Table Of ContentCopyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ
Коваленко Т. А., Сирант О. В.
Использование пакета MathCAD
для математических и инженерных расчетов
с практическими заданиями
Учебное пособие
Самара - 2015
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего
профессионального образования
«ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И
ИНФОРМАТИКИ»
Кафедра информатики и вычислительной техники
Т.А. Коваленко, О.В.Сирант
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПАКЕТА MATHCAD
ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ И ИНЖЕНЕРНЫХ
РАСЧЕТОВ
С ПРАКТИЧЕСКИМИ ЗАДАНИЯМИ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Самара, 2015
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДДК - 004.772
ББК 3.32.97
Авторы: к.т.н., доцент кафедры ИВТ Коваленко Т.А, доцент кафедры ИВТ Сирант О.В.
Учебное пособие по дисциплине «Информатика» «Использование пакета MathCAD для
математических и инженерных расчетов с практическими заданиями». Для направлений:
27.03.04 – Управление в технических системах; 09.03.04 – Программная инженерия;
11.03.02 – Инфокоммуникационные технологии и системы связи; 09.03.01 – Информатика и
вычислительная техника; 09.03.02 – Информационные системы и технологии; 02.03.03 –
Математическое обеспечение и администрирование информационных систем.
ISBN
Учебное пособие предназначено для студентов первого курса дневной и заочной формы
обучения. В нем рассмотрены методы решения задач с помощью пакета программ MathCAD
в рамках учебной дисциплины «Информатика».
Пособие представлено в двух частях теоретической и практической. В теоретическое
части дается представление о пакете MathCAD его возможностях, которые позволяют решать
сложные инженерные задачи. Вторая часть состоит из 6 лабораторных работ. Все задачи
классифицированы, т.е. объединены в некоторые группы.
Пособие позволяет рассмотреть не только теоретические вопросы, но и выполнить
самостоятельно лабораторные работы.
Использование данного учебного пособия является хорошим подспорьем для студентов
технических специальностей.
Данное пособие поможет студентам использовать математические методы в технических
приложениях (ОК-9, ПК-2), повысить знания принципов алгоритмизации и
программирования (ОК-9, ПК-1) и овладеть основными методами работы на компьютере с
использованием универсальных прикладных программ (ОК-9, ПК-2).
Материал, представленный в учебном пособии, является актуальным. Он изложен
доступным для студентов языком.
Учебное пособие является необходимым и полезным в учебном процессе.
Рецензенты: к.т.н., доцент СГАУ Баяндина Т. А.
д.т.н., профессор ПГУТИ Тарасов В.Н.
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ....................................................................................................................................................... 5
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ................................................................................................................... 6
Основные сведения о пакете Mathcad ................................................................................................. 6
Mathcad-документ и его структура ...................................................................................................... 7
Простейшие конструкции системы Mathcad ................................................................................... 7
Функции, определяемые пользователем ........................................................................................... 7
Переменные диапазона (ранжированные переменные) .............................................................. 8
Текстовые фрагменты ............................................................................................................................... 8
Графические области ................................................................................................................................. 8
Организация условий в Mathcad ........................................................................................................... 9
Матрицы и матричные операторы Mathcad ..................................................................................... 9
Решение уравнений средствами Mathcad ........................................................................................ 10
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ................................................................................................................... 19
Лабораторная работа №1 Табулирование функций и нахождение корней уравнений в
системе Mathcad ....................................................................................................................................... 20
Лабораторная работа №2 Функции условных выражений ........................................................ 23
Лабораторная работа №3 Функции для обработки векторов и матриц ................................. 26
Лабораторная работа №4 Решение систем линейных и нелинейных уравнений ............... 28
Лабораторная работа №5 Решение уравнений с помощью программного модуля .......... 33
Лабораторная работа №6 Построение графиков поверхности ................................................. 37
Список использованных источников ................................................................................................ 44
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
Данное пособие рассчитано для использования студентами 1 курса на лабораторно–
практических занятиях по предмету «Информатика».
