Table Of ContentСервисы МАТНСАБ 14: реализация
технологий экономию-математического
моделирования
2-е издание, исправленное
Назаров Д.М.
Пожарская Г.И.
Национальный Открытый Университет "ИНТУИТ"
2016
Сервисы МАТНСАБ 14: реализация технологий экономико-математического моделирования
Сервисы МАТНСАО 14: реализация технологий экономико-математического
моделирования/ Д.М. Назаров, Г.И. Пожарская - М.: Национальный Открытый
Университет "ИНТУИТ", 2016
В курсе рассмотрены основные понятия и принципы экономико-математического
моделирования, представлены классические и неоклассические модели
экономических процессов, и показаны технологии их реализации сервисами
Ма(ЬСАБ.
Материал, представленный в пособии, прошел апробацию в рамках учебного
процесса на базе Уральского государственного экономического университета (г.
Екатеринбург), реализуемого специалистами кафедры Бизнес-информатики в
подготовке специалистов, бакалавров и магистрантов. Ряд моделей, рассмотренных в
пособии, являются интеллектуальным потенциалом кафедры и представлены впервые.
В курсе доя каждой задачи приведены листинги реализации в среде с постановкой и
решением, практически все решения лэрошо иллюстрированы в виде двумерных и
трехмерных графиков, доя реализации части моделей используются технологии
программирования в пакете МаЛСАБ. Это позволяет использовать предложенный
материал для решения аналогичных задач.
(с) ООО "ИНТУИТ.РУ", 2014-2016
(с) Назаров Д.М., Пожарская Г.И., 2014-2016
Сервисы МАТНСАБ 14: реализация технологий экономико-математического моделирования
Математические методы в моделировании экономики
Лекция знакомит с основными понятиями и принципами экономико-
математического моделирования. Важным этапом моделирования
является решение математической модели. Показаны возможности
программы Ма1Ьсас1 (с использованием символьного процессора) для
проведения таких операций, как интегрирование и
дифференцирование, решение уравнений, вычисление пределов,
разложение функции в ряд Тейлора, исследование поведения функций.
Цель лекции. Дать понятие экономико-математической модели и
изложить основные этапы моделирования. Показать средства
программы Ма1Ьсас1 для проведения наиболее распространенных
математических преобразований в процессе решения математических
моделей.
Принципы экономико-математического моделирования
Экономико-математическое моделирование - эффективный метод
исследования сложных социально-экономических объектов и
процессов. Практическими задачами моделирования являются анализ
экономических объектов; экономическое прогнозирование, предвидение
развития хозяйственных процессов и выработка управленческих
решений, на всех уровнях.
Экономико-математическое моделирование основывается на принципе
аналогии. Объект исследуется и изучается через рассмотрение другого,
подобного ему и более доступного объекта, его модели. Модель
создается исследователем с целью получения новых знаний об объекте-
оригинале и отражает существенные (с точки зрения разработчика)
свойства оригинала. Математическая модель - математический образ
исследуемой системы, описывающий ее в абстрактной форме и
адекватно отражающий структуру, свойства и взаимосвязи.
Использование математических моделей позволяет осуществить
предварительный выбор оптимальных или близких к ним вариантов
решений по определенным критериям. Экономико-математическая
модель - это математическая модель, предназначенная для исследования
экономической проблемы. В ней отражаются основные соотношения
Сервисы МАТНС АО 14: реализация технологий экономико-математического моделирования
между экономическими показателями.
Моделирование задачи включает следующие этапы:
1 Определение проблемы. Четкая формулировка цели.
.
2 Постановка задачи. Отбор объектов и ситуаций, реализующих
.
поставленную цель, их качественный и количественный анализ.
3 Системный анализ. Выдвигаются гипотезы. Сложные объекты,
.
разбиваются на части (элементы), определяются связи элементов,
свойства, выражаемые в виде уравнений, неравенств и т.п.
Объект представляется в виде системы.
4 Системный синтез. Математическая постановка задачи, в
.
процессе которой осуществляется построение математической
модели объекта и определение методов (алгоритмов) получения
решения задачи. Как правило, подбирается известная
математическая модель и алгоритм ее решения. Важно выбрать
наиболее подходящий метод.
