загрузятся 3 окна: главное окно
Mathcad , окно Resource Center и окно Tip of the Day.
Окно Tip of the Day (Совет Дня) хорошо знакомо пользова-
телям пакета Microsoft Office как одно из стандартных окон. Оно
содержит описание одной из произвольно выбранных возможно-
стей Mathcad. Перед началом работы это окно надо закрыть, на-
жав на кнопку Close. Если мы не хотим, что бы это окно появи-
лось при следующем запуске, достаточно убрать галочку в флаж-
ке Show tips on startup. Если содержимое окна нас заинтересова-
ло и мы хотим увидеть еще один совет, достаточно щелкнуть на
кнопке Next tip.
Окно Resource Center (Центр документации) содержит спра-
вочную информацию о работе в Mathcad. Опять же закроем это
окно.
Для того чтобы оба эти окна больше не появлялись при за-
пуске, необходимо в меню Tools (Сервис) выбрать подпункт
Preferences (Параметры) и в возникшем окне убрать соответст-
вующий флажок Show Mathcad tips at startup.
Рассмотрим теперь главное окно Mathcad. Оно является стан-
дартным для большинства приложений операционной системы
Windows. Выглядит это окно следующим образом:
7
В строке заголовка представлено имя открытого документа
Mathcad. По умолчанию он называется Untitled1.
1.1.1. Главное меню Mathcad
Ниже строки заголовка расположена строка главного меню.
В строке меню сгруппированы все те действия, которые выпол-
няются в окне Mathcad. При нажатии на любой пункт главного
меню появляется список меню первого уровня. Некоторые пунк-
ты меню первого уровня содержат подменю второго уровня. Та-
кие пункты помечены справа треугольником. Рассмотрим под-
робнее пункты главного меню.
В меню File сгруппированы действия, связанные с выходом
из программы, открытием, закрытием, созданием и печатью до-
кументов.
В меню Edit сгруппированы действия, связанные с редакти-
рованием текста, копированием и поиском в документе.
Меню View отвечает за общий вид окна Mathcad, используе-
мые панели инструментов, анимацию и т.п.
Insert содержит элементы, которые можно вставить в доку-
мент (графики, матрицы, встроенные функции, рисунки, объекты
других приложений Windows и т.п.).
В меню Format сгруппированы операции, позволяющие
управлять стилями вычисления и стилем рабочего листа.
Меню Symbolic позволяет управлять работой с символьными
выражениями. Упрощать символьные алгебраические выраже-
ния, приводить подобные слагаемые, раскладывать на множите-
ли, раскладывать дробно-рациональные выражения на множите-
ли и т.п.
Меню Windows отвечает за работу с окнами при открытии
нескольких документов.
8
В меню Help сгруппирована справочная информация по
Mathcad.
1.1.2. Панели инструментов
Под строкой меню расположены панели инструментов. Если
текущих панелей инструментов недостаточно, всегда можно под-
ключить дополнительные, выбрав в меню View (Вид) подпункт
Toolbars (Панели инструментов) и установить галочки напротив
нужных панелей инструментов.
На панелях инструментов, в понятном для пользователя гра-
фическом виде, представлены наиболее часто выполняемые в
Mathcad действия.
Рассмотрим основные панели инструментов.
Панель инструментов «Standard»
Данная панель инструментов содержит значки, связанные с
работой с файлами: создание нового файла, открытие сущест-
вующего файла, сохранения редактируемого файла, печати теку-
щего документа, редактированием документов, вставкой объек-
тов и т.п.
Чтобы получить представление о том, какая выполнится ко-
манда при нажатии на данную кнопку, достаточно показать на
нее мышкой и задержаться на полсекунды, после чего возникнет
всплывающая подсказка.
Панель инструментов «Formatting»
Данная панель инструментов отвечает за форматирование
текста и формул, позволяет изменять стиль текста, тип шрифта,
размер шрифта, выравнивание и т.п.
Как и панель инструментов «Стандартная», она хорошо зна-
кома любому пользователю, поскольку фигурирует в таких ши-
роко используемых программах пакета Microsoft Office, как
Word, Excel, Access, PowerPoint и т.д.
Панель инструментов «Math»
9
Здесь сгруппированы девять панелей инструмен-
тов, предназначенных для работы с математическими
приложениями: «Calculftor», «Graph», «Matrix»,
«Evaluation», «Calculus», «Boolean», «Programming»,
«Greek» и «Symbolic».
Эти же панели инструментов можно подключить и через ме-
ню Toolbars.
Панель инструментов «Calculator»
Данная панель инструментов имитирует
обычный научный калькулятор. Здесь сгруппи-
рованы основные математические функции,
мнимая единица i, цифры и арифметические
операции. Используя данную панель, можно
только при помощи мыши производить
основные арифметические вычисления.
Панель инструментов «Boolean»
Данная панель инструментов содержит шесть
операций отношения, используемых в логических
выражениях и четыре логических операции.
Панель инструментов «Graph».
Позволяет строить графики функций двух и
более переменных различной сложности, заданных в
декартовых или в полярных координатах, графики
функций, записанных в параметрическом виде. Для
функции многих переменных можно строить график
поверхности или линии уровня, диаграммы и гистограммы.
Панель инструментов «Matrix»
Тут сгруппированы шаблоны для работы с
матрицами и векторами. Задание размерности
матриц и векторов, введение индексов, вычисле-
ние обратной матрицы, определителя, оператор
векторизации матриц, выделение столбца матрицы, транспониро-
вания матриц, создание ранжированных векторов, скалярное и
векторное произведение, сумма элементов матрицы или вектора.
10