Инженерные и научные задачи часто приводят к решению различных уравнений или
систем уравнений, описывающих поведение параметров объекта, например расчеты нагрузки
в сети или тепловые потоки через стены дома, оптимизация построения сетей. Совокупность
всех уравнений и дополнительных условий, которым должно удовлетворять решение,
называется математической моделью. Простая математическая модель – это совокупность
алгебраических формул, по которым явно вычисляются искомые величины. Однако чаще
всего поведение параметров описывается дифференциальными уравнениями в частных
производных. Найти решение этих сложных задач можно только с использованием
современных быстродействующих ЭВМ. Решение сложной математической задачи на ЭВМ
включает в себя необходимые этапы выбора метода решения, создания алгоритма,
разработки программы и ее тестирования. После этого можно применять разработанный
пакет программ для решения нужной задачи. Даже для того, чтобы воспользоваться
стандартной, т.е. уже готовой программой, нужно иметь представление о существующих
методах решения, их преимуществах, недостатках и особенностях использования.
Все математические задачи классифицированы, т.е. объединены в некоторые группы.
Для каждой группы задач существует набор стандартных методов, которые изучает
специальный раздел математики – «Вычислительная математика» или «Методы
вычислений».
Все методы решения уравнений можно разделить на два класса: точные и
приближенные. В точных методах решение получают в виде формул за конечное число
операций, но их можно применять только для решения уравнений специального вида.
В общем случае задачу можно решить только приближенно. Приближенные методы
позволяют получить решение в виде бесконечной последовательности, сходящейся к
точному решению. Использование ЭВМ выдвигает дополнительные требования к алгоритму
нахождения как точного, так и приближенного решения: он должен быть устойчивым,
реализуемым и экономичным. Устойчивость означает, что малые погрешности, внесенные в
процессе решения, не приводят к большим ошибкам в конечном результате. Погрешности
возникают из-за неточного задания исходных данных (неустранимые ошибки), из-за
округления чисел, которое всегда имеет место при расчетах на ЭВМ, а также связаны с
точностью используемого метода. Реализуемость алгоритма означает, что решение может
быть получено за допустимое время. При этом надо иметь в виду, что время приближенного
решения зависит от точности, с которой мы хотим получить решение. На практике точность
выбирают с учетом реализуемости алгоритма на той ЭВМ, которую предполагается
использовать для решения. Экономичным называется алгоритм, который позволяет получить
решение с заданной точностью за минимальное количество операций и, следовательно, за
минимальное расчетное время.
Данное пособие предназначено для ознакомления с основными методами,
применяемыми для решения различных математических задач. Первым рассматриваемым
классом задач является нелинейные алгебраические уравнения. Затем рассматриваются
методы решения систем нелинейных и линейных уравнений. Пособие предусматривает
получение студентами навыков построения двумерных и поверхностных графиков.
Каждая тема содержит теоретический материал и примеры использования методов
для решения конкретных задач, описания основных вычислительных алгоритмов, тексты
программ и описание стандартных функций пакета Mathcad, реализующих изученные
вычислительные алгоритмы.
Для закрепления теоретического материала предусматривается выполнение
лабораторных работ по основным рассматриваемым темам.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
В теоретической части рассматриваются вопросы реализации решения задач с
помощью пакета Mathcad. Описываются простейшие конструкции программы, структура
документа. Дается определение переменной и ее диапазона. Подробно рассматривается
вопрос Решения уравнений средствами Mathcad.
Цель теоретической части: Дать представление о пакете Mathcad его структуре и
внешнем виде. Ознакомиться с основными функциями в системе в этой системе. Уяснить
предназначение этих функций. Понять для каких целей применяются данные функции.
Основные сведения о пакете Mathcad
Система Mathcad (Mathematical Computer Aided Design - Математическое
проектирование с помощью ЭВМ) является уникальным программным средством как с
точки зрения простоты управления, так и с точки зрения возможностей выражения в
естественной форме алгоритмов вычислительной математики.