5 Выбор программного обеспечения. Разработка программы.
.
6 Решение и тестирование модели, анализ выходных данных. Если
.
полученные результаты не удовлетворяют исследователя, то
следует выбрать другую математическую модель; либо поставить
задачу более корректно;
7 Применение результатов исследований.
.
Экономико-математическое моделирование требует от исследователя
четкости формулировки исследовательской задачи, строгой логичности
в построении гипотез и концепций, умения пользоваться
инструментарием высшей математики. В процессе построения и
решения модели необходимо проводить аналитические математические
преобразования в общем виде: исследование функций,
дифференцирование и интегрирование, нахождение пределов, решение
различного вида уравнений и систем уравнений. Символьный
процессор программы МаЛсас1 обеспечивает выполнение сложных
математических операций простыми доступными средствами.
Методика работы в МаЛсаё изложена в пособии "МаЛсас! 14: Основные
сервисы и технологии" В этой лекции представлены аналитические
.
методы решения распространенных математических задач в среде с
Майсас! 14.
Сервисы МАТНСАБ 14: реализация технологий экономико-математического моделирования
Математические операции в задачах экономико-
математического моделирования
Рассмотрим ряд часто используемых математических операций,
которые необходимы в процессе математического моделирования.
Дифференцирование
Для проведения операции дифференцирования в МаЛсас! надо ввести
функцию под знак . (панель СакиЬз), щелкнуть оператор
символьного вывода (панель ЗугпЬоИс или Еуа1иа1юп). В программе
можно находить частные производные, производные второго, третьего,
высоких порядков.
Дифференциальное исчисление часто применяется в процессе
экономического анализа. При построении модели, анализе
экономических показателей возникают вопросы: от каких факторов
зависят показатели, каковы их оптимальные значения, какова степень
зависимости. Задачи на нахождение экстремума, анализ системы на
устойчивость, исследование взаимосвязи экономических показателей,
скорости изменения решаются с использованием дифференциального
исчисления.
Пример 1.1.
Рассмотрим пример исследования эластичности. Коэффициент
эластичности Е показывает относительное изменение исследуемого
экономического показателя У под действием единичного
относительного изменения экономического фактора х, от которого
зависит показатель. Функция имеет вид:
В (1.1)
где У = У(х). В зависимости от вида функции эластичность по-
разному зависит от фактора х .
Сервисы МАТНС АО 14: реализация технологий экономико-математического моделирования
Пусть зависимость экономического показателя У от фактора л;
описывается функцией:
1 показательной
.
обратной У{х) = 77,
2
.
3 линейной У(х) = а + Ь х
.
Определить вид зависимости коэффициента эластичности.
Рис. 1.1. Листинг решения Примера 1.1. Расчет эластичности для
разных функций зависимости экономического показателя от заданного
фактора
Е - коэффициент эластичности Е = (с1У/д,ху)х/У
а и Ь - параметры
1 Показательная функция:
.
У(х, а) := аX
ЕЦх,а) := ±{У{х,а)) -> х 1п(а)
2 Обратная функция:
.
У(х,а,Ь) :=
7
Сервисы МАТНС АО 14: реализация технологий экономико-математического моделирования
Е2(х,а,Ь) := &Г{х,а,Ь)) ->
3 Линейная функция:
.
У(х,а,Ь) := а + Ь -х
ЕЗ{х,а,Ь) := ±{У(х,а,Ь))
Интегрирование
Аналитический способ нахождения интеграла - нахождение
первообразной для подынтегральной функции, процедура, обратная
дифференцированию. В Майсас! интегрирование производится
символьным вычислением. Для проведения операции надо под знак
/ <1,(панель Са1си1и5), ввести функцию, пределы интегрирования,
а
переменную, щелкнуть оператор символьного вывода (панель ЗутЬоНс
или Еуа1иа1юп). Можно решать: неопределённые и определенные,
двойные и тройные интегралы.
В процессе решения экономических задач приходится производить
вычисление накопительного итога: определение суммарного
расходования материалов, энергии, прибыли, затрат и т.д. В
статистических задачах операция интегрирования требуется при
построении интегральных функций распределения по плотности
распределения вероятности, при расчете математического ожидания,
дисперсии.
Пример 1.2.
