Table Of ContentМинистерство образования РФ
Томский государственный университет систем управления и
радиоэлектроники
Кафедра радиотехнических систем (РТС)
Учебное пособие
«Начальные сведения о MathCAD»
для студентов технических вузов
2016
1
Министерство образования РФ
Томский государственный университет систем управления и
радиоэлектроники
Кафедра радиотехнических систем (РТС)
Утверждаю:
Зав. кафедрой РТС, проф., д.т.н.
_______________ С.В. Мелихов
_____________________ 2016 г.
Учебное пособие «Начальные сведения о MathCAD»
для студентов технических вузов
Разработчик:
Ст. преподаватель каф. РТС
______________ Ноздреватых Д.О.
______________________2016 г.
2016
2
Аннотация
Учебное пособие «Начальные сведения о MathCAD» для студентов технических
вузов представляет собой теоретический материал для работы в математическом пакете
MathCAD.
Каждый раздел заканчивает заданиями для самостоятельной работы и закрепления
пройденного материала (для преподавателей вузов могут быть заданиями для
лабораторных работ).
3
Содержание
Введение ................................................................................................................... 8
1 Интегрированная Среда СКМ Mathcad ........................................................ 14
2 Интерфейс Mathcad ............................................................................................ 21
2.1 Меню ............................................................................................................. 23
2.2 Справка по Mathcad ..................................................................................... 23
2.3 Панели инструментов .................................................................................. 23
3 Основы работы с Mathcad ................................................................................. 26
3.1 Создания формул и редактирование документа ....................................... 27
3.1.1 Создание формул ................................................................................... 28
3.1.2 Ввод и редактирование текста .............................................................. 33
3.1.3 Правка документа .................................................................................. 34
3.1.4 Печать и посылка документа по электронной почте ......................... 35
3.2 Вычисления ................................................................................................... 35
3.2.1 Числа ....................................................................................................... 35
3.2.2 Переменные ............................................................................................ 36
3.2.3 Операции ................................................................................................. 37
3.2.3 Операторы присваивания ...................................................................... 39
3.2.4 Функции .................................................................................................. 40
3.2.5 Функции пользователя .......................................................................... 42
3.2.6 Простейшие вычисления ....................................................................... 42
3.2.7 Задание 1 для самостоятельной проработки материала .................... 43
3.3 Векторы и матрицы ...................................................................................... 43
3.3.1 Векторные и матричные операции ....................................................... 47
3.3.2 Добавление и удаление столбцов и строк ........................................... 50
3.3.3 Операции над матрицами в аналитической (символьной) форме .... 51
3.3.4 Основные аксиомы и теоремы теории матриц ................................... 53
3.3.5 Применение матриц и векторов для решения систем линейных
уравнений ......................................................................................................... 54
4
3.3.6 Задание 2 для самостоятельной проработки материала .................... 56
3.4 Построение графиков .................................................................................. 58
3.4.1 Прямоугольная система координат на плоскости .............................. 59
3.4.2 Поверхности ........................................................................................... 65
3.4.3 Полярная система координат на плоскости ........................................ 71
3.4.4 Задание 3 для самостоятельной проработки материала .................... 74
3.5 Решение уравнений ...................................................................................... 75
3.5.1 Численное решение нелинейных алгебраических уравнений .......... 75
3.5.2 Численное решение системы линейных алгебраических уравнений79
3.5.3 Решение алгебраических уравнений в аналитической (символьной)
форме ................................................................................................................ 82
3.5.4 Решение систем линейных уравнений ................................................. 82
3.5.5 Символьное решение нелинейных алгебраических уравнений ........ 84
3.5.6 Задание 4 для самостоятельной проработки материала .................... 85
3.5.7 Дифференциальные уравнения ............................................................ 86
3.5.8 Дифференциальные уравнения первого порядка ............................... 87
3.5.9 Дифференциальные уравнения второго порядка ............................... 88
3.5.10 Задание 5 для самостоятельной проработки материала .................. 89
3.5.11 Системы дифференциальных уравнений .......................................... 89
3.5.12 Задание 6 для самостоятельной проработки материала .................. 90
4 Программирование в Mathcad ........................................................................... 91
4.1 Введение. О программировании в среде Mathcad .................................... 91
4.2 Техника программирования в Mathcad .................................................. 95
4.2.1 Этап 1. «Выработка требований к исходным данным и к форме