Основная идея системы - предоставление пользователю возможности описывать на
экране вычисления в форме, очень близкой к общепринятой математической нотации,
применяемой при записи математических моделей и алгоритмов численного анализа.
Например, формулы, представляемые в языках программирования, таких, как Бейсик или
Паскаль, с помощью арифметических выражений, записываются на экране Mathcad так, как
это нас учат делать в течение нескольких лет в школе. В этом смысле внешне экран Mathcad
почти ничем не отличается от обычного листа бумаги, на котором записываются формулы и
выкладки, сопровождаемые графиками и текстом. По существу же отличие в том, что
формулы на экране Mathcadа вычисляются. Причем при внесении изменений результаты и
графики автоматически или по команде пользователя пересчитываются. Это как раз и делает
Mathcad мощным инструментом в руках инженера и специалиста по прикладной математике,
а также уникальным "наглядным пособием" и инструментальным средством для изучения
методов и алгоритмов решения различных математических задач. Таким образом,
достаточно написать формулу на экране вместо того, чтобы вычислять ее на калькуляторе
или программировать с помощью алгоритмических языков. Это свойство Mathcad позволяет
приступить к исследованию математических моделей технических систем либо алгоритмов
численного анализа без затрат времени и энергии на изучение языков программирования,
которые являются оправданными только для профессиональных программистов. Еще одним
привлекательным качеством системы является простота управления построением графиков,
которые также автоматически перестраиваются, отражая все изменения определяющих их
значений и формул. Система разработана фирмой MathSoft, Inc (Кембридж, штат
Массачусетс, США), которая постоянно выпускает ее новые версии.
Это универсальный пакет для всех, содержащий наиболее часто используемые
математические средства [1].
Особенности:
Математический интерфейс.
Есть мощная поддержка графики.
Возможен импорт графики из других программ.
Большое количество встроенных математических функций (сотни).
Встроенные справочники по предметным областям.
Возможна анимация.
Символьная математика.
Достоинство – программирование на языке математики.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Недостатки:
Это интерпретатор.
Возможности программирования ограничены.
Системы Mathcad пользуются огромной популярностью во всем мире благодаря
удобным средствам подготовки документов, имеющих вид обычных статей или книг. В то
же время оказывается, что эти средства вполне достаточны для решения подавляющего
большинства задач по математике, физики и других направлений науки и техники.
Mathcad-документ и его структура
Mathcad-документ представляет собой совокупность областей типа: равенство,
график, текст. Каждая область имеет форму прямоугольника и может размещаться в любом
месте документа. Размеры документа (количество строк и колонок) определяются объемом
доступной оперативной памяти.
Видимая часть документа ограничивается размерами экрана (24 строки, 80 колонок,
нумерация строк и колонок начинается с 0).
Уголковая форма курсора ∟ или указывает на его положение в рабочей области. Эту
область будем называть текущей. Вне рабочей области курсор имеет форму + (визир).
Перемещение курсора (и указателя в документе) осуществляется с помощью клавиш
со стрелками (клавиша "пробел" может быть использована только при формировании
текстовой области). Нарисовать или удалить границы рабочих областей можно, нажав
клавиши [Ctrl]V. Mathcad устанавливает направление выполнения равенств и построения
графиков документа вправо - вниз.
Простейшие конструкции системы Mathcad
Числа
Например: 123, -0.001, 15h, 15H, 12O, 12o, 2+3i
Числа, задаваемые в 16-ричной системе счисления, оканчиваются символом h (или H),
в 8-ричной - символом o (или O).
Системные константы
e =2.718…
∞ =10^308
i,j
Системные переменные
TOL = 10^3 -точность
ORIGIN =0 - начальный индекс вектора или матрицы
Переменные
Имена переменных могут содержать следующие символы:
буквы - AaBbCcDdEe...
цифры - 1234567890
греческие буквы – σ, τ, ω, χ, π, ν, μ, λ
специальные знаки - (знак подчеркивания), %
Замечание: Имя переменной начинается с буквы.