Случайная величина задана плотностью распределения
/п(х) = е~Р 1 Определить математическое ожидание и вероятность
для случайной величины принять значение от 0,5 до 1.
Математическое ожидание Л/ выражается соотношением:
М = х . /п(х)с1х (1-2)
8
Сервисы МАТНС АО 14: реализация технологий экономико-математического моделирования
вероятность Р для случайной величины принять значение от а до Ь
имеет вид
1
Р = / }(х)Ах (1.3)
о
Расчет математического ожидания и вероятности приведен ниже:
р := 1.7
/п(х) := е~Р- плотность распределения
М(х) := х/п(х)(1х - математическое ожидание
М(х) := /°° х/п(х)±с 0.34602076124567474048
0
Р(а, Ь) := /п{х)йх - вероятность принять значение от а до Ь
Р(0.5,1 )= 0.144 - вероятность принять значение от 0.5 до 1
Пример 1.3.
Производительность труца от времени I характеризуется функцией
/М = згчт + 4 <14)
Определить объем продукции 1произведенной рабочим за первый
час и за третий час рабочего дня.
Для I > 0 функция /(I) непрерывна. Тогда объем продукции у,
произведенной рабочим за промежуток времени от 1\ до 2 будет иметь
вид
V = /" /(«)<й (1.5)
9
Сервисы МАТНСАБ 14: реализация технологий экономико-математического моделирования
На представлено решение в МаЛсас!.
Рис. 1.2. Листинг решения Примера 1.3. Расчет произведенной
продукции
Я*) = зР+Т + 4
= /" /(*)Я -> 4 - Й - 4 . И - >/Загс (\/3 . «1) + >/5агс1«(>/3- Й)
:
1'(0,1) = 5.814 - объем произведенной продукции за первый
рабочий час
У(2, 3) = 4.157 - объем произведенной продукции за третий рабочий
час
Решение уравнений
Техника символьных вычислений позволяет решать уравнения
аналитически (в символьном виде). Применяя ключевое слово 5о1уе
панели 5йпЬо1ус, можно решать уравнения и системы линейных и
нелинейных уравнений. Для этого надо ввести уравнения, с
использованием логического равенства = с панели Воо1еап, ключевое
слово 5о1уе, переменные, относительно которых решается уравнение.
Решение уравнений - ключевой момент математического
моделирования. Особенно ценна возможность аналитического решения,
это позволяет выразить одни показатели через другие. Рассмотрим
ш
Сервисы МАТНСАБ 14: реализация технологий экономико-математического моделирования
примеры.
Пример 1.4.
Обратимся к финансовым вычислениям, которые подробно будут
рассмотрены во 2 лекции. По схеме сложных процентов для
элементарного денежного потока выражение для будущей стоимости
РУ от ставки Л , текущей стоимости РУ, количества лет п и
количества начислений процентов т в течение года имеет вид:
РУ = РУ( 1 + я/т)Лт (1.6)
Для вывода выражений для финансовых параметров РУ, К , п надо
это уравнение решить относительно соответствующего параметра .
Решение показано ниже:
РУ = РУ(1 +- )ГП'Пзо1уе, Я ехр тп -
РУ = РУ( 1 + 5)»-™зо1уе, РУ {п )т.п
РУ = РУ(1 -ь -)т ГПзо1уе,п '"
V тп> , т-.1п(- + 1)
Пример 1.5.
Рассмотрим экономическую задачу изучения спроса и предложения
товара на рынке. Спрос на товар О (<1ептапс1) - сложившаяся на данный
момент времени зависимость между ценой спроса товара Р (рпсе) и
количеством товара Я (объемом его покупки). Пусть Рс1 = О (д) -
функция спроса, Рс1 -цена товара, по которой покупается количество
товара Я. Чем меньше цена, тем больше спрос при постоянной
покупательной способности, функция . Л)(д) - функция убывающая.
Предложение 5 (зирр1у) определяется ценой, по которой количество
товара Я предлагается на рынке. Рз = 5(я) - функция предложения,
Р$ - цена товара, по которой предлагается на продажу количество
товара Я, предложение растет с увеличением цены на товар, Б (я) ~
функция возрастающая. Для экономики представляет интерес условие