выдачи результата» ......................................................................................... 96
4.2.2 Этап 2. «Разбор способа получения результата. Расчет примеров» . 97
4.2.3 Этап 3. «Составление алгоритма и представление его в схематичной
форме» .............................................................................................................. 98
4.2.4 Этап 4. «Расчет контрольных примеров применительно к
алгоритму» ....................................................................................................... 99
5
4.2.5 Этап 5. «Составление программы, отладка на контрольных
примерах» ...................................................................................................... 100
4.2.6 «Тестирование программы на контрольных примерах».................. 109
4.2.7 Эксперименты с программой .............................................................. 111
4.2.8 Задание 7 для самостоятельной проработки материала .................. 111
5 Символьные преобразования в Mathcad ........................................................ 115
5.1 Введение. Сведения о символьных преобразованиях в Mathcad .......... 115
5.1.1 Операции с выделенными выражениями .......................................... 117
5.1.2 Операции с выделенными переменными .......................................... 117
5.1.3 Операции с выделенными матрицами ............................................... 118
5.1.4 Операции преобразования .................................................................. 118
5.1.5 Стиль эволюции ................................................................................... 119
5.2 Осваиваем операции символьной математики ....................................... 119
5.2.1 Опция Evaluate-Symbolically ............................................................... 120
5.2.2 Опция Symbolics-Simplify ................................................................... 121
5.2.3 Опция Symbolics-Expand ..................................................................... 123
5.2.4 Опция Symbolics-Factor ....................................................................... 123
5.2.5 Опция Symbolics-Collect ...................................................................... 124
5.2.6 Опция Symbolics-Polynomial Coefficients .......................................... 125
5.2.7 Опция Symbolics-Variable ................................................................... 125
5.2.8 Опция Transform-Fourier ..................................................................... 129
5.2.9 Опция Transform-Laplace Transform .................................................. 129
5.2.10 Опция Transform-Z ............................................................................. 129
5.2.11 Задание 8 для самостоятельной проработки материала ................ 130
5.3 Создание анимационных клипов .............................................................. 131
6 Интерполяция и регрессия, функции сглаживания данных и предсказания
............................................................................................................................... 136
6.1 Функции линейной и сплайновой аппроксимации ................................ 136
6.1.1 Одномерная линейная аппроксимация .............................................. 136
6.1.2 Одномерная сплайн-интерполяция и сплайн-аппроксимация ........ 137
6
6.1.3 Двумерная линейная сплайн-интерполяция и сплайн-аппроксимация
......................................................................................................................... 139
6.2 Функции для проведения регрессии ........................................................ 141
6.2.1 Функции для линейной регрессии ..................................................... 141
6.2.2 Функция для линейной регрессии общего вида ............................... 142
6.2.3 Функции для одномерной и многомерной полиномиальной
регрессии ........................................................................................................ 143
6.2.4 Функция для нелинейной регрессии общего вида ........................... 146
6.3 Функция сглаживания данных .................................................................. 148
6.4 Функция предсказания .............................................................................. 149
Приложение 1 ...................................................................................................... 180
7
Введение
Одной из основных областей применения ПК являются математические
и научно-технические расчеты. Сложные вычислительные задачи,
возникающие при моделировании технических устройств и процессов,
можно разбить на ряд элементарных: вычисление интегралов, решение
уравнений, решение дифференциальных уравнений и т. д. Для таких задач
уже разработаны методы решения, созданы математические системы,
доступные для изучения студентам младших курсов втузов.
Первый этап – компьютер, оправдывая свое название (в переводе с
англ. «вычислитель»), работал как мощный программируемый калькулятор,
способный быстро и автоматически (по веденной программе) выполнять
сложные и громоздкие арифметические и логические операции над числами.
Успехи вычислительной математики и постоянно совершенствующиеся
численные методы позволяют решить таким способом любую
математическую задачу применительно к любой отрасли знаний. Важно
отметить, что результат вычислений при этом представляется одним
конечным числом в арифметическом виде, то есть при помощи десятичных
цифр. Иногда результат представляется множеством (массивом, матрицей)
таких чисел, но существо представления от этого не меняется – результат в
виде конечного десятичного арифметического числа.
Однако такой результат часто не удовлетворял профессиональных
математиков, и вот почему. Подавляющее большинство результатов
нетривиальных математических вычислений в классической математике
традиционно записывается в символьной форме: с использованием
специальных общеизвестных чисел: , , , а иррациональные значения – с
помощью радикала. Считается, что в противном случае имеет место
принципиальная потеря точности.