Выражение в Mathcadе есть совокупность имен переменных, чисел, функций,
соединенных знаками операций и отношений.
Аргументами встроенных функций могут быть константы, переменные, функции,
выражения.
Функции, определяемые пользователем
Вид равенства для определения собственной функции.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глобальное округление часто используемых функций.
Чтобы определить свою собственную функцию, введите равенство вида:
FuncName( аргументы ) := выражение
Здесь FuncName - имя функции, аргументы - список элементов, разделенных
запятыми.
Аргументами функций могут быть переменные или имена функций.
Все входящие в выражение параметры, если они не являются аргументами
определяемой функции, должны быть заданы перед выполнением оператора присваивания.
Переменные диапазона (ранжированные переменные)
Переменные диапазона - это переменные, которые принимают серию значений из
заданного диапазона при каждом их использовании.
С помощью переменных диапазона вы можете выполнить цикл - многократно
вычислить одно и то же выражение для различных значений переменной из диапазона.
Результаты вычисления могут быть записаны в массив Mathcad и отображены в виде вектора
(матрицы), таблицы или графика.
Переменная диапазона задается следующим образом:
имя_переменной := выраж.1..выраж.N или
имя_переменной := выраж.1,выраж.2..выраж.N
здесь выраж.1 - начальное значение переменной, выраж.2 - второе значение переменной,
выраж.N - последнее значение переменной, разность выраж.2-выраж.1 задает шаг изменения
переменной.
Если выраж.2 не задано (первая форма задания диапазона), то шаг принимается
равным 1.
Заметим, что все входящие в выраж.1, выраж.2, выраж.N параметры должны быть
определены до задания диапазона.
Ввод символа ".." осуществляется с помощью клавиши ";" (точка с запятой).
Например, x:1.5;40.56 выглядит как x:=1.5..40.56.
Теперь переменная x будет меняться от 1.5 с шагом 1 до тех пор, пока не превысит
значение 40.56.
Пример Mathcad-документа:
x0 := -1.4 h := 0.5 xk := 5.5 x := x0,x0+h .. xk f(x) := sin(x)
Замечание: последнее присваивание выполняется столько раз, каково значение целой
части выражения:
Текстовые фрагменты
Текстовые фрагменты представляют собой куски текста, которые пользователь хотел
бы видеть в своем документе. Существуют два вида текстовых фрагментов:
- текстовая область предназначена для небольших кусков текста — подписей,
комментариев и т. п. Вставляется с помощью команды Вставка Текстовый регион
(Insert →”Text Region”)или комбинации клавиш Shift+ "(двойная кавычка);
- текстовый абзац применяется в том случае, если необходимо работать с абзацами или
страницами. Вставляется с помощью комбинации клавиш Shift+ Enter.
Графические области
Графические области делятся на три основных типа — двумерные графики,
трехмерные графики и импортированные графические образы. Двумерные и трехмерные
графики строятся самим Mathcad на основании обработанных данных.
Для создания декартового графика (рис.1):
- Установить визир в пустом месте рабочего документа.
- Выбрать команду(Insert→Graph) Вставка График Х-У график , или нажать
комбинацию клавиш
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- Shift+ @, или щелкнуть кнопку панели Графики. Появится шаблон декартового
графика.
- Введите в средней метке под осью Х первую независимую переменную, через запятую
— вторую и так до 10, например х1, х2,
- Введите в средней метке слева от вертикальной оси Y первую независимую
переменную, через запятую — вторую и т. д., например у1(х1), у2(х2), …, или
соответствующие выражения.
- Щелкните за пределами области графика, что бы начать его построение.
Рис. 1 Пример табулирования функции с использованием
ранжированной переменной
Создание трехмерных графиков более подробно описано в методических указаниях к
лабораторной работе по этой теме
Организация условий в Mathcad
В Mathcadе допустимы простые и составные условия.