Другой классический пример, вызывающий замечание математика –
выражение, знакомое любому школьнику:
всегда равное единице; а в компьютере либо будет предпринята
попытка вычислить это выражение (с неизбежными ошибками округления),
либо будет выдано сообщение о неопределенности аргумента Х и всякие
дальнейшие действия будут прекращены.
На этом первый этап завершился.
Естественно, вслед за стремительным совершенствованием
компьютерных систем человеку в компьютерных расчетах захотелось
большего: почему бы не заставить компьютер выполнять преобразования
традиционными для математики способами (дробно-рациональные
преобразования, подстановки, упрощения, решение уравнений,
дифференцирование и т.п.).
8
Их принято называть преобразованиями в символьном виде или
аналитическими преобразованиями, а результат получать не как раньше – в
виде одного числа, а в виде формулы.
К этому моменту практически все области человеческой деятельности
оказались охваченными каждая своим собственным математическим
аппаратом и обзавелись собственными пакетами прикладного программного
обеспечения (ППО). При этом всем понадобился универсальный
математический инструмент, ориентированный на широкий круг
пользователей, которые не являются ни профессионалами в математике, ни
программистами, воспитанными на узкоспециальных, малопонятных
большинству конечных пользователей компьютерных языках.
Это привело к созданию компьютерных систем символьной
математики, рассчитанных на широкие круги пользователей –
непрофессионалов в математике. Так началась с середины 60-х годов ХХ
века эра систем компьютерной математики (СКМ), по-английски CAS –
Сomputer algebra system.
В конце 60-х годов в России на отечественных ЭВМ серии "Мир",
разработанных под руководством академика В. Глушкова, была реализована
СКМ на языке программирования "Аналитик", обладающая всеми
возможностями символьных вычислений, впрочем, с весьма скромными, по
нынешним понятиям, характеристиками.
Конечно, даже самые простые неинтеллектуальные компьютерные
математические справочники представляют большой практический интерес –
ведь ни один самый способный человек не в состоянии вместить в своей
голове все математические законы и правила, созданные за многовековую
историю человечества.
Данные об особенностях существующих СКМ приведены в табл. В1.
Таблица В1. Современные СКМ и их возможности
Система Назначение и возможности Недостатки
MathCAD Система универсального Достаточно примитивные
13, назначения в основном для средства программирования.
MathCAD непрофессиональных Дороговизна электронных книг
14 математиков и целей и библиотек, отсутствие
образования всех ступеней. русифицированных версий
Продуманный интерфейс самого пакета и
представления данных в дополнительных библиотек
традиционной математической (книг). Затруднена символьная
форме и изумительная графика обработка дифференциальных
на всех этапах работы, включая уравнений. Не создается
ввод. Ввод с помощью выбора итоговый исполняемый *.exe-
из панелей инструментов или из файл; для запуска документа
меню практически без необходимо наличие пакета
9
использования клавиатуры. СКМ MathCAD. Затруднения
Мощный и исчерпывающий при выполнении
набор операторов и функций. тригонометрических
Множество примеров, преобразований
электронных книг и библиотек,
готовых решений практических
задач. Ядро символьных
вычислений импортировано из
СКМ Maple. Предоставление
серверных услуг
профессионального пакета.
Легкость переноса документа в
другие приложения
Maple V Университетское высшее Повышенные требования к
R4/R5/R6 образование и научные аппаратным ресурсам.
расчеты. Мощное ядро Отсутствие синтеза звуков.
символьных вычислений – Ориентация на опытных
возможности аналогичны СКМ пользователей и специалистов
MathCAD, содержащее до 3000 по математике. Все недостатки
функций. Мощнейшая графика. аналитических действий
Удобная справочная система. аналогичны СКМ MathCAD
Средства форматирования
документов
Mathematica Высшее образование и научные Высокие требования к
5/7 расчеты. Наиболее развитая аппаратным ресурсам.
система символьной Чрезмерная защита от
математики. Единственная копирования. Слабая защита от
СКМ, обеспечивающая некорректных задач.
символьное решение Ориентация на опытных
дифференциальных уравнений. пользователей. Ввод задач на
Совместимость с разными уникальном языке
компьютерными платформами. функционального
Уникальная трехмерная программирования.
графика. Поддержка синтеза Непривычная индикация
звука. Развитые средства функций запуска вычислений.
форматирования документов.
Программный синтез звуков.
MATLAB Образование (в том числе Очень высокие требования к
7.* техническое), научные расчеты, аппаратным ресурсам.
численное моделирование, и Практически отсутствует
расчеты, ориентированные на возможность символьных
применение матричных вычислений. Относительно
10