Простое условие имеет вид: выраж.1 операция_отношения выраж.2
(операции отношения: >, <, ≤, ≥, ≠, =)
Составные условия содержат простые, соединенные знаками логического умножения
(*) и логического сложения (+). Например, условие -4<x<56 можно записать следующим
образом: (-4<x) (x<56), а совокупность условий -4<x 7, 12<x <34 так: (x>-4) (x 7)+(x<34)
(x>12).
Условие принимает значение 0, если оно ложно, и 1 в случае его истинности.
Существует ряд встроенных функций, у которых возвращаемый ими результат
зависит от знака или значения аргумента. При их вычислении производится сравнение
аргумента с некоторыми числовыми константами, например с нулем или целыми числами.
Довольно широкие возможности дает функция if для создания условных выражений
Формат условной функции:
if (Условие, Выражение1, Выражение2)
Если условие истинно, то функция if принимает значение выраж.1, иначе - выраж.2.
Выражения, в свою очередь, могут содержать функцию if.
Замечание: Вместо условия можно указать любое выражение, и если оно принимает
значения, отличные от 0, то функция if принимает значение выраж.1, иначе - значение
выраж.2
Матрицы и матричные операторы Mathcad
Использование панели Matrix - Матрицы
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ввод матрицы
Xn Индексированная переменная.
X-1 Инверсная матрица.
|X| Определитель матрицы.
f(M) Векторизация матрицы.
M<> Выделение столбца матрицы.
MT Транспонирование матрицы.
m..n Границы одномерного массива.
В системе Mactcad есть дополнительные функции сортировки – перестановка
элементов векторов и матриц:
1. sort (V) – сортировка элементов вектора в порядке возрастания их значений;
2. csort (M,n) – перестановка строк матриц М таким образом, чтобы отсортированным
оказался n-й столбец;
3. rsort (M,n) – перестановка столбцов матриц М таким образом, чтобы
отсортированным оказался n-я строка.
4. diag(V) - диагональная матрица, создает диагональную матрицу, в главной диагонали
которой размещается вектор V.
5. revers(V) – Переставляет элементы вектора V (после функции sort) в обратном порядке.
6. identity(n) - Создает квадратную матрицу размером n*n и присваивает ее элементам
значения 1.
7. cols(M) - число столбцов матрицы M.
8. rows(M) - число строк матрицы M.
9. tr(М) - след матрицы M. Возвращает след (сумму диагональных элементов) матрицы
М.
10. mean(M) - среднее значение массива M.
11. eigenvals(M) - вектор, содержащий собственные значения матрицы M.
12. eigenvecs(M) - Возвращает матрицу, столбцами которой являются собственные
векторы матрицы M. Порядок столбцов тот же, что в векторе, возвращаемом функцией
eigenvals(M)
и др.
Решение уравнений средствами Mathcad
Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических
решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений.
Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить
произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Однако такие уравнения
могут решаться численными методами с заданной точностью (не более значения заданного
системной переменной TOL).
Численное решение нелинейного уравнения
Дано нелинейное алгебраическое уравнение
F(x) = 0. (1.1)
Нелинейность уравнения означает, что график функции не есть прямая линия. Решить
уравнение – это найти x* R : F(x*) = 0.
Значение x* называют корнем уравнения. Нелинейное уравнение может иметь несколько
корней. Геометрическая интерпретация такой ситуации представлена на рис. 2. Корнями
уравнения (1.1) являются точки x1*, x2*, x3*, в которых функция F(x) пересекает ось x.
Необходимое условие существования корня уравнения (1.1) и достаточное условие
единственности следуют из известной теоремы Больцано–Коши. Пусть F(x) непрерывна и
F(a)F(b) < 0 (т.е. на концах интервала функция имеет разные знаки). Тогда внутри отрезка [a,
b] существует корень уравнения F(x) = 0. Корень будет единственным, если F′(x) не меняет
знак на отрезке [a, b], т.е. F(x) – монотонная функция (рис.2).
10
